1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 题组训练 63 椭圆（一） 1 若椭圆 x216y2b2 1 过点 ( 2， 3)， 则其焦距为 ( ) A 2 5 B 2 3 C 4 5 D 4 3 答案 D 解析 椭圆过 ( 2， 3)， 则有 416 3b2 1， b2 4， c2 16 4 12， c 2 3， 2c 4 3.故选 D. 2 已知椭圆 x2a2y2b2 1(ab0)的焦点分别为 F1， F2， b 4， 离心率为35.过 F1的直线交椭圆于A， B 两点 ， 则 ABF 2的周长为 ( ) A 10 B 12 C 16 D 20 答案 D 解析 如图 ， 由椭圆的定义知 ABF 2的
2、周长为 4a， 又 e ca 35， 即 c 35a， a2 c2 1625a2 b2 16. a 5， ABF2的周长为 20. 3 已知椭圆的中心在坐标原点 ， 焦点在 x 轴上 ， 且长轴长为 12， 离心率为 13， 则该椭圆方程为 ( ) A. x2144y2128 1 B.x236y220 1 C.x232y236 1 D.x236y232 1 答案 D 解析 2a 12， ca 13， a 6， c 2， b2 32. 椭圆的方程为 x236y232 1. 4 若椭圆 x29y24 k 1 的离心率为45， 则 k 的值为 ( ) A 21 B 21 =【 ;精品教育资源文库 】
3、 = C 1925或 21 D.1925或 21 答案 C 解析 若 a2 9， b2 4 k， 则 c 5 k. 由 ca 45， 即 5 k3 45， 得 k 1925； 若 a2 4 k， b2 9， 则 c k 5. 由 ca 45， 即 k 54 k 45， 解得 k 21. 5 若椭圆 x2 my2 1 的焦点在 y 轴上 ， 且长轴长是短轴长的两 倍 则 m 的值为 ( ) A.14 B.12 C 2 D 4 答案 A 解析 将原方程变形为 x2 y21m 1. 由题意知 a2 1m， b2 1， a 1m， b 1. 1m 2， m 14. 6 如图 ， 已知椭圆 C： x2a
4、2y2b2 1(ab0)， 其中左焦点为 F( 2 5， 0)， P 为 C 上一点 ， 满足 |OP| |OF|， 且 |PF| 4， 则椭圆 C 的方程为 ( ) A.x225y25 1 B.x236y216 1 C.x236y210 1 D.x245y225 1 答案 B 解析 设椭圆的焦距为 2c， 右焦点为 F1， 连接 PF1， 如图所示 由 F( 2 5， 0)， 得 c 2 5. 由 |OP| |OF| |OF1|， 知 PF1 PF. =【 ;精品教育资源文库 】 = 在 Rt PFF1中 ， 由勾股定理 ， 得 |PF1| |F1F|2 |PF|2 （ 4 5） 2 42
5、8. 由椭圆定义 ， 得 |PF1| |PF| 2a 4 8 12， 从而 a 6， 得 a2 36， 于是 b2 a2 c2 36 (2 5)2 16， 所以椭圆 C 的方程为 x236y216 1. 7 若焦点在 x 轴上的椭圆 x22y2m 1 的离心率为12， 则 m 等于 ( ) A. 3 B.32 C.83 D.23 答案 B 解析 a 2 2， b2 m， c2 2 m. e2 c2a22 m2 14. m32. 8 (2018 郑州市高三预测 )已知椭圆 x2a2y2b2 1(ab0)的左、右焦点分别为 F1， F2， 过 F2的直线与椭圆交于 A， B 两点 ， 若 F 1A
6、B 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形 ， 则椭圆的离心率为 ( ) A. 22 B 2 3 C. 5 2 D. 6 3 答案 D 解析 设 |F1F2| 2c， |AF1| m， 若 ABF 1 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形 ， 则 |AB|AF1| m， |BF1| 2m.由椭圆的定义可得 ABF 1的周长为 4a， 即有 4a 2m 2m， 即 m(4 2 2)a， 则 |AF2| 2a m (2 2 2)a， 在 Rt AF1F2中 ， |F1F2|2 |AF1|2 |AF2|2， 即 4c2 4(2 2)2a2 4( 2 1)2a2， 即有 c2 (9 6 2)a2， 即
7、c ( 6 3)a， 即 e ca 6 3，故选 D. 9 (2018 贵州兴义第八中学第四次月考 )设斜率为 22 的直线 l 与椭圆 x2a2y2b2 1(ab0)交于不同的两点 ， 且这两个交点在 x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点 ， 则该椭圆的离心率为( ) A. 33 B.12 =【 ;精品教育资源文库 】 = C. 22 D.13 答案 C 解析 由题意知 ， 直线 l 与椭圆 x2a2y2b2 1(ab0)两个交点的横坐标是 c， c， 所以两个交点分别为 ( c， 22 c)， (c， 22 c)， 代入椭圆得 c2a2c22b2 1， 两边同乘 2a2b2， 则 c2(2b
8、2a2) 2a2b2.因为 b2 a2 c2， 所以 c2(3a2 2c2) 2a4 2a2c2， 所以 c2a2 2 或12.又因为 0b0)的离心率为32 ， 四个顶点构成的四边形的面积为 4， 过原点的直线 l(斜率不为零 )与椭圆 C 交于 A， B 两点 ， F1， F2分别为椭 圆的左、右焦点 ， 则四边形 AF1BF2的周长为 ( ) A 4 B 4 3 C 8 D 8 3 答案 C 解析 由?ca 32 ，2ab 4，c2 a2 b2，解得?a 2，b 1. 周长为 4a 8. 11 (2018 黑龙江大庆一模 )已知直线 l： y kx 与椭圆 C： x2a2y2b2 1(a
9、b0)交于 A， B 两点 ， 其中右焦点 F 的坐标为 (c， 0) ， 且 AF 与 BF 垂直 ， 则椭圆 C 的离心率的取值范围为 ( ) A 22 ， 1) B (0， 22 C ( 22 ， 1) D (0， 22 ) 答案 C 解析 由 AF 与 BF 垂直 ， 运用直角三角形斜边的中 线即为斜边的一半 ，可得 |OA| |OF| c，由 |OA|b， 即 cb， 可得 c2b2 a2 c2， 即 c212a2， 可得 22 b0) e 22 ， ca 22 .根据 ABF 2的周长为 16 得 4a 16， 因此 a 4， b 2 2，所以椭圆方程为 x216y28 1. 13
10、 (2018 上海市十三校联考 )若椭圆的方程为 x210 ay2a 2 1， 且此椭圆的焦距为 4， 则实数 a _ 答案 4 或 8 解析 当焦点在 x 轴上时 ， 10 a (a 2) 22， 解得 a 4. 当焦点在 y 轴上时 ， a 2 (10 a) 22， 解得 a 8. 14 (2018 山西协作体联考 )若椭圆 C： x2a2y2b2 1(ab0)的左、右焦点与短轴的两个顶点组成一个面积为 1 的正方形 ， 则椭圆 C 的内接正方形的面积为 _ 答案 43 解析 由已知得 ， a 1， b c 22 ， 所以椭圆 C 的方程为 x2 y212 1， 设 A(x0， y0)是椭
11、圆 C的内接正方形位于第一象限内的顶点 ， 则 x0 y0， 所以 1 x02 2y02 3x02， 解得 x02 13， 所以椭圆 C 的内接正方形的面积 S (2x0)2 4x02 43. 15已知 F1、 F2为椭圆 x2a2y2b2 1(ab0)的左、右焦点 ， M 为椭圆上一点 ， MF1垂直于 x 轴 ，且 F 1MF2 60， 则椭圆的离心率为 _ 答案 33 解析 方法一： |F 1F2| 2c， MF1 x 轴 ， |MF1| 2 33 c， |MF2| 4 33 c. 2a |MF1| |MF2| 2 3c. e 2c2a 33 . 方法二：由 F1( c， 0)， 将 x
12、 c 代入 x2a2y2b2 1， =【 ;精品教育资源文库 】 = 得 y b2a， |F1F2|MF1| 3， 2cb2a 3. b2 a2 c2， 2aca2 c2 3， 即 2e1 e2 3. 解得 e 3(舍 )， e 33 . 16 (2018 上海虹口一模 )一个底面半径为 2 的圆柱被与底面所成角是 60 的平面所截 ， 截面是一个椭圆 ， 则该椭圆的焦距等于 _ 答案 4 3 解析 底面半径为 2 的圆柱被与底面成 60 的平面所截 ， 其截面是一个椭圆 ， 这个椭圆的短半轴长为 2， 长半轴长为 2cos60 4.a 2 b2 c2， c 42 22 2 3， 椭圆的焦距为
13、 4 3. 17 (2017 浙江金丽衢十二校联考 )已知 F1， F2 分别是椭圆 C： x2a2y2b2 1(ab0)的左、右焦点 ， 若椭圆 C 上存在点 P， 使得线段 PF1的中垂线恰好经过焦点 F2， 则椭圆 C 的离心率的取值范围是 _ 答案 13， 1) 解析 设 P(x， y)， 则 |PF2| a ex， 若椭圆 C 上存在点 P， 使得线段 PF1的中垂线恰好经过焦点 F2， 则 |PF2| |F1F2|， a ex 2c， x a 2ce a（ a 2c）c . axa ， a（ a 2c）c a， ca13， 13 eb0)， F1， F2 分别为椭圆的左、右焦点 ，
14、 A 为椭圆的上顶点 ， 直线 AF2交椭圆于另一点 B. (1)若 F 1AB 90， 求椭圆的离心率； (2)若椭圆的焦距为 2， 且 AF2 2F2B ， 求椭圆的方程 答案 (1) 22 (2)x23y22 1 解析 (1)若 F 1AB 90， 则 AOF 2为等腰直角三角形所以有 |OA| |OF2|， 即 b c. 所以 a 2c， e ca 22 . =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)由题知 A(0， b)， F2(1， 0)， 设 B(x， y)， 由 AF2 2F2B ， 解得 x 32， y b2. 代入 x2a2y2b2 1， 得94a2b24b2 1. 即 94
15、a2 14 1， 解得 a2 3. 所以椭圆方程为 x23y22 1. 19 (2014 课标全国 ) 设 F1， F2 分别是椭圆 C： x2a2y2b2 1(ab0)的左、右焦点 ， M 是 C上一点且 MF2与 x 轴垂直 ， 直线 MF1与 C 的另一个交点为 N. (1)若直线 MN 的斜率为 34， 求 C 的离心率； (2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2， 且 |MN| 5|F1N|， 求 a， b. 答案 (1)12 (2)a 7， b 2 7 解析 (1)根据 c a2 b2及题设知 M? ?c， b2a ，b2a2c34， 2b2 3ac. 将 b2 a2 c2代入
16、 2b2 3ac， 解得 ca 12， ca 2(舍去 )故 C 的离心率为 12. (2)由题意 ， 原点 O 为 F1F2的中点 ， MF2 y 轴 ， 所以直线 MF1与 y 轴的交点 D(0， 2)是线段MF1的中点故 b2a 4， 即 b2 4a. 由 |MN| 5|F1N|， 得 |DF1| 2|F1N|. 设 N(x1， y1)， 由题意知 y12， 故 0b0)， 且 c 3， 离心率 e32 ca， a2 b2 c2， 得 a 2， b 1， 椭圆的标准方程为 y24 x2 1.设 |PF1| m， |PF2| n， 则 m n 4， PF1 PF2 23， mncos F1PF2 23， 又 (2c)2 (2 3)2 m2 n2 2mncos F1PF2， 12 42 2mn 2 23， 解得 mn 43. 43cos F1PF2 23， cos F1PF2 12， F1PF2 3 ， 故选D. 3 已知 A(3， 0)，
