1、高 三 数 学 试 题第 1 页（共 4 页）绝密绝密启用前启用前邯郸市2022届高三模拟考试数学试题注意事项注意事项: :1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号等信息填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。一、单项选择题一、单项选择题:本题共本题共8小题，每小题小题，每小题5分，共分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1若复数13zi ，则2zA1322iB1322iC1
2、322iD1322i2设集合 | 12 ,AxxxN ， |3Bx yx，则AB A1,2B0,1C0,1,2D0,1,2,33已知圆221:25C xy和圆2222:(3)Cxya，则“2a ”是“圆1C与圆2C内切”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4位于丛台公园内的武灵丛台已经成为邯郸这座三千年古城的地标建筑，丛台上层建有据胜亭，其顶部结构的一个侧面中，自上而下第一层有 2 块筒瓦，以下每一层均比上一层多 2 块筒瓦，如果侧面共有 11 层筒瓦且顶部 4 个侧面结构完全相同，顶部结构共有多少块筒瓦？A440B484C528D5725已知正三棱柱111A
3、BCABC，各棱长均为 2，且点P为棱1CC上一动点，则下列结论正确的是A 该正三棱柱既有外接球，又有内切球B 四棱锥11PABB A的体积是83C 直线1AB与直线BP恒不垂直D 直线BP与平面11ABB A所成角最大为3高 三 数 学 试 题第 2 页（共 4 页）6已知1F、2F是双曲线22214xyb(0)b 的左、右焦点，点P为双曲线右支上一点，且P在以12FF为直径的圆上，若12|12PF PF ，则2tanPOFA34B43C35D457已知函数( )lnln(2)sinf xxxx，则下列结论正确的是A( )f x的图象关于直线x 对称B( )f x的图象关于点对称C( )f
4、x有2个零点D()fx是偶函数8如图，在平面直角坐标系xOy中，将三角板ABC的端点A、C分别放在x轴和y轴的正半轴上运动，点B在第一象限，且260ACBABC ，若2BC ，则点O与点B之间的距离A最大值为2B最大值为3 22C最大值为1132D最大值为7132二、多项选择题：二、多项选择题：本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得有多项符合题目要求，全部选对得 5 分，部分选对得分，部分选对得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分9我国小麦育种技术和水平已经达到国际先进水平，研
5、究发现某品种小麦麦穗长度Xcm 近似服从正态分布2(11.24,1.13 )N从该品种小麦中任取 100 株，估计其麦穗长度，则下列说法正确的是A 100 株小麦麦穗长度的均值约为 11.24 cmB 100 株小麦中约有 2 株小麦的麦穗长度大于 13.5 cmC 100 株小麦中没有麦穗长度大于 14.63 cm 的小麦D 若随机变量Y表示 100 株小麦中麦穗长度大于 13.5 cm 的株数，则Y近似服从二项分布(100,0.0455)B附：(22 )0.9545PX，(33 )0.9973PX10已知函数( )2cos 216f xx，则下列结论正确的是A( )f x在75,126上单
6、调递增B( )f x图象关于点,06对称C若1()3f x，2()1f x ，则12min|2xxD若12( )()1f xf x且12xx，则12min|4xx11已知直线: l yxm与椭圆:C22162xy，则下列结论正确的是A若C与l至少有一个公共点，则2 2mB若C与l有且仅有两个公共点，则| 2 2m 高 三 数 学 试 题第 3 页（共 4 页）C若3 2m ，则C上到l的距离为5的点只有 1 个D若2m ，则C上到l的距离为1的点只有 3 个12已知函数2( )x af xex(0)a有两个极值点1x和2x，且12xx，则下列结论正确的是A101xB2101xx eC10( )
7、1f xD(1ln2,)a三、填空题三、填空题: 本题共本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，其中分，其中 16 题第一空题第一空 2 分，第二空分，第二空 3 分，共分，共 20 分分13已知a、b是不共线的两个单位向量，若2|ab|=|b|，则a与b的夹角为；14请写出一个函数表达式满足下列 3 个条件：最小正周期T ；在,4 4 上单调递减；奇函数15同时抛掷两枚质地均匀的骰子两次，记事件A“两枚骰子朝上的点数之积均为偶数”，事件B “两枚骰子朝上的点数之和均为奇数”，则(|)P B A ；16如图所示，A是平面内一定点，B是平面外一定点，直线AB与平面所成角为45设平面内的动点
8、C到A点、B点距离分别为1d、2d12(,0)d d ，且12dmd若点C的轨迹是一条直线，m ；若点C的轨迹是圆，则m的取值范围是四四、解答题解答题：本题共本题共 6 小题小题，第第 17 题题 10 分分，第第 1822 题每题题每题 12 分分，共共 70 分分解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过证明过程或演算步骤程或演算步骤17已知数列na的前n项和为nS，满足11a ，且12nnSna（1）求数列na的通项公式；（2）求数列1nS的前n项和nT18为了使更多人参与到冰雪运动中，某校组织了一次简易冰壶比赛每场比赛由两支队伍对抗进行，每队由 2名成员组成，共进行 3 局每局比赛时
9、，两队成员交替发球，每名成员只能从发球区（MN左侧）掷冰壶一次当所有成员全部掷完冰壶后，开始计分若冰壶未到达营垒区，计1分；若冰壶能准确到达营垒区，计 2 分，整场比赛累计得分多者获得比赛胜利已知A队两名成员甲、乙每次将冰壶投掷到营垒区的概率分别为12和13，B队两名成员丙、丁每次将冰壶投掷到营垒区的概率均为12假设两队投掷的冰壶在运动过高 三 数 学 试 题第 4 页（共 4 页）程中无碰撞，每名成员投掷冰壶相互独立，每局比赛互不影响（1）求A队每局得分X的分布列及期望；（2）若第一局比赛结束后，A队得1分，B队得4分，求A队最终获得本场比赛胜利且总积分比B队高3分的概率19已知ABC的内角
10、ABC、 、所对的边分别为abc、 、，且sincos2ABcBb（1）若6a，3cb，求b；（2）若点D在线段BC上，且2CDBD，1AD ，求ab的最大值20如图，四棱锥EABCD，3ABAD，1CDCB，2AC ，平面EAC 平面ABCD，平面ABE 平面CDEl（1）若点M为线段AE中点，求证：BMl；（2）若60ACE，1CE ，求直线BC与平面ADE所成角的正弦值21平面直角坐标系中，点P在 y 轴右侧，且到点(1,0)F的距离与其到 y 轴距离之差为 1（1）求点P轨迹C的方程；（2）过点F的直线l与C交于 A、B 两点，Q是 y 轴上一点若ABQ是正三角形，求直线 l 的斜率2
11、2设函数3( )ln1f xxx（1）求曲线( )yf x在(0,0)处的切线方程；（2）证明：当nN且2n时，3121ln(1)827nnn高 三 数 学 参 考 答 案第 1 页 （共 11 页）邯郸市邯郸市20222022届高三模拟考试届高三模拟考试数学试题参考答案一、单项选择题一、单项选择题:本题共本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分1 【解析】22(13 )2(13 )1313422213(13 )(13 )iiiiiii2 【解析】0,1,2A ， |3Bx x，则0,1,2ABA，故选 C3 【解析】若圆1C与圆2C内切，则圆心距12| | 5|CC
12、a，即| 5| 3a ，得8a 或2，因此2a 是圆1C与圆2C内切的充分不必要条件4 【解析】一个侧面中，第一层筒瓦数记为 2，自上而下，由于下面每一层比上一层多 2 块筒瓦，因此，每层筒瓦数构成等差数列 na，其中12a ，2d 因为一个侧面中共有 11 层筒瓦，所以一个侧面筒瓦总数是11 (11 1)11 221322所以顶层四个侧面筒瓦数总和为1324528故选 C5 【解析】如图所示，设11ABABO，取AB、11AB的中点分别为E、F，连接EF、1C F过点P作PHEF交EF于点H，连接BH显然1C F 平面11ABB A，又1PHC F，故PH 平面11ABB A即PBH为直线B
13、P与平面11ABB A所成角又因为13PHC F，22 2BP所以363sin,42PHPBHBPBP因此当3sin2PBH时，有PBH的最大值3，选项 D 正确；由于ABC内切圆半径为313，所以该正三棱柱有外接球，无内切球，选项 A 不正确；显然1CC 平面11ABB A，因此点P到侧面11ABB A的高3hPH故棱锥11PABB A的体积为1 11 114 333P ABB AABB AVSh矩形83，选项 B 不正确；12345678BCACDABC高 三 数 学 参 考 答 案第 2 页 （共 11 页）当H位于O时，PO 平面11ABB A，即1ABPO又1AB1AB，故1AB 平
14、面POB，从而1ABBP，故选项 C 不正确；6 【解析】解法一：设1|PFm，2|PFn，则mn由双曲线定义知，4mn，又12mn ，故6m ，2n 由于P在以12FF为直径的圆上，所以12PFPF，故有121tan3PFF从而122122122tan3tantan21tan4PFFPOFPFFPFF解法二：同解法一，得到6m ，2n ，则12| 2 10FF ，从而得到双曲线方程为22146xy设000(,)(0)P x yy ，联立2200220014610 xyxy，解得0034yx，即0203tan4yPOFx因此，选项 A 正确7 【解析】显然，( )f x的定义域为(0,2 )，
15、()fx 的定义域为(, ) ，且()ln()ln() sin()ln()ln() sinfxxxxxxx，记( )()g xfx，则有()ln()ln() sin()ln()ln() sin( )gxxxxxxxg x，故()fx 是奇函数，选项 D 不正确又()ln()ln() sin()ln()ln() sin()fxxxxxxxfx故( )f x的图象关于点对称，选项 B 正确，选项 A 不正确；令( )0f x ，则有lnln(2) sin0 xxx，即lnln(2)0 xx或sin0 x ，解得(2)1xx或x，即221212 ,10 xx ，或x，故( )f x有 3 个零点，选
16、项 C 不正确8 【解析】解法一：依题意，90BAC，1CA ，3AB 设OAC，则0,2在Rt OAC中，有cosOA在OAB中，由余弦定理得，2222cos2OBOAABOA AB2cos32 3cos sin高 三 数 学 参 考 答 案第 3 页 （共 11 页）1cos23sin232173sin2cos222137713sin(2222，其中3tan6因此，2713142 13(113)1132442OB故选项 C 正确解法二：依题意，90BAC，1CA ，3AB 取AC中点为E，由于OAC为直角三角形，故1122OEAC由于ABC为直角三角形，故22132BEABAE显然，OBO
17、EBE，当且仅当OBE、 、三点共线时，等号成立因此，OB最大值为1132故选项 C 正确二、多项选择题：二、多项选择题：本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分9 【解析】由于小麦麦穗长度Xcm 近似服从正态分布2(11.24,1.13 )N，所以()11.24E X ，()1.13X故选项 A 正确；由于(9.9813.5)0.9545PX，故10.9545(13.5)0.022752P X，因此随机变量Y近似服从(100,0.02275)B，从而 100 株小麦中约有1000.022752株小麦的麦穗长度大于 135cm，因此选项 B 正确，选项 D
18、错误；由于(8.8514.63)0.9973PX，根据3原则，麦穗长度大于 1463cm是小概率事件，但是也有可能发生，因此选项 C 错误综上可知，AB 正确10 【解析】选项 A：令26tx，则2cos1yt，由于cosyt的增区间为2,22kk，kZ即22226kxk，kZ，故( )f x的增区间为713,1212kk，kZ取0k ，则( )f x在713,1212上单调递增，又因为75713,1261212，因此( )f x在75,126上单调递增，故选项 A 正确选项 B：由于cosyt的对称中心为,02kkZ，令262txk，则23kx，kZ，取1k ，则有6x ，因此( )f x图
19、象关于点,16对称，因此选项 B 错误9101112ABACBCDACD高 三 数 学 参 考 答 案第 4 页 （共 11 页）选项 C：若1( )3f x ，2()1f x，则( )f x在1xx和2xx处分别取最大值和最小值，因此12(21)| (21)22Tkxxk，kN，故12min|2xx，选项 C 正确选项 D：若12( )()1f xf x，则1x和2x是函数2cos 26yx的零点，故12|22Tkxxk，因此12min|2xx，选项 D 不正确11 【解析】联立22162yxmxy，消去y得2246360 xmxm，则判别式212(8)m 选项 A：令212(8)0m ，则
20、有|2 2m ，故选项 A 错误；选项 B：令212(8)0m ，则有| 2 2m ，故选项 B 正确；选项 C：如图所示，令直线l与椭圆C相切，则212(8)0m ，即2 2m，直线3 2yx与直线2 2yx的距离|3 2( 2 2)|52d ，因此选项 C 正确；选项 D：如图所示，直线2yx分别与直线2 2yx和直线yx的距离均为1，因此，C上到l的距离为 1 的点只有 3 个，选项 D 正确12 【解析】已知2( )x af xex，则( )2x afxex，令( )0fx，则2xaeex考虑函数( )xeg xx，则2(1)( )xexg xx，当(,0)x 时，( )0g x，即(
21、 )g x在(,0)上单调递减；当(0,1)x时，( )0g x，即( )g x在(0,1)上单调递减；当(1,)x时，( )0g x，即( )g x在(1,)上单调递增；故( )g x的图象大致如右图：依题意，若( )f x有两个极值点，则2aee，即1ln2a ，因此选项 D 正确；注意到(0)0afe，1ln2(1)220afee，因此，存在101x，有1( )0f x，故选项 A 正确；又112xaex，故122211111( )21 (1)xaf xexxxx ，因为101x，所以10( )1f x，故选项 C 正确；高 三 数 学 参 考 答 案第 5 页 （共 11 页）因为12
22、( )0()0fxfx，即121222xaxaexex，故1212xxxeex，即2112xxxex e由于101x，21x ，所以121xx e ，从而211xxe，故选项 B 错误三、填空题三、填空题: 本题共本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，其中分，其中 16 题第一空题第一空 2 分，第二空分，第二空 3 分，共分，共 20 分分13 【解析】由222|ab| =|b|得：0=a b，由于a与b是单位向量，所以ab14 【解析】根据三角函数的图像与性质，可以写出sin2yx ，tanyx 等函数表达式15 【解析】两枚质地均匀的骰子抛掷一次，样本空间所含全部的样本点个数为
23、36，事件 “两枚骰子朝上的点数之积为偶数”包含样本点 27 个，其中事件“两枚骰子朝上的点数之和为奇数”包含样本点 18 个，从而 27279363616P A ，1818136364P AB ，故 4(|)9P ABP B AP A16 【解析】如图所示，作点B在平面上的投影点E，连接AE和CE，显然BE 平面以E为坐标原点，EA ，EB 分别为x，z轴的正方向，作EyEA ，以Ey为y轴正方向，建立空间直角坐标系Exyz由于直线AB与平面所成角为45，所以BEAE设BEAEp（0p ） ，则( ,0,0)A p，(0,0, )Bp；设( , ,0)C x y，则221|()dACxpy，
24、2222|dBCxyp故2222222222212()(1)(1)2(1)0dmdxpymxypmxmypxmp（）显然，0m （1）当1m 时， （）式0 x ，即点C的轨迹为直线Ey（2）当1m 时， （）式2222201pxyxpm222222221(1)1(1)mppxymm若上式表示圆的方程，则221 (1)0m，解得202m又1m 且0m ，故01m且12m，即(0,1)(1, 2)m四四、解答题解答题：本题共本题共 6 小题小题，第第 17 题题 10 分分，第第 1822 题每题题每题 12 分分，共共 70 分分解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过证明过程或演算步骤程
25、或演算步骤131415162sin2yx 491(0,1)(1, 2)高 三 数 学 参 考 答 案第 6 页 （共 11 页）17. 【答案】 （1）nan； （2）21nnTn.【解析】 （1）法一：因为12nnSna，所以1221nnSna，两式相减得12121nnnanana.1 分即1221nnnana，即2121nnaanNnn. 2 分又2122aa，11a ，故21121naaan，4 分因此，数列nan是每项都是1的常数列，从而nan.5 分法二：因为12nnSna，所以1221nnSna，两式相减得12121nnnanana.1 分即1221nnnana，即2121nnan
26、nNan. 2 分又2122aa，11a ，所以121nnannan， 3 分故12112123111221nnnnnaaannaanaaann 2n，4 分又11a 符合上式，故nan，nN. 5 分（2）因为nan，所以12nn nS，7 分从而1211211nSn nnn9 分因此111111112212122334111nnTnnnn.10 分18. 【答案】 （1）X的分布列为：12E X ； （2）43576.【解析】 （1）X的所有可能取值为2，1，4.1212233P X ；12111123232P X ；1114236P X .3 分故X的分布列为X214P131216X-2
27、14P131216高 三 数 学 参 考 答 案第 7 页 （共 11 页）所以21413262E X .5 分（2）设B队每局得分为Y，同理可得Y的分布列为7 分记A队、B队在后两局总得分分别为x、y，则所包含的情况如下：8 分111111132,4(2)362244576P xy ，11111(5,1)22264224P xy ，1111116(8,2)(2)662244576P xy，11 分故A队最终获得本场比赛胜利且总积分比B队高 3 分的概率为13164357624576576. 12 分19. 【答案】 （1）6b ； （2）213.【解析】 （1）由正弦定理可知：sinsins
28、incos2ABCBB，又sin0B ，ABC 故sincos2CC.2 分所以2sincoscossin22222CCCC，3 分又sin02C，得1cos22C，4 分由于0,22C，所以23C，即23C.5 分由余弦定理可知，2222coscababC，即223366bbb，解得6b ，其中3b 舍去. 6 分（2）解法一：设0,3CAD，7 分由正弦定理可得：sinsinsinCDACADCDAC，即21232sin33sin32ab，高 三 数 学 参 考 答 案第 8 页 （共 11 页）故3sina，1sincos3b ，9 分从而221sincossin()33ab，其中33t
29、an,123，,6 4 .11 分当2时，有ab的最大值为213.12 分解法二：在ACD中，由余弦定理得，2222cosADbCDb CDC，即2242193baab，即229469baab.8 分令(0)tab t，从而2294()6()9btbtb b，整理得2272490btbt10 分依题意，上述关于b的方程有正实数解；因为函数227249( )gbtbtb的对称轴07tb 所以22447(49)0tt ，解得213t.所以ab的最大值为213，此时2 217a .2121b . 12 分20. 【答案】 （1）略； （2）77.【解析】 （1）如图所示，取AC中点F，连接MF、BF
30、.显然有，ABCADC ，且22222ACABBCADDC1 分故ABBC，ADDC所以60ACBACD2 分又因为F为AC中点，故BFC为正三角形，即60BFCACD ，即BFCD因为BF 平面CDE，CD 平面CDE所以BF平面CDE3 分在ACE中，MF为中位线，故MFEC，又MF 平面CDE，EC 平面CDE所以MF平面CDE4分又BFMFF，故 平面BMF平面CDE又BM 平面BMF，故BM平面CDE5 分又 平面ABE平面CDEl，BM 平面ABE高 三 数 学 参 考 答 案第 9 页 （共 11 页）故BMl6 分（2）过点E作EHAC交AC于点H，连接HB.因为 平面EAC平
31、面ABCD，平面EAC平面ABCDAC所以EH 平面ABCD7 分又因为60ACE，1CE ，2AC 所以AEC为直角三角形，且90AEC因此32EH ，32AH ，12CH 显然AECABC ，即BHAC，且32BHEH8 分如图所示，以H为坐标原点，HA 、HB 、HE分别为x、y、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Hxyz.则3,0,02A，30,02B，1,0,02C，30,02D，30,0,2E于是13,022CB ，33,022DA ，33,0,22EA 9 分设平面ADE的法向量为000(,)mx y z，则mDAmEA ，即00m DAm EA ，即00003302233022x
32、yxz，取01x ，则03y ，03z ，故(1,3, 3)m10 分因此17cos,7|7m CBm CBm CB 11 分设直线BC与平面ADE所成角为，则7sin|cos,|7m CB 因此直线BC与平面ADE所成角的正弦值为77. 12 分21. 【答案】 （1）240yx x； （2）22+ 15.【解析】 （1）设P点坐标为( , )x y，且0 x .由题意，2211xyx2 分整理得24 (0)yx x4 分（2）解法解法 1 1：如图所示，设(,)AAA xy，(,)BBB xy，且0AByy高 三 数 学 参 考 答 案第 10 页 （共 11 页）取AB中点M，作M在y轴
33、上的投影S，取(,)BAR xy则90QSMARB ,90SQMQMSSMABAR 故QSMABR ，因此32SMQMBRAB7 分而2ABxxSM,BABRyy，故1()3BAAByyxx设AB方程为1xmy，与抛物线240yx x联立得2440ymy，因此4AByym，4ABy y 且2()242ABABxxm yym10 分将上述式子带入式，得4248110mm所以21522m，斜率k为22+ 15. 12 分解法解法 2 2：由题意，设AB方程为1xmy，与抛物线24 (0)yx x联立得2440ymy， 5 分设11( ,)A x y，22(,)B x y，AB中点为00(,)M x
34、 y，则124yym，124y y 从而12020022121yyymxmym ，即2(21,2 )Mmm6 分设(0, )Qa，由于ABQ为正三角形所以QMAB且23ABQM7 分即1QMABkk，即2211210mamm ，即323amm8 分又22222222121214(1)(1616)16(1)ABmyyy ymmm22222232222(21)(2)(21)(2)(1)(21)QMmmammmmm9 分故2222216(1)4(21)3ABmmQM，即22212(1)(21)mm，即22212(1)2(1)1mm10 分高 三 数 学 参 考 答 案第 11 页 （共 11 页）即
35、2224(1)16(1)10mm ，解得22152m，从而斜率k为22+ 1512 分22. 【答案】 （1）yx； （2）略.【解析】 （1）显然，( 1,)x ，且 2131fxxx，故(0) 1f故切线方程为0(0)(0)yfx，即yx4 分（2）令32( )ln(1)g xxxx3232213213(1)( )32111xxxxxg xxxxxx6 分当0 x时，( )0g x，( )g x单调递增故( )(0)0g xg，即当0 x时，32ln(1)0 xxx8 分令1xn，得32111ln 10nnn即2311ln(1)lnnnnn9 分由此可得，23232311ln2ln1,1111ln3ln2,2211ln(1)lnnnnn将以上n个式子相加，得3121ln(1)827nnn，nN且2n.12 分
