1、 章末质量评估(二) (时间：100 分钟 满分：120 分) 一、选择题(每小题 5 分，共 50 分) 1.参数方程 xsin cos ， ysin cos ( 为参数)表示的曲线为( ) 解析 x2(sin cos )212sin cos 12y， y1 2x 21 2，且 xsin cos 2sin 4 2， 2，故选 C. 答案 C 2.椭圆 xacos ， ybsin ( 为参数)，若 0，2，则椭圆上的点(a，0)对应的 ( ) A. B. 2 C.2 D.3 2 解析 点(a，0)中 xa，aacos， cos 1，. 答案 A 3.若双曲线的参数方程为 x2tan ， y1
2、2 cos ( 为参数)，则它的渐近线方程为 ( ) A.y1 1 2(x2) B.y 1 2x C.y1 2(x2) D.y 2x 解析 把参数方程化为普通方程为（y1） 2 4 (x2)21， a2，b1，焦点在 y 轴上，渐近线的斜率 a b 2， 中心坐标为(2，1)，渐近线方程为 y12(x2). 答案 C 4.若 P(2，1)为圆 x15cos ， y5sin ( 为参数且 00，那么直线 xcos ysin r 与圆 xrcos ， yrsin ( 是参数)的位置关系 是( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.视 r 的大小而定 解析 根据已知圆的圆心在原点，半径是 r，则圆心
3、(0，0)到直线的距离为 d |00r| cos2sin2r，恰好等于圆的半径，所以，直线和圆相切. 答案 B 10.半径为 3 的圆的摆线上某点的纵坐标为 0，那么其横坐标可能是( ) A. B.2 C.12 D.14 解析 根据条件可知圆的摆线的参数方程为 x33sin ， y33cos ( 为参数)，把 y 0 代入，得 cos 1， 所以 2k(kZ). 而 x33sin 6k(kZ)， 根据选项可知选 C. 答案 C 二、填空题(每小题 5 分，共 30 分) 11.已知圆的渐开线 xr（cos sin ）， yr（sin cos ） ( 为参数)上有一点的坐标为(3， 0)，则渐开
4、线对应的基圆的面积为_. 解析 把已知点(3，0)代入参数方程得 3r（cos sin ）， 0r（sin cos ）. cos sin 得 r3，所以，基圆的面积为 9 . 答案 9 12.对任意实数 k，直线 ykxb 与椭圆 x 32cos ， y14sin (02)恒有公共 点，则 b 的取值范围是_. 解析 椭圆的普通方程是（x 3） 2 4 （y1） 2 16 1.令 x0， 得 y1 或 3，直线 ykxb 对任意的实数 k，恒过点(0，b).要使 直线与椭圆恒有公共点，根据图像得 b1，3. 答案 1，3 13.曲线 xt 21， y2t1 (t 为参数)的焦点坐标为_. 解析
5、 将参数方程化为普通方程(y1)24(x1)，该曲线为抛物线 y24x 向 左、向上各平移一个单位得到，所以焦点为(0，1). 答案 (0，1) 14.已知直线 l：xy40 与圆 C： x12cos ， y12sin ， 则 C 上各点到 l 的距离的 最小值为_. 解析 圆方程为(x1)2(y1)24， d |114| 12（1）22 2， 距离最小值为 2 22. 答案 2 22 15.在圆的摆线上有点(，0)，那么在满足条件的摆线的参数方程中，使圆的半 径最大的摆线上，参数 4对应点的坐标为_. 解析 首先根据摆线的参数方程 xr（sin ）， yr（1cos ） ( 为参数)， 把点
6、(，0)代入可得 r（sin ）， 0r（1cos ） cos1， 则 sin 0，2k (kZ)， 所以，r 2k 1 2k (kN). x 1 2k 4 2 2 2 2 8k ，y 1 2k 1 2 2 2 2 4k . 答案 2 2 8k ，2 2 4k 16.在极坐标系(，)(02)中，曲线 2sin 与 cos 1 的交点的极坐 标为_. 解析 由 2sin ，得 22sin ，其普通方程为 x2y22y，cos 1 的 普通方程为 x1，联立 x 2y22y， x1， 解得 x1， y1， 点(1，1)的极坐标为 2，3 4 . 答案 2，3 4 三、解答题(每小题 10 分，共
7、40 分) 17.在平面直角坐标系xOy中， 已知直线l的参数方程为 x1 2 2 t， y2 2 2 t (t为参数)， 直线 l 与抛物线 y24x 相交于 A，B 两点，求线段 AB 的长. 解 将直线 l 的参数方程 x1 2 2 t， y2 2 2 t 代入抛物线方程 y24x， 得 2 2 2 t 2 4 1 2 2 t ， 解得 t10，t28 2. 所以|AB|t1t2|8 2. 18.如图所示，连接原点 O 和抛物线 y2x2上的动点 M，延长 OM 到点 P，使|OM|MP|，求 P 点的轨迹. 解 因为抛物线标准方程为 x21 2y， 所以它的参数方程为 x1 2t， y
8、1 2t 2 (t 为参数)， 得 M t 2， t2 2 .设 P(x，y)，则 M 是 OP 的中点， 所以 1 2t 0x 2 ， 1 2t 20y 2 ， 即 xt， yt2 (t 为参数)， 消去参数 t，得 yx2. 所以， 点 P 的轨迹方程为 yx2， 它是以 y 轴为对称轴， 焦点为 0，1 4 的抛物线. 19.A 为椭圆 x2 25 y2 91 上任意一点，B 为圆(x1) 2y21 上任意一点，求|AB| 的最大值和最小值. 解 化椭圆普通方程为参数方程 x5cos ， y3sin ( 为参数)， 圆心坐标为 C(1， 0)， 再根据平面内两点之间的距离公式可得|AC|
9、 （5cos 1）29sin2 16cos210cos 10 16 cos 5 16 2 135 16 ， 所以，当 cos 5 16时，|AC|取最小值为 3 15 4 ； 当 cos 1 时，|AC|取最大值为 6. 所以，当 cos 5 16时，|AB|取最小值为 3 15 4 1； 当 cos 1 时，|AB|取最大值为 617. 20.设直线 l 的参数方程为 x3tcos ， y4tsin (t 为参数， 为倾斜角)，圆 C 的参数 方程为 x12cos ， y12sin ( 为参数). (1)若直线 l 经过圆 C 的圆心，求直线 l 的斜率. (2)若直线 l 与圆 C 交于两
10、个不同的点，求直线 l 的斜率的取值范围. 解 (1)由已知得直线 l 经过的定点是 P(3，4)，而圆 C 的圆心是 C(1，1)，所 以，当直线 l 经过圆 C 的圆心时，直线 l 的斜率为 k5 2. (2)由圆 C 的参数方程 x12cos ， y12sin 得圆 C 的圆心是 C(1，1)，半径为 2， 由直线 l 的参数方程为 x3tcos ， y4tsin (t 为参数， 为倾斜角)，得直线 l 的普 通方程为 y4k(x3)， 即 kxy43k0， 当直线 l 与圆 C 交于两个不同的点时，圆心到直线的距离小于圆的半径，即 |52k| k21 21 20. 直线 l 的斜率的取值范围为 21 20， .
