1、 1 第四节第四节 平面向量应用举例平面向量应用举例 【最新考纲】【最新考纲】 1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.2. 会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题 1向量在几何中的应用向量在几何中的应用 (1)证明线段平行或点共线问题证明线段平行或点共线问题，常用共线向量定理：常用共线向量定理： b bx1y2x2y10(b0) (2)证明垂直问题证明垂直问题，常用数量积的运算性质：常用数量积的运算性质： b b0x1x2y1y20. (3)平面几何中夹角与线段长度计算平面几何中夹角与线段长度
2、计算， cos，b b | |b| x1x2y1y2 x2 1 y2 1 x2 2 y2 2， ， |AB|AB | AB 2 （x2x1）2（y2y1）2 2向量在物理学中的应用向量在物理学中的应用 (1)向量的加法、减法在力的分解与合成中的应用向量的加法、减法在力的分解与合成中的应用 (2)向量在速度的分解与合成中的应用向量在速度的分解与合成中的应用 (3)向量的数量积在合力做功问题中的应用：向量的数量积在合力做功问题中的应用：Wf s. 3向量与相关知识的交汇向量与相关知识的交汇 平面向量作为一种工具平面向量作为一种工具，常与函数常与函数(三角函数三角函数)，解析几何结合解析几何结合，
3、常通过向量的线性运算与数量积常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题向量的共线与垂直求解相关问题 2 1(质疑夯基质疑夯基)判断下列结论的正误判断下列结论的正误(正确的打正确的打“”“”，错误错误的的 打打“”“”) (1)若若AB AC ，则则 A，B，C 三点共线三点共线( ) (2)解析几何中的坐标、直线平行、垂直、长度等问题都可以用解析几何中的坐标、直线平行、垂直、长度等问题都可以用 向量解决向量解决( ) (3)在在ABC 中中， 若若AB BC 0， 则则ABC 为钝角三角形为钝角三角形 ( ) (4)已知三个力已知三个力 f1，f2，f3作用于物体同一点作用于物
4、体同一点，使物体处于平衡状使物体处于平衡状 态态，若若 f1(2，2)，f2(2，3)，则则|f3|为为 5.( ) 解析：解析：(1)、(2)显然正确显然正确 在在(3)中中，AB BC BA BC 0，BA BC 0，则则 B 为锐角为锐角， ABC 不一定为钝角三角形不一定为钝角三角形，(3)不正确不正确 (4)中中，由题意知由题意知 f1f2f30， f3(f1f2)(0，5)， |f3|5.(4)正确正确 答案：答案：(1) (2) (3) (4) 2若若( 3，1)是直线是直线 l 的一方向向量的一方向向量，则直线则直线 l 的倾斜角为的倾斜角为( ) A. 6 B. 3 C.5
5、6 D.2 3 解析：解析：由已知得直线由已知得直线 l 的斜率的斜率 k 3 3 ，所以其所以其倾斜角为倾斜角为 6 . 答案：答案：A 3设向量设向量 (1，cos )与与 b(1，2cos )垂直垂直，则则 cos 2 3 _ 解析：解析： (1，cos )，b(1，2cos ) b， b12cos20， cos 22cos210. 答案：答案：0 4(2014 山东卷山东卷)在在ABC 中中，已知已知AB AC tan A，当当 A 6 时时，ABC 的面积为的面积为_ 解析：解析：已知已知 A 6 ，由题意得由题意得|AB |AC |cos 6 tan 6 ，|AB |AC | 2
6、3， ，所以所以ABC 的面积的面积 S1 2|AB |AC |sin 6 1 2 2 3 1 2 1 6. 答案：答案：1 6 5河水的流速为河水的流速为 2 m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向一艘小船想以垂直于河岸方向 10 m/s 的速度驶向对岸的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为则小船的静水速度大小为_ 解析：解析：如图所示如图所示，v1表示河水的速度表示河水的速度，v2表示小船在静水中的速表示小船在静水中的速 度度，v 表示小船的实际速度表示小船的实际速度， 则则|v2| |v1|2|v|22 26(m/s) 4 答案：答案：2 26m/s 一种手段一种手段 实现平面向量与三角实现
7、平面向量与三角函数、 平面几何与解析几何之间转化的主要函数、 平面几何与解析几何之间转化的主要 手段是向量的坐标运算手段是向量的坐标运算 两点注意两点注意 1向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观与现象向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观与现象，向量本身向量本身 是一个数形结合的产物是一个数形结合的产物， 在利用向量解决问题时在利用向量解决问题时， 要注意数与形的结要注意数与形的结 合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合 2要注意交换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应用向要注意交换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应用向 量的有关性质解
8、题量的有关性质解题 一、选择题一、选择题 1已知点已知点 A(2，0)，B(3，0)，动点动点 P(x，y)满足满足PA PB x2， 则点则点 P 的轨迹是的轨迹是( ) A圆圆 B椭圆椭圆 C双曲线双曲线 D抛物线抛物线 解析：解析：PA (2x，y)，PB (3x，y)， PA PB (2x)(3x)y2x2，y2x6. 答案：答案：D 5 2 已知已知ABC 中中， AB BC AB 2 0， 则则ABC 的形状是的形状是( ) A钝角三角形钝角三角形 B锐角三角形锐角三角形 C等腰直角三角形等腰直角三角形 D直角三角形直角三角形 解析：解析：AB BC AB 2 0 化为化为AB (
9、BC AB )0， 即即AB AC 0，所以所以AB AC .所以所以ABC 为直角三角形又根为直角三角形又根 据条件据条件，不能得到不能得到|AB |AC |. 答案：答案：D 3一质点受到平面上的三个力一质点受到平面上的三个力 F1，F2，F3(单位：牛顿单位：牛顿)的作用的作用 而处于平衡状态已知而处于平衡状态已知 F1，F2成成 60角角，且且 F1，F2的大小分别为的大小分别为 2 和和 4，则则 F3的大小为的大小为( ) A2 7 B2 5 C2 D6 解析：解析：如右图所示如右图所示，由已知得由已知得 F1F2F30， F3(F1F2) F2 3 F2 1 F2 2 2F1F2
10、F2 1 F2 2 2|F1|F2|cos 6028. |F3|2 7. 答案：答案：A 4平面上平面上 O，A，B 三点不共线三点不共线，设设OA ，OB b，则则OAB 6 的面积等于的面积等于( ) A. | |2|b|2（ b）2 B. | |2|b|2（ b）2 C.1 2 | |2|b|2（ b）2 D.1 2 | |2|b|2（ b）2 解析：解析：因为因为 cos ，b b | |b|， ， 所以所以 sinAOBsin ，b1 b | |b| 2， ， 则则 S AOB1 2 | |b|sinAOB1 2 | |2|b|2（ b）2. 答案：答案：C 5若函数若函数 yAsi
11、n(x)(A0，0，| 2 )在一个周期在一个周期 内的图象如图所示内的图象如图所示，M，N 分别是这段图象的最高点和最低点分别是这段图象的最高点和最低点，且且 OM ON 0(O 为坐标原点为坐标原点)，则则 A 等于等于( ) A. 6 B. 7 12 7 C. 7 6 D. 7 3 解析：解析：T 4 3 12 4 ，T， M 12， ，A ，N 12 2 ，A ，即即 7 12 ，A ， 又又OM ON 12 7 12 A (A)0， A 7 12 . 答案：答案：B 6在平面上在平面上，AB1 AB2 ，|OB1 |OB2 |1，AP AB1 AB2 . 若若|OP |1 2， ，则
12、则|OA |的最大值是的最大值是( ) A. 2 B. 5 2 C. 7 2 D. 2 2 解析：解析：由题意由题意，点点 B1，B2在以在以 O 为圆心的单位圆上为圆心的单位圆上，点点 P 在以在以 O 为圆心为圆心，半径为半径为1 2的圆内 的圆内 又又AB1 AB2 ，AP AB1 AB2 ， 平行四边形平行四边形 AB1PB2为矩形为矩形，则点则点 A，P 在以在以|B1B2| 2为直为直 径的圆上径的圆上， 当点当点 P 与与 O 重合时重合时，|OA |最大最大，最大值为最大值为 2. 答案：答案：A 二、填空题二、填空题 8 7(2014 陕西卷陕西卷)设设 0 2 ，向量向量
13、(sin 2，cos )，b (1，cos )，若若 b0，则则 tan _ 解析：解析：由由 b0，可得可得 sin 2cos20，即即 2sin cos cos20，整理得整理得 cos (2sin cos )0. 又因为又因为 0 2 ，所以所以 cos 0.所以所以 2sin cos 0， 即即 2sin cos .所以所以 tan sin cos 1 2. 答案：答案：1 2 三、解答题三、解答题 10设过点设过点 P(x，y)的直线分别与的直线分别与 x 轴的正半轴和轴的正半轴和 y 轴的正半轴轴的正半轴 9 交于交于 A，B 两点两点，点点 Q 与点与点 P 关于关于 y 轴对称
14、轴对称，O 为坐标原点为坐标原点，若若BP 2PA ， ，且且OQ AB 1，求求 P 点的轨迹方程点的轨迹方程 解：解：设设 A(x0，0)(x00)，B(0，y0)(y00)， P(x，y)与与 Q 关于关于 y 轴对称轴对称， Q(x，y)， 由由BP 2PA ， ，即即(x，yy0)2(x0x，y)， 可得可得 x0 3 2x， ， y03y， (x，y0) 又又OQ (x，y)，AB (x0，y0) 3 2x， ，3y . OQ AB 1，3 2x 2 3y21(x0，y0) 点点 P 的轨迹方程为的轨迹方程为3 2x 2 3y21(x0，y0) 11(2014 陕西卷陕西卷)在直角
15、坐标系在直角坐标系 xOy 中中，已知点已知点 A(1，1)，B(2， 3)，C(3，2)，点点 P(x，y)在在ABC 三边围成的区域三边围成的区域(含边界含边界)上上 (1)若若PA PB PC 0，求求|OP |； (2)设设OP mAB nAC (m，nR)，用用 x，y 表示表示 mn，并求并求 m n 的最大值的最大值 解：解：(1)法一法一 PA PB PC 0， 又又PA PB PC (1x，1y)(2x，3y)(3x，2y) (63x，63y)， 63x0， 63y0，解得 解得 x2， y2， 即即OP (2，2)，故故|OP |2 2. 10 法二法二 PA PB PC 0， 则则(OA OP )(OB OP )(OC OP )0， OP 1 3(OA OB OC )(2，2)， |OP |2 2. (2)OP mAB nAC ， (x，y)(m2n，2mn)， xm2n， y2mn， 两式相减得两式相减得，mnyx， 令令 yxt，由图知由图知，当直线当直线 yxt 过点过点 B(2，3)时时，t 取得最取得最 大值大值 1，故故 mn 的最大值为的最大值为 1.
