1、第七章 参数估计 例例8-1：从某市随机抽取小学三年级学生：从某市随机抽取小学三年级学生50名，测名，测得平均身高为得平均身高为140cm，标准差，标准差4。试问该市小学。试问该市小学三年级学生的平均身高大约是多少？三年级学生的平均身高大约是多少？例例8-2：某教师用韦氏成人智力量表测：某教师用韦氏成人智力量表测80名高三学生，名高三学生，M=105。试估计该校高三。试估计该校高三学生智商平均数大约为多少？学生智商平均数大约为多少？ 思思 考考什么是参数估计什么是参数估计 当在研究中从样本获得一组数据后，如何通过当在研究中从样本获得一组数据后，如何通过这组数据信息，对总体特征进行估计，也就是这
2、组数据信息，对总体特征进行估计，也就是如何如何从局部结果推论总体从局部结果推论总体的情况，称为的情况，称为总体参总体参数估计数估计。 参数估计：参数估计： 样本样本统计量统计量总体总体参数参数估计估计参数估计的方法估估 计计 方方 法法点点 估估 计计区间估计区间估计一、点估计一、点估计1、含义：直接用、含义：直接用样本统计量的值样本统计量的值作为总体作为总体参数的估计值，即：参数的估计值，即： 例：例：假设从某市随机抽取假设从某市随机抽取113六岁男童，测得六岁男童，测得平均身高为平均身高为110.7公分。试估计该市所有六岁公分。试估计该市所有六岁男童的平均身高是多少？男童的平均身高是多少？
3、X7 .1107 .110X第一节第一节 点估计、区间估计与标准误点估计、区间估计与标准误 二、良好估计量的标准二、良好估计量的标准 1.1.无偏性无偏性 无偏估计量：用多个样本的统计量作为总体参数无偏估计量：用多个样本的统计量作为总体参数的估计值，其的估计值，其偏差的平均数偏差的平均数为为0。 2.2.有效性有效性 当总体参数的无偏估计不止一个统计量时，无偏当总体参数的无偏估计不止一个统计量时，无偏估计估计变异小者变异小者有效性高，变异大者有效性低，即有效性高，变异大者有效性低，即方差越小越好方差越小越好。 0X 3.3.一致性一致性 当当样本容量无限增大样本容量无限增大时，估计值应能够越来
4、越接时，估计值应能够越来越接近它所估计的总体参数，近它所估计的总体参数，估计值估计值越来越精确，逐越来越精确，逐渐渐趋近于真值趋近于真值。 4.4.充分性充分性 一个容量为一个容量为n的的样本统计量样本统计量，是否充分地反映了，是否充分地反映了全部全部n个数据个数据所反映总体的信息。所反映总体的信息。,大nX三、区间估计 （一）区间估计的定义（一）区间估计的定义1.根据估计量以根据估计量以一定可靠程度一定可靠程度推断总体参数所在的推断总体参数所在的区区间范围间范围，用，用数轴上的一段距离数轴上的一段距离表示未知参数可能落表示未知参数可能落入的范围。入的范围。置信区间置信区间：也称置信间距，是指
5、在某一置信度时，总：也称置信间距，是指在某一置信度时，总体参数所在的体参数所在的区域距离或区域长度区域距离或区域长度。置信度置信度：被估计参数落在置信区间内的：被估计参数落在置信区间内的概率。概率。 用用 1- 表示，表示，又名置信水平、置信系数等。又名置信水平、置信系数等。置信界限置信界限：置信区间的：置信区间的上下两端点值上下两端点值。 2 2、置信区间、置信区间置信度常用值置信度常用值 1- =0.95 1- =0.993、显著性水平 显著性水平显著性水平：估计总体参数落在某一区间时，：估计总体参数落在某一区间时，可能可能犯错误的概率犯错误的概率，用符号，用符号 表示表示。 置信度置信度
6、：被估计参数：被估计参数落在置信区间内落在置信区间内的的概率，概率， 1- 表示表示 例例:0.95置信区间（置信区间（1- ）指总体参数落在该区间内）指总体参数落在该区间内，估计正确的概率为，估计正确的概率为95%，而估计错误的概率为，而估计错误的概率为5%（ =0.05）显著性水平常用值显著性水平常用值 =0.05 1- =0.95 =0.01 1- =0.99 （三）区间估计的原理与标准误（三）区间估计的原理与标准误 区间估计是根据区间估计是根据抽样分布理论抽样分布理论，用抽样分布的标，用抽样分布的标准误准误(SE)计算区间长度，解释总体参数落入某置计算区间长度，解释总体参数落入某置信区
7、间可能的概率。信区间可能的概率。 区间估计存在成功估计的区间估计存在成功估计的概率大小概率大小及估计及估计范围大范围大小小两个问题。两个问题。 统计分析一般采取的办法：在统计分析一般采取的办法：在保证置信度的前提保证置信度的前提下，尽可能提高精确度。下，尽可能提高精确度。 规定正确估计的概率（置信度为规定正确估计的概率（置信度为0.95或或0.99），），显著性水平即错误的概率为显著性水平即错误的概率为0.05或或0.01。0.05或或0.01属于小概率事件，属于小概率事件，小概率事件在一次抽样中小概率事件在一次抽样中是不可能出现的是不可能出现的 平均数的区间估计平均数的区间估计第二节第二节
8、总体均数的估计总体均数的估计一、定义一、定义二、方法二、方法 样本均数样本均数总体均数总体均数估计估计 t 分布法：分布法：2未知未知正态法：正态法： 2已知已知（一）正态法：（一）正态法： 2已知已知 总体正态，总体正态，n不论大小；不论大小； 总体非正态，总体非正态，n30；1 1、应用条件、应用条件2 2、估计总体平均数的步骤、估计总体平均数的步骤 求样本平均数和标准差求样本平均数和标准差nX 求置信区间求置信区间： 结果解释结果解释 求均数标准误求均数标准误： 确定置信水平或显著性水平（确定置信水平或显著性水平（ =0.05、0.01） 查正态分布表：查正态分布表：1- =0.95 Z
9、=1.96 1- =0.99 Z=2.58(1)/2(1)/2XXXX+ZZ /2/2XXXX+ZZ 【例例7-1】 已知母总体为正态分布，已知母总体为正态分布，=7.07=7.07，从这个总体中，从这个总体中随机抽取随机抽取n1=10和和n2=36的两个样本，分别计算出的两个样本，分别计算出 ， ，试问总体参数，试问总体参数的的0.95和和0.99置信区间置信区间。178X279X 解：解： 平均数的标准误：平均数的标准误： 117.072.2410Xn227.071.1836Xn 用用n1=10的样本估计总体参数的样本估计总体参数： 0.95的置信区间的置信区间 0.99的置信区间的置信区
10、间78 1.962.24791.96 1.1876.781.3782.58 2.24792.58 2.2472.283.8 根据根据n2=36的样本估计总体参数的样本估计总体参数： 0.95的置信区间的置信区间 0.99的置信区间的置信区间76.781.378 1.96 1.1879 1.96 1.18792.58 1.18792.58 1.1875.782.04 【例例7-2】 有一个有一个49名学生的班级，某学科历年考试成绩的名学生的班级，某学科历年考试成绩的 ，又知今年某次考试成绩是，又知今年某次考试成绩是85分，试推论该班某分，试推论该班某学科学习的真实成绩分数。学科学习的真实成绩分数
11、。 = 解：解： 定置信水平为定置信水平为0.95，查正态表得，查正态表得Z(1 )/2=1.96。50.7149Xn85 1.96 0.7185 1.96 0.7183.686.4（二）（二）t 分布法：分布法：2未知未知 总体正态，总体正态，n 不论大小；不论大小； 总体非正态，总体非正态，n30（渐近正态法）（渐近正态法）1 1、应用条件、应用条件2 2、估计总体平均数的步骤、估计总体平均数的步骤 求样本平均数和标准差求样本平均数和标准差 求置信区间求置信区间： 结果解释结果解释 求均数标准误求均数标准误： 确定置信水平或显著性水平（确定置信水平或显著性水平（ =0.05、0.01） 查
12、查t值表值表1n1SnSnX(1)/2(1)/2XXXX+tt /2/2XXXXtt 【例例7-3】 假设假设2 2未知，未知，n1=10， =78，s1=8，n2=36， =79，s2=9，问其总体参数，问其总体参数的的0.95置信区间是多置信区间是多少？少？1X2X 解：平均数的标准误解：平均数的标准误 0.95的置信区间的置信区间 当当n1=10时，时，df1=n-1=9，t0.05/2=2.26211111182.67110 1nXssnn22222191.52136 1nXssnn 当当n2=36时，时，df2=35，t0.05/2=2.04271.9684.04 792.042 1
13、.52792.042 1.5275.982.1782.2622.67782.2622.67 【例例7-4】 某班某班49人期末考试成绩为人期末考试成绩为85分，标准差分，标准差s=6，假，假设此项考试能反映学生的学习水平，试推论该班设此项考试能反映学生的学习水平，试推论该班学生学习的真实成绩分数。学生学习的真实成绩分数。 解：解： t0.05/2(40)=2.021 0.95的置信区间的置信区间852.021 0.86683.2586.75第三节第三节 标准差与方差的区间估计标准差与方差的区间估计 一、标准差的区间估计一、标准差的区间估计 根据抽样分布的理论，当根据抽样分布的理论，当样本容量为
14、样本容量为n30时，时，样本标准差的分布为渐近正态分布样本标准差的分布为渐近正态分布，标准差的平，标准差的平均数：均数： 标准差分布的标准差：标准差分布的标准差： 置信区间可写作：置信区间可写作：sX1/21/2nnssZsZnsnns221 【例例7-5】 有一随机样本有一随机样本n=31，sn-1=5，问该样本之总体标，问该样本之总体标准差的准差的0.95置信区间。置信区间。 解：此题解：此题n30，样本标准差的分布可视为渐近，样本标准差的分布可视为渐近正态分布，即正态分布，即Z0.05/2=1.96。 0.95的置信区间为：的置信区间为：50.6352 315 1.96 0.6355 1
15、.96 0.6353.766.24 二、方差的区间估计二、方差的区间估计 根据根据2分布：分布： 自正态分布的总体中，随机抽取容量为自正态分布的总体中，随机抽取容量为n的样本，其的样本，其样本方差与总体方差比值的分布为样本方差与总体方差比值的分布为2分布，这样可直分布，这样可直接查接查2表确定其比值的表确定其比值的0.95与与0.99置信区间。置信区间。222122221nXXnsns 总体方差的总体方差的0.95与与0.99置信区间：置信区间： 查查df=n1的的2表确定表确定 与与 。2/22211222/21/211nnnsns2()/2 【例例7-6】 已知某测验分数的样本已知某测验分
16、数的样本n=10， ，问该，问该测验分数总体方差测验分数总体方差2 2的的0.95和和0.99置信区间是多置信区间是多少？少？21=0.286ns 解：计算解：计算0.95的置信区间，此时的置信区间，此时 =0.05 查查2 表，表，df=9时，时， ， 20.025 919 20.975 92.729 0.2869 0.286192.720.1350.95 （2）计算）计算0.99的置信区间，此时的置信区间，此时 =0.01 查查2 表，表，df=9时，时， ， 20.005 923.6 20.995 91.7329 0.2869 0.28623.61.7320.111.49 【例例7-7】
17、 n=31，sn-1=5问的问的0.95置信区间？置信区间？ 解：先求方差的置信区间，当解：先求方差的置信区间，当df=30，查，查2表，表， 不等号两边都开平方，取正平方根，结果为不等号两边都开平方，取正平方根，结果为 20.0254720.97516.822230 530 54716.8215.9644.63.996.68 三、二总体方差之比的区间估计三、二总体方差之比的区间估计 根据根据F分布的意义，从总体方差为分布的意义，从总体方差为 与与 的两总体中，的两总体中，分别随机抽取容量为分别随机抽取容量为n1与与n2的两样本，计算其样本方差之的两样本，计算其样本方差之比比 ，服从，服从F分
18、布分布(df1=n11, df2=n21)。因为样本。因为样本方差只是方差只是 与与 的无偏估计，所以其样本方差之比的无偏估计，所以其样本方差之比 ，多数围绕总体方差之比，多数围绕总体方差之比 上下波动，少数有所偏离上下波动，少数有所偏离，形成，形成F分布。分布。2122122121=nnsFs2122122121nnss2122 如果两总体方差如果两总体方差 ，其样本方差之比多数，其样本方差之比多数应在应在1上下摆动。因此，对二总体方差相等的区上下摆动。因此，对二总体方差相等的区间估计用间估计用 。2122=122212= 根据根据F分布，可估计二总体方差之比的置信区间分布，可估计二总体方差
19、之比的置信区间： 若二总体相等，上式可写作：若二总体相等，上式可写作：1122222111/2222/21211nnnnssFFss11222211/222/21111nnnnssFFss 【例例7-8】已知已知n1=10， ，n2=15， 。问二总体方差之比问二总体方差之比 在在0.99置信区间，能否说二置信区间，能否说二总体方差相等？总体方差相等？1215ns2216ns2122 解：解： 单侧概率，单侧概率，F0.01=4.03 (df1=9, df2=14) 0.99的置信区间：的置信区间：21221554.034.036621220.213.36 （2）双侧概率，）双侧概率，F0.01=4.54，(df1=9，df2=14) 0.99的置信区间：的置信区间：21221554.544.546621220.183.78
