1、惯性导航系统原惯性导航系统原理理3 捷联捷联式式惯导系统惯导系统 程程向红向红 2010.03.192010-03-1923 捷联式惯导捷联式惯导系统系统3.1 捷联捷联式式惯导算法概述惯导算法概述3.2 姿态姿态矩矩阵的计算阵的计算3.3 姿态姿态矩矩阵计算机执阵计算机执行行算法算法2010-03-1933.1 捷捷联联式惯导算法概述式惯导算法概述捷 联 式 惯 导 算 法 bibf bibP, R, H, L,VE ,VN捷联式惯导航系统是捷联式惯导航系统是一一个个信信息处理系统，就是将息处理系统，就是将载载体体上上安装的惯性安装的惯性 仪表所测量的载体运仪表所测量的载体运动动信信息息，经
2、过计算处理成所，经过计算处理成所需需要要的的导航信息。导航信息。b姿态矩 阵 计算 加速度计组 导 航 计算机 VE初始条件 bSFVNnCbnSFbintHP R陀 螺 仪 组 ib捷捷联联式惯性导式惯性导航航系统系统=信信息息处理系处理系统统根据根据捷捷联联式式惯惯导导的的应用应用和功和功能能要要求求不不同同，计算计算的内的内容容和要和要 求，求，有有很很大大的的差差别别。常有。常有SINSStrapdown Inertial Navigation Systems SVRUStrapdown Vertical Reference Uint SAHRSStrapdown Attitude a
3、nd Heading Reference Systems IMUInertial measurement Unit捷 联 式 惯 导 算 法bibfibbP, R, HEN, L,V ,V2010-03-194接接联联式惯导的式惯导的算算法的法的基基本内本内容容（1）系系统的启动和自统的启动和自检测检测（2）系系统初始化统初始化（3）惯惯性仪表的误差性仪表的误差补偿补偿（4）姿姿态矩阵的计算态矩阵的计算（5）导导航计算航计算（6）制制导和控制信息导和控制信息的的提取提取2010-03-195（1）系统的）系统的启启动和自动和自检检测测系统系统启启动动后后，各个各个部分部分的的工工作作是是否否正
4、正常，要常，要 通过通过自自检检测测程程序序加加以检以检测，测，其其中中包包括括电电源源、惯、惯 性性仪仪表表、计计算算机机以以及计及计算机算机软软件。件。通过通过自自检检测测，发发现现有不有不正常正常，则则发发出出告告警警信息信息(或或 故障码故障码)。系系统的统的自检自检测是测是保保证证系系统统进进入入导航导航状态状态 后能后能正正常常工工作作、提提高系高系统可统可靠靠性性的的措措施。施。2010-03-196（2）系统初）系统初始化始化为为何何要初始化？要初始化？给给定定载载体体（舰舰船船、飞飞行器行器、车车辆辆等等）的的初始初始位位置置（经（经度度和和纬纬度度）和和初始初始速度速度等等
5、初初始始信信息。息。导导航航平平台台的的初初始始对准对准惯惯性性仪仪表表的的校准校准Calibration平台平台式式姿态姿态矩矩阵阵的的初初始值始值用物用物理理的的方方法法来来实实现现标度标度系数系数加速加速度计度计捷联式捷联式陀螺陀螺仪仪进行进行测定测定漂移漂移 偏置偏置2010-03-197（3）惯性仪）惯性仪表表的误差的误差补补偿偿对捷对捷联联式式惯惯导导系系统统来说来说，由，由于于惯惯性性仪仪表表直直接安装接安装 在载在载体体上上，因因此此，载体载体的线的线运运动动和和角角运运动动都引起都引起 较大较大的的误误差。差。为了为了保保证证系系统统的的精精度，度，必须必须对对惯惯性性仪仪表
6、表的的误差误差进进行行 补偿补偿，最最好好的的补补偿偿方法方法是计是计算算机机补补偿偿。在计在计算算机机中中通通过过专专用的用的软件软件来来实实现现误误差差补补偿。偿。2010-03-198（4）姿态矩）姿态矩阵阵的计算的计算姿态姿态矩矩阵阵的的计计算算是是捷联捷联式惯式惯导导算算法法中中最最重重要的一要的一 部分部分，也也是是捷捷联联式式系统系统所所特特有有的的。不管不管捷捷联联式式惯惯导导应应用和用和功能功能要要求求如如何何，姿姿态矩态矩阵阵 的计的计算算却却是是不不可可少少的。的。姿态姿态矩矩阵阵算算法法是是本本章章重点重点 讨论讨论的的内内容。容。2010-03-199（5）导导航计算
7、航计算导航导航计计算算就就是是把把加加速速度计度计的的输输出出信信息息变变换到换到导航导航坐坐 标系标系，然然后后，计计算算载体载体速度速度、位位置置等等导导航航信息。信息。2010-03-1910（6）制导和）制导和控控制信息制信息的的提提取取制导制导和和控控制制信信息息的的提取提取，载，载体体的的姿姿态态既既可可用用来来 显示显示也也是是控控制制系系统统最基最基本的本的控控制制信信息。息。此外此外，载载体体的的角角速速度度和和线速线速度度信信息息也也都都是是控控制制 载体载体所所需需要要的的信信息。息。这些这些信信息息可可以以从从姿姿态矩态矩阵的阵的元元素素和和陀陀螺螺加加速速度度计的计的
8、输输出出中中提提取取出出来。来。2010-03-1911捷捷联联式惯导系式惯导系统统算法算法流流程图程图启启动动 自自 检检 测测 初初 始始 化化 姿态阵计姿态阵计算算 迭迭 代代 次次 数数 控控 制制 信信 息息 提提 取取 返回返回92010-03-1912YES导导 航航 计计算算 NO2010-03-19133.2 姿姿态态矩阵的计算矩阵的计算捷联捷联式式惯惯导导中中，载载体体地理地理位位置置就就是是地地理理坐标坐标系相系相对对 地球地球坐坐标标系系的的方方位位。而。而载体载体的的姿姿态态和和航航向向则是则是载体载体 坐标坐标系系相相对对于于地地理理坐标坐标系系的的方方位位关关系系
9、。确确定定两两个个坐坐 标系标系的的方方位位关关系系问问题，题，是力是力学学中中的的刚刚体体定定点转点转到理到理 论。论。在在刚刚体体定定点点转转动理动理论中论中，描描述述动动坐坐标标系相系相对对参参 考坐考坐标标系系方方位位关关系系的方的方法有法有多多种种。四参四参数法数法 1843年发年发明明的的，首首先在先在数学数学中中引引入入四四元元数数，以，以 后用后用在在刚刚体体定定位位问问题。题。凯里凯里.克克莱莱茵茵（Cayley-Klein）参参数数法法，是是在在1897年提年提出出的。的。九参九参数法数法基于基于方方向向余余弦弦的的概概念，念，也也称称 方方向向余余弦弦法法。三参三参数法数
10、法欧拉欧拉角法角法 ，是是欧欧拉在拉在1776年提年提出出的。的。四元四元数数法法。威廉威廉.哈哈密密顿顿(William Hamilton)在在等效等效转转动动矢矢量量法法3.2 姿姿态态矩阵的计算矩阵的计算3.2.1 欧欧拉拉角角法法3.2.2 方方向向余余弦法弦法3.2.3 四四元元数数法法3.2.4 等等效效转转动矢动矢量量法法2010-03-19143.2.1 欧拉角法欧拉角法XbENU作作为为参考坐参考坐标标系系，则航向，则航向 角角H，纵摇角，纵摇角（俯仰角）俯仰角）P和和横横 摇摇角角（横滚角（横滚角、倾斜角）倾斜角）R。就。就 是是一一组欧拉角。组欧拉角。欧拉角欧拉角没没有严
11、格的有严格的定定义，根义，根 据据需需要，可以要，可以选选用不同的欧拉用不同的欧拉 角角组组。第一次。第一次转转动，可以绕三动，可以绕三 个个轴轴中的任一中的任一个个转动，故转动，故有有3种种 可可能能，第二次，第二次有有2种种可能，可能，第三第三 次次也也有有2种可能。种可能。总总共共有有12种可种可 能。能。EXbOUNH.ZbYbXb YYbZbbZbP.R.HPR一一个个动坐标系动坐标系相相对对参考坐标参考坐标系系的方位，的方位，完完全可以由动全可以由动坐坐 标标系系依次依次绕绕3个不个不同同的轴转的轴转动动的的3个转角来个转角来确确定。定。如如把把OXbYbZb作为作为动动坐坐标系标
12、系，2010-03-19152010-03-1916用用欧欧拉角表示拉角表示的的姿态姿态矩矩阵阵001U 0N 0 E Y sin H cos Hb Xb sin Hcos HZ v- _CHb0 sin Pcos P Z 00cos Psin P Yb b X v- _ 0 1 Z b X YbbCPbcos R Z Yb b 0 sin R X 01 v- _sin R0 Yb cos Rb Z X0bCRbcos P cos R cos P sin Rsin R cos H sin P cos R sin H cos R cos H sin P sin R sin Hcos R sin
13、H sin P sin R cos Hcos P cos Hsin R sin H sin P cos R cos Hcos P sin Hsin Pb nCEX bOU ZbbNH.Y XbX bY YbbZ bbZP.R.HPRHPR欧欧拉拉角微分方程角微分方程表示表示载载体体坐标坐标系系相相对对地地理理坐坐标标系系的角的角 速度速度矢矢量量在在载载体体坐坐标系标系 轴向轴向的的分分量量构构成成的的列矩列矩 阵。阵。EXbOU ZbbNH.Y XbX bY YbbZ bbZP.R.HPRbnb 0 0 R. 0 0 P . R 0 CH. 0 RP C Cnby nbz b bbnbxHP
14、R2010-03-1917欧拉角微分方程欧拉角微分方程cos P cos R H. R. 0 sin R cos P P. 010sin Rnby nbz cos Rnbx b bsin Pbnby nbz bcos P cos R sin R R. cos R0 sin R cos P01sin P0H . P . 1bb nbx cos R sin Pnby nbz bsin R cos P b R. cos P sin P sin R 1 cos P cos R0 cos P0sin RH . P . bnbxcos RbCn求解求解微微分分方程方程3个欧个欧拉角拉角航向航向角角 (H)
15、姿态角姿态角(P,R)2010-03-19182010-03-1919欧欧拉拉角法应用角法应用中中的问题的问题求求解解方方程程可可以以直直接接得得到航到航向向和和姿姿态态信信息息，欧，欧 拉角拉角法法得得到到的的姿姿态态阵永阵永远是远是正正交交阵阵，用用这这个矩个矩 阵将阵将比比力力fbfn信信息的息的坐标坐标变变换换时时，变变换换后的信后的信 息中息中不不存存在在非非正正交交误差误差。因。因此此，用用欧欧拉拉角角法得法得 到的到的姿姿态态矩矩阵阵无无需需进行进行正交正交化化处处理。理。欧欧拉拉角角微微分分方方程程中中包包含三含三角角函函数数的的运运算，算， 给实给实时时计计算算带带来来困困难
16、，难，当当P=90。 时时，方方程式程式 出现出现“奇奇点点”，使使计计算算溢溢出。出。cos P cos R0 cos P0sin R cos P R 1 sin P sin Rcos R sin Pcos P sin Rcos Rb nbxbnby b nbz P. H . .返回返回3.2垂垂直直发发射射困困难难！3.2.2 方向余弦法方向余弦法方向方向余余弦弦表表示示的的姿姿态矩阵态矩阵方方向向余弦余弦法法用用矢量的方矢量的方向向余弦来表余弦来表示示姿态矩阵的姿态矩阵的方方法。法。用用in, jn, kn表表示示沿沿地地理坐理坐标标系系轴轴向向的的单单位矢位矢量量。ib, jb, kb
17、沿沿载载体体坐坐标标系系轴轴向向的的单单位位矢矢量量。ib在地在地理坐理坐 标系标系内内的的方方位位完完全全可以可以由由ib的的三三个个方方向向余余弦弦来来确定确定，其，其 表达表达式为式为ib (ib in )in (ib jn ) jn (ib kn )kncos(ib in )jb ( jb in )in ( jb jn ) jn ( jb kn )knkb (kb in )in (kb jn ) jn (kb kn )kn2010-03-1920方方向向余弦法余弦法kb kn kn n j jj k jib kn in n kb in j j i ib inkb jnib jnkb b
18、 ib bbnbnkb b b j ib kn n jn in b Cbnnkb kn bn j jj kib kn kb in j i ib inkb jnib jnbnbnCbn写成写成矩矩阵阵形形式式为：为：2010-03-1921矢矢量量的坐标变换的坐标变换旋转旋转矢矢量量的的坐坐标标变换变换固定固定矢矢量量的的坐坐标标变换变换固定固定矢矢量量的的坐坐标标变变换换是是一一个个在在空空间间大大小小和方和方向都向都不不 变的变的矢矢量量在在两两个个不不同方同方位的位的坐坐标标系系轴轴向向分分量之量之间的间的变变 换关换关系系，也也即即同同一一个矢个矢量在量在两两个个不不同同的的坐坐标系标系
19、轴轴向向投投 影之影之间间的的变变换换关关系。系。是指是指一一个个矢矢量量大大小小不变不变，但，但在在方方向向上上转转动动了一了一个个位位 置，置，这这个个矢矢量量转转动动前前和和转动转动后后在在同同一一个个坐坐标系标系轴向轴向 分量分量之之间间的的变变换换关关系。系。2010-03-1922固固定定矢量的坐矢量的坐标标变换变换 Z k r bT br X bib Yb jbbbb:载体载体坐坐标标系系 n:地理地理坐坐标标系系一个一个矢矢量量r，写写成成载载体体坐标坐标系系轴轴向向分分量量形形式：式： Z k r nT nr X nin Yn jnnn同一同一个个矢量矢量r，如如果果写写成成
20、地地理理坐坐标标系系轴轴向向分量分量形式形式：r bT b r nT n Zb b b j Xb r b Ykb b ib Zn n X n Yr nn jn kn in b Cb nnbTbTbnTnr b r C n rnrbT Cb r nTn由于由于r是是同同一一个个矢矢量量，故，故由于由于正正交交阵阵，故，故n bbTb1n(Cn ) (C ) C两边两边求求转转置置nTTb TbTT(Cn ) (r) (r) Cn r bbr n Cb r nnr b2010-03-1923旋转矢量的坐标变换由于由于动动坐坐标标系系随随同同矢量矢量转动转动，故故rbT=rnT互逆互逆r转动转动前前
21、的的矢量矢量r 转转动动后后的的矢量矢量假定假定有有一一个个动动坐坐标标系和系和矢量矢量固固连连，在在矢矢量量转动转动 前，前，取取动动坐坐标系标系b和和参参考坐考坐标标系系n重重合合，则：则：r=rnTnb Cb nr r nT Cb nnnr =rbTb如果用如果用r n表表示示转转动动后后的矢的矢量量在在参参考考坐坐标标系系轴轴向向的的 分量分量构构成成的的矩矩阵阵，则，则r rnT nrnT r nT Cbn C n r nbrn Cb r nnr b由于由于坐坐标标系系不不动动而而是矢是矢量转量转动动，它它相应相应于于矢矢量量固固定定时时坐标坐标系方系方向向转转动动nTbn rC n
22、2010-03-19242010-03-1925方方向向余弦矩阵余弦矩阵微微分方程分方程由由矢矢量相对导量相对导数数和绝对导数和绝对导数的的关系式关系式 rdr drdtdtnbnb假假定定地理坐标地理坐标系系为为参考坐标参考坐标系系，作为参，作为参考考 坐坐标标系认为它系认为它在在空间是不动空间是不动的的，即，即 0ndtdr nb rdr dtb b r bk rnbbnb bbr. nbx nb nbz0 nbznby0 0nbynbxbkbnb载体载体坐坐标标系系相相对对地地理坐理坐标系标系的的转转动动角角速速度度在在b系系轴轴 向分向分量量的的反反对对称称矩矩阵阵（Skew symm
23、etric matrix）2010-03-1926方方向向余弦矩阵余弦矩阵微微分方程分方程另外另外，从从固固定定矢矢量量的坐的坐标变标变换换关关系系式有式有 C. br n Cbr. n nnr . b Cb r nnr b两边两边求导求导 0r .br.br . n C. br n C. bCnrbnnb考考虑虑bn Cn Cbbknb.b两边两边同同右右乘乘Cnbkb nb Cnb nC. nb rb nb rbbbknbk Cb nbnC.bbk nb ( bk )Tnbbk1(nb )返回返回3.2方向方向余余弦弦矩矩阵阵微微分分方程方程的的几几种种表表示示形形式式bkb nb Cnb
24、 nn bC.nbkbnb CC.式中式中的的角角速速度度都都是是用用载载体坐体坐标标系系内内的的分分量量 表示表示的的，如如果果角角速速度在度在地理地理坐坐标标系系轴轴向向的的 分量分量表表示示时时，则则可可用角用角速度速度反反对对称称矩矩阵的阵的 相似相似变变换换来来得得到。到。bnknnnbbbk nb C Cnbkbbnbnnk nb CC左式左式可可以以用用展展开开的的方式方式推导推导bnknnbb n C C.nknnbnbb CC.在捷在捷联联惯惯导导系系统统中中，由，由于陀于陀螺螺是是固固联联于于载载体上体上的，的， 所以所以直直接接测测量量的的角角速度速度是是载载体体坐坐标标
25、系系轴轴向向的分的分量。量。那么那么计计算算时时哪哪个个公公式最式最方便？方便？常用常用的的姿姿态态矩矩阵阵微微分方分方程的程的4种种形形式。式。2010-03-1927方方向向余弦矩阵余弦矩阵微微分方程分方程陀螺陀螺仪仪测测量量的的是是载载体相体相对于对于惯惯性性空空间间的的角角速度速度 bnnbkbbnb CC.ib而式而式中中需需要要的的则是则是bk nb两者两者的的关关系系为：为：bk inbk ibbk nb bnknnibbbk ibC C bk )n (bk ibinbn b CC .nkninbnbkbibC C 包括载体的包括载体的 姿态和航向姿态和航向 的变换角的变换角速速
26、 度，数值较度，数值较 大（如飞机大（如飞机 可达可达400。 /s）则是地球角则是地球角速速 度和载体的度和载体的位位 移运动相对移运动相对地地 心形成的角心形成的角速速 度，这个角度，这个角速速 度比较小，一度比较小，一 般为每小时般为每小时几几 十度十度。在实时计算上式时，在实时计算上式时，第一第一项需要用较高的速度项需要用较高的速度计算计算，用迭代算法时，迭，用迭代算法时，迭代频代频 率要高，而第二项则率要高，而第二项则可用可用 较低迭代频率计算。较低迭代频率计算。可以可以 看作是对第一项的修看作是对第一项的修正。正。2010-03-19282010-03-19293.2.2.4 矩矩
27、阵阵微分方程微分方程的解的解下面下面是是解解方方程程的的推推导导过过程。程。C (t) C(0) C (t)dtnbkbnbb0C (t) C(0) C(0) C (t)dtdttnbkbknbnbtbnb00C (t)dtdt C(0) C(0)dt tttbknbbknbnbbknb 000把等式右边的表达式把等式右边的表达式逐逐次次代代入积分号内入积分号内 dtdt C (t) C(0) C(0)dt C(0)tttbknbbknbbknbnbttbknbbknbtbknbnbC (t)dtdtdt0 0 00 00dtdtC (t) C(0)I dt tttbknbbknbbknbnb
28、 000 C (t)dtdtdt .tttbknbbknbbknbnb000第第2次代入次代入得得这样不断的进行代入这样不断的进行代入，便便得到得到bk 20120000 0(dt)dtdt dtddt tnbtbknbttbknbttbknbbknbbk 30160 0 0(dt)C (t)dtdtdt tnbtttbknbbknbbknbnbC. n Cn bk bbnb变系变系数数的的齐齐次次微微分分方程方程tn可可用用毕毕卡卡(Peano-Baker)逼近逼近法法求解求解，积积分分上上式式则有则有第第1次代入次代入得得C (t) C(0)I dt dt dt3 .061bk2 0021
29、tbknbtnbtbk bnb故故nCb (t) C(0)etbknbdtn02010-03-1930矩矩阵阵微分方程微分方程的解的解Cb (t) C(0)etbknbdtn0C (t t) C(t)etn1tnbknb dtnbbknb dt nbtn1tnbkbkC n (t t) C(t)enbb b b 0 b b00bnbynbxb nbxnbznbynbzbknbbk212nb 3e K I K K ()nbbkbknbI单位单位阵阵;K1, K2, K3系系数。数。 t=tn+1- tn下面来求三个系数。下面来求三个系数。由由矩矩阵阵的特征方程的特征方程如果知道如果知道了了K1,
30、 K2, K3三个系数，则三个系数，则矩阵指数函数矩阵指数函数就就可可以以表示表示成成 一个矩阵二次方程。一个矩阵二次方程。bknb来求它的特征值来求它的特征值。 b bdet(I bk ) b b b bnbynbxnbxnbnbznbznby 2 0223bbnbzbnbynbx 20222 bnbzbnbybnbx3 2 001 =0 2,3=士士 j0令令将矩将矩阵阵的的特特征征值值代代入入方程方程 =0， K1=1 K I K bk K ( bk )212nb3nbenbbk用用201四四0-03参参-19数数法。法。31矩阵微分方程的解矩阵微分方程的解 =j 0 =-j 0bk2n
31、b3nb201e K I K K ()bk bknb j0e e0K2 bk )2 200 sin 0 bk 1 cos 0 (nbnbe I bknb =0， K1=12e K1 K 2 j0 K3 ( j0 )ej2 K1 K2 j0 K3 ( j0 ) j 02 2K1 2K3 (0 ) 2K2 0 j 0j 0e e( )20 1 cos 03Kj0sin 0Cn (t t) C(t)I sin 0 bk 1 cos 0 ( bk )2 200nbbnb矩阵微分方程的精确矩阵微分方程的精确解解这个精确解的前提条这个精确解的前提条件是件是nbkbbnb. nC C+ bknb dt nb
32、tn1tnbk这个这个式式子子只只有有在在 t=tn+1- tn内内角角速度速度矢矢量量 nb方向方向不不变变的的条条件下件下才有才有意意义义，由由于于转转动动 的不的不可可交交换换性性，当当 nb方向方向随时随时间变间变化化时时，角角速速度度的的积积分分是是无无意义意义的。的。 用方用方向向余余弦弦法法求求解解姿姿态态矩矩阵阵避避免了免了欧欧拉拉角角法法方方程程退退化化的的现现象象，可，可以以全全姿姿态态工工作作，但，但 是，是，由由于于方方向向余余弦弦矩矩阵阵具具有有九九个元个元素素，所所有有，解解算算矩矩阵阵微微分分方程方程时时，实实际际上上是是结算结算 九个九个联联立立微微分分方方程程
33、，一一般般说说来来，计，计算算工工作作量量比比较较大大，为为了了减减小计小计算算工工作作量量，可可以采以采3.2.3 四元数法四元数法四元四元数数理理论论是是数数学学中中的的一个一个古古老老的的分分支支，1943年由年由威威廉廉. 哈密顿哈密顿(William Hamilton)首先首先提提出出，目目点是点是研究研究空间空间 几何几何，一一种种类类似似平平面问面问题中题中使使用用复复数数那那样样的方的方法。法。但是但是，这，这个个理理论论建建立立以以后，后，长期长期没没有有得得到到实实际际应用应用，直，直到空到空 间技间技术术出出现现以以后后，特别特别是捷是捷联联式式制制导导技技术术出现出现以
34、后以后，这，这 一古一古老老的的数数学学分分支支，又，又重新重新受受到到人人们们的的重重视，视，得到得到了实了实 际的际的应应用。用。四元四元数数的的基基本本概念概念四元四元数数是由是由1个个实实数数单单位位1和和3个个虚虚数数单单位位i,j,k组成组成的的含含有有4个个元元的的数数，其其形形式为式为Q (q0 , q1 , q2 , q3 ) q0 q1i q2 j q3k q0 q标标量量 矢量矢量2010-03-19323.2.3 四元数法四元数法3.2.3.1 四元数四元数的的基本基本概概念念3.2.3.2 四元数四元数理论理论3.2.3.3 矢量坐矢量坐标标变换变换的的四元数描述四元
35、数描述3.2.3.4 四元数四元数和和方向方向余余弦矩阵的弦矩阵的关关系系3.2.3.5 四元数四元数微微分方程分方程2010-03-1933ZRe实轴Im 虚轴O z cos j z sin Z z1 jz2 z e jj 1u uxi u y j uz ku 1Z sin ki u Z sin juux Z sin Z Z cos q3zq2yq1q0 v- _ _ _ v- _ _ _ v- _ _ _ _ _ _ v-2010-03-19343.2.3.1 四元数四元数的的基本基本概念概念在平面问题中，一个在平面问题中，一个复复数数Z=z1+jz2可以表示二维空间中的一个矢可以表示二维
36、空间中的一个矢量量.四四元元数的基本数的基本概念概念 Zcos ux sini uy sinj uz sink (Quaternions)Q ZZ cos q0Z ux sin q1Z uy sin q2Z uz sin q3 Q cos u sin Q q0 q1i q2 j q3 k Q eu由于由于它它具具有有和和复复数数类似类似的形的形式式，可可看看作作是是复数复数的的推广推广，因因此此，也也有有“超超复数复数”之之称称。四元四元数数的的3种种表表示示形形式式2010-03-1935坐坐标标系的等效系的等效转动转动EXbOU ZbNH.YbXbXb YYbZbbZbP.R.HPRXbX
37、 ruYbYrbZZr2010-03-1936四四元元数的基本数的基本概念概念如果如果用用u表表示示欧欧拉拉轴向轴向的单的单位位矢矢量量，则则动动坐标坐标系的系的方方 位，位，完完全全可可由由u和和 两两个参个参数数来来确确定定。用用u和和 两个两个参参 数，数，可可以以构构造造一一个个四元四元数数，1如果如果把把u写写成成分分量量的形的形式则式则：Q cos u sin i u sin j u sin k2x2y2z 2 q0 q1i q2 j q3k2q0 cos2q1 ux sin2q2 u y sin12q3 uz sinQ cos u sin 22四元四元数数是是张张量为量为1的的四
38、四元数元数，即，即Q (q 2 q 2 q 2 q 2 ) 2 10123这样这样的的四四元元数数称称作作“规规范化范化”的的四四元元数数，而而用用来来描描述刚述刚体体定定点点转转动动的的四元四元数就数就称称作作变变换换四四元元数。数。u e22010-03-19373.2.3.2 四元数四元数理论理论四四元元数数相相等等 如果如果两两个个四四元元数数对对应的应的元素元素相相等等，则则两两个个四元四元数相数相等。等。四四元元数数相相加加 0 1i 2 j 3 k m0 m1i m2 j m3k 0 m0 (1 m1 )i (2 m2 ) j (3 m3 )k对应对应元元素素相加相加则则四元四元
39、数数相相加加，服服从从一般一般加法加法的的交交换换律律和和结结合律合律，即即 ( ) ( )（交（交换换律律）（结（结合合律律）2010-03-1938四四元元数理论数理论四四元元数数与与标标量量相乘相乘a a0 a1i a2 j a3k式中式中a标量标量各个各个元元素素分分别别乘乘以以标量标量(ab) (ba)a a(a b) a ba( ) a a（分（分配配律律）（交（交换换律律）（结（结合合律律）2010-03-1939四四元元数理论数理论四四元元数数与与四四元元数数相相乘乘 0 1i 2 j 3k m0 m1i m2 j m3 k 。 (0 1i 2 j 3 k ) 。 (m0 m1
40、i m2 j m3 k ) 0 m0 1m1 2 m2 3m3 0 (m1i m2 j m3k)乘积乘积的的矢矢量量形形式式2010-03-1940 m0 (1i 2 j 3k) ijk123m1m2m3。 M 0m0 0m m0 m m2010-03-19 3 41四元数理论 。 0m0 1m1 2m2 3m3 i(0m1 1m0 2m3 3m2 ) j(0m2 2m0 3m1 1m3 ) k(0m3 3m0 1m2 2m1)乘积乘积的的四四元元数数形式形式n1 0m1 1m0 2m3 3m2n2 0m2 2m0 3m1 1m3n3 0m3 3m0 1m2 2m1n0 0m0 1m1 2m2
41、 3m3nnn TQ(n) n3210 TQ() 3210mmm TQ(m) m123000 1 2 3 01 101 223013223 3210 3 n m n m n m n m Q(n) M ()Q(m)n0 m0m1 m2 m3 0 n1 m1m0m3m2 1 m3m0m2m1n2 m2m1 2 m0n3 m3 -矩阵四矩阵四元数元数Q(n) M (m)Q()矩阵的矩阵的“核核”2010-03-1942四元数理论M( )和和M*(m)除元素不同外除元素不同外，其核互为其核互为转转置。置。 这这种种四元数乘四元数乘积积的矩阵形式的矩阵形式，也可推广也可推广到到三三个个 以以上上的四元数
42、的四元数乘乘积。如：积。如：Q( 。 。 ) M()Q( 。 ) M ()M (P)Q(m) M (P)Q( 。 ) M (P)M()Q(m)M()M (P) M (P)M ()说说明明M*和和M具有具有可可交换性交换性。而一般的而一般的矩矩阵相乘，则阵相乘，则是是不可交换不可交换的的.Q(。 。 ) M ()Q(。 ) M ()M (m)Q(P) M(。 )Q(P)M ( 。 ) M ()M (m)Q( 。 。 ) M (P)Q( 。 ) M (P)M (m)Q() M ( 。 )Q()M (。 ) M (P)M (m)顺序顺序相乘相乘逆序逆序相乘相乘类似类似正正交交阵阵的的乘乘积积的转的转
43、置或置或方方阵阵乘乘积积的的求求逆，逆，也是也是逆逆序序四四元元数理论数理论 。 。 ( 。 ) 。 。 ( 。 ) 。 ( ) 。 。 四四元元数数的的共轭共轭 如果如果一一个个四四元元数为数为八八 =+ 则定则定义义其其共共轭轭四四元元数为数为 *=结合律结合律分配律分配律推理推理1 (八八 +M)*= 八八*+M* 四元四元数数之之和和的的共轭共轭等于等于共共轭轭之之和和推理推理2 (八八 M)*= M*八八*两个两个四四元元数数之之积的积的共轭共轭等等于于共轭共轭四元四元数数等等于于两两个个四四元数元数共轭共轭之之积积取取相相反反的的顺序。顺序。四四元元数数的的范数范数四元四元数数的的
44、范范数数定定义义为为22223210 2010-03-1943四四元元数理论数理论=八八 八八* =八八*八八 八八 =1的的四四元元数数称称为规为规范化范化的的四四元元数数。 八八 M = 八八 M = M 八八 四四元元数数的的逆逆则则八八-1八八 =八八 八八-1122012322 2010-03-19443.2.3.3 矢矢量量坐标变换坐标变换的的四元数描述四元数描述一个一个矢矢量量r在在参参考考坐坐标标系（系（这这里里用用地地理理坐坐标系标系作作参参 考系考系）轴轴向向的的分分量量形式为形式为r=xnin+yn jn+ znkn式中式中xn, yn, zn为为r在在地地理理坐标坐标系
45、系轴轴向向的的分分量量。 in, jn, kn为为地地理理坐坐标标系系轴轴向的向的单单位位矢矢量量。用用xn, yn, zn把把r写写成成四四元元数形数形式式即：即：Rn=0+xni+yn j+ znk =0+r Rn就叫就叫做做矢量矢量r在在地地理理坐标坐标系系上上的的四四元元数数影像。影像。i, j, k是是四四元元数数的的虚虚数单数单位，而位，而r则则是是四四元元数数的的矢矢量量部分。部分。显然显然，如如果果认认为为i, j, k和和in, jn, kn重重合合，则则四元四元数的数的矢矢量量部部分分就就是是三维三维空间空间的的矢量矢量r本本身。身。2010-03-1945旋旋转转矢量的坐
46、矢量的坐标标变换变换定义定义假假设设矢量矢量r绕绕通通过过定点定点“O”的的某某一一轴轴转转动动了一了一个个 角角度度 ，则则和和矢矢量量固固联联的动的动坐坐标标系系和和参参考考坐标坐标系系之之间间的的 变换变换四四元元数数为为：22Q cos usin式中式中u为为转转轴轴方方向向的的单单位矢位矢量量。这这个个四四元元数的数的范数范数为为Q q2 q2 q2 q2 10123转动转动前前的的矢矢量用量用r表表示示，转，转动动后后的的矢矢量量用用r 表表示示,则则r和和r 的的关关系系可可由由四四元元数来数来描描述述，即，即称作称作“规规范化范化”的的四四元元数数.r Q。 r 。 Q*Q*
47、cos usin四元四元数数的的共共轭轭四四元元数数2 2黄黄式式两两边边同同时时左左乘乘Q*右右乘乘Q得得因为因为Q*。 r。 Q Q*。 Q 。 r 。 Q*。 QQ*。 Q Q 。 Q* 12 2 (cos usin ) 。 (cos usin ) cos sin 1222222r Q* 。 r。 Q2010-03-19462010-03-1947证明证明AO当当矢矢量量r绕绕OO 旋旋转转时，矢时，矢端端A在空间的在空间的轨轨迹是一个迹是一个圆圆，这个，这个 圆圆平平面和转轴面和转轴垂垂直，圆心直，圆心为为O 在旋转轴在旋转轴上上。在圆上取。在圆上取一一点点B， 使使 AO B=90。
48、 ，则按，则按矢矢量关量关系系有下列关有下列关系系式：式：OrrABuAOOBOOuOur A OO (r u)uOO OA r因因为为a b=|a|b|cos O A =r OO = r (r u)u O B= u O A= u ( r (r u)u)= u r (r u)u u= u ru u=0O B= u r2010-03-1948证明ABOAcosAOOBsinOOrrABuA如如果果Q=q0+q，R=r0+r则利则利用用式式可以写可以写成成矢量形式为：矢量形式为：QR= q0 r0+ q0r+qr0 q r+q r利用利用上上式式将将QrQ*展开展开 v - _ v-_q0qQ c
49、os usin22r=R=r0+r r0=0q0O A = r (r u)uO B= u rq sin (ur) cos r (ur)sin v -2 _ 2 v- _ _ _2八八 = 0 m0+ 0 m+ m0 m+ mO A = O A cos + O Bsin = cos ( r (r u)u)+ u r sin r =OO +O A=(r u)u+cos r cos (r u)u+sin (u r)=(1 cos )(r u)u +cos r+sin (u r)Q。 r cosr usinr (ur)sin2222010-03-1949推导推导q 0 q0q 0 q*qq0(cos
50、r (u r)sin ) (usin ) (cos r (u r)sin ) (usin ) 2 v- 2 _ _ _2 2 v- 2 _ _ _2qq*qq* sin cos (u r) sin2 (u r)u cos (cos r (u r)sin ) 2 v- 2 _ 2v- _ 2 2 v- _ _ _2Q 。 r 。 Q* (sin(u r) cosr (u r)sin) 。 (cos usin)22222q = sincos(u r) sin2(u r)u cos2r sincos(u r) sincos(u r)2222Q 。 R q0r0 q0r qr0 q r q rsin2
