1、2.3复合函数与初等函数的导数一、复合函数的微分法一、复合函数的微分法定理定理 1 1()()()fxfxx此法则又称为复合函数求导的链式法则 可导，则( )( )yf uux， ( )yfx设ddddddyyuxux或复合函数的导数为推论推论设设 y y = = f f ( (u u) ) ， u u = = ( (v v) )， v v = = ( (x x) ) 均可导，则复合函数均可导，则复合函数 y y = = f f ( ( ( (x x) ) ) 也可导，也可导，.xvuxvuyy 且且说明：说明： 1、利用复合函数的求导法则，关键是弄清复合函数的复合关系即由哪些基本初等函数或简
2、单函数复合而成。 2、熟练地掌握了复合函数的分解及链式法则后，可以不写出中间变量，采用逐层求导的方式计算复合函数的导数。例例 1 1设设 y y = (2= (2x x + + 1 1) )5 5，求，求 y y . .解解把把 2 2x x + + 1 1 看成中间变量看成中间变量 u u，y y = = u u5 5，u u = 2 = 2x x + + 1 1复合而成，复合而成，,5)(45uuyu . 2)12( xux所以所以.)12(102544 xuuyyxux 将将 y y = (2= (2x x + + 1)1)5 5看成是看成是由于由于例例 2 2设设 y y = sin=
3、 sin2 2 x x，求，求 y y . .解解这个函数可以看成是这个函数可以看成是 y y = sin = sin x x sin sin x x, , 可利用乘法的导数公式，可利用乘法的导数公式，将将 y y = sin= sin2 2 x x 看成是由看成是由 y y = = u u2 2，u u = sin= sin x x 复复合而成合而成. . 而而,2)(2uuyu .cos)(sinxxux 所以所以.cossin2cos2xxxuuyyxux 这里，这里， 我们用复合函数求导法我们用复合函数求导法. .复合函数求导数熟练后，中间变另可以不必写出复合函数求导数熟练后，中间变另
4、可以不必写出. .求求 y y . .,12xy 设设解解将中间变量将中间变量 u u = 1 = 1 - - x x2 2 记在脑子记在脑子中中. . )1(2121)(21221也也在在心心中中运运算算 xuuyu这样可以直接写出下式这样可以直接写出下式xxxxy )1()1(212212.12xx 例例 3 3例例 4 4,sinlnxy 设设求求 y y . .解解这个复合函数有三个复合步骤这个复合函数有三个复合步骤. ,sin ,lnxvvuuy 把这些中间变量都记在脑子中把这些中间变量都记在脑子中xxxxxy )(sinsin1)(xxxx )(cossin1.cot21xx 解解
5、先用除法的导数公式，遇到复合时，再先用除法的导数公式，遇到复合时，再用复合函数求导法则用复合函数求导法则. .2222)1()1(1)(xxxxxy 222112211xxxxx .)1(1)1(1)1(2322222xxxxx 例例 5 5, ,求求 y y . .21xxy 设设例例 6 6设设 y y = sin(= sin(x xln ln x x) )，求求 y y . .解解先用复合函数求导公式，先用复合函数求导公式， 再用乘法公式再用乘法公式y y = cos(= cos(x xln ln x x) () (x xln ln x x) ) = cos(= cos(x xln ln
6、 x x) () (x x (ln (ln x x) ) + + x x ln ln x x ) )= (1 = (1 + + ln ln x x)cos()cos(x x ln ln x x) .) .例例 7 7 )1ln( 2 xx求求解解先用复合函数求导公式，先用复合函数求导公式， 再用加法求导公式，再用加法求导公式，然后又会遇到复合函数然后又会遇到复合函数 的求导的求导. .21x )1ln(2 xx )1(1122xxxx)1(1 1122 xxx 221111xxxx.112x 二、反函数的导数 如果函数x(y)在某区间Iy内单调、可导且 (y)0，那么它的反函数yf(x)在对应
7、区间Ix内也可导，并且 )(1)(yxf。 简要证明：简要证明： 因为yf(x)连续，所发当Dx0时，Dy0。 )(11limlim)(00yyxxyxfyxDDDDDD即 )(1)(yxf。 )(11limlim)(00yyxxyxfyxDDDDDD)(11limlim)(00yyxxyxfyxDDDDDD， 例例1 1求(arcsin x)及(arccos x)。 类似地有：211)(arccosxx。 如果函数x(y)在某区间Iy内单调、可导且 (y)0，那么它的反函数yf(x)在对应区间Ix内也可导，并且 )(1)(yxf。 (arcsin x) 解：解：因为yarcsin x是xsi
8、n y的反函数，所以 (arcsin x)yycos1)(sin12211sin11xyyycos1)(sin12211sin11xyyycos1)(sin12211sin11xyyycos1)(sin12211sin11xy。 即即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 例例2 2求(arctan x)及(arccot x)。 如果函数x(y)在某区间Iy内单调、可导且 (y)0，那么它的反函数yf(x)在对应区间Ix内也可导，并且 )(1)(yxf。 解：解：因为yarctan x是xtan y的反函数，所以 22211tan11sec1)(tan1)(a
9、rctanxyyyx 类似地有：211)cotarc(xx。 22211tan11sec1)(tan1)(arctanxyyyx22211tan11sec1)(tan1)(arctanxyyyx22211tan11sec1)(tan1)(arctanxyyyx22211tan11sec1)(tan1)(arctanxyyyx。 例例3 3(0,1).xyaaa求函数的导数1(log)lnyayxyya1lnxyyyax 即()xxee ()ln .xxaaa 解解logxayaxyQ是的反函数特别地当特别地当ae时有时有解解 y y = e= etan tan x x 可以看成是由可以看成是由
10、 y y = e= eu u，u u = = tan tan x x 复合而成，复合而成，所以所以xuuxuxxuyy)(tan)e ( .esecsecetan22xuxx 例例 4 4设设 y y = e= etan tan x x，求，求 y y . .例例 5 5设设 f f ( (x x) ) = arcsin(= arcsin(x x2 2) ) ，求，求 f f ( (x x).).解解xxxxf )(11)(24.124xx 例例 6 6,exxy 设设求求 y y . .解解xxxxxxy )e()e(2121 xxxxxx )e ()()e(2121 xxxxx )(e1)
11、e(2121).e1()e(2121xxx 三、参数方程导数., )()( 参参数数方方程程所所确确定定的的函函数数称称此此函函数数为为由由此此间间的的函函数数关关系系与与可可确确定定若若xytytx 例如例如 ,22tytx2xt , )2( , 22xty 此此参参数数方方程程确确定定的的函函数数得得.4)( 2xxyy 即即消去参数消去参数 t t问题问题: : 消参数困难或无法消去参数时如何求导消参数困难或无法消去参数时如何求导? ? 设x(t) 具有反函数 t1(x)，且t1(x)与y(t)构成复合函数y1(x) 。若x(t)和y(t)都可导，则 设参数方程)()(tytx确定了 y
12、 与 x 的函数关系。 )()(1ttdtdxdtdydxdtdtdydxdy)()(1ttdtdxdtdydxdtdtdydxdy)()(1ttdtdxdtdydxdtdtdydxdy， 即 )()(ttdxdy 或 )()(ttdxdy 或 dtdxdtdydxdy。 若 y(t)，x(t)，则)()(ttdxdy 例例 7求参数方程tbytaxsincos确定的函数 y 的导数。 解解：tabtatbtatbdxdycotsincos)cos()sin(tabtatbtatbdxdycotsincos)cos()sin(tabtatbtatbdxdycotsincos)cos()sin(
13、tabtatbtatbdxdycotsincos)cos()sin(。 例例7 7四、导数的基本公式(1) (C)0，(2) (xm)m xm1，(3) (sin x)cos x，(4) (cos x)sin x，(5) (tan x)sec2x，(6) (cot x)csc2x，(7) (sec x)sec x tan x，(8) (csc x)csc x cot x，(9) (ax)ax ln a ，(10) (ex)ex， (16) (arctan x)211x。(12) (ln x)x1， (13) (arcsin x)211x， (14) (arccos x)211x， (15) (
14、arctan x)211x， (11) (log a x)axln1(a0, a1)， ，练习题练习题2.3 1、（、（2）（）（5）（）（8）（）（14）（）（20） 2、（2）（）（6）（）（10） 3、（、（3）作业：作业：P362.4 隐函数求导法一、隐函数的求导一、隐函数的求导 形如形如 y y sin sin x x ，y y ln ln x x e e x x 的函数都是显函数。的函数都是显函数。012 yx 显函数与隐函数：显函数与隐函数：12xy.),(显函数xfy 0),( yxF隐函数隐函数隐函数的显化隐函数的显化 我们所遇到的函数大都是一个变量明显用另一个我们所遇到的函
15、数大都是一个变量明显用另一个变量表示的形式变量表示的形式-y = f(x),这种形式称为这种形式称为显函数显函数. .0,33yyxexyyx定义定义: :.)(0),(称为隐函数所确定的函数由方程xyyyxF0),( yxF)(xfy 隐函数的显化隐函数的显化问题问题: 隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导?对于这样的函数例如例如,122xyx数是由方程形式给出的.但这个函对于对于,的函数也是 xy隐函数的求导法则隐函数的求导法则隐函数一般可用隐函数一般可用F(x,y)=0表示表示.现在的问题是通过现在的问题是通过方程方程F(x,y)=0确定了确定了y是是x的函数
16、，如何来的函数，如何来求求 y的导数的导数.容易看出：容易看出：“先将形式隐函数显化，然后再求导先将形式隐函数显化，然后再求导”不是一个好的办法，因为将隐函数显化，即将其变不是一个好的办法，因为将隐函数显化，即将其变成显函数形式一般是非常困难的，甚至是不可能的成显函数形式一般是非常困难的，甚至是不可能的. 对于隐函数求导，可以采用这样的方法：对于隐函数求导，可以采用这样的方法：首先在等首先在等式两边对式两边对x求导，遇到求导，遇到 y 时将其认作中间变量，利用时将其认作中间变量，利用复合函数的求导法则，得到含复合函数的求导法则，得到含的方程，解出的方程，解出即可即可. . 例例1 1求由方程e
17、yxye0所确定的隐函数y的导数。 解：解：方程中每一项对x求导得 (e y)(xy)(e)(0)，即 e y yyxy0，从而 yexyy(xe y 0)。 例例 2求由方程 y52yx3x70 所确定的隐函数 y 在 x0 处的导数0|xdxdy。 解：解：把方程两边分别对x求导数得 0211256xdxdydxdyy， 由此得 2521146yxdxdy。 因为当x0时，从原方程得y0，所以 21|25211|0460 xxyxdxdy。 例例3求椭圆191622yx在)323 , 2(处的切线方程。 解：解：把椭圆方程的两边分别对x求导，得 0928yyx。 从而 yxy169。 当x
18、2 时，323y，代入上式得所求切线的斜率 ky|x243。 所求的切线方程为 )2(43323xy，即323y，代入上式得所求切线的斜率 )2(43323xy，即03843yx。 例例 4求由方程0sin21yyx所确定的隐函数 y 的二阶导数。 0cos211dxdyydxdy， 解：解：方程两边对x求导，得于 是 ydxdycos22。 3222)cos2(sin4)cos2(sin2yyydxdyydxyd 上式两边再对x求导，得3222)cos2(sin4)cos2(sin2yyydxdyydxyd3222)cos2(sin4)cos2(sin2yyydxdyydxyd。 二、对数求
19、导法二、对数求导法 在求导运算中，常会遇到下列两类函在求导运算中，常会遇到下列两类函数的求导问题，一类是幂指函数，即形如数的求导问题，一类是幂指函数，即形如 的函数，还有一类是一系列函数的函数，还有一类是一系列函数的乘、除、乘方、开方所构成的函数的乘、除、乘方、开方所构成的函数.)()(xgxf 所谓所谓对数求导法对数求导法，就是在，就是在 y=f(x) 的两的两边分别取对数，然后用隐函数求导法求导边分别取对数，然后用隐函数求导法求导的方法的方法.观察函数观察函数.,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 方法方法: : 先在方程两边取对数先在方程两边取对数，将连乘积、商函将连乘积、商函数
20、或幂指函数简化为和差函数，然后利用数或幂指函数简化为和差函数，然后利用隐函数的求导方法求出导数隐函数的求导方法求出导数. .适用范围适用范围: :于是 例例5 5求yx sin x (x0)的导数。 解：解：两边取对数，得ln ysin x ln x，上式两边对x 求导，得 xxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx。 xxxxyy1sinlncos1， 这种幂指函数的导数也可按下面的方法求： yx sin xe sin xln x ， ye sin x ln x(sin x ln x)ye sin x ln x(sin x ln x)sinln(cossinxxxxxx。 ln y21ln(x1)ln(x2)ln(x3)ln(x4)， 解：解：先在两边取对数，得 y1y上式两边对x求导，得于是 y2y(11x21x31x41x)。 y121(11x21x31x41x)， 例例 6求函数)4)(3()2)(1(xxxxy的导数。 课堂练习：课堂练习：作业：作业：P39P39练习题2.4 1（1）（3）（5）； 2； 4、（1）（6） Thank you
