1、2.1 描述流体运动的方法描述流体运动的方法2.2 流体微团运动的分析流体微团运动的分析2.3 连续方程（质量方程）连续方程（质量方程）2.4 欧拉运动方程及欧拉运动方程及N-S方程方程 2.5 环量与涡环量与涡 一个布满了某种物理量的空间称为场。一个布满了某种物理量的空间称为场。充满着运动流体的空间称为“流场”速度场压强场在高速流动时，气流的密度和温度也随流动有变化，那就还有一个密度场和温度场。这都包括在流场的概念之内。根据连续介质的假设，流体是由质点组成，无空隙地充满所占据的空间。流体质点发生运动时，如何正确描述和区分各流体质点的运动行为，将是流体运动学必须回答的问题。描述流体运动的方法有
2、两种。1 1、LagrangeLagrange方法（方法（拉格朗日方法，拉格朗日方法，质点法）质点法）观察者着眼于个别流体质点的流动行为，通过跟踪每个质点观察者着眼于个别流体质点的流动行为，通过跟踪每个质点的运动历程，从而获得整个流场的运动规律。的运动历程，从而获得整个流场的运动规律。cba,ottzyx,其中，其中，a,b,c 为流体质点的标识符，用于区分和识别各质为流体质点的标识符，用于区分和识别各质点，一般可用质点的初始坐标表示点，一般可用质点的初始坐标表示; t 表示时间。表示时间。 上式就是质点（上式就是质点（a,b,c）的轨迹参数方程）的轨迹参数方程用如下方程描述质点（用如下方程描
3、述质点（a,b,c）所经历）所经历的轨迹：的轨迹： x(a,b,c,t), y(a,b,c,t), z(a,b,c,t)质点的坐标位置是时间 t 的函数，对于给定的流体质点(a,b,c)ttcbazvttcbayvttcbaxvzyx),(),(),(222222),(),(),(ttcbazattcbayattcbaxazyx这里使用偏导数是因为坐标同时是时间和质点标号的函数，这里使用偏导数是因为坐标同时是时间和质点标号的函数，求导时要求求导时要求a,b,c固定不变，即求导是针对同一流体质点的。固定不变，即求导是针对同一流体质点的。加速度为：速度表达式是：2、Euler方法（欧拉方法，空间点
4、法，流场法）方法（欧拉方法，空间点法，流场法） 欧拉方法的着眼点欧拉方法的着眼点不是流体质点而是空间点不是流体质点而是空间点。考察不。考察不同流体质点通过空间固定点的流动行为，通过记录不同空同流体质点通过空间固定点的流动行为，通过记录不同空间点流体质点经过的运动情况，从而获得整个流场的运动间点流体质点经过的运动情况，从而获得整个流场的运动规律规律 在固定空间点看到的是不同流体质点的运动变化，无在固定空间点看到的是不同流体质点的运动变化，无法像拉格朗日方法那样直接记录同一质点的时间历程。法像拉格朗日方法那样直接记录同一质点的时间历程。 在固定空间点很容易记录流过的不同质点的速度：在固定空间点很容
5、易记录流过的不同质点的速度：其中，其中，x,y,z 为空间点的坐标。为空间点的坐标。t t 表示时间。表示时间。x.y.z.t 称为欧拉变数，是四个相互独立的变量。称为欧拉变数，是四个相互独立的变量。x.y.z 给定，给定，t 变化，表示不同时刻不同流体质点通过同一空变化，表示不同时刻不同流体质点通过同一空间点的速度。间点的速度。t 给定，给定，x.y.z 变化，表示给定时刻，不同流体质点通过不同空变化，表示给定时刻，不同流体质点通过不同空间点的速度，给定速度场。间点的速度，给定速度场。),( ),(),(tzyxvkvjvivVtzyxvtzyxvzzyxyx上式既描述了某一瞬间各点的流动情
6、况，也描述了不同瞬上式既描述了某一瞬间各点的流动情况，也描述了不同瞬间的流动参数在各点的分布情况。这种描述法称为间的流动参数在各点的分布情况。这种描述法称为欧拉法。欧拉法。 请注意，请注意，x,y,z,t 是四个独立变数。如果不另外赋以意义，是四个独立变数。如果不另外赋以意义，则不能有则不能有 dx/dt，d2x/dt2 这类的表达式。这类的表达式。 应该指出，速度场的表达本质上指的是该瞬时恰好通过应该指出，速度场的表达本质上指的是该瞬时恰好通过该空间点的流体质点所具有的速度该空间点的流体质点所具有的速度 。 欧拉观点下如何表达加速度？我们用如下欧拉观点下如何表达加速度？我们用如下4图来定性描
7、述图来定性描述引起各处速度变化的原因：引起各处速度变化的原因：图图1流体质点从流体质点从A点与点与B点速度不变；点速度不变；第第2图表示图表示A点与点与B点因水位下降引起速度同时减小；点因水位下降引起速度同时减小；第第3图表示流体质点从图表示流体质点从A流到流到B点，因管道收缩引起速度增加；点，因管道收缩引起速度增加；第第4图表示流体质点从图表示流体质点从A流到流到B点，因水位下降和管道收缩引点，因水位下降和管道收缩引起速度的变化。起速度的变化。 2.1.2 欧拉法的加速度表达式欧拉法的加速度表达式小容器小容器非常大的容器非常大的容器 2.1.2 欧拉法的加速度表达式欧拉法的加速度表达式 水位
8、下降表示流场的水位下降表示流场的非定常性非定常性，管道收缩表示流场的，管道收缩表示流场的不均匀性不均匀性。由此可见，一般情况下引起流体质点速度的变。由此可见，一般情况下引起流体质点速度的变化来自于两方面的贡献：其一是流场的不均匀性，其二是化来自于两方面的贡献：其一是流场的不均匀性，其二是流场的非定常性。流场的非定常性。 用欧拉法来描述一般的非定常流场时，关于加速度要用欧拉法来描述一般的非定常流场时，关于加速度要强调两点。第一，强调两点。第一，A（x，y，z）点上）点上 t 瞬时的流体微团的瞬时的流体微团的速度是时间的函数，所以速度可以随时间变化。第二，原速度是时间的函数，所以速度可以随时间变化
9、。第二，原在在 A 点的微团经点的微团经t 后到了后到了 B 点，若点，若 B 点的速度与点的速度与 A点的点的不同，那么由于迁移，它也会有速度的变化不同，那么由于迁移，它也会有速度的变化 。 2.1.2 欧拉法的加速度表达式欧拉法的加速度表达式设在设在 t 瞬时，位于瞬时，位于A（x，y，z）点的一个微团具有速度）点的一个微团具有速度vx, vy , vz。经。经t 时间后，该微团移到时间后，该微团移到B),(tvztvytvxzyx令：令：),(tzyxvvxx经经t 之后，之后， vx变成变成 vx +vx : tttvtvzvtvyvtvxvtzyxvtt tvztvytvxvvvxz
10、xyxxxxzyxxxx0, 2.1.2 欧拉法的加速度表达式欧拉法的加速度表达式),(trv),(ttt vrv)(rAkjirvzyxvvvt),()(tB vr质点质点将变化前后的速度表达相减，略去高阶项，仅保留一阶项，将变化前后的速度表达相减，略去高阶项，仅保留一阶项，得得zvvyvvxvvtvtvzzyyxxxx此式右侧第一项是微团在此式右侧第一项是微团在（x，y，z）处其速度随时间的变处其速度随时间的变化率，即化率，即当地加速度当地加速度。后三项是由于微团流向速度不相同。后三项是由于微团流向速度不相同的邻点而出现的速度变化率，即的邻点而出现的速度变化率，即迁移加速度迁移加速度 。
11、2.1.2 欧拉法的加速度表达式欧拉法的加速度表达式算子：算子：zvyvxvtDtDzyx称为随流体运动的导数，或称称为随流体运动的导数，或称随体导数随体导数、实质导数实质导数或或物质物质导数导数。写成矢量的形式写成矢量的形式kzjyix其中，哈密顿算子：其中，哈密顿算子： 2.1.2 欧拉法的加速度表达式欧拉法的加速度表达式)(vtDtD0t0)(v 定常流动；定常流动；（Material derivative operator）均匀流动均匀流动从而上述加速度可以写成：从而上述加速度可以写成： zvvyvvxvvtvDtDvtzyxazvvyvvxvvtvDtDvtzyxazvvyvvxvv
12、tvDtDvtzyxazzzyzxzzzyzyyyxyyyxzxyxxxxx),(),(),(写成矢量的形式：写成矢量的形式：VVtVDtVDkajaiatzyxazyx)(),( 2.1.2 欧拉法的加速度表达式欧拉法的加速度表达式除可作用于速度外，对流场中其它变量也成立。除可作用于速度外，对流场中其它变量也成立。如对于压强如对于压强 p，有，有：zvyvxvtDtDzyxzpvypvxpvtpDtDpzyx随体导数随体导数算子算子： 2.1.2 欧拉法的加速度表达式欧拉法的加速度表达式 譬如像直圆管中的定常层流（如下图）那样一种实际譬如像直圆管中的定常层流（如下图）那样一种实际流动，流动，
13、vx=vx (y)。当地加速度和迁移加速度都是零。当地加速度和迁移加速度都是零。 迁移加速度中的任何一项都是迁移加速度中的任何一项都是速度分量与同一方向的导速度分量与同一方向的导数之乘积数之乘积， 或称或称沿速度方向的导数。沿速度方向的导数。因此只有上述两项都不因此只有上述两项都不为零才可能存在迁移加速度，因此也为零才可能存在迁移加速度，因此也将称为对流导数。将称为对流导数。zvyvxvVzyx 2.1.2 欧拉法的加速度表达式欧拉法的加速度表达式根据上述分析可得出以下各图中欧拉法的加速度表达式。根据上述分析可得出以下各图中欧拉法的加速度表达式。0DtDvxxuuDtDuxvvDtDvxxxt
14、vDtDvxxxvvtvDtDvxxxx 2.1.2 欧拉法的加速度表达式欧拉法的加速度表达式 人们希望用一些曲线将流场上的流动情况表现出来。人们希望用一些曲线将流场上的流动情况表现出来。迹线迹线是拉格朗日观点下描述流动的曲线，是给定质点在空是拉格朗日观点下描述流动的曲线，是给定质点在空间走过的轨迹。当速度场间走过的轨迹。当速度场vx, vy, vz给定时，迹线微分方程可给定时，迹线微分方程可写为：写为：2.1.3 迹线迹线 流线与流谱流线与流谱是自变量其中tvdtdzvdtdyvdtdxzyx,上式对时间上式对时间 t 积分后可得迹线的表达。积分后可得迹线的表达。流线流线是欧拉观点下描述流动
15、的曲线，是某瞬时的一条空间是欧拉观点下描述流动的曲线，是某瞬时的一条空间几何曲线，其切线都和该点的流体质点速度方向一致。流几何曲线，其切线都和该点的流体质点速度方向一致。流线是由同一时刻不同质点组成的，这样的线可以画无数条线是由同一时刻不同质点组成的，这样的线可以画无数条。在流线上任取一微段在流线上任取一微段时间时间 t 固定固定dzdydxdkjir该段的速度为该段的速度为zyxvvvkjiv因为流动速度向量与流线相切，所以因为流动速度向量与流线相切，所以0zyxvvvdzdydxdkjivr2.1.3 迹线迹线 流线与流谱流线与流谱因此流线的方程可写为因此流线的方程可写为zyxvdzvdy
16、vdx整个流场的速度都不随时间变化的流动称为定常流，如果整个流场的速度都不随时间变化的流动称为定常流，如果流动随时间变化，就称为非定常流。流动随时间变化，就称为非定常流。根据流线的定义，可知流线具有如下特点：根据流线的定义，可知流线具有如下特点：（1）在定常流中，流体微团的迹线与流线重合；）在定常流中，流体微团的迹线与流线重合；（2）在定常流中，流线是流体不可跨越的线；）在定常流中，流线是流体不可跨越的线；（3）一般的说，流线不可能相交，但有三个特殊情况：）一般的说，流线不可能相交，但有三个特殊情况：驻点，奇点，速度相等的点。驻点，奇点，速度相等的点。2.1.3 迹线迹线 流线与流谱流线与流谱
17、例例. 设有一个二维非定常流场其速度分布是设有一个二维非定常流场其速度分布是 ：求求t=0时过（时过（1，1）的流线和迹线。）的流线和迹线。解：解：1. 求流线，由流线方程（其中求流线，由流线方程（其中 t 固定当常数看）固定当常数看） ：积分得任一时刻积分得任一时刻 t 流线族为：流线族为：0,2,12aayvtaxvyxaydyaxdxt22)1 (cyxt )1(t=0时刻流线族为：时刻流线族为：cxy 2.1.3 迹线迹线 流线与流谱流线与流谱过（过（1，1）流线：）流线：1xy2. 求迹线，由迹线方程（其中求迹线，由迹线方程（其中t为自变量）：为自变量）：aydtdytaxdtdx2
18、,12积分得迹线参数方程：积分得迹线参数方程：ataecytcx2221,)1 (由初始条件定得由初始条件定得c1=c2=1, 故所求的迹线参数方程为：故所求的迹线参数方程为：)1(22221,)1 (axaataeyeytx即：可见非定常时迹线与流线不重合。可见非定常时迹线与流线不重合。2.1.3 迹线迹线 流线与流谱流线与流谱当流动为定常时当流动为定常时 再求流线与迹线。再求流线与迹线。由流线方程由流线方程 积分并定常数得积分并定常数得aydtdyaxdtdx2,2积分得：积分得：atatecyecx2221,由初始条件定得由初始条件定得 c1=c2=1,故所求为：故所求为：atateye
19、x22,消去消去 t 得：得：1xy可见定常时迹线与流线重合。可见定常时迹线与流线重合。ayvaxu2,2aydyaxdx22由迹线方程：由迹线方程：1xy2.1.3 迹线迹线 流线与流谱流线与流谱 与流线密切相关的，还有与流线密切相关的，还有流管流管和和流面流面这样两个概念。这样两个概念。 流管是由一系列相邻的流线围成流管是由一系列相邻的流线围成的。经过一条有的。经过一条有流量流量穿过的封闭围线穿过的封闭围线的所有流线，如图，经过围线的所有流线，如图，经过围线ABCDA（非流线）的各条流线便围成一条流（非流线）的各条流线便围成一条流管。管。 图2-6 流管（a）流线组成流管侧壁； （b）没有
20、流量由流管侧壁流出 由流线所围成的流管也正像一根具有实物管壁一样的由流线所围成的流管也正像一根具有实物管壁一样的一根管子，管内的流体不会越过流管流出来，管外的流体一根管子，管内的流体不会越过流管流出来，管外的流体也不会越过管壁流进去。也不会越过管壁流进去。 2.1.3 迹线迹线 流线与流谱流线与流谱 流面流面是由许多相邻的流线连成的一个曲面，这个曲面是由许多相邻的流线连成的一个曲面，这个曲面不一定合拢成一根流管。当然流管的侧表面也是一个流面。不一定合拢成一根流管。当然流管的侧表面也是一个流面。不管合拢不合拢，流面也是流动不会穿越的一个面不管合拢不合拢，流面也是流动不会穿越的一个面 。,)(Sd
21、SnVm,)(SdSnVQSdSnVgG)( 流量流量是单位时间内穿过指定截面的流体量，例如穿过上是单位时间内穿过指定截面的流体量，例如穿过上述流管中任意截面述流管中任意截面S的体积流量的体积流量 、质量流量、质量流量 和重量流和重量流量量 可分别表为可分别表为:Qm G其中，其中， 是速度向量，是速度向量， 是密度，是密度， 是微面积法线向量是微面积法线向量Vn2.1.3 迹线迹线 流线与流谱流线与流谱 2.2.1 流体微团的基本运动形式流体微团的基本运动形式 在理论力学中，研究对象是质点和刚体在理论力学中，研究对象是质点和刚体（无变形（无变形体），它们的基本运动形式可表示为：体），它们的基
22、本运动形式可表示为： 质点（无体积大小的空间点）质点（无体积大小的空间点）: 只有平动只有平动 刚体（具有一定体积大小，但无变形）刚体（具有一定体积大小，但无变形）:平动外，还有平动外，还有整体的旋转运动（转动）；整体的旋转运动（转动）； 在流体力学中在流体力学中，研究对象是流体质点和不断变化形状与，研究对象是流体质点和不断变化形状与大小的变形体，就变形体而言，其运动形式除包括了刚体的大小的变形体，就变形体而言，其运动形式除包括了刚体的运动形式外，还有变形运动。运动形式外，还有变形运动。 变形运动包括两种，其一是引起体积大小变化的边长伸变形运动包括两种，其一是引起体积大小变化的边长伸缩线变形运
23、动，其二是引起体积形状变化的角变形运动。由缩线变形运动，其二是引起体积形状变化的角变形运动。由此可得变形体的基本运动形式包括：此可得变形体的基本运动形式包括：(1)平动；平动；(2)转动转动；(3)线变形运动；线变形运动；(4)角变形运动角变形运动 2.2.1 流体微团的基本运动形式流体微团的基本运动形式 tttM0M 为便于分析，在流场中任取一平面微团为便于分析，在流场中任取一平面微团ABCD分析。分析。根据台劳级数展开，微分面四个顶点的速度可表示如下。根据台劳级数展开，微分面四个顶点的速度可表示如下。 2.2.1 流体微团的基本运动形式流体微团的基本运动形式yxvv ,xxvvxxvvyy
24、xx,yyvvyyvvyyxx,yyvxxvvyyvxxvvyyyxxx,ABCDxy线变形速率线变形速率 线变形运动是指微元体各边长发生伸缩的运动线变形运动是指微元体各边长发生伸缩的运动。线变形速率定义为单位时间单位长度的线变形量线变形速率定义为单位时间单位长度的线变形量。如对于。如对于AB边长，在微分时段内边长的增加量为：边长，在微分时段内边长的增加量为：txxvtvxxvvBBxxxx由此得到由此得到 x 方向的线变形速率为：方向的线变形速率为：xvxtBBxtxlim0 2.2.1 流体微团的基本运动形式流体微团的基本运动形式ABBCDCD同理，在同理，在 y 方向的线变形速率为：方向
25、的线变形速率为：yvytCCytylim0yxyxyxyxyxyvxvtyxtyxyvxvtyxyvxvtyxyxtyyvytxxvxtACABACABCABAdtSSd 2 2.2.1 流体微团的基本运动形式流体微团的基本运动形式平面微团的面积变化率为：平面微团的面积变化率为：推广到三维情况，可得流体微团体积相对变化率为推广到三维情况，可得流体微团体积相对变化率为zvyvxvdtVVdzyx角变形速率与旋转角速度角变形速率与旋转角速度在微分时段内，在微分时段内，AB边的偏转角度为（逆时针为正）：边的偏转角度为（逆时针为正）：txvxtvxxvvxBByyyy1tyvytvyyvvyCCxxx
26、x2AC边的偏转角度为（顺时针为负）：边的偏转角度为（顺时针为负）： 2.2.1 流体微团的基本运动形式流体微团的基本运动形式由对应的角速度分别为由对应的角速度分别为 xvdtdy1yvdtdx2yvxvtxytz21lim0yvxvxyz21单位时间内平面微团上两相互垂直线相对于角平分线的转角单位时间内平面微团上两相互垂直线相对于角平分线的转角变化量定义为变化量定义为角变形速率角变形速率为：为： 2.2.1 流体微团的基本运动形式流体微团的基本运动形式平面微团上两相互垂直线旋转角速度的平均值定义平面微平面微团上两相互垂直线旋转角速度的平均值定义平面微团的团的旋转角速度旋转角速度（单位时间的旋
27、转角度）（单位时间的旋转角度）,为：为： 对于三维六面体微团而言，其运动形式同样可分为：对于三维六面体微团而言，其运动形式同样可分为：平动、转动和变形运动，类似平面微团很容易导出相关公平动、转动和变形运动，类似平面微团很容易导出相关公式。此处不再推导，以下直接给出。式。此处不再推导，以下直接给出。zvyvxvzzyyxx , ,微团线变形速率：微团线变形速率： 2.2.1 流体微团的基本运动形式流体微团的基本运动形式yvxvxvzvzvyvxyzzxyyzx212121yvxvxvzvzvyvxyzzxyyzx212121微团角变形速率（剪切变形速率）：微团角变形速率（剪切变形速率）： 流体微
28、团旋转角速度：流体微团旋转角速度： 2.2.1 流体微团的基本运动形式流体微团的基本运动形式)(21ijjiijxvxvvkji21zyx 流体微团在运动中不论它的形状怎么变，体积怎么变，流体微团在运动中不论它的形状怎么变，体积怎么变，它的质量总是不变的。而质量等于体积乘密度，所以在它的质量总是不变的。而质量等于体积乘密度，所以在密度不变的不可压流里密度不变的不可压流里，其速度的散度必为零：，其速度的散度必为零：如果是密度有变化的流动，那么散度一般地不等于零。如果是密度有变化的流动，那么散度一般地不等于零。0zwyvxuVdiv 2.2.2 散度及其意义散度及其意义 三个方向的线变形率之和在向
29、量分析中称为速度向三个方向的线变形率之和在向量分析中称为速度向量量 的散度，符号为的散度，符号为 ，即，即 VVdivzvyvxvVdivzyx 2.2.3 旋度和速度势函数旋度和速度势函数 微团的瞬时角速度微团的瞬时角速度 是上述三个方向角速度分量之是上述三个方向角速度分量之和，和，这个值在向量分析里记为这个值在向量分析里记为 ，或，或 ，称，称为为 的的旋度旋度：Vrot21V一个流场，如果各处的一个流场，如果各处的 基本上不等于零，这种流场基本上不等于零，这种流场称为有旋流场，其流动称为称为有旋流场，其流动称为有旋流有旋流。一个流场，如果各。一个流场，如果各处的处的 都等于零，这种流场称
30、为无旋流场，其流动称都等于零，这种流场称为无旋流场，其流动称无旋流无旋流。kjiVVrotzyx2121V21kzjyixxyzxyz;xvyvyx;yvzvzyzvxvxz在数学分析里，上式是在数学分析里，上式是式式成为全微分的必要和充分条件成为全微分的必要和充分条件. dzvdyvdxvzyx这样的划分在作理论研究时有很大的意义。无旋流多了一这样的划分在作理论研究时有很大的意义。无旋流多了一个个 的条件。这个条件就是的条件。这个条件就是 ：0, 0, 0zyx0 2.2.4 旋度和速度势函数旋度和速度势函数现在既是无旋流，我们可令现在既是无旋流，我们可令d代表这个全微分代表这个全微分：dz
31、vdyvdxvdzyx (x,y,z)称为为速度位或称位称为为速度位或称位(势势)函数，为标量函数，为标量这就是说，速度势函数在某个方向的偏导数便等于速度这就是说，速度势函数在某个方向的偏导数便等于速度在那个方向的分量，例如在那个方向的分量，例如 ：sdsdzzdsdyydsdxxszvsyvsxvvzyxs),cos(),cos(),cos(,xvx,yvyzvzvx,vy,vz 与与 的的关系是：关系是： 2.2.4 旋度和速度势函数旋度和速度势函数SxyzuVvwvs 速度势函数的绝对值没有太大意义但其差值有意义。速度势函数的绝对值没有太大意义但其差值有意义。对于无旋流存在速度位对于无旋
32、流存在速度位，则沿一条连接，则沿一条连接A、B两点的曲线两点的曲线进行速度的线积分结果只与二端点的进行速度的线积分结果只与二端点的 值之差有关而与积值之差有关而与积分路径无关：分路径无关：ABBABAzyxddzvdyvdxv)( 一个无旋流场一旦知道了它的速度势函数一个无旋流场一旦知道了它的速度势函数 的具体函数，按这个式子就可以算出流场上任何一点的的具体函数，按这个式子就可以算出流场上任何一点的流速来。流速来。 ( , , )x y z 2.2.4 旋度和速度势函数旋度和速度势函数例例. 设有一个二维流场其速度分布是设有一个二维流场其速度分布是 , 问问这个流动是有旋的还是无旋的？有没有速
33、度势存在？流线这个流动是有旋的还是无旋的？有没有速度势存在？流线方程是什么？微元如何变形？方程是什么？微元如何变形？0z可见流动是无旋的，应该有速度势函数可见流动是无旋的，应该有速度势函数存在。存在。 ayvaxvyx2,2解解: 1. 计算计算z： 0, 0 xvyvyx 2.2.4 旋度和速度势函数旋度和速度势函数aydyaxdxd22积分得：积分得： )(22yxa（此处积分常数取为零（此处积分常数取为零 ）3. 求流线：由流线方程求流线：由流线方程vdyudxaydyaxdx222. 求求： 2.2.4 旋度和速度势函数旋度和速度势函数积分得积分得Cxy 常数常数C取一系列的值，得流线
34、是一系列双曲线。取一系列的值，得流线是一系列双曲线。 4. 线变形率：由线变形率：由xvxx 及及yvyy，得：，得： 5. 角变形率：角变形率： 0)(21yvxvxyz6. 散度：散度： 0yxdivVaayx2,2 2.2.4 旋度和速度势函数旋度和速度势函数ABCDABCDDCABxy0 考察矩形微团考察矩形微团ABCD，在如图流场中将从左上方流向，在如图流场中将从左上方流向右下方，由于流动无旋微团不转动；右下方，由于流动无旋微团不转动；x方向线段有拉伸，方向线段有拉伸，y方向线段缩短；尽管微团有线变形，但微团无角变形；此方向线段缩短；尽管微团有线变形，但微团无角变形；此外由于散度为零
35、，流动过程中矩形微团面积保持不变。外由于散度为零，流动过程中矩形微团面积保持不变。 需要指出，一般并不是先有了速度后求需要指出，一般并不是先有了速度后求，而是恰恰，而是恰恰相反，先求出相反，先求出，然后再确定速度分布的，然后再确定速度分布的 。 2.2.4 旋度和速度势函数旋度和速度势函数例：速度场vr=0 ，v=b/r（b为常数），流线是以原点为中心的同心圆，此流场是有旋流动还是无旋流动？解：用直角坐标：22sinyxbyryrbvvx22cosyxbxrxrbvvy021yvxvxyz是无旋流（微元平动）xyorvxvyvp小结：流动作有旋运动或无旋运动仅取决于每个流体小结：流动作有旋运动
36、或无旋运动仅取决于每个流体微元微元本本身是否旋转，与整个流体运动和流体微元运动的轨迹无关。身是否旋转，与整个流体运动和流体微元运动的轨迹无关。连续方程是质量守恒定律在流体力学中具体表达形式。连续方程是质量守恒定律在流体力学中具体表达形式。由于连续方程仅是运动的行为，与动力无关，因此既适用由于连续方程仅是运动的行为，与动力无关，因此既适用于理想流体也适用于粘性流体。于理想流体也适用于粘性流体。以下针对一个微分六面体推导微分形式的连续方程。以下针对一个微分六面体推导微分形式的连续方程。现在流场中划定一个边长分别为现在流场中划定一个边长分别为dx，dy，dz 的矩形六面体，的矩形六面体，这个体的空间
37、位置相对于坐标系是固定的，不随时间变化，这个体的空间位置相对于坐标系是固定的，不随时间变化，被流体所通过，我们称之为控制体如下图被流体所通过，我们称之为控制体如下图: 2.3 连续方程连续方程假设六面微元控制体的假设六面微元控制体的三边宽度为：三边宽度为：dx,dy,dz中心点坐标为：中心点坐标为：x，y，z中心点三个分速：中心点三个分速：vx , vy , vz中心点密度：中心点密度：t 瞬时通过垂直于瞬时通过垂直于x 轴单位面积的轴单位面积的流体流量为流体流量为 vx ,称称密流密流;xzyABCDABCDdydzdtdxxvvmxx2)(1将密流当一个标量看，则各面中点的密流可由中心点台
38、劳级将密流当一个标量看，则各面中点的密流可由中心点台劳级数展开表达。在数展开表达。在 dt 时段内，从时段内，从ABCD面进入的流体质量为：面进入的流体质量为： 2.3 连续方程连续方程在在dt 时段内，从时段内，从ABCD面流出的流体质量为：面流出的流体质量为：dydzdtdxxvvmxx2)(2dxdydzdtxvdydzdtdxxvvdydzdtdxxvvmmmxxxxxx)( 2)(2)( 21在在 dt 时段内，时段内，x方向净流入微分六面体的流体质量为：方向净流入微分六面体的流体质量为： 2.3 连续方程连续方程同理可得，在同理可得，在 dt 时段内，由时段内，由 y, z方向净流
39、入微分六面体的方向净流入微分六面体的流体质量为：流体质量为： )( )(dxdydzdtzvmdxdydzdtyvmzzyy )()()( dxdydzdtzvyvxvmmmmzyxzyx由此可得，在由此可得，在 dt 时段内由所有侧面流入到微分六面体的净时段内由所有侧面流入到微分六面体的净流体总质量为：流体总质量为： 2.3 连续方程连续方程根据质量守恒定律，在根据质量守恒定律，在 dt 时段内时段内从侧面净流入微分六面从侧面净流入微分六面体的总质量，应等于六面体内流体质量因密度随时间变化体的总质量，应等于六面体内流体质量因密度随时间变化的引起增量：的引起增量： dxdydzdttdxdyd
40、zdxdydzdttmt dxdydzdttdxdydzdtzvyvxvmmzyxt由于由于是空间位置和时间的函数，在是空间位置和时间的函数，在 dt 时段内，由于密度时段内，由于密度变化引起微分六面体质量的增加量为：变化引起微分六面体质量的增加量为：即：即： 2.3 连续方程连续方程上式两边同除以上式两边同除以dxdydzdt，整理得到微分形式的连续方程，整理得到微分形式的连续方程，即：即：0zvyvxvtzyx00)(zvyvxvzvyvxvtVtzyxzyx00VDtDVVt 2.3 连续方程连续方程连续方程连续方程 的物理意义是：的物理意义是：流体流体微元的相对密度微元的相对密度增加率
41、与相对体积膨胀率之和为零。增加率与相对体积膨胀率之和为零。0VDtD对于不可压缩流体，连续方程变为：对于不可压缩流体，连续方程变为：0 , 0 , 0zvyvxvVDtDzyx不可压连续方程不可压连续方程 的物理意义是：的物理意义是：不可压缩流动流不可压缩流动流体微元的相对体积膨胀率保持为零，或从微元控制体流出体微元的相对体积膨胀率保持为零，或从微元控制体流出的单位体积流量为零。的单位体积流量为零。0 V 2.3 连续方程连续方程例：设不可压缩流体在例：设不可压缩流体在 xoy 平面内流动，速度沿平面内流动，速度沿 x 轴方向轴方向的分量的分量 vx=Ax (A 为常数为常数)，求速度在，求速
42、度在 y 轴方向的分量轴方向的分量 vy。解：对于不可压缩流动，密度的随体导数解：对于不可压缩流动，密度的随体导数 由微分由微分形式连续方程：形式连续方程：0DtD0yvxvyxAxAxxvvxy 2.3 连续方程连续方程)()(xfAyxfAdyv如果流动非定常，上式中函数如果流动非定常，上式中函数 f(x) 则应为则应为 f(x , t)。而函数。而函数 f( ) 的形式可任取。因此的形式可任取。因此 v 有无穷多个解。有无穷多个解。如果设如果设 v 在在 x 轴上的分布为轴上的分布为0 即即 f(x) 0 ，则：，则：Ayv 2.3 连续方程连续方程 在流场中划出一块三边分别的为在流场中
43、划出一块三边分别的为dx，dy，dz的微元矩形六面体。不计的微元矩形六面体。不计粘性力，表面力就没有切向力，仅有粘性力，表面力就没有切向力，仅有法向力（压力）一种，而彻体力是可法向力（压力）一种，而彻体力是可以有的以有的 。xyzPdxdydz 欧拉运动微分方程组是在不计流体粘性前提下推导出欧拉运动微分方程组是在不计流体粘性前提下推导出来的，该方程实质上是微分形式的动量方程。来的，该方程实质上是微分形式的动量方程。 2.4 欧拉运动方程及其积分欧拉运动方程及其积分 2.4.1 欧拉运动方程欧拉运动方程六面体体积：六面体体积：d=dxdydz中心点坐标：中心点坐标： x ,y ,z中心点速度：中
44、心点速度： vx ,vy ,vz中心点加速度：中心点加速度：中心点压强：中心点压强：p中心点密度：中心点密度：中心点处沿三个方向的单位质量彻体力：中心点处沿三个方向的单位质量彻体力： fx , fy , fzxyzPdxdydz2dxxpp2dxxpp,DtDvx,DtDvyDtDvz 2.4.1 欧拉运动方程欧拉运动方程dxdydzxpdydzdxxppdydzdxxpp22x方向的表面力为：方向的表面力为：dxdydzfxx 方向的彻体力为：方向的彻体力为：牛顿定律：牛顿定律：x方向合外力等于质量乘以方向合外力等于质量乘以x方向加速度方向加速度，得，得DtDvdxdydzdxdydzfdx
45、dydzxpxx)( 2.4.1 欧拉运动方程欧拉运动方程两边同除以微元体积两边同除以微元体积 dxdydz，令其趋于零，并代入加速度，令其趋于零，并代入加速度的表达，得的表达，得zvvyvvxvvtvxpfxzxyxxxx1同理可以写出同理可以写出 y 和和 z方向的表达方向的表达：zvvyvvxvvtvypfyzyyyxyy1zvvyvvxvvtvzpfzzzyzxzz1这就是笛卡尔坐标系下这就是笛卡尔坐标系下理想流体的欧拉方程理想流体的欧拉方程。 2.4.1 欧拉运动方程欧拉运动方程 欧拉方程规定了欧拉方程规定了理想流的压强变化与速度变化和彻体力理想流的压强变化与速度变化和彻体力之间的关
46、系。之间的关系。如果在欧拉运动方程中考虑粘性项如果在欧拉运动方程中考虑粘性项欧拉方程的欧拉方程的向量形式向量形式为：为：DtVDpf1 2.4.1 欧拉运动方程欧拉运动方程zzzzzyzxzyyyzyyyxyxxxzxyxxxvzpfzvvyvvxvvtvvypfzvvyvvxvvtvvxpfzvvyvvxvvtv222111DtVDVpf21向量形式向量形式yzzyzxzyxyzyyxxzzyyxzxyxxvvVxxvzvvxvyvvxwvxvvxvvxvvxvvzvvyvvxvv222 2.4.1 欧拉运动方程欧拉运动方程理想流欧拉方程还可以有另一种表达形式。把加速度的理想流欧拉方程还可以
47、有另一种表达形式。把加速度的迁移部分改写一下，把迁移加速度部分改写一下：迁移部分改写一下，把迁移加速度部分改写一下： zxxzyzyyyxvvVyzvvyvvxvv222)(222xyyxzzzyzxvvVzzvvyvvxvv式中式中 V 是合速，另两个迁移加速度也可以改为类似的式子：是合速，另两个迁移加速度也可以改为类似的式子：得如下形式的理想流欧拉方程称为得如下形式的理想流欧拉方程称为“格罗米柯兰格罗米柯兰姆方程姆方程”： 2.4.2 欧拉运动方程及其积分欧拉运动方程及其积分zxyyxzyzxxzyxyzzyxfzpvvVztvfypvvVytvfxpvvVxtv1)( 2)2(1)( 2
48、)2(1)( 2)2(222该形式好处是在方程中显示了旋转角速度，便于分析无旋该形式好处是在方程中显示了旋转角速度，便于分析无旋流动。流动。 2.4.1 欧拉运动方程欧拉运动方程对于对于理想理想、正压正压流体，设质量力流体，设质量力有势、有势、流动流动定常定常，有：，有： 2.4.2 欧拉运动方程及其积分欧拉运动方程及其积分0 ; p;1 ,1 tVfdpVV222格罗米柯方程变为：格罗米柯方程变为：该方程的向量形式为该方程的向量形式为 ：其中：其中：DtVDpf1VVtVVVtVDtVD2)2()(2)2()2(2VV在在理想、定常、正压、彻体力有势和不可压缩理想、定常、正压、彻体力有势和不
49、可压缩条件下，格条件下，格罗米柯方程还可写为：罗米柯方程还可写为：这个方程深刻反映了总压梯度与速度向量和涡向量之间的这个方程深刻反映了总压梯度与速度向量和涡向量之间的关系。其中总压关系。其中总压（注：以后我们将会看到流场中微团旋转角速度的二倍（注：以后我们将会看到流场中微团旋转角速度的二倍 就定义为当地旋涡的涡量）就定义为当地旋涡的涡量）上式说明在所给条件下，上式说明在所给条件下，总压梯度与流线和涡线均垂直，总压梯度与流线和涡线均垂直，或总压沿流线和涡线不变或总压沿流线和涡线不变。如上图所示。如上图所示。)2(10VpgyVpp在重力场下,2120V0p2 2.4.2 欧拉运动方程及其积分欧拉
50、运动方程及其积分即即沿流线或沿涡线沿流线或沿涡线有：有：此外在以下三个条件下总压梯度等于零：此外在以下三个条件下总压梯度等于零：(a) 静止流场静止流场:(b) 无旋流场，有势流动无旋流场，有势流动:(c) 流线与涡线重合，即螺旋流动流线与涡线重合，即螺旋流动:说明在上述三个条件下总压在整个流场保持不变：说明在上述三个条件下总压在整个流场保持不变：上述二个公式就是伯努利方程或伯努利积分。上述二个公式就是伯努利方程或伯努利积分。沿流线或沿涡线constVpp20210V0/V0)2(10Vp全流场constVpp2021 2.4.2 欧拉运动方程及其积分欧拉运动方程及其积分伯努利方程各项具有能量
