1、数学试题 第?页?共?页?保密?启用前名校联盟山东省优质校 ? 届高三毕业班 ? 月模拟考数学试题? ?注意事项?本试卷共?页? ?小题?满分?分?考试用时?分钟?答卷前?考生务必将自己的学校?班级和姓名填在答题卡上?正确粘贴条形码?作答选择题时?用?铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑?非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上?不准使用铅笔和涂改液?考试结束后?考生上交答题卡?一?单项选择题?本题共?小题?每小题?分?共?分?在每小题给出的四个选项中?只有一项是符合题目要求的?设集合? ? ? ? ? ? ? ?槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?则? ? ? ?
2、? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?已知复数?满足? ? ? ? ? ? ? ? ?为虚数单位?则?的共轭复数? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?已知? ? ?是两条不同的直线? ? ? ?是两个不同的平面?则下列结论正确的为? ?若? ? ? ?则? ? ?若? ? ? ? ?则? ? ?若? ? ? ? ? ?则? ? ?若? ? ? ? ? ?则? ?学习强国? ? ? ?是以深入学习?宣传习近平新时代中国特色社会主义思想?立足全体党员?面向全社会的优质学习平台?为了解甲?乙两人的平台学习情况?统计了他们最近?天的学习积分?制成如图所示的茎
3、叶图?若中间一列的数字表示积分的十位数?两边的数字表示积分的个位数?则在这?天中?下列结论正确的为? ?甲?乙两人积分的极差相等? ?甲?乙两人积分的平均数不相等? ?甲?乙两人积分的中位数相等? ?甲积分的方差大于乙积分的方差?若函数? ? ? ? ? ? ? ? ?在区间?上单调递减?则?可以为? ? ? ? ? ? ? ? ?现安排编号分别为? ? ? ?的四位抗疫志愿者去做三项不同的工作?若每项工作都需安排志愿者?每位志愿者恰好安排一项工作?且编号为相邻整数的志愿者不能被安排做同一项工作?则不同的安排方法数为? ? ? ? ?已知? ? ? ? ? ? ? ? ?函数? ? ? ? ?
4、 ? ? ?在区间?槡?槡?上不单调?则?是?的? ?充分不必要条件? ?必要不充分条件? ?充要条件? ?既不充分也不必要条件?已知过点?槡?的动直线?与圆? ? ? ? ?交于? ? ?两点?过? ? ?分别作?的切线?两切线交于点? ?若动点? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?则? ? ?的最小值为? ? ? ? ?二?多项选择题?本题共?小题?每小题?分?共?分?在每小题给出的四个选项中?有多项符合题目要求?全部选对的得?分?部分选对的得?分?有选错的得?分?中华人民共和国的国旗图案是由五颗五角星组成?这些五角星的位置关系象征着中国共产党领导下的革命与人民大团结?如图?五角星是由
5、五个全等且顶角为?的等腰三角形和一个正五边形组成?已知当? ? ?时? ? ?槡? ? ? ?则下列结论正确的为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?已知无穷数列?满足?当?为奇数时? ? ? ? ?当?为偶数时? ?则下列结论正确的为? ?和?均为数列? ? ?中的项? ?数列? ? ?为等差数列? ?仅有有限个整数?使得? ?成立? ?记数列?的前?项和为?则? ? ? ?恒成立?在平面直角坐标系? ? ?中?过点?的直线?与抛物线? ? ? ? ? ? ?交于? ? ?两点?点? ?为线段? ?的
6、中点?且? ? ? ? ? ? ?则下列结论正确的为? ?为? ? ?的外心? ?可以为?的焦点? ?的斜率为? ?可以小于?数学试题 第?页?共?页?数学试题 第?页?共?页?著名的伯努利? ? ? ? ? ? ? ?不等式为? ? ? ? ? ? ? ?其中实数? ? ? ?同号?且均大于? ?特别地?当?且? ?时?有? ? ? ? ? ? ?已知伯努利不等式还可以推广为?设? ? ? ? ?若? ?且? ? ?则? ? ? ? ? ? ? ?设? ?为实数?则下列结论正确的为? ?任意? ? ?且任意? ? ? ?都有? ? ? ? ? ? ? ?任意? ? ? ?存在? ? ?使得?
7、 ? ? ? ? ? ?任意?且任意? ? ? ? ? ?都有? ? ? ? ? ? ?任意? ? ? ?存在?且? ?使得? ? ? ? ?三?填空题?本大题共?小题?每小题?分?共?分?请写出一个定义在?上的函数?其图象关于?轴对称?无最小值?且最大值为?其解析式可以为? ? ? ?在平面直角坐标系? ? ?中? ?为双曲线? ? ?的一个焦点?过?的直线?与?的一条渐近线垂直?若?与?有且仅有一个交点?则?的离心率为?已知? ? ? ? ? ? ? ? ? ?则? ? ?已知等边? ? ?的边长为?将其绕着? ?边旋转角度? ?使点?旋转到? ?位置?记四面体? ? ? ? ?的内切球半
8、径和外接球半径依次为? ? ? ?当四面体? ? ? ? ?的表面积最大时? ? ? ?注?本题第一空?分?第二空?分? ?四?解答题?本大题共?小题?共?分?解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤?分?已知数列?的首项? ?其前?项和为?且对任意的?点? ? ?均在直线? ? ? ? ?上?求?的通项公式?设? ? ? ?求数列? ? ?的前?项和?分?设? ? ?的内角? ? ? ? ?的对边分别为? ? ? ? ?且? ? ? ? ?槡? ? ? ? ? ? ? ?求角?的大小?设? ? ?分别为边? ? ? ? ?的中点?已知? ? ?的周长为槡? ? ?且? ? ?槡?若? ? ?求
9、?分?某新华书店将在六一儿童节进行有奖促销活动?凡在该书店购书达到规定金额的小朋友可参加双人? ?赢取?购书?的游戏?游戏规则为?游戏共三局?每局游戏开始前?在不透明的箱中装有?个号码分别为? ? ? ? ?的小球?小球除号码不同之外?其余完全相同?每局由甲?乙两人先后从箱中不放回地各摸出一个小球?摸球者无法摸出小球号码?若双方摸出的两球号码之差为奇数?则甲被扣除?个积分?乙增加?个积分?若号码之差为偶数?则甲增加?个积分?乙被扣除?个积分? ?游戏开始时?甲?乙的初始积分均为零? ? ?游戏结束后?若双方的积分不等?则积分较大的一方视为获胜方?将获得?购书?奖励?若双方的积分相等?则均不能获
10、得奖励?设? ?游戏结束后?甲的积分为随机变量? ?求?的分布列?以?中的随机变量?的数学期望为决策依据?当游戏规则对甲获得?购书?奖励更为有利时?记正整数?的最小值为?求?的值?并说明理由?当? ? ?时?求在甲至少有一局被扣除积分的情况下?甲仍获得?购书?奖励的概率?分?如图?平面? ? ? ? ?平面? ? ? ?点?为半圆弧)? ?上异于? ? ?的点?在矩形? ? ? ?中? ? ?槡? ? ? ?设平面? ? ?与平面? ? ?的交线为? ?证明? ? ?平面? ? ? ? ?当?与半圆弧)? ?相切时?求二面角? ? ? ?的余弦值?分?在平面直角坐标系? ? ?中?已知点? ?
11、 ? ? ?设? ? ?的内切圆与? ?相切于点? ?且? ? ? ? ?记动点?的轨迹为曲线? ?求?的方程?设过点? ?的直线?与?交于? ?两点?已知动点?满足? ? ? ? ? ? ?且? ? ? ? ? ? ?若? ? ?且动点?在?上?求? ? ?的最小值?分?已知函数? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?若? ? ?在区间? ? ?上单调递增?求?的取值范围?证明? ? ? ?槡? ?槡? ? ?槡? ? ?数学试题 第?页?共?页?参考答案与评分细则第 1 页（共 10 页）名校联盟山东省优质校 2022 届高三毕业班 5 月模拟考名校联盟山东省优质校 2022 届高三
12、毕业班 5 月模拟考数学试题参考答案与评分细则数学试题参考答案与评分细则一、单项选择题：题号12345678答案DADBCCAB二、多项选择题：题号9101112答案ABBDACACD12. 著名的伯努利（Bernoulli）不等式为：1212(1)(1)(1)1nnxxxxxx ，其中实数1x，2x，.，nx同号，且均大于1. 特别地，当*nN，且1x 时，有(1)1nxnx . 已知伯努利不等式还可以推广为：设xrR，若1r ，且1x ，则(1)1rxrx . 设a，b为实数，则下列结论正确的为A任意(0,)a，且任意1,)b，都有1(1)(1)2(1)bbabaB任意(1,)b，存在(0
13、,)a，使得1bababC任意(0,1a，且任意( 1,)b ，都有(1)1ababD任意1,)b，存在*aN，且ab，使得1( )1bbaab解析： （1）考查选项 A：若1b ，则(1)1baab ，且1(1)1bbaa ，11(1)(1)2()bbaabaa，又0a ，由基本不等式可知12aa，1(1)(1)2(1)bbaba，故选项 A 正确；（2）考查选项 B：0a ，11a ，又1b ，(11)1(1)bbaab a ，1babab恒成立，故选项 B 错误；（3）考查选项 C：01a，且1b ，11a，且1ab ，11(1)11aababba ，即101(1)abab ，(1)1a
14、bab，故选项 C 正确；（4）考查选项 D：若*bN，则当ab时，不等式1( )1bbaab显然成立，参考答案与评分细则第 2 页（共 10 页）若*bN，1b ，( )1()1bbaababbb ，当(1, )abb时，( )10baabb ，1( )1bbaab，记 b为不超过b的最大整数，易知 (1, )bbb，当 ab时，1( )1bbaab成立，任意1,)b，存在*aN，且ab，使得1( )1bbaab，故选项 D 正确；综上所述，应选 ACD.三、填空题：13.22x或（42x，2 |x等） ；14.2；15.0或1；16.2 2；23.16. 已知等边ABC的边长为2， 将其绕
15、着BC边旋转角度， 使点A旋转到A位置. 记四面体A ABC的内切球半径和外接球半径依次为r，R，当四面体A ABC的表面积最大时，A A，rR. （注：本题第一空 2 分，第二空 3 分（注：本题第一空 2 分，第二空 3 分.）解析：显然当2A BA时，四面体A ABC的表面积最大，此时2 2A A，故应填2 2；当四面体A ABC的表面积最大时（易知四面体A ABC的表面积最大值为42 3） ，设A A的中点为O，易知12OBOCAA，2OBOCOAOA，即O为四面体A ABC的外接球球心，四面体A ABC的外接球半径2R ，2OBOC，且2BC ，222BCOBOC，2BOC，易知OC
16、 平面A AB，不难求得四面体A ABC的体积为12 233A ABVSOC，又1(42 3)3Vr，42 32 233r，解得223r ，12323rR，故应填23.三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （10 分）已知数列 na的首项13a ，其前n项和为nS，且对任意的*nN，点1(,)nnS a均在直线83yx上.(1) 求na的通项公式；(2) 设log3nnab ，求数列1nnb b的前n项和nT.参考答案与评分细则第 3 页（共 10 页）解：(1)
17、 （法一）对任意的*nN，点1(,)nnSa均在直线83yx上，183nnaS，1 分当2n 时，183nnaS， 2 分118()8nnnnnaaSSa，即19nnaa(2)n， 3 分又113Sa，218327aS，219aa， 4 分19nnaa*()nN，数列na是以3为首项，9为公比的等比数列， 5 分1213 93nnna .6分（法二）对任意的*nN，点1(,)nnSa均在直线83yx上，183nnaS，1 分183nnnSSS， 即193nnSS， 2 分1339()88nnSS，又113327888Sa，数列38nS 是以278为首项，9为公比的等比数列， 3 分211327
18、39888nnnS，21338nnS，4 分当2n 时，21212113333388nnnnnnaSS， 5 分又13a ，亦满足上式，213nna*()nN.6 分(2)311log3log21nnanban，7 分11111()(21)(21)2 2121nnb bnnnn，9 分1 22 31111111(1)()()2335212121nnnnTbbb bb bnnn，即21nnTn.10 分18 （12 分）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos3 sin1bCcBac(1) 求角B的大小；(2) 设D，E分别为边AB，BC的中点， 已知BCD的周长为33， 且19
19、2AECD，若5ca，求a.参考答案与评分细则第 4 页（共 10 页）解：(1) 由正弦定理，得sincos3sinsinsinsinBCCBAC， 1 分A，B，C为ABC的内角，ABC，sinsin()sincoscossinABCBCBC，i3nsicnssossniinCBCCB， 3 分(0,)B，(0,)C ，sin0C ，cos13sin BB，4 分2sin1()6B ， 5 分易知 566()6,B，66B ，即=3B.6 分(2) 设BEm，BDn，则2am，2cn，在ABE中，由余弦定理，得222222cos42AEBEBABE BABmnmn，7 分在BCD中，同理有
20、222222cos42CDBCBDBC BDBmnmn，8 分192AECD，22194AECD，即22224219=424mnmnmnmn， 9 分整理得221024=0nmnm，解得=4nm，或=6nm，5ca，即210nm，=4nm，且22422 3CDmnmnm， 11 分BCD的周长为33，22 3(62 3)33mnmm，12m ，21am.12 分19 （12 分）某新华书店将在六一儿童节进行有奖促销活动， 凡在该书店购书达到规定金额的小朋友可参加双人 PK 赢取“购书劵”的游戏. 游戏规则为：游戏共三局，每局游戏开始前，在不透明的箱中装有5个号码分别为1，2，3，4，5的小球（
21、小球除号码不同之外，其余完全相同） . 每局由甲、 乙两人先后从箱中不放回地各摸出一个小球 （摸球者无法摸出小球号码） .若双方摸出的两球号码之差为奇数，则甲被扣除2个积分，乙增加2个积分；若号码之差为偶数，则甲增加*()n nN个积分，乙被扣除n个积分. PK 游戏开始时，甲、乙的初始积分均为零，PK 游戏结束后，若双方的积分不等，则积分较大的一方视为获胜方，将获得“购书劵”奖励；若双方的积分相等，则均不能获得奖励.(1) 设 PK 游戏结束后，甲的积分为随机变量，求的分布列；(2) 以 (1) 中的随机变量的数学期望为决策依据，当游戏规则对甲获得“购书劵”奖参考答案与评分细则第 5 页（共
22、 10 页）励更为有利时，记正整数n的最小值为0n.(i) 求0n的值，并说明理由；(ii) 当0nn时，求在甲至少有一局被扣除积分的情况下，甲仍获得“购书劵”奖励的概率.解：(1)记“一局游戏后甲被扣除2个积分”为事件A， “一局游戏后乙被扣除n个积分”为事件B，由题可知3( )5P A ，2( )5P B ， 2 分当三局均为甲被扣除2个积分时，6 ，当两局为甲被扣除2个积分，一局为乙被扣除n个积分时，4n，当一局为甲被扣除2个积分，两局为乙被扣除n个积分时，22n，当三局均为乙被扣除n个积分时，3n，3327(6)( )5125P ，2233254(4)( )55125PnC，12332
23、36(22)( )55125PnC，328(3 )( )5125Pn，的分布列为64n22n3nP27125541253612581256 分(2) (i) 由(1)易知2754368618( )( 6)+(4)+(22)31251251251255nEnnn ，显然甲、乙双方的积分之和恒为零，当游戏规则对甲获得“购书劵”奖励更为有利时，则需618( )05nE， 8 分3n ，即正整数n的最小值04n .9 分(ii)当4n 时，记“甲至少有一局被扣除积分”为事件C，则32117( )1( )5125P C ，10 分由题设可知，若甲获得“购书劵”奖励，则甲被扣除积分的局数至多为1，记“甲获
24、得“购书劵”奖励”为事件D，易知事件CD为“甲恰好有一局被扣除积分” ，1233236()( )55125P CDC， 11 分参考答案与评分细则第 6 页（共 10 页）36()4125()117( )13125P CDP D CP C，即在甲至少有一局被扣除积分的情况下，甲仍获得“购书劵”奖励的概率为413.12 分20 （12 分）如图，平面ABCD平面ABE，点E为半圆弧AB上异于A，B的点，在矩形ABCD中，2ABBC，设平面ABE与平面CDE的交线为l.(1) 证明：l平面ABCD；(2) 当l与半圆弧AB相切时，求二面角ADEC的余弦值.解：(1) 证明：四边形ABCD为矩形，A
25、BCD，1 分AB平面ABE，CD平面ABE，CD平面ABE， 2 分又CD平面CDE，平面ABE平面CDEl，3 分lCD， 4 分CD平面ABCD，l平面ABCD，l平面ABCD.5 分(2)（法一）取AB，CD的中点分别为O，F，连接OE，OF，则OFAB，平面ABCD平面ABE，且交线为AB，OF平面ABE，又OE平面ABE，OFOE，当l与半圆弧AB相切时，OEl，即OEAB，7 分以OE，OB，OF所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设2BC，易得(0, 1,0)A，(0,1,2)C，(0, 1,2)D，(1,0,0)E，则(1,1,2)DE，(0,0,
26、 2)AD，(0,2,0)DC，8 分设111(,)mx y z为平面DAE的一个法向量，则00 ，AD mDE m即11112020，zxyz1110 ，zxy令1=1x，则(1, 1,0)m，9 分设222(,)nxyz为平面DCE的一个法向量，则00 ，DC nDE n(第 20 题图)参考答案与评分细则第 7 页（共 10 页）即22222020，yxyz22202，yxz令2=1z，则(2,0, 1)n ，10 分23cos,3|23m nm nm n ， 11 分易知二面角ADEC的平面角大小即为,m n ，二面角ADEC的余弦值为33.12 分（法二）当l与半圆弧AB相切时，AE
27、EB，AEEB，2ABAE，6 分平面ABCD平面ABE， 平面ABCD 平面ABEAB， 且DAAB，DA 平面ABCD，DA平面ABE，又AE平面ABE，DAAE，同理，CBBE，7 分不妨设2BC，则2BEAEAD，2ABDC，由勾股定理得2DECE，8 分取DE的中点F，连接AF，FC，AC，则DEAF，DECF，AFC是二面角ADEC的平面角， 9 分易知112AFDE，332CFDE，且226ACABBC，10 分在AFC中，有2221( 3)( 6)3cos32 13 AFC，11 分二面角ADEC的余弦值为33.12 分21 （12 分）在平面直角坐标系xOy中，已知点( 1,
28、0)A ，(1,0)B，设ABC的内切圆与AC相切于点D，且| 1CD ，记动点C的轨迹为曲线T.(1) 求T的方程；(2) 设过点1 1( ,)3 2R的直线l与T交于M，N两点，已知动点P满足1PMMR ，且2PNNR ，若120，且动点Q在T上，求|PQ的最小值.解：(1) 不妨设ABC的内切圆与BC，BA分别相切于点E，F，由切线长相等可知，| | 1CDCE，| |ADAF，| |BEBF，1 分| |2ADBEAFBF，参考答案与评分细则第 8 页（共 10 页）| |4 |CACBCDADCEBEAB，2 分动点C的轨迹为以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆（且C不在直线AB上） ，
29、设动点C的轨迹方程为：22221(0)xyyab，易知2a ，且221ab，解得23b ，T的方程为：221(0)43xyy.4 分(2) 设11( ,)M x y，22(,)N xy，00(,)P xy，1PMMR ，101011111(,)(,)32xxyyxy，若11 ，则21，PMMR ，即P与R重合，与PNNR 矛盾，11 ，1011131xx，1011121yy，1010111132(,)11xyM，6 分代入22143xy，化简得22210010032(61272)912360 xyxy， 7 分同理可得，22220020032(61272)912360 xyxy， 8 分1，2
30、为方程222000032(61272)912360 xxyxxy的两根，120，00612720 xy，即002120 xy，即动点P在定直线1:2120lxy上，9 分显然直线1l与T没有交点，令直线2:20(0)lxymm，当2l与T相切时，记1l，2l的距离为d，则|PQd，联立2220,1,43xymxy可得2242120 xmxm，由22( 2 )16(12)0mm ，解得4m ，又0m ，4m ，10 分此时，解得1x ，32y ，即切点为3(1,)2，且直线1l,2l的距离为|124|8 5514d，8 5|5PQ ，当Q点坐标为3(1,)2，且1PQl时，经计算，得13 47(
31、,)5 10P，此时，8 5|=5PQ，且不难知道直线PR即直线l不过点(2,0)和( 2,0)，符合题设条件，参考答案与评分细则第 9 页（共 10 页）|PQ的最小值为8 55.12 分（注：本题未说明点（注：本题未说明点P，Q的存在性及未论证直线l不过点(2,0)和( 2,0)总共扣 1 分.）22 （12 分）已知函数( )ln(1)1axf xxx()aR.(1) 若( )f x在区间(0,)上单调递增，求a的取值范围；(2) 证明：*nN，2221111(1)(1)(1)e2212 41nnnn.解：(1)221(1)( )1(1)(1)axafxxxx，1 分当1a 时，(0,)
32、x ，(1)0 xa，当0 x 时，( )0fx，( )f x在区间(0,)上单调递增， 2 分当1a 时，(0,1)xa ，(1)0 xa，当01xa时，( )0fx， 3 分( )f x在区间(0,1)a 上单调递减，不合题意，若( )f x在区间(0,)上单调递增， 则实数a的取值范围为(,1.4 分(2) 欲证2221111(1)(1)(1)e2212 41nnnn，只需证2222222212 41e212112 411nnnnnnn ，5 分即证222111e(1)(1)(1)212112 411nnnn ， 6 分只需证222111ln(1)ln(1)ln(1)212112 411
33、nnnn ，7 分由(1)可知当1a 时，( )f x在区间(0,)上单调递增，( )(0)0f xf，当0 x 时，不等式ln(1)01xxx恒成立，即ln(1)1xxx恒成立， 8 分222211121ln(1+)1212121nnnn，即2211ln(1+)212nn，9 分参考答案与评分细则第 10 页（共 10 页）同理2211ln(1+)21121nn ，2211ln(1+)2 4112 41nn ，将上述不等式累加得：222222111111ln(1)ln(1)ln(1)2121 12 41 12212 41nnnnnn ，10 分又2222222221111112212 41112414nnnnnnnnn 22222222(1)(21)( 441)4nnnnnnnnn ，不等式222111ln(1)ln(1)ln(1)212112 411nnnn 得证，不等式2221111(1)(1)(1)e2212 41nnnn得证.12 分
