1、一、连续型随机变量及其概率密度一、连续型随机变量及其概率密度二、常见连续型随机变量的分布二、常见连续型随机变量的分布三、小结三、小结第第4.34.3节连续型随机变量节连续型随机变量 及其概率密度及其概率密度 连续型随机变量连续型随机变量 X 所有可能取值充满若所有可能取值充满若干个区间。对这种随机变量，不能象离散型干个区间。对这种随机变量，不能象离散型随机变量那样随机变量那样, , 指出其取各个值的概率，指出其取各个值的概率， 给出概率分布。而是用给出概率分布。而是用“概率密度函数概率密度函数”表表示随机变量的概率分布。示随机变量的概率分布。例例1 1 某工厂生产一种零件，由于生产过程中各某工
2、厂生产一种零件，由于生产过程中各种随机因素的影响，零件长度不尽相同。现测种随机因素的影响，零件长度不尽相同。现测得该厂生产的得该厂生产的100个零件长度个零件长度(单位单位: mm)如下如下:一一 频率直方图频率直方图129, 132, 136, 145, 140, 145, 147, 142, 138, 144, 147, 142, 137, 144, 144, 134, 149, 142, 137, 137, 155, 128, 143, 144, 148, 139, 143, 142, 135, 142,148, 137, 142, 144, 141, 149, 132, 134, 14
3、5, 132, 140, 142, 130, 145, 148, 143, 148, 135, 136, 152, 141, 146, 138, 131, 138, 136, 144, 142, 142, 137,141, 134, 142, 133, 153, 143, 145, 140, 137, 142, 150, 141, 139, 139, 150, 139, 137, 139, 140, 143, 149, 136, 142, 134, 146, 145, 130, 136, 140, 134,142, 142, 135, 131, 136, 139, 137, 144, 141,
4、 136.这这100个数据中，最小值是个数据中，最小值是128，最大值是，最大值是155。作频率直方图的步作频率直方图的步骤骤(1)先确定作图区间先确定作图区间 a, b ;a = 最小数据最小数据- -/ 2，b = 最大数据最大数据+/ 2， 是数据的精度。是数据的精度。本例中本例中 = 1, a = 127.5, b = 155.5 。(2)确定数据分组数确定数据分组数 m = 7，组距，组距 d = (b a) / m，子区间端点子区间端点 ti = a + i d, i = 0, 1, , m；(3) 计算落入各子区间内观测值频数计算落入各子区间内观测值频数 ni 频率频率 fi =
5、 ni / n， i = 1, 2, , m；子区间子区间频数频数频率频率(127.5, 131.5)(127.5, 131.5)6 60.060.06(131.5, 135.5)(131.5, 135.5)12120.120.12(135.5, 139.5)(135.5, 139.5)24240.240.24(139.5, 143.5)(139.5, 143.5)28280.280.28(143.5, 147.5)(143.5, 147.5)18180.180.18(147.5, 151.5)(147.5, 151.5)8 80.080.08(151.5, 155.5)(151.5, 155
6、.5)4 40.040.04(4) (4) 以小区间以小区间 ti-1，ti 为底，为底，yi=fi / d ( i=1, 2, , m) 为高作一系列小矩形，组成了频为高作一系列小矩形，组成了频 率直方图，简称直方图。率直方图，简称直方图。 由于概率可以由频率近似，由于概率可以由频率近似， 因此这个直因此这个直方图可近似地刻画零件长度的概率分布情况。方图可近似地刻画零件长度的概率分布情况。 用上述直方图刻画随机变量用上述直方图刻画随机变量X的概率分布的概率分布情况是比较粗糙的。为更加准确地刻画情况是比较粗糙的。为更加准确地刻画X的概的概率分布情况，应适当增加观测数据的个数率分布情况，应适当增
7、加观测数据的个数, 同同时将数据分得更细一些。当数据越来越多时将数据分得更细一些。当数据越来越多, 分分组越来越细时组越来越细时, 直方图的上方外形轮廓就越来直方图的上方外形轮廓就越来越接近于某一条曲线越接近于某一条曲线, 这条曲线称为这条曲线称为随机变量随机变量X的概率密度曲线，的概率密度曲线，可用来准确地刻画可用来准确地刻画X的概的概率分布情况。率分布情况。二二 概率密度函数概率密度函数.,)(,d)()(),(,)(简简称称概概率率密密度度率率密密度度函函数数的的概概称称为为其其中中为为连连续续型型随随机机变变量量则则称称有有使使对对于于任任意意实实数数非非负负可可积积函函数数若若存存在
8、在的的分分布布函函数数为为，为为随随机机变变量量设设XxpXttpxFxxpXxFXx 这两条性质是判定函数这两条性质是判定函数 f(x) 是否为某随机变量是否为某随机变量 X 的概率密度函数的充的概率密度函数的充要条件。要条件。密度函数的性质密度函数的性质10( ) ( ) p x ；21( ) ( ) p x dx；f(x)与与 x 轴所围轴所围 面积等于面积等于1。 若若x是是 p(x)的连续点，则的连续点，则xxxXxPx)(lim00( )limxxxxp t dtx = p(x) ，(3) 对对 p(x)的进一步理解：的进一步理解：故故, X的概率密度函数的概率密度函数p (x)在
9、在 x 这一点的值这一点的值, 恰恰好是好是X 落在区间落在区间 x , x +x上的概率与区间长上的概率与区间长度度x 之比的极限。之比的极限。 这里这里, 如果把概率理解为如果把概率理解为质量质量, p(x)相当于物理学中的线密度。相当于物理学中的线密度。若不计高阶无穷小，有：若不计高阶无穷小，有：( ) .P xXxxp xx 表示随机变量表示随机变量 X 取值于取值于(x , x + x上的概率上的概率近似等于近似等于 p(x) x 。 p(x) x 在连续型随机变量中所起的作用在连续型随机变量中所起的作用与与 pk=PX=xk 在离散型随机变量中所起的作在离散型随机变量中所起的作用类
10、似。用类似。(4)(4) 对于任意可能值对于任意可能值 a ,连续型随机变量取连续型随机变量取 a 的的概率等于零概率等于零.即即. 0 aXP证明证明aXP . 0 由此可得由此可得xxpxaaxd)(lim 0连续型随机变量的概率与区间的开闭无关连续型随机变量的概率与区间的开闭无关bXaP bXaP bXaP .bXaP . 0 aXP设设X为连续型随机变量为连续型随机变量 ，X=a 是不可能是不可能事件事件,则有则有, 0 aXP若若是是不不可可能能事事件件aX . 0 aXP若若 X 为离散型随机变量为离散型随机变量, 注意注意连连续续型型离离散散型型是是不不可可能能事事件件则则不不能
11、能确确定定aX 11SxxpSxxd)( 211xxpxd)( 2证明证明.d)(xxpxx 21)()(1221xFxFxXxP xxpxd)( 11x 2x xxp0)(211221()()xxP xXxF xFp x dxx 5( )6()()( )( )P XbP XbF b1()()( )P XaP XaF a xf ( x)-10-550.020.040.060.08a.)(;)(;)(.,)(2713210432230 XPXkxxxkxxpX求求的分布函数的分布函数求求确定常数确定常数其它其它具有概率密度具有概率密度随机变量随机变量设设解解(1)( )d1,p xx由例例1的概
12、率密度为的概率密度为知知由由Xk61)2( .,)(其它其它04322306xxxxxp, 1d)22(d3043 xxxkx得得.61 k解之得解之得 . 4, 1, 43,d)22(d6, 30,d6, 0, 0)(3030 xxxxxxxxxxxFxx得得由由 xxxpxFd)()( . 4, 1, 43,423, 30,12, 0, 0)(22xxxxxxxxF即即271)3( XP)1()27(FF .4841 .)3(;2)2(;,)1(:., 1,arcsin, 0)(的概率密度的概率密度随机变量随机变量的值的值系数系数求求的分布函数为的分布函数为设连续型随机变量设连续型随机变量
13、XaXaPBAaxaxaaxBAaxxFX 例例2()lim( ),xaFaF x （）故有故有解解( )lim( ),xaF aF x( ),F x(1)因为右连续 aaBAarcsin aaBAarcsin即即BA2 , 0 BA2 , 1 .1 B ., 1,arcsin121, 0)(axaxaaxaxxF所所以以,21 A解之得解之得)2(aF 0)2arcsin(121 aa6121 2)2(aXaP )( aF .32 )()(xFxp 的概率密度为的概率密度为随机变量随机变量 X)3( ., 0,122其其它它axaxa二二 常见的连续性随机变量常见的连续性随机变量1. 区间区
14、间( a , b) 上的均匀分布上的均匀分布 若若 X 的密度函数的密度函数其他, 0,1)(bxaabxf则称则称 X 服从服从区间区间( a , b) 上的均匀分布上的均匀分布),(baUX记作记作X 的分布函数的分布函数1, 0)(abaxxFbxbxaax,xf ( x)abxF( x)ba例例3 设随机变量设随机变量 X 在在 2, 5 上服从均匀分布上服从均匀分布, 现现对对 X 进行三次独立观测进行三次独立观测 ,试求至少有两次观测值试求至少有两次观测值大于大于3 的概率的概率. X 的分布密度函数为的分布密度函数为 .,)(其它其它05231xxp设设 A 表示事件表示事件“对
15、对 X 的观测值大于的观测值大于 3”,解解即即 A= X 3 .2 YP.2720 因而有因而有设设Y 表示表示3次独立观测中观测值大于次独立观测中观测值大于3的次数的次数,则则., 323BY 32132232033213233 3)( XPAP由由于于,32d3153 x.,.,)(分布分布的指数的指数服从参数为服从参数为则称则称为常数为常数其中其中的概率密度为的概率密度为设连续型随机变量设连续型随机变量定义定义XxxexpXx0000 2.2.指数分布指数分布1/3 1 2 ( )p x 某些元件或设备的寿命服从指数分布某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如例如无线电元件的寿命无线电元
16、件的寿命 , 电力设备的寿命电力设备的寿命, 动物的寿动物的寿命等都服从指数分布命等都服从指数分布.应用与背景应用与背景分布函数分布函数1,0,( )0,0. xexF xx 1/3 1 2 例例4 设某类日光灯管的使用寿命设某类日光灯管的使用寿命 X 服从参数为服从参数为 =1/2000的指数分布的指数分布(单位单位:小时小时)(1)任取一只这种灯管任取一只这种灯管, 求能正常使用求能正常使用1000小时以小时以上的概率上的概率. (2) 有一只这种灯管已经正常使用了有一只这种灯管已经正常使用了1000 小时以小时以上上,求还能使用求还能使用1000小时以上的概率小时以上的概率. .,)(0
17、00120001xxexFxX 的分布函数为的分布函数为解解1000)1( XP10001 XP)1000(1F 12.e10002000)2( XXP10001000,2000 XPXXP10002000 XPXP1000120001 XPXP)1000(1)2000(1FF 指数分布的重要性质指数分布的重要性质 :“无记忆性无记忆性”.12.e 正态分布是应用最广泛正态分布是应用最广泛的一种连续型分布。的一种连续型分布。 正态分布是十九世纪初，由高斯正态分布是十九世纪初，由高斯(Gauss)(Gauss)给出并推广的一种分布。故，也称给出并推广的一种分布。故，也称高斯分布高斯分布。3. 3
18、. 正态分布正态分布这条红色曲线近似我们将要介绍的这条红色曲线近似我们将要介绍的正态分布正态分布的概率密度曲线。的概率密度曲线。).,(,)(,)()(2202122NXXxexpXx记记为为的的正正态态分分布布或或高高斯斯分分布布服服从从参参数数为为则则称称为为常常数数其其中中的的概概率率密密度度为为设设连连续续型型随随机机变变量量定定义义 ( )p x正态分布概率密度函数的几何特征正态分布概率密度函数的几何特征;)1(对称对称曲线关于曲线关于x ;)(,)(xpx212取得最大值取得最大值时时当当 ;)(,)(03xpx时时当当(4);x为为曲曲线线的的拐拐点点( )p x;,)(,)6(
19、轴作平移变换轴作平移变换着着只是沿只是沿图形的形状不变图形的形状不变的大小时的大小时改变改变当固定当固定xxp;)5(轴为渐近线轴为渐近线曲线以曲线以 x( )p x( )p x.,)(,)7(图形越矮越胖图形越矮越胖越大越大图形越高越瘦图形越高越瘦越小越小而形状在改变而形状在改变不变不变图形的对称轴图形的对称轴的大小时的大小时改变改变当固定当固定xp( )p x正态分布的分布函数正态分布的分布函数texFxtd21)(222)( 正态分布是最常见最重要的一种分布正态分布是最常见最重要的一种分布,例如例如测量误差测量误差; 人的生理特征尺寸如身高、体重等人的生理特征尺寸如身高、体重等 ;正常情
20、况下生产的产品尺寸正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布高度等都近似服从正态分布.正态分布的应用与背景正态分布的应用与背景 ).1, 0(,1, 0),(2NN记为记为态分布态分布的正态分布称为标准正的正态分布称为标准正这样这样时时中的中的当正态分布当正态分布 标准正态分布的概率密度表示为标准正态分布的概率密度表示为221( ),2xxex 标准正态分布标准正态分布标准正态分布的分布函数表示为标准正态分布的分布函数表示为221( )d ,.2txxetx 标准正态分布的图形标准正态分布的图形.225. 1),1 , 0( XPNX求求已已知知解解22
21、5. 1 XP)25. 1 ()2( 8944. 09772. 0 例例5 . 0828. 0 ).1 , 0(),(2NXZNX 则则若若引理引理证明证明的分布函数为的分布函数为XZ xZP xXPxXP ,d21222)( xtte得得令令,ut xZP xuued2122),(x ).1 , 0( NXZ 故故解解P cXdcXdP.),(2dXcPNX 求求已已知知例例6dc 原原式式(0,1)XN例例7 证明证明).(1)(xx xexxxd21)(22 221d2xxex221d2xexxexxd2122 ).(1x 证明证明令令t = -x例例8 假设某地区成年男性的身高假设某地
22、区成年男性的身高( (单位单位: cm) : cm) XN( (170,7.,7.692), ), 求该地区成年男性的身高求该地区成年男性的身高超过超过 175cm175cm 的概率。的概率。 解解: : 根据假设根据假设 XN( (170 ,7.,7.692) )，知，知， ) 1 0(69. 7170NX 事件事件 X 175 的概率为的概率为1751175XPXP.2578. 0 )65. 0(169. 71701751解解: : 设车门高度为设车门高度为 h ，按设计要求按设计要求P(X h)0.01，或或 P(X h) 0.99，下面我们来求满足上式的最小的下面我们来求满足上式的最小
23、的 h。例例9 9 公共汽车车门的高度是按成年男性与车门公共汽车车门的高度是按成年男性与车门顶头碰头机会在顶头碰头机会在0.01以下来设计的。以下来设计的。设某地区设某地区成年男性身高成年男性身高 (单位单位: cm) XN(170, ),问车问车门高度应如何确定门高度应如何确定? ?27.69因为因为XN( (170,7.,7.692),),， ) 1 0(69. 7170NX ，故故99. 0 69. 7170 69. 717069. 7170X hhPhXP求满足求满足 P(X h) 0.99 的最小的最小 h。，）得得查查表表，99. 0 9901. 02.33( 170 2.33 1
24、88.7.69hh所以，即故，当汽车门高度为故，当汽车门高度为188厘米时，可使男子与厘米时，可使男子与车门碰头机会不超过车门碰头机会不超过0.01。例例10 设), 2(2NX且 P( 2 X 4 ) = 0.3,求 P ( X 0 ).解一解一20)0(XP212224)42(XP)0(23 . 08 . 022 . 0)0(XP解二解二 图解法图解法0.22 . 0)0(XP由图-22460.050.10.150.20.3分布函数分布函数概率密度概率密度三、小结三、小结2. 常见连续型随机变量的分布常见连续型随机变量的分布 xttpxFd)()(.连续型随机变量连续型随机变量1均匀分布均
25、匀分布正态分布正态分布(或高斯分布或高斯分布)指数分布指数分布 正态分布是概率论中最重要的分布正态分布是概率论中最重要的分布Born: 30 April 1777 in Brunswick, Duchy of Brunswick (now Germany)Died: 23 Feb 1855 in Gttingen, Hanover (now Germany)Carl Friedrich GaussGaussGauss人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进。
