1、位错的弹性理论、计算方法和主要内容位错具有应力场位错具有应力场弹性应力场可由弹性理论计算弹性应力场可由弹性理论计算包含弹性应力场、能量、线张力、相互包含弹性应力场、能量、线张力、相互作用力等内容作用力等内容2.1 弹性力学基本知识弹性力学基本知识1.弹性连续介质弹性连续介质基本假设：基本假设：变形服从胡克定律变形服从胡克定律是各向同性的是各向同性的介质完全连续，无结构间隙介质完全连续，无结构间隙已证实：适用于大部分弹性变形的点阵区域已证实：适用于大部分弹性变形的点阵区域2.记号记号（1）应力）应力用应力均匀分布的六面体单元表示应力用应力均匀分布的六面体单元表示应力单元体上的应力分量单元体上的应
2、力分量正面正方向为正正面正方向为正负面负方向为正负面负方向为正其余应力为负其余应力为负与单元体有关的坐标变换与单元体有关的坐标变换（2）应变）应变正应变正应变伸长为正，缩短为负伸长为正，缩短为负切应变切应变 两方向间直角变小为正，变大为负两方向间直角变小为正，变大为负iillij（3）位移）位移沿坐标轴正向为正，负向为负沿坐标轴正向为正，负向为负,xyzu u u3.平衡微分方程平衡微分方程单元体平衡时单元体平衡时单元体受力情况单元体受力情况000000MxMyMzFxFyFz力矩平衡微分方程力矩平衡微分方程由由 可得：可得：同理：同理：即切应力互等即切应力互等0Mx yzzyxyyxzxxz
3、力平衡微分方程力平衡微分方程单元体静止时单元体静止时(存在体积力存在体积力)：yxxxzxxyyyzyyzxzzz000XxyzYxyzZxyz单元体运动时：单元体运动时：2yxxxzx22xyyyzy22yzxzzz2xyzuXxyztuYxyztuZxyzt4. 应变与位移的关系应变与位移的关系yxzxxyyzzyxxyxyxzxzxzyzyzyzuuu,xyzuu11()2yx2uu11()2zx2uu11()2zy2变形后的形状变化变形后的形状变化5. 应力与应变关系应力与应变关系yyyyxxzzzzzzxxyzyzzzxyyxy1()E1()E1()E12G12G12Gxxxxyyz
4、zxxxxyyzzyyyyx x或者或者2(1)(1 2 )Gxxxxyyzzxxxxyyzzyyxxyyzzyyxxyyzzzzxxyyzzzzxxyyzzxyxyxyxyxzxzxzxzyzyzyzyz = (+ 2G) + + = (+ 2G) + + = + (+ 2G) + = + (+ 2G) + = + + (+ 2G) = + + (+ 2G) = 2G = 2G = 2G = 2G = 2G = 2GE E其中G =其中G =2(1+2(1+)EE= =(1-2)(1-2)6.以位移分量表示平衡方程以位移分量表示平衡方程静力平衡，无体积力静力平衡，无体积力yxxxzxxyyy
5、zyyzxzzz000 xyzxyzxyz考虑应力考虑应力-应变应变-位移关系位移关系用位移分量表示的平衡方程用位移分量表示的平衡方程22y22222222101 2101 2101 2,xzxxyyzzuv xuv yuv zxyz 其中：2.2 位错的应力应变场位错的应力应变场1.螺位错的应力应变场螺位错的应力应变场（1）模型建立）模型建立错排模型：错排模型：不方便数学处理，不方便数学处理，不采用不采用螺型位错的模型螺型位错的模型连续介质模型连续介质模型 假设晶体是各向同性的均匀连续弹性介质，位错处假设晶体是各向同性的均匀连续弹性介质，位错处在无限大的连续介质中在无限大的连续介质中优点：模
6、型简单优点：模型简单缺点：中心区不适用缺点：中心区不适用应力应变场求解的一般思路应力应变场求解的一般思路xyzyxzxxyyzzyxxyxyxzxzxzyzyzyz(1) 确定位移 u ,u ,u(2) 由位移确定 uuu,xyzuu11()2yx2uu11()2zx2uu11()2zy2(3) 由胡克定律求出螺位错应力应变场分布螺位错应力应变场分布x xx xy yy yz zz zy yx xx xz z2 22 2y yz z2 22 2x xx xy yy yz zz zy yx xx xz z2 22 2y yz z2 22 2= = = = = 0 0b by y= = - -4
7、4 x x + + y yb bx x= =4 4 x x + + y y= = = = = 0 0G Gb by y= = - -2 2 x x + + y yG Gb bx x= =2 2 x x + + y y没没有有正正应应力力和和正正应应变变，只只有有切切应应力力和和切切应应变变柱坐标下：柱坐标下：特点：只有切应力，没有正应力特点：只有切应力，没有正应力 应力应变中心对称（与应力应变中心对称（与无关）无关） 应力应变与应力应变与r反比反比 = =0 = =0zzzzrrzrrrzrrrGbGb=2 2rrzzb b=4 4rrzz刃型位错的应力应变场及模型刃型位错的应力应变场及模型进
8、一步可由胡克定律求出进一步可由胡克定律求出应变应变22xx22 222yy22 2zzxxyyxzzxyzzy22xyyx22 2y(3x +y )D(x +y )y(x -y )D(x +y )()0 x(x -y )D(x +y )GbD2 1 其中： =(- )rrzzrrrrzzsinDr()cosDr0 刃型位错的应力场分布刃型位错的应力场分布1.同时存在正应力分量与同时存在正应力分量与切应力分量；切应力分量；2.应力分布与应力分布与z无关；无关；3. y0处为压应力处为压应力 y0处为拉应力处为拉应力4.滑移面（滑移面（y=0）只有切）只有切应力；应力；多余半原子面处（多余半原子面
9、处（x=0）只有正应力只有正应力5.y=x与与y=-x处，纯拉压处，纯拉压状态状态 刃位错的等应力曲线刃位错的等应力曲线单位单位G/400（1-）混合位错的应力场混合位错的应力场由其中的螺位错与刃位错的应力应变场由其中的螺位错与刃位错的应力应变场叠加得到叠加得到1r3.位错的应变能位错的应变能因何而生：因何而生： 畸变。畸变。又称自能又称自能 E=Ec+Ee 忽略较小的错排能忽略较小的错排能Ec，E=Ee 表示为：表示为：W/L单位长度位错线单位长度位错线的能量的能量如何求解：如何求解：1）找出区域内应变能的体积密度函数并）找出区域内应变能的体积密度函数并积分积分2）通过形成一个位错所做的功确
10、定）通过形成一个位错所做的功确定直螺型位错的应变能直螺型位错的应变能 应变能密度函数积分法应变能密度函数积分法 20ln4WGbRLr直刃型位错的应变能直刃型位错的应变能外力做功形成位错法外力做功形成位错法刃型位错的应变能大于螺型位错的应变能刃型位错的应变能大于螺型位错的应变能20ln4 (1)WGbRLvr = =混合位错的应变能混合位错的应变能将将b分解后分别求螺型、刃型分量的应变能后叠分解后分别求螺型、刃型分量的应变能后叠加加20.51.0()GWbmL 位错分解或合成可降低应变能202ln411co sWG bRLkrvkv应变能概括：应变能概括：位错的能量可近似为弹性应变能位错的能量
11、可近似为弹性应变能位错的应变能正比于位错的应变能正比于b2，位错可合成或分解，位错可合成或分解螺型位错相对应变能更低，更容易形成螺型位错相对应变能更低，更容易形成位错线有尽量缩短或变直的趋势位错线有尽量缩短或变直的趋势位错是热力学不稳定的晶体缺陷位错是热力学不稳定的晶体缺陷4.位错的线张力位错的线张力因何产生：因何产生： 拉长位错线必增加应变能，拉长位错线必增加应变能， 线张力可抵抗该变化。线张力可抵抗该变化。定义：定义：每增加单位长度位错线引起的位错能量每增加单位长度位错线引起的位错能量的增量的增量在数值上等于单位长度位错线的能量在数值上等于单位长度位错线的能量WTL1）直线位错的线张力）直
12、线位错的线张力单位长度直位错线的能量：单位长度直位错线的能量：直位错线的线张力：直位错线的线张力：202ln411,11cosWGbRLkrkkvvkv ，螺型位错刃型位错,混合型位错40210RrTG b2）弯曲位错的线张力）弯曲位错的线张力将长度为将长度为L的位错线弯曲为波浪形（波长的位错线弯曲为波浪形（波长），位错线长度增加），位错线长度增加L，线张力为：，线张力为：022010012ln4rTGbWGbTLkr 取3）位错的回复力）位错的回复力指线张力作用下曲线位错变直的力，指向曲指线张力作用下曲线位错变直的力，指向曲率中心率中心222 sin2122dTFTdTfdsdsdsrTGb
13、Gbfr5.位错线的受力位错线的受力位错线不仅有应力场，也可以处在外加位错线不仅有应力场，也可以处在外加应力场或其他晶体缺陷的应力场中应力场或其他晶体缺陷的应力场中可用虚功原理求解位错所受的力：可用虚功原理求解位错所受的力：外力使晶体变形所做的功外力使晶体变形所做的功 =使位错受力运动所做的功使位错受力运动所做的功1）作用于位错线的滑移力）作用于位错线的滑移力切应力产生切应力产生 在切应力（与在切应力（与b b平行）使一小段位错线平行）使一小段位错线dldl移移动了动了dsds距离，其作用使晶体沿滑移面产生相距离，其作用使晶体沿滑移面产生相对滑移对滑移b b作用于晶体的变形功作用于晶体的变形功
14、作用于位错的机械功作用于位错的机械功单位长度位错线受力单位长度位错线受力()dWdA bdlds bdWF dsFfbdl位错线受滑移力的特点：位错线受滑移力的特点：是组态力是组态力大小相等大小相等总是垂直于位错线并指向未滑移区总是垂直于位错线并指向未滑移区2）作用于刃位错线的攀移力）作用于刃位错线的攀移力 正应力正应力产生产生正应力（与正应力（与b b平行）使一小段位错线平行）使一小段位错线dldl移动移动了了dydy距离，其作用使晶体在距离，其作用使晶体在dydy厚度范围内产厚度范围内产生相对膨胀生相对膨胀b b作用于晶体的变形功作用于晶体的变形功作用于位错的机械功作用于位错的机械功单位长
15、度位错线受力单位长度位错线受力()dWdA bdldy b ydWFdyyFfbdl 位错线受攀移力的特点：位错线受攀移力的特点：是组态力是组态力大小相等大小相等攀移力方向与刃位错攀移方向一致攀移力方向与刃位错攀移方向一致总是垂直于位错线总是垂直于位错线拉应力造成负攀移，压应力造成正攀移拉应力造成负攀移，压应力造成正攀移3）复杂应力场中位错受力的一般表达式）复杂应力场中位错受力的一般表达式 复杂应力场中有一复杂应力场中有一段位错线元段位错线元dl，柏，柏氏矢量为氏矢量为b，产生，产生位移为位移为ds1212=()()=()()Wijdl dsbij bdldsWF dsWWFij bdlFfi
16、j bdl外力功:法向力做功:法向力：xyzkbb ib jbxxxyxzyxyyyzzxzyzz()()xxxyxzxyzyxyyyzzxzyzzFfij bdlibbbjk ()()()xxxyxzxyzyxyyyzxyzzxzyzzxyzxyzxxxxyxyzxzyxyxyyyzyzzxzxyzyzzzFfij bdliibbbjtttjkkijkGGGtttGbbbGbbbGbbb 习题习题1 ：如图位错环将如何运动？：如图位错环将如何运动？习题习题2：在如图正应力作用下，各段位错：在如图正应力作用下，各段位错线如何运动？线如何运动？6.位错间相互作用力位错间相互作用力两平行螺位错间的
17、相互作用力两平行螺位错间的相互作用力两平行刃位错间的相互作用力两平行刃位错间的相互作用力 两互相平行的同号刃位错相互作用时，两互相平行的同号刃位错相互作用时，稳定的排列位置在滑移面的垂直面上。稳定的排列位置在滑移面的垂直面上。 两互相平行的异号刃位错相互作用时，两互相平行的异号刃位错相互作用时，稳定的排列位置在稳定的排列位置在45度分角面上。度分角面上。同号与异号刃位错的滑移力同号与异号刃位错的滑移力2.3 P-N 模型与模型与 P-N 力力连续介质模型有局限性，无法适用于位连续介质模型有局限性，无法适用于位错中心区错中心区晶体是各向异性的晶体是各向异性的晶体有独特的点阵结构晶体有独特的点阵结
18、构原子有独特的堆垛方式原子有独特的堆垛方式需要建立其他的模型需要建立其他的模型1.P-N模型（模型（Peierls-Nabarro）也称半点阵模型也称半点阵模型滑移面具有点阵结构滑移面具有点阵结构滑移面之外看做连续介质滑移面之外看做连续介质简单立方点阵简单立方点阵沿滑移面上下作相对位移沿滑移面上下作相对位移 b/2 后重新结合后重新结合0( )x表示晶体切开未拼时A层相对于B层同名原子的相对位移( )u x表示晶体重新连接时A层原子沿x轴的位移，B层同名原子做等量反向位移( )x为连接后对应原子间的相对位移0, ( )2 ( )20, ( )2 ( )20, ( )00, ( )00, ( )
19、0, ( )4, ( )4bxxu xbxxu xxu xxu xxu xbxu xbxu x 其中且0,( )2 ( )20,( )2 ( )20, ( )00, ( )00, ( )0, ( )4, ( )4bxxu xbxxu xxu xxu xxu xbxu xbxu x 其中且P-N基本方程基本方程( )14( )sin2du xdxvbu xdxx xabP-N位错的宽度位错的宽度-1( )-22 1-2 1-2esbxu xtgaava 其中 ， 其中 ， （）（），（）（），称为位错的半宽度称为位错的半宽度刃型刃型螺型螺型1( )tan2, ( )82(1)2bxu xbxu
20、xava 刃型，螺型，刃型刃型Peierls位错的应力场为位错的应力场为222222222222222222()-2 (1- )()()322 ()-2 (1- )()()2-2 (1- )()()(xyxxyyzzxxyyxy yGbxxyxyyy yGbxyxyyx yGbxyxy )22xx22222yy222zzxxyyxzzxyzzy22xyyx222y(3x +y )D(x +y )y(x -y )D(x +y )()0 x(x -y )D(x +y )GbD21 其中： =( -)应力场的适用性应力场的适用性22rxy应力场中某一点距离位错中心的距离满足如下条应力场中某一点距离位
21、错中心的距离满足如下条件时，件时，P-N模型与连续介质模型一致模型与连续介质模型一致:2.P-N位错的能量位错的能量2222W=We+WmWe,Wm GbRWe=ln24 1-GbR We=ln42GbWm=4 1-Gb Wm=4滑移面以外晶体中的弹性应变能滑移面以外晶体中的弹性应变能， 滑移面上原子的错排能， 滑移面上原子的错排能其中，刃型位错其中，刃型位错（）（），螺型位错，螺型位错错排面上的总能量为：，刃型位错错排面上的总能量为：，刃型位错（）（），螺型位错，螺型位错3.晶格阻力与派纳力晶格阻力与派纳力实际不同位置处对位错运动的阻力是不同实际不同位置处对位错运动的阻力是不同的：的：位错在
22、错排面上偏离某一平衡位置位错在错排面上偏离某一平衡位置b（01）距离时，）距离时，位位错在任意一个位置时的错排能为错在任意一个位置时的错排能为其中（）其中（）称称为能垒表征位错运动的周期性势能为能垒表征位错运动的周期性势能221x=nb+b2x(n,)WpGbW=+cos424(1-)4GbWp=exp -b(1-)P-N单位长位错线上的晶格阻力应等于某处错单位长位错线上的晶格阻力应等于某处错排能对位置的微分：排能对位置的微分：派派纳应力纳应力P4F W2Gb=-=sin4 exp(-)L1-b x4F2G =/b=sin4 exp(-)L1-b42G2G2a = max=exp(-)=exp(-)1-b1-b(1-)PN应力的应用应力的应用物理意义：物理意义：0k时位错运动的最大晶格时位错运动的最大晶格阻力阻力与晶体的实际切变强度吻合与晶体的实际切变强度吻合可确定晶体中的易滑移面与易滑移方可确定晶体中的易滑移面与易滑移方向向位错的可动性位错的可动性不同结构材料变形的难易程度不同结构材料变形的难易程度42G2G2a p=exp(-)=exp(-)1-1-bb 1-（）派派纳纳力力
