1、2022年6月6日振动力学22022年6月6日中国力学学会学术大会200522022年6月6日22022年6月6日振动力学3kcm m建模方法建模方法1 1：将车、人等全部作为一个质量考虑，并考虑弹性和阻尼将车、人等全部作为一个质量考虑，并考虑弹性和阻尼要求：对轿车的上下振动进行动力学建模要求：对轿车的上下振动进行动力学建模例子：轿车行驶在路面上会产生上下振动例子：轿车行驶在路面上会产生上下振动缺点：模型粗糙，没有考虑人与车、车与车轮、车轮与地面之缺点：模型粗糙，没有考虑人与车、车与车轮、车轮与地面之间的相互影响间的相互影响优点：模型简单优点：模型简单分析：人与车、车与车轮、车轮与地面之间的运
2、动存在耦合分析：人与车、车与车轮、车轮与地面之间的运动存在耦合多自由度系统振动多自由度系统振动2022年6月6日振动力学4k2c2m m车车m m人人k1c1建模方法建模方法2 2：车、人的质量分别考虑，并考虑各自的车、人的质量分别考虑，并考虑各自的弹性和阻尼弹性和阻尼优点：模型较为精确，考虑了人与车之间的耦合优点：模型较为精确，考虑了人与车之间的耦合缺点：没有考虑车与车轮、车轮与地面之间的相互影响缺点：没有考虑车与车轮、车轮与地面之间的相互影响多自由度系统振动多自由度系统振动2022年6月6日振动力学5m m人人k1c1k2c2m mk3c3k2c2k3c3m m车车m m轮轮m m轮轮建模
3、方法建模方法3 3：车、人、车轮的质量分别考虑，车、人、车轮的质量分别考虑，并考虑各自的弹性和阻尼并考虑各自的弹性和阻尼优点：分别考虑了人与车、车与优点：分别考虑了人与车、车与车轮、车轮与地面之间的车轮、车轮与地面之间的相互耦合，模型较为精确相互耦合，模型较为精确问题：如何描述各个质量之间的相互耦合效应？问题：如何描述各个质量之间的相互耦合效应？多自由度系统振动多自由度系统振动多自由度系统的振动多自由度系统的振动 用用N N个独立坐标可以完全描述其在空间位置的系统，称个独立坐标可以完全描述其在空间位置的系统，称为为N N自由度系统，自由度系统， N2N2时的系统称为时的系统称为多自由度系统多自
4、由度系统。 多自由度系统和单自由度系统的振动固有性质区别多自由度系统和单自由度系统的振动固有性质区别： 1 1）单自由度系统受初始扰动，系统按固有频率作简谐）单自由度系统受初始扰动，系统按固有频率作简谐运动；运动；2 2）多自由度系统有多个固有频率；）多自由度系统有多个固有频率； 多自由度系统按某一固有频率所作自由振动，称为多自由度系统按某一固有频率所作自由振动，称为主振主振动动，是一种简谐运动，多自由度系统有多个主振动。系统作，是一种简谐运动，多自由度系统有多个主振动。系统作某个主振动时，任何瞬时各点位移间具有一定的相对比值，某个主振动时，任何瞬时各点位移间具有一定的相对比值，即系统具有确定
5、的即系统具有确定的振动形态振动形态，称为，称为主振型（主振型（也称也称主模态）主模态）。主振型是多自由度系统以及弹性体振动的重要特征。主振型是多自由度系统以及弹性体振动的重要特征。2022年6月6日振动力学7多自由度系统的振动多自由度系统的振动2022年6月6日振动力学72022年6月6日振动力学8多自由度系统的振动多自由度系统的振动2022年6月6日振动力学82022年6月6日振动力学9多自由度系统的振动多自由度系统的振动/ /两自由度系统的振动两自由度系统的振动两自由度系统两自由度系统：用两个独立坐标可以完全描述其在空间位置：用两个独立坐标可以完全描述其在空间位置的系统。的系统。2022年
6、6月6日振动力学多自由度系统的振动多自由度系统的振动研究多自由度系统振动的目的：研究多自由度系统振动的目的：1 1）求系统的固有频率；）求系统的固有频率； 2 2）了解系统的主振型。）了解系统的主振型。2022年6月6日振动力学11 两自由度系统的振动方程两自由度系统的振动方程先看几个例子先看几个例子 例例1 1：双质量弹簧系统，两质量分别受到激振力：双质量弹簧系统，两质量分别受到激振力不计摩擦和其他形式的阻尼不计摩擦和其他形式的阻尼试建立系统的运动微分方程试建立系统的运动微分方程m1m2k3k1k2x1x2P1(t)P2(t)多自由度系统的振动多自由度系统的振动 / / 两自由度振动系统两自
7、由度振动系统/ /动力学方程动力学方程2022年6月6日振动力学12解：解：,1x2x21,mm的原点分别取在的原点分别取在 的静平衡位置的静平衡位置 建立坐标：建立坐标：设某一瞬时：设某一瞬时：21mm、1x2x上分别有位移上分别有位移21xx 、加速度加速度受力分析：受力分析：P1(t)k1x1k2(x1-x2)11xm m1P2(t)k2(x1-x2)22xm m2k3x2m1m2k3k1k2x1x2P1(t)P2(t)多自由度系统的振动多自由度系统的振动 / / 两自由度振动系统两自由度振动系统/ /动力学方程动力学方程2022年6月6日振动力学13建立方程：建立方程：1 11 121
8、2122212322()( )()( )m xk xkxxP tm xkxxk xP t矩阵形式：矩阵形式： )()(0021213222212121tPtPxxkkkkkkxxmm 力量纲力量纲坐标间的耦合项坐标间的耦合项 P1(t)k1x1k2(x1-x2)11xm m1P2(t)k2(x1-x2)22xm m2k3x2多自由度系统的振动多自由度系统的振动 / / 两自由度振动系统两自由度振动系统/ /动力学方程动力学方程2022年6月6日振动力学14例例2 2：转动运动：转动运动两圆盘两圆盘转动惯量转动惯量 21,II轴的三个段的扭转刚度轴的三个段的扭转刚度 321,kkk试建立系统的运
9、动微分方程试建立系统的运动微分方程 1k1I22I2k3k)(1tM)(2tM1)(),(21tMtM外力矩外力矩 多自由度系统的振动多自由度系统的振动 / / 两自由度振动系统两自由度振动系统/ /动力学方程动力学方程2022年6月6日振动力学15解：解：建立坐标：建立坐标：角位移角位移21,设某一瞬时：设某一瞬时：角加速度角加速度21, 受力分析：受力分析：1k1I22I2k3k)(1tM)(2tM111k11 I)(1tM)(212k22 I)(2tM32k)(122k多自由度系统的振动多自由度系统的振动 / / 两自由度振动系统两自由度振动系统/ /动力学方程动力学方程2022年6月6
10、日振动力学16建立方程：建立方程：11 11 121212222322()( )()( )IkkM tIkkMt矩阵形式：矩阵形式：)()(0021213222212121tMtMkkkkkkII 坐标间的耦合项坐标间的耦合项 11k11 I)(1tM)(212k22 I)(2tM32k)(122k多自由度系统的振动多自由度系统的振动 / / 两自由度振动系统两自由度振动系统/ /动力学方程动力学方程2022年6月6日振动力学17122111122322220( )0( )kkkmxxP tkkkmxxP t)()(0021213222212121tMtMkkkkkkII 两自由度系统的角振动
11、与直线振动在数学描述上相同两自由度系统的角振动与直线振动在数学描述上相同 如同在单自由度系统中做过的那样，在两自由度系统中如同在单自由度系统中做过的那样，在两自由度系统中也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)1k1I2I2k3k)(1tM)(2tM多自由度系统的振动多自由度系统的振动 / / 两自由度振动系统两自由度振动系统/ /动力学方程动力学方程2022年6月6日振动力学18小结：小结：122111122322220( )0( )kkkmxxP tkkkmxxP t)()(0021213222
12、212121tMtMkkkkkkII 可统一表示为：可统一表示为： )(tPXKXM 例例1 1：例例2 2：作用力方程作用力方程位移向量位移向量加速度向量加速度向量质量矩阵质量矩阵刚度矩阵刚度矩阵激励力向量激励力向量若系统有若系统有 n 个自由度，则各项皆为个自由度，则各项皆为 n 维维 多自由度系统的振动多自由度系统的振动 / / 两自由度振动系统两自由度振动系统/ /动力学方程动力学方程2022年6月6日振动力学192022年6月6日振动力学19 刚度矩阵和质量矩阵刚度矩阵和质量矩阵当当 M M、K K 确定后，系统动力方程可完全确定确定后，系统动力方程可完全确定M M、K K 该如何确
13、定？该如何确定？ )(tPKXXM 作用力方程：作用力方程：nRX先讨论先讨论 M M多自由度系统的振动多自由度系统的振动 / / 两自由度振动系统两自由度振动系统/ /动力学方程动力学方程2022年6月6日振动力学20njjjnnnjnnjnjnmmmmmmmmmmmmtPtPtPt211222111112100100.)()()()(P使系统只在第使系统只在第j个坐标上产生单位加速度，而在其他坐标上不产个坐标上产生单位加速度，而在其他坐标上不产生加速度所施加的一组外力，正是质量矩阵生加速度所施加的一组外力，正是质量矩阵M M的第的第j列列 结论：质量矩阵结论：质量矩阵M M中的元素中的元素
14、 是使系统仅在第是使系统仅在第j个坐标上产生个坐标上产生单位加速度而相应于第单位加速度而相应于第i个坐标上所需施加的力个坐标上所需施加的力ijm、ijmijk 又分别称为又分别称为质量影响系数质量影响系数和和刚度影响系数刚度影响系数。根据它们的。根据它们的物理意义可以直接写出矩阵物理意义可以直接写出矩阵 M M 和和 K K，从而建立作用力方程，这，从而建立作用力方程，这种方法称为种方法称为影响系数方法影响系数方法 。多自由度系统的振动多自由度系统的振动 / / 两自由度振动系统两自由度振动系统/ /动力学方程动力学方程2022年6月6日振动力学212022年6月6日振动力学21 影响系数法影
15、响系数法当当 M M、K K 确定后，系统动力方程可完全确定确定后，系统动力方程可完全确定M M、K K 该如何确定？该如何确定？ )(tPKXXM 作用力方程：作用力方程：nRX先讨论先讨论 K K加速度为零加速度为零0X )(tKPX 则：则：假设外力是以准静态方式施加于系统假设外力是以准静态方式施加于系统多自由度系统的振动多自由度系统的振动 / / 两自由度振动系统两自由度振动系统/ /动力学方程动力学方程2022年6月6日振动力学22njjjnnnjnnjnjnmmmmmmmmmmmmtPtPtPt211222111112100100.)()()()(P使系统只在第使系统只在第j个坐标
16、上产生单位加速度，而在其他坐标上不产个坐标上产生单位加速度，而在其他坐标上不产生加速度所施加的一组外力，正是质量矩阵生加速度所施加的一组外力，正是质量矩阵M M的第的第j列列 结论：质量矩阵结论：质量矩阵M M中的元素中的元素 是使系统仅在第是使系统仅在第j个坐标上产生个坐标上产生单位加速度而相应于第单位加速度而相应于第i个坐标上所需施加的力个坐标上所需施加的力ijm、ijmijk 又分别称为又分别称为质量影响系数质量影响系数和和刚度影响系数刚度影响系数。根据它们的。根据它们的物理意义可以直接写出矩阵物理意义可以直接写出矩阵 M M 和和 K K，从而建立作用力方程，这，从而建立作用力方程，这
17、种方法称为种方法称为影响系数方法影响系数方法 。多自由度系统的振动多自由度系统的振动 / / 两自由度振动系统两自由度振动系统/ /动力学方程动力学方程2022年6月6日振动力学23【例例3-33-3】用刚度影响系数法，建立图用刚度影响系数法，建立图3-63-6所示的两自由度系所示的两自由度系统的运动微分方程。统的运动微分方程。【解解】用力使质量块用力使质量块m m1 1从静平衡位置移动一单位位移，同时从静平衡位置移动一单位位移，同时用力制住用力制住 m m2 2不动。这时对不动。这时对m m1 1沿沿x x1 1正方向施加的是弹簧正方向施加的是弹簧k k1 1和和k k2 2的弹力之和。因位
18、移为的弹力之和。因位移为1 1，因此弹力之和为，因此弹力之和为k k1 1+k+k2 2，即，即k k1111=k=k1 1+k+k2 2，这时在质量块，这时在质量块m m2 2上施加的力的大小等于上施加的力的大小等于k k2 2，方向，方向与与x x1 1位移的方向相反，即位移的方向相反，即k k2121=-k=-k2 2。多自由度系统的振动多自由度系统的振动 / / 两自由度振动系统两自由度振动系统/ /动力学方程动力学方程2022年6月6日振动力学再用力使质量块再用力使质量块m m2 2离开静平衡位置单位位移，同时用力控制离开静平衡位置单位位移，同时用力控制住住m m1 1不动，得不动，
19、得k k2222=k=k2 2+k+k3 3，k k1212=-k=-k2 2。 将所得刚度影响系数代入将所得刚度影响系数代入, ,有有整理得整理得111 111 22222 112 22mxkxkxmxkxkx1112122222123200m xkk xk xm xk xkk x多自由度系统的振动多自由度系统的振动 / / 两自由度振动系统两自由度振动系统/ /动力学方程动力学方程振动力学25上式即式上式即式(3.1)(3.1)。此式可用矩阵形式表示。此式可用矩阵形式表示或或式中式中 , , 分别是系统位移、加速度列阵，分别是系统位移、加速度列阵，M M、K K分别是系分别是系统的质量矩阵
20、和刚度矩阵。统的质量矩阵和刚度矩阵。 从刚度矩阵可知，刚度影响系数从刚度矩阵可知，刚度影响系数k kijij 即为刚度矩阵即为刚度矩阵K K中中一个元素。一个元素。111221223222000 xxk kkmkk kmxxMxKx0 x、x多自由度系统的振动多自由度系统的振动 / / 两自由度振动系统两自由度振动系统/ /动力学方程动力学方程2022年6月6日振动力学2621,mm21,cc21,II例：双混合摆，两刚体质量例：双混合摆，两刚体质量质心质心绕通过自身质心的绕通过自身质心的 z 轴的转动惯量轴的转动惯量21、求：求：以微小转角以微小转角为坐标，写出在为坐标，写出在x-yx-y平
21、面内摆动的作用力方程平面内摆动的作用力方程 两刚体质量两刚体质量1Ih1C1C2h2lx xy y2I12多自由度系统的振动多自由度系统的振动 / / 两自由度振动系统两自由度振动系统/ /动力学方程动力学方程2022年6月6日振动力学27受力分析受力分析1Ih1C1C2h2lx xy y2I12111 hmgm1gm211 I22 I)(2212 hlm x xy y多自由度系统的振动多自由度系统的振动 / / 两自由度振动系统两自由度振动系统/ /动力学方程动力学方程2022年6月6日振动力学28解：解：先求质量影响系数先求质量影响系数 令令0121 ，222111212221111122
22、21)(lmhmImhllmhmImlhmm有：有：令令1021 ，2222222212222222)(lhmmhlhmImhmIm有：有：y y1Ih1C1C2h2lx x2I12111 hmgm1gm211 I22 I)(2212 hlm 多自由度系统的振动多自由度系统的振动 / / 两自由度振动系统两自由度振动系统/ /动力学方程动力学方程11hm1Ilm211 11m21m02 2I22hm01 12m22m12 2022年6月6日振动力学29令令0121 ，22211121222111112221)(lmhmImhllmhmImlhmm有：有：令令1021 ，222222221222
23、2222)(lhmmhlhmImhmIm有：有：22222222222111hmIlhmlhmlmhmIM质量矩阵：质量矩阵：多自由度系统的振动多自由度系统的振动 / / 两自由度振动系统两自由度振动系统/ /动力学方程动力学方程2022年6月6日振动力学30求刚度影响系数求刚度影响系数由于恢复力是重力，所以实际上是求重力影响系数由于恢复力是重力，所以实际上是求重力影响系数 令令0121，021kglmghmk21111有：有：令令1021，2222ghmk0222212kghmk有：有：y y1Ih1C1C2h2lx x2I12111 hmgm1gm211 I22 I)(2212 hlm 多
24、自由度系统的振动多自由度系统的振动 / / 两自由度振动系统两自由度振动系统/ /动力学方程动力学方程gm211 11k21kgm102 01 12k22kgm2gm112 2022年6月6日振动力学31令令0121，021kglmghmk21111有：有：令令1021，2222ghmk0222212kghmk有：有：刚度矩阵：刚度矩阵：2221100)(ghmglmhmK多自由度系统的振动多自由度系统的振动 / / 两自由度振动系统两自由度振动系统/ /动力学方程动力学方程2022年6月6日振动力学322221100)(ghmglmhmK22222222222111hmIlhmlhmlmhm
25、IM000)(21222112122222222222111ghmglmhmhmIlhmlhmlmhmI 运动微分方程：运动微分方程：y y1Ih1C1C2h2lx x2I12多自由度系统的振动多自由度系统的振动 / / 两自由度振动系统两自由度振动系统/ /动力学方程动力学方程2022年6月6日振动力学33例：例：21、求：求：以微小转角以微小转角为坐标，写出微摆动的运动学方程为坐标，写出微摆动的运动学方程 每杆质量每杆质量 m杆长度杆长度 l水平弹簧刚度水平弹簧刚度 k弹簧距离固定端弹簧距离固定端 a12kaO1O2多自由度系统的振动多自由度系统的振动 / / 两自由度振动系统两自由度振动
26、系统/ /动力学方程动力学方程2022年6月6日振动力学34解：解：令：令：则需要在两杆上施加力矩则需要在两杆上施加力矩110211k21k分别对两杆分别对两杆 O1、O2 求矩：求矩：21121kamglk221kak令：令：则需要在两杆上施加力矩则需要在两杆上施加力矩011212k22k分别对两杆分别对两杆 O1、O2 求矩：求矩：22221kamglk212kak 0112aO1O2mgmg1 ka12k22k1102aO1O2mgmg1 ka11k21k多自由度系统的振动多自由度系统的振动 / / 两自由度振动系统两自由度振动系统/ /动力学方程动力学方程2022年6月6日振动力学35
27、21121kamglk221kak刚度矩阵：刚度矩阵：22221kamglk212kak 22222121kamglkakakamglK1102aO1O2mgmg1 ka11k21k0112aO1O2mgmg1 ka21k22k多自由度系统的振动多自由度系统的振动 / / 两自由度振动系统两自由度振动系统/ /动力学方程动力学方程2022年6月6日振动力学36令：令：则需要在两杆上施加力矩则需要在两杆上施加力矩11 02 11m2111131mlIm 021m令：令：则需要在两杆上施加力矩则需要在两杆上施加力矩12m22m2222231mlIm 012 m01 12 质量矩阵：质量矩阵：223
28、10031mlmlM21m11 02 aO1O2mgmg11m21mk01 12 aO1O2mgmg12m22mk多自由度系统的振动多自由度系统的振动 / / 两自由度振动系统两自由度振动系统/ /动力学方程动力学方程2022年6月6日振动力学3722222121kamglkakakamglK运动学方程：运动学方程：22310031mlmlM0021213100312122222122kamglkakakamglmlml 12kaO1O2多自由度系统的振动多自由度系统的振动 / / 两自由度振动系统两自由度振动系统/ /动力学方程动力学方程2022年6月6日振动力学38例：两自由度系统例：两自
29、由度系统摆长摆长 l，无质量，微摆动，无质量，微摆动求：运动微分方程求：运动微分方程xm m1 1k12mk2多自由度系统的振动多自由度系统的振动 / / 两自由度振动系统两自由度振动系统/ /动力学方程动力学方程2022年6月6日振动力学39解：解：先求解刚度矩阵先求解刚度矩阵令：令：01x2121111)(kkkkk021k令：令：10 x00)(2112kkkglmlgmk2222sin m m1 1k10gm2k21x11k21km m1 1k11gm2k20 x12k22k多自由度系统的振动多自由度系统的振动 / / 两自由度振动系统两自由度振动系统/ /动力学方程动力学方程2022
30、年6月6日振动力学402121111)(kkkkk021k00)(2112kkkglmlgmk2222sin刚度矩阵：刚度矩阵：glmkk22100K多自由度系统的振动多自由度系统的振动 / / 两自由度振动系统两自由度振动系统/ /动力学方程动力学方程2022年6月6日振动力学41求解质量矩阵求解质量矩阵令：令：0 1x 212111)(mmxmmm lmlxmm2221)( 令：令：1 0 x lmlmm2212 222222lmlmIm m m1 1k10 gm2k21x 11m21mxm 2惯性力惯性力m m1 1k11 gm2k20 x 12m22m Ilm 2惯性力惯性力多自由度系
31、统的振动多自由度系统的振动 / / 两自由度振动系统两自由度振动系统/ /动力学方程动力学方程2022年6月6日振动力学42212111)(mmxmmm lmlxmm2221)( lmm212222222lmlmIm 质量矩阵：质量矩阵：222221lmlmlmmmMxm m1 1k12mk2刚度矩阵：刚度矩阵：glmkk22100K运动微分方程：运动微分方程：0000221222221xglmkkxlmlmlmmm 多自由度系统的振动多自由度系统的振动 / / 两自由度振动系统两自由度振动系统/ /动力学方程动力学方程2022年6月6日振动力学43 位移方程和柔度矩阵位移方程和柔度矩阵对于静
32、定结构，有时通过对于静定结构，有时通过柔度矩阵柔度矩阵建立建立位移方程位移方程比通过比通过刚度矩阵刚度矩阵建立建立作用力方程作用力方程来得更方便些。来得更方便些。 柔度柔度定义为弹性体在单位力作用下产生的变形定义为弹性体在单位力作用下产生的变形物理意义及量纲与刚度恰好相反物理意义及量纲与刚度恰好相反 以一个例子说明位移方程的建立以一个例子说明位移方程的建立 x1m1x2m2P1P2无质量弹性梁，有若干集中质量无质量弹性梁，有若干集中质量（质量连续分布的弹性梁的简化（质量连续分布的弹性梁的简化 ）假设假设21PP、是常力是常力 以准静态方式作用在梁上以准静态方式作用在梁上 梁只产生位移（即挠度）
33、，不产生加速度梁只产生位移（即挠度），不产生加速度 21mm、21xx、取质量取质量的静平衡位置为坐标的静平衡位置为坐标的原点的原点 多自由度系统的振动多自由度系统的振动 / / 两自由度振动系统两自由度振动系统/ /动力学方程动力学方程2022年6月6日振动力学44111fx m1 位移：位移：212fx m2 位移：位移：0121 PP、时时（1 1）1021 PP、时时（2 2）121fx m1 位移：位移：222fx m2 位移：位移：21PP、 同时作用同时作用（3 3）2121111PfPfx m1 位移：位移：2221212PfPfx m2 位移：位移：f11f21P1=1f12
34、f22P2=1x1m1x2m2P1P2多自由度系统的振动多自由度系统的振动 / / 两自由度振动系统两自由度振动系统/ /动力学方程动力学方程2022年6月6日振动力学4521PP、 同时作用时：同时作用时：2121111PfPfx 2221212PfPfx 矩阵形式：矩阵形式：FPX 21xxX 22211211ffffF 21PPP其中：其中：柔度矩阵柔度矩阵物理意义：物理意义：系统仅在第系统仅在第 j 个坐标受到个坐标受到单位力作用时相应于第单位力作用时相应于第 i i 个坐标上产生的位移个坐标上产生的位移 ijf柔度影响系数柔度影响系数 f11f21P1=1f12f22P2=1x1m1
35、x2m2P1P2多自由度系统的振动多自由度系统的振动 / / 两自由度振动系统两自由度振动系统/ /动力学方程动力学方程2022年6月6日振动力学46FPX 21xxX 22211211ffffF 21PPP21PP、当当 是动载荷时是动载荷时集中质量上有惯性力存在集中质量上有惯性力存在 2221112221121121)()(xmtPxmtPffffxx 212121222112112100)()(xxmmtPtPffffxx )(XMPFX 位移方程位移方程x1m1x2m2P1P211xm 22xm m1m2P1(t)P2(t)多自由度系统的振动多自由度系统的振动 / / 两自由度振动系统
36、两自由度振动系统/ /动力学方程动力学方程2022年6月6日振动力学47)(XMPFX 位移方程：位移方程：FPXXFM 又可：又可：作用力方程：作用力方程： PKXXM XMPKX )(1XMPKX 若若K K非奇异非奇异柔度矩阵与刚度矩阵的关系：柔度矩阵与刚度矩阵的关系：1 KFIFK 或：或：多自由度系统的振动多自由度系统的振动 / / 两自由度振动系统两自由度振动系统/ /动力学方程动力学方程2022年6月6日振动力学48对于允许刚体运动产生的系统（即具有刚体自由度的系统），对于允许刚体运动产生的系统（即具有刚体自由度的系统），柔度矩阵不存在柔度矩阵不存在应当注意：应当注意：1I2Ik
37、m1m2k1k2m3原因：原因：在任意一个坐标上施加单位力，系统将产生刚体运动在任意一个坐标上施加单位力，系统将产生刚体运动而无法计算各个坐标上的位移而无法计算各个坐标上的位移刚度矩阵刚度矩阵 K K 奇异奇异多自由度系统的振动多自由度系统的振动 / / 两自由度振动系统两自由度振动系统/ /动力学方程动力学方程2022年6月6日振动力学49例：例： 求图示两自由度简支梁横向振动的位移方程求图示两自由度简支梁横向振动的位移方程 已知梁的抗弯刚度矩阵为已知梁的抗弯刚度矩阵为EJx1x2l/3l/3l/3m1m2P1(t)P2(t)多自由度系统的振动多自由度系统的振动 / / 两自由度振动系统两自
38、由度振动系统/ /动力学方程动力学方程2022年6月6日振动力学50由材料力学知，由材料力学知， 当当B B点作用有单位力时，点作用有单位力时，A A点的挠度为：点的挠度为： )(6222balEJlabfAB柔度影响系数：柔度影响系数：fff82211fff71221EJlf4863 ffff8778F21212121008778xxmmPPffffxx 柔度矩阵：柔度矩阵：位移方程：位移方程：x1x2l/3l/3l/3m1m2P1(t)P2(t)labABP=1多自由度系统的振动多自由度系统的振动 / / 两自由度振动系统两自由度振动系统/ /动力学方程动力学方程2022年6月6日振动力学
39、51 质量矩阵和刚度矩阵的正定性质质量矩阵和刚度矩阵的正定性质n 阶方阵阶方阵 A A 正定正定并且等号仅在并且等号仅在0y 时才成立时才成立 0AyyT是指对于任意的是指对于任意的 n 维列向量维列向量 y y，总有，总有 成立成立如果如果0y 时，等号也成立，那么称矩阵时，等号也成立，那么称矩阵 A A 是是半正定半正定的的 根据分析力学的结论，对于定常约束系统：根据分析力学的结论，对于定常约束系统： 动能：动能：XMXTT21 KXXTV21 势能：势能：多自由度系统的振动多自由度系统的振动 / / 两自由度振动系统两自由度振动系统/ /动力学方程动力学方程2022年6月6日振动力学52
40、 质量矩阵和刚度矩阵的正定性质质量矩阵和刚度矩阵的正定性质n 阶方阵阶方阵 A A 正定正定并且等号仅在并且等号仅在0y 时才成立时才成立 0AyyT是指对于任意的是指对于任意的 n 维列向量维列向量 y y，总有，总有 成立成立如果如果0y 时，等号也成立，那么称矩阵时，等号也成立，那么称矩阵 A A 是是半正定半正定的的 动能：动能：XMXTT21 0T)1(0nixi 除非除非所以，所以，M正定正定0M即：即：多自由度系统的振动多自由度系统的振动 / / 两自由度振动系统两自由度振动系统/ /动力学方程动力学方程2022年6月6日振动力学53 质量矩阵和刚度矩阵的正定性质质量矩阵和刚度矩
41、阵的正定性质n 阶方阵阶方阵 A A 正定正定并且等号仅在并且等号仅在0y 时才成立时才成立 0AyyT是指对于任意的是指对于任意的 n 维列向量维列向量 y y，总有，总有 成立成立如果如果0y 时，等号也成立，那么称矩阵时，等号也成立，那么称矩阵 A A 是是半正定半正定的的 KXXTV21 势能：势能：对于仅具有稳定平衡位置的系统，势能在平衡位置上取极小值对于仅具有稳定平衡位置的系统，势能在平衡位置上取极小值 V 0 当各个位移当各个位移)1(nixi不全为零时，不全为零时， K K 正定正定K K 0对于具有随遇平衡位置的系统，存在刚体位移对于具有随遇平衡位置的系统，存在刚体位移对于不
42、全为零的位移对于不全为零的位移 存在存在 V 0 )1(nixiK K 半正定半正定0K多自由度系统的振动多自由度系统的振动 / / 两自由度振动系统两自由度振动系统/ /动力学方程动力学方程2022年6月6日振动力学54振动问题中主要讨论振动问题中主要讨论 K K 阵正定的系统及阵正定的系统及 K K 阵半正阵半正定的系统，前者称为定的系统，前者称为正定振动系统正定振动系统，后者称为，后者称为半正半正定振动系统定振动系统 多自由度系统的振动多自由度系统的振动 / / 两自由度振动系统两自由度振动系统/ /动力学方程动力学方程2022年6月6日振动力学552022年6月6日振动力学55多自由度
43、系统的振动多自由度系统的振动/ /两自由度系统的振动两自由度系统的振动2022年6月6日振动力学552022年6月6日振动力学56无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动 图图3-2 3-2 示是一两自由度无阻尼系统的力学模型。示是一两自由度无阻尼系统的力学模型。若若x x1 1和和x x2 2分别为分别为m m1 1和和m m2 2的位移，的位移，k k1 1、 k k2 2 、k k3 3 分别是连接弹分别是连接弹簧刚度，则系统的运动方程为簧刚度，则系统的运动方程为11212122321(3.1)212xm xk xxkm xk xkxx 多自由度系统的振动多自由度系统的振动/ /两自由度
44、振动系统两自由度振动系统/ /无阻尼自由振动无阻尼自由振动2022年6月6日振动力学57或或其矩阵形式为其矩阵形式为 设系统每个质量作同一频率的谐振动且同时通过平衡位设系统每个质量作同一频率的谐振动且同时通过平衡位置置, ,则则式中振幅式中振幅A A1 1、A A2 2 ， 频率频率和相位角和相位角为待定常数。为待定常数。 式（式（3.43.4）代入（）代入（3.23.2），有），有111212222212320(3.2)0mxk k x k xm xk xkk x122111223222 00(3.3)0 0 k kkmxxkk kmxx 11112222sin()sin()(3.4)sin
45、()xAtxAtxAxAt或多自由度系统的振动多自由度系统的振动/ /两自由度振动系统两自由度振动系统/ /无阻尼自由振动无阻尼自由振动2022年6月6日振动力学于是式（于是式（3.53.5）可简写为）可简写为上述方程中上述方程中A A1 1，A A2 2要有非零解，其充分必要条件为要有非零解，其充分必要条件为展开后得展开后得22112122111222222223212232()00()(3.5)0()()0mkkAk AAmkkkAkmkkk AmkkA 或2312221122,kkkkkkabcdmmmm2212122212()00(3.6)0()0aAbAAabAcdcAdA 或222
46、a b0 c d242adad bc0(3.7)多自由度系统的振动多自由度系统的振动/ /两自由度振动系统两自由度振动系统/ /无阻尼自由振动无阻尼自由振动2022年6月6日振动力学上式称为系统的上式称为系统的频率方程或特征方程频率方程或特征方程。显然，方程有两个特。显然，方程有两个特征根，即征根，即 1 12 2和和 2 22 2是两个正实根，它们反映系统本身的物理性质（是两个正实根，它们反映系统本身的物理性质（质量和弹簧刚度），称为振动系统的质量和弹簧刚度），称为振动系统的固有频率固有频率。较低的一个。较低的一个称为称为一阶固有频率一阶固有频率，简称，简称基频基频；较高的一个称为；较高的一
47、个称为二阶固有颇二阶固有颇率率。221,22()()22 ()22adadadbcadadbc多自由度系统的振动多自由度系统的振动/ /两自由度振动系统两自由度振动系统/ /无阻尼自由振动无阻尼自由振动2022年6月6日振动力学分别将分别将1 12 2 与与2 22 2代回方程（代回方程（3.63.6）。由于方程（）。由于方程（3.63.6）的系数）的系数行列式为零，方程中的两式彼此不独立。由方程（行列式为零，方程中的两式彼此不独立。由方程（3.63.6）不能）不能求得振幅求得振幅A A1 1与与A A2 2的具体数值。但可将特征值的具体数值。但可将特征值1 12 2 与与2 22 2 分别分
48、别代回方程代回方程(3.6)(3.6)中任一式，可求得对应于每一固有频率的中任一式，可求得对应于每一固有频率的振幅振幅比比, ,以以 1 1和和 2 2表示，即表示，即 可见，虽然振幅的大小与初始条件有关可见，虽然振幅的大小与初始条件有关, ,但系统按任一但系统按任一 122112111222222221a c bd(3.8)acbdAAAA多自由度系统的振动多自由度系统的振动/ /两自由度振动系统两自由度振动系统/ /无阻尼自由振动无阻尼自由振动2022年6月6日振动力学固有频率振动时，其固有频率振动时，其振幅比和固有频率一样只决定于系统本振幅比和固有频率一样只决定于系统本身的物理性质身的物
49、理性质，同时两个质量，同时两个质量任一瞬时的位移比值任一瞬时的位移比值x x2 2/x/x1 1也是也是确定的，等于振幅比确定的，等于振幅比。 振幅比决定了整个系统振动形态，该振动形态对应的图振幅比决定了整个系统振动形态，该振动形态对应的图形称为形称为主振型主振型( (模态），模态）， 称为称为第第i i阶振型列阵阶振型列阵。与。与1 1对应的振幅比对应的振幅比1 1，对应的主振型称为对应的主振型称为一阶主振型（主模态）一阶主振型（主模态），与，与2 2对应的振幅比对应的振幅比2 2，对应的主振型称为，对应的主振型称为二阶主振型二阶主振型。将。将 1 1与与 2 2代入（代入（3.83.8），
50、得），得21221()b c0b22(3 .9 )1-()b c0b22adadadad( )( )1( )11iiiAAA多自由度系统的振动多自由度系统的振动/ /两自由度振动系统两自由度振动系统/ /无阻尼自由振动无阻尼自由振动2022年6月6日振动力学 可见，当系统以频率可见，当系统以频率 1 1振动时，质量块振动时，质量块m m1 1、m m2 2总是按同总是按同一方向运动，而当系统以频率一方向运动，而当系统以频率2 2 振动时振动时, ,则两质量按相反的则两质量按相反的方向运动。方向运动。 系统以某一阶固有频率按其相应的主振型振动，称为系系统以某一阶固有频率按其相应的主振型振动，称为
