1、2020/12/82电力系统小干扰稳定问题是电力系统规划与运行阶段需要考虑的一个重要问题。电力系统小干扰稳定问题是电力系统规划与运行阶段需要考虑的一个重要问题。电力系统几乎随时都在受到小的干扰，如电力系统中负荷少量的增加或减少、配电网络的局电力系统几乎随时都在受到小的干扰，如电力系统中负荷少量的增加或减少、配电网络的局部操作、发电机运行参数的微小改变等，都会对系统产生影响。部操作、发电机运行参数的微小改变等，都会对系统产生影响。 系统运行方式的小干扰稳定性系统运行方式的小干扰稳定性, ,成为系统成为系统确保运行方式能否实现的最基本的条件之一确保运行方式能否实现的最基本的条件之一, ,而对小干扰
2、稳定的计算和分析就变得极为重要而对小干扰稳定的计算和分析就变得极为重要了。了。 2020/12/83随着我国大区电网互联、远距离送电及快速控制装置在电力系统中大量广泛地投入使用随着我国大区电网互联、远距离送电及快速控制装置在电力系统中大量广泛地投入使用, , 电电力系统小干扰稳定性问题日益突出。力系统小干扰稳定性问题日益突出。 近几十年来，电力系统科技人员努力运用现代科学的理论、技术和工具去研究、分析和解决近几十年来，电力系统科技人员努力运用现代科学的理论、技术和工具去研究、分析和解决小干扰稳定问题，并取得了丰硕的成果。小干扰稳定问题，并取得了丰硕的成果。 2020/12/84现今研究表明，发
3、电机的励磁控制是提高电力系统小干扰稳定性的有效手段现今研究表明，发电机的励磁控制是提高电力系统小干扰稳定性的有效手段, ,同时它还具有同时它还具有维持机端电压的能力。维持机端电压的能力。 特别是电力系统稳定器（即特别是电力系统稳定器（即PSSPSS）的出现，使得系统的稳定水平大大改善。的出现，使得系统的稳定水平大大改善。由于由于PSSPSS通过调节励磁来提高电力系统稳定性，而且投资少，控制效果好，因而在国内外得通过调节励磁来提高电力系统稳定性，而且投资少，控制效果好，因而在国内外得到日益广泛的应用。到日益广泛的应用。 2020/12/85这些成果一方面有助于电力系统的安全稳定运行，另一方面也促
4、进了动态电力系统理论和分这些成果一方面有助于电力系统的安全稳定运行，另一方面也促进了动态电力系统理论和分析方法的发展。析方法的发展。 2020/12/861 1 小干扰稳定概述小干扰稳定概述 由于电力系统是一个复杂的动态系统，一方面它必须时刻保证必要的电能质量及数量，由于电力系统是一个复杂的动态系统，一方面它必须时刻保证必要的电能质量及数量，另一方面它又处于不断的扰动之中。在扰动发生后的系统动态过程中一旦发生稳定性问题，另一方面它又处于不断的扰动之中。在扰动发生后的系统动态过程中一旦发生稳定性问题，系统可能在几秒内发生严重后果，造成极大的经济损失及社会影响。现代电力系统有一系列系统可能在几秒内
5、发生严重后果，造成极大的经济损失及社会影响。现代电力系统有一系列新特点，如采用大容量机组，超高压、长距离、重负荷输电，交直流联合输电，大区电网互新特点，如采用大容量机组，超高压、长距离、重负荷输电，交直流联合输电，大区电网互联等等，因此作为系统运行方式能否实现的最基本的条件之一，小干扰稳定问题得到了广泛联等等，因此作为系统运行方式能否实现的最基本的条件之一，小干扰稳定问题得到了广泛的研究，用以确保电力系统的安全稳定运行。的研究，用以确保电力系统的安全稳定运行。2020/12/87电力系统小干扰稳定是指系统受到小干扰后，不发生自发振荡或非周期性失步，自动恢复到电力系统小干扰稳定是指系统受到小干扰
6、后，不发生自发振荡或非周期性失步，自动恢复到起始运行状态的能力。起始运行状态的能力。系统小干扰稳定性取决于系统的固有特性，与扰动的大小无关。系统小干扰稳定性取决于系统的固有特性，与扰动的大小无关。如果对于某一特定的稳定运行状态，遭受一个微小的扰动（理论上扰动量趋近于零），系统如果对于某一特定的稳定运行状态，遭受一个微小的扰动（理论上扰动量趋近于零），系统在经历一个过渡过程后，趋于恢复扰动前的运行工况，则称该系统在此特定运行工况下，具在经历一个过渡过程后，趋于恢复扰动前的运行工况，则称该系统在此特定运行工况下，具有小干扰稳定性。有小干扰稳定性。 2020/12/88对系统在小扰动下的动态行为进行
7、分析，可将描写系统动态行为的非线性微分方程组在运行对系统在小扰动下的动态行为进行分析，可将描写系统动态行为的非线性微分方程组在运行工作点线性化，化为线性微分方程组，然后用线性系统理论及相应的分析方法（如特征根分工作点线性化，化为线性微分方程组，然后用线性系统理论及相应的分析方法（如特征根分析、扫频分析等）进行分析。析、扫频分析等）进行分析。2020/12/89系统的模型可以计及系统元件和调节控制器的动态特性，从而实现严格准确的小干扰稳定性系统的模型可以计及系统元件和调节控制器的动态特性，从而实现严格准确的小干扰稳定性分析；分析； 在实际小扰动稳定性分析时，常对线性化微分方程作进一步简化假定，即
8、忽略元件及调节器在实际小扰动稳定性分析时，常对线性化微分方程作进一步简化假定，即忽略元件及调节器动态特性，系统的电磁回路部分及调节控制部分化为线性化代数方程描述，并利用代数判据动态特性，系统的电磁回路部分及调节控制部分化为线性化代数方程描述，并利用代数判据来作稳定分析，如功角稳定分析中用的来作稳定分析，如功角稳定分析中用的 判据。判据。 dP d2020/12/8102 小干扰稳定研究发展概况小干扰稳定研究发展概况 现今国内外积极开发研制发电机励磁的智能型控制，用以提高电力系统小干扰稳定性。励磁现今国内外积极开发研制发电机励磁的智能型控制，用以提高电力系统小干扰稳定性。励磁系统向发电机提供励磁
9、功率，起着调节电压、保持发电机端电压或枢纽点电压恒定的作用，系统向发电机提供励磁功率，起着调节电压、保持发电机端电压或枢纽点电压恒定的作用，并可控制并列运行发电机的无功功率分配。它对发电机的动态行为有很大影响，可以帮助提并可控制并列运行发电机的无功功率分配。它对发电机的动态行为有很大影响，可以帮助提高电力系统的稳定极限。特别是现代电力电子技术的发展，使快速响应、高放大倍数的励磁高电力系统的稳定极限。特别是现代电力电子技术的发展，使快速响应、高放大倍数的励磁系统得以实现。系统得以实现。2020/12/811近年来，随着电力系统的扩容，单机容量的增大，许多大型发电机组都普遍采用快速励磁调近年来，随
10、着电力系统的扩容，单机容量的增大，许多大型发电机组都普遍采用快速励磁调节器和快速励磁系统，使得励磁系统时间常数大为减小，从而降低了系统阻尼，这对输电线节器和快速励磁系统，使得励磁系统时间常数大为减小，从而降低了系统阻尼，这对输电线路较长、联系较弱的系统影响较大，使系统不断发生弱阻尼或负阻尼，出现了联络线低频功路较长、联系较弱的系统影响较大，使系统不断发生弱阻尼或负阻尼，出现了联络线低频功率振荡。率振荡。 2020/12/812励磁系统的附加控制，即电力系统稳定器（励磁系统的附加控制，即电力系统稳定器（PSSPSS），），可以增加系统的电气阻尼，改善电力系可以增加系统的电气阻尼，改善电力系统的稳
11、定性。统的稳定性。由于由于PSSPSS不降低励磁系统电压调节环的增益，不影响励磁系统的暂态性能，却对抑制电力系不降低励磁系统电压调节环的增益，不影响励磁系统的暂态性能，却对抑制电力系统低频振荡效果显著，而且投资相对较小，效益高，因而得到了广泛的应用。统低频振荡效果显著，而且投资相对较小，效益高，因而得到了广泛的应用。 2020/12/8132020/12/814国内最近几年逐步重视国内最近几年逐步重视PSSPSS在电力系统中的应用，其中浙江电网进行了在电力系统中的应用，其中浙江电网进行了8 8年的年的PSSPSS试验，云南试验，云南电网作了大量的分析计算进行电网作了大量的分析计算进行PSSPS
12、S参数的整定，台湾电力系统主要发电机组都已配置参数的整定，台湾电力系统主要发电机组都已配置PSSPSS，提提高线路输电能力方面在抑制系统功率振荡、，取得了很大的效果。高线路输电能力方面在抑制系统功率振荡、，取得了很大的效果。 2020/12/815实践表明，多机系统中，有时针对某一振荡模式设计的实践表明，多机系统中，有时针对某一振荡模式设计的PSSPSS，可能恶化另一模式的阻尼，因可能恶化另一模式的阻尼，因而现在国内外针对电力系统小干扰稳定问题的研究，主要集中在而现在国内外针对电力系统小干扰稳定问题的研究，主要集中在PSSPSS的参数整定设计和协调的参数整定设计和协调应用上。应用上。 2020
13、/12/816 当前，我国正在进行大规模的电网建设，逐步实现当前，我国正在进行大规模的电网建设，逐步实现“全国联网，西电东送全国联网，西电东送”。大电网互联后的。大电网互联后的低频振荡（低频振荡（0.20.22.52.5HzHz）问题、电压稳定问题、交直流系统并联运行问题，各种新型控制装置如问题、电压稳定问题、交直流系统并联运行问题，各种新型控制装置如FACTSFACTS装置的采用和装置的采用和PSSPSS装置的配置等，无论在规划设计阶段还是在系统运行阶段，都需要进行深装置的配置等，无论在规划设计阶段还是在系统运行阶段，都需要进行深入的小干扰稳定分析，以提高电力系统分析水平，确保电力系统的安全
14、稳定运行。入的小干扰稳定分析，以提高电力系统分析水平，确保电力系统的安全稳定运行。 2020/12/8173 3 小干扰稳定研究模型、原理小干扰稳定研究模型、原理 由于研究的是严格意义下的小干扰稳定问题，因而要考虑到调节器及元件的动态，并分析由于研究的是严格意义下的小干扰稳定问题，因而要考虑到调节器及元件的动态，并分析扰动后系统能否趋于或接近于原来的稳定工况运行。在此，主要分析电力系统受小扰动时发扰动后系统能否趋于或接近于原来的稳定工况运行。在此，主要分析电力系统受小扰动时发电机转子间由于阻尼不足而引起的持续低频功率振荡，从而探讨电机转子间由于阻尼不足而引起的持续低频功率振荡，从而探讨PSSP
15、SS对低频振荡的影响。对低频振荡的影响。 2020/12/8183.1 单机无穷大系统的线性化模型单机无穷大系统的线性化模型 单机无穷大系统线性化模型是研究小干扰稳定问题机理的基础。如图中的单机无穷大系统，单机无穷大系统线性化模型是研究小干扰稳定问题机理的基础。如图中的单机无穷大系统，我们将在以下的近似条件下，利用不同的关系式加以分析：我们将在以下的近似条件下，利用不同的关系式加以分析： 定子绕组的电阻忽略不计；定子绕组的电阻忽略不计； 定子绕组的变压器电势定子绕组的变压器电势Pd 及及Pq忽略不计；忽略不计； 在电磁关系的计算中，认为发电机的转速为同步转速，也就是说，转速变化引起的电压分在电
16、磁关系的计算中，认为发电机的转速为同步转速，也就是说，转速变化引起的电压分量忽略不计。量忽略不计。 只考虑励磁绕组的作用，不考虑阻尼绕组的作用。只考虑励磁绕组的作用，不考虑阻尼绕组的作用。2020/12/819发电机采用三阶实用模型，以便计及励磁系统动态及发电机凸极效应发电机采用三阶实用模型，以便计及励磁系统动态及发电机凸极效应; ; 励磁系统为静止励磁系统为静止励磁系统并用一阶惯性环节描述；机械功率恒定；线路忽略分布电容及损耗，用电抗励磁系统并用一阶惯性环节描述；机械功率恒定；线路忽略分布电容及损耗，用电抗X X表示；无穷大系统电压为表示；无穷大系统电压为U = U0U = U0，U U为常
17、量。其中，为常量。其中，E Ef f为励磁系统；为励磁系统；P Pm m为原动机输出机械功率，为原动机输出机械功率，P Pm m为输出励磁电压常数。为输出励磁电压常数。 qdqdqqeI)I X - X (-I E P 2020/12/820则发电机则发电机dqdq坐标标幺值数学模型为坐标标幺值数学模型为 2020/12/821励磁系统传递函数，设为励磁系统传递函数，设为( (U Uref ref = = 常数常数) ) 式中，式中， 为发电机端电压。为发电机端电压。 (p)G pT1 K U-E EEEtf2q2dt UU U2020/12/822网络在同步网络在同步xyxy坐标下方程为坐标
18、下方程为 UtU0 = jXI 。 设设 UxjUy = Ut, , IxjIy = I , 则将网络方程实部、虚部分开有则将网络方程实部、虚部分开有 yxyxII0 XX- 0 UU-U2020/12/823另外，对另外，对dq-xy dq-xy 坐标关系，可知坐标关系，可知其中，其中，f f可为可为U U，I I等电量。等电量。 yxqdffsin coscos- sin ff2020/12/824构成了全系统的数学模型，在忽略调速器动态时为四阶（构成了全系统的数学模型，在忽略调速器动态时为四阶（， ，E Ef f），），将上述方程组消将上述方程组消去代数变量，在工作点附近线性化，化为状态
19、量的增量方程，如果发电机在某一稳态运行方去代数变量，在工作点附近线性化，化为状态量的增量方程，如果发电机在某一稳态运行方式时，受到了极其微小的干扰，则根据这些关系式不难求得由干扰引起的微小变量，联立可式时，受到了极其微小的干扰，则根据这些关系式不难求得由干扰引起的微小变量，联立可得标准状态方程为得标准状态方程为 Eq2020/12/825 fqEE6EE5Ed0d03d0421fqEE T1- TKK- TKK- 0 T1 TK - TK- 0 0 0 0 1 0 MK- MK- MDEE2020/12/8263.2 多机系统的线性化模型多机系统的线性化模型 多机系统的线性化模型的推导与单机无
20、穷大系统类似，但发电机定子电压方程和网络节点导多机系统的线性化模型的推导与单机无穷大系统类似，但发电机定子电压方程和网络节点导纳阵方程联立求解机端电压、电流时，应先将各发电机方程由各自的纳阵方程联立求解机端电压、电流时，应先将各发电机方程由各自的d di iq qi i坐标（坐标（i i为发电机号）为发电机号）转化为公共的转化为公共的xyxy同步坐标，在同步坐标下求取用各发电机状态量同步坐标，在同步坐标下求取用各发电机状态量 和和表示机端电压和电流表示机端电压和电流的表达式，再返回各机的的表达式，再返回各机的d di iq qi i坐标。坐标。 Eq2020/12/827设发电机仍采用三阶实用
21、模型，励磁系统采用三阶模型设发电机仍采用三阶实用模型，励磁系统采用三阶模型，即电压调节器一阶、励磁机一阶、即电压调节器一阶、励磁机一阶、励磁电压负反馈一阶，其中励磁电压负反馈一阶，其中U UPSSPSS为励磁附加控制信号。为励磁附加控制信号。系统模型中考虑了电力系统稳定器系统模型中考虑了电力系统稳定器PSSPSS的作用，相应的传递函数框图如图的作用，相应的传递函数框图如图，PSSPSS以发电机转速以发电机转速或电磁功率或电磁功率PePe为输入信号，为输入信号，PSSPSS输出输出U UPSSPSS作为励磁系统的附加控制信号。作为励磁系统的附加控制信号。 2020/12/828经推导得到的全系统
22、线性化状态方程为经推导得到的全系统线性化状态方程为 321mmFfAq33323133323122213n)(3n3n)(3n232221111312113332313n)(3n23223n)(3n21 131211113332313n)(3n222116151413111312111 -d031 -d041 -d03n(3n1 -21 -1 -11 -321mmFfAqyyyxPUEUE C C C F F F 0 C C 0 0 F F F 0 0 C F F F B B 0 0 E 0 0 B B 0 0 0 E 0 B B B 0 E 0 0 0 0 A A A 0 0 0 0 0 0
23、 0 0 A A 0 0 0 D D D A 0 A D D D 0 0 0 0 T- 0 KT- 0 KT-)0 0 0 M 0 0 0 KM- DM- KM- 0 0 0 0 0 0 0 I 0 yyyxPUEUE2020/12/8293.3 小干扰稳定的计算分析法小干扰稳定的计算分析法 当前，用于研究复杂电力系统小干扰稳定的方法主要是基于李亚普诺夫一次近似法的小干扰当前，用于研究复杂电力系统小干扰稳定的方法主要是基于李亚普诺夫一次近似法的小干扰法。该方法的基本原理如下：系统的动态特性由一组非线性微分方程组描述：法。该方法的基本原理如下：系统的动态特性由一组非线性微分方程组描述： ) ,
24、, , ( f dtdn21ii2020/12/830在运行点附近线性化，把各状态变量表示为其初始值与微增量之和：在运行点附近线性化，把各状态变量表示为其初始值与微增量之和： i0ii 2020/12/831将所得方程组在初始值附近展开成台劳级数，并略去各微增量的二次及高次项，得：将所得方程组在初始值附近展开成台劳级数，并略去各微增量的二次及高次项，得： jn1jjiif dtd2020/12/832将其写成矩阵形式：将其写成矩阵形式： = AX X 2020/12/833这就是描述线性系统的状态方程，其中这就是描述线性系统的状态方程，其中A A为为n nn n维系数矩阵，称为该系统的状态矩阵
25、。对于维系数矩阵，称为该系统的状态矩阵。对于由状态方程描述的线性系统，其小干扰稳定性由状态矩阵的所有特征值决定。如果所有的特由状态方程描述的线性系统，其小干扰稳定性由状态矩阵的所有特征值决定。如果所有的特征值实部都为负，则系统在该运行点是稳定的；只要有一个实部为正的特征值，则系统在该征值实部都为负，则系统在该运行点是稳定的；只要有一个实部为正的特征值，则系统在该运行点是不稳定的；如果状态矩阵运行点是不稳定的；如果状态矩阵A A不具有正实部特征值但具有实部为零的特征值，则系统不具有正实部特征值但具有实部为零的特征值，则系统在该运行点处于临界稳定的情况。因此，分析系统在某运行点的小干扰稳定性问题，
26、可以归在该运行点处于临界稳定的情况。因此，分析系统在某运行点的小干扰稳定性问题，可以归结为求解状态矩阵结为求解状态矩阵A A的全部特征值的问题。的全部特征值的问题。2020/12/834计算矩阵全部特征值的计算矩阵全部特征值的QRQR法是研究电力系统小干扰稳定性的一种十分有效的方法，且得到了法是研究电力系统小干扰稳定性的一种十分有效的方法，且得到了广泛的应用。广泛的应用。2020/12/8353.3.1 矩阵特征值的矩阵特征值的QRQR算法算法 如前所述，对小干扰稳定的分析归结为对矩阵特征值所在域的判定。如前所述，对小干扰稳定的分析归结为对矩阵特征值所在域的判定。QRQR算法能求出矩阵的全算法
27、能求出矩阵的全部特征值，因而可直接用于该问题的计算。部特征值，因而可直接用于该问题的计算。QRQR算法即：每次迭代首先把矩阵序列算法即：每次迭代首先把矩阵序列AkAk分解成分解成U U矩阵矩阵QkQk和上三角矩阵和上三角矩阵RkRk的乘积，作的乘积，作QRQR分解即分解即 Ak=QkRkAk=QkRk，然后取变换矩阵，然后取变换矩阵Ck=QkCk=Qk，从而由，从而由 Qk-1= Qk Qk-1= Qk* *和上式得到和上式得到 Ak+1 = Qk Ak+1 = Qk* *AkQk = RkQkAkQk = RkQk 2020/12/836矩阵矩阵AkAk到到Ak+1Ak+1的这种的这种U U
28、相似变换，称为相似变换，称为QRQR变换。由于变换。由于U U矩阵的行和列都是单位向量，所以矩阵的行和列都是单位向量，所以QRQR算算法的显著优点是数值计算稳定，但是收敛性和每次迭代的计算量不佳，因此对此法的改进是法的显著优点是数值计算稳定，但是收敛性和每次迭代的计算量不佳，因此对此法的改进是迭代前先把原始矩阵化成准三角形，迭代的每一步进行原点位移。迭代前先把原始矩阵化成准三角形，迭代的每一步进行原点位移。 2020/12/837多机电力系统的小干扰分析广泛采用特征分析法，即特征结构分析法。当系统化为标准形式多机电力系统的小干扰分析广泛采用特征分析法，即特征结构分析法。当系统化为标准形式的状态
29、方程后，就可用特征值分析方法进行稳定分析了。事实上，工程中不仅对系统稳定与的状态方程后，就可用特征值分析方法进行稳定分析了。事实上，工程中不仅对系统稳定与否感兴趣，而且还希望知道在小扰动下系统过渡过程的许多特征。例如，对于振荡性过渡过否感兴趣，而且还希望知道在小扰动下系统过渡过程的许多特征。例如，对于振荡性过渡过程，其特征包括振荡频率、衰减因子、相应振荡在系统中的分布、该振荡是由什么原因引起程，其特征包括振荡频率、衰减因子、相应振荡在系统中的分布、该振荡是由什么原因引起的，同哪些状态量密切相关等等，它们可为确定抑制振荡的装置最佳装设地点及为控制装置的，同哪些状态量密切相关等等，它们可为确定抑制
30、振荡的装置最佳装设地点及为控制装置的参数整定提供有用的信息。特征分析法若和时域仿真法结合，可以使系统在线性化模型下的参数整定提供有用的信息。特征分析法若和时域仿真法结合，可以使系统在线性化模型下设计的控制系统进一步得到考验，这是目前电力系统中广泛使用的控制系统设计和校验过程。设计的控制系统进一步得到考验，这是目前电力系统中广泛使用的控制系统设计和校验过程。 2020/12/8383.3.2 振荡模式与模态振荡模式与模态首先，给出特征值与特征向量的数学定义：首先，给出特征值与特征向量的数学定义： 对于矩阵对于矩阵ACnACnn n， 其特征值（其特征值（ii）和特征向量（）和特征向量（uiui）
31、满足下式：）满足下式： Aui = iui ui0 Aui = iui ui0 (i=1,2, (i=1,2,n),n) 2020/12/839设有如下的常微分方程设有如下的常微分方程 其相应的特征方程为其相应的特征方程为 ap2 + bp +c = 0 特征值为特征值为 0 c b a j 2a4ac-bb- p 21,22020/12/840从而从而若令若令 tp2tp121ec ec tp22tp1121epc epc 1 22020/12/841则可把化为标准状态方程则可把化为标准状态方程 = = A X X2121 ab- ac-1 0 2020/12/842根据根据 = 0= 0可
32、得出上式的特征值可得出上式的特征值可见，将一个高阶微分方程，化为等价的状态方程，其特征值不变，反之亦然。可见，将一个高阶微分方程，化为等价的状态方程，其特征值不变，反之亦然。 A-I 2a4ac-b b- 21,22020/12/843由特征向量的定义，可知与上述特征值由特征向量的定义，可知与上述特征值1,21,2对应的特征向量对应的特征向量u1,u2u1,u2分别为分别为 p1 u1122p1 u2020/12/844可知可知 tp22tp11tp22tp11212121euceucep1 cep 1 c 2020/12/845由上式可知：由上式可知： 特征值特征值 1,2 = p1,2 =
33、 1,2 = p1,2 = j j 反映了振荡的频率和衰减性能。这是因为反映了振荡的频率和衰减性能。这是因为 e( e(j)t = et ( cost j)t = et ( cost jsint )jsint )反映衰减性能，反映衰减性能，反映振荡频率。反映振荡频率。0 0 为增幅振荡，系统失稳；为增幅振荡，系统失稳；0 0为减幅振荡，系为减幅振荡，系统稳定；统稳定；=0=0为等幅振荡，系统处于临界稳定状态。为等幅振荡，系统处于临界稳定状态。特征向量特征向量u1 , u2 u1 , u2 反映了在状态向量反映了在状态向量X X上观察相应的振荡时，相对振幅的大小和相位关系。上观察相应的振荡时，相
34、对振幅的大小和相位关系。物理上把一对共轭特征值称为一个振荡模式物理上把一对共轭特征值称为一个振荡模式(mode)(mode)，其对应的特征向量称为振荡模态，其对应的特征向量称为振荡模态(mode (mode shape)shape)。 2020/12/8463.3.3 特征值与特征向量的性质特征值与特征向量的性质 右特征向量的物理含义右特征向量的物理含义用特征向量用特征向量u ui i构成的矩阵，对状态方程构成的矩阵，对状态方程 = AX 进行线性变换，可实现解耦。进行线性变换，可实现解耦。 X2020/12/847对于状态矩阵对于状态矩阵ACACn nn n , , 设其特征值为设其特征值为
35、1 1, ,n,n，相对应的特征向量，相对应的特征向量u u1 1，u un n，定义变换，定义变换矩阵矩阵 U= uU= u1 1 u u2 2 u un n , , 定义特征值对角阵定义特征值对角阵 = diag 1,2,n ， 则有则有 U-1AU = 2020/12/848作变换作变换 X = UZ ( Z为解耦状态变量为解耦状态变量 ) 代入原状态方程，则有代入原状态方程，则有 = AUZ 即即 = Z 则第则第i i个方程为个方程为 = iZi 可见，可见，Z Zi i中只含一个振荡模式中只含一个振荡模式i i，系统实现了解耦。，系统实现了解耦。ZUZ iZ2020/12/849若
36、设若设Z Zi i(t) = c(t) = ci i ( i =1,2, ( i =1,2,n ),n )， 则有则有 X = = UZ = =tien21tnnt22t11n21euceuceuctnnn2n1nt2n22122t1n21111n21euuuceuuuceuuuc2020/12/850由上式可见，与特征值由上式可见，与特征值i( i =1,2,i( i =1,2,n ) ,n ) 相对应的特征向量相对应的特征向量u ui i反映了在各状态量上观察反映了在各状态量上观察i i模式模式的相对幅值和相位。的相对幅值和相位。u ukiki的模越大，的模越大，x xk k与与i i的关
37、系越大，因而的关系越大，因而u ukiki反映了反映了x xk k对对i i的可观性。基于右特的可观性。基于右特征向量的这一性质，我们可直接根据与某振荡模式征向量的这一性质，我们可直接根据与某振荡模式i i相对应的振荡模态相对应的振荡模态( (右特征向量右特征向量u ui i) )，得出该，得出该振荡模式振荡模式i i反映的是那些机群之间的失稳模式。反映的是那些机群之间的失稳模式。 2020/12/851 左特征向量的定义及物理含义左特征向量的定义及物理含义满足下式的向量（满足下式的向量（v vi i）称为左特征向量：）称为左特征向量： v vi iT TA = vA = vi iT Ti i
38、即即v vi i是是A AT T阵的同一特征值阵的同一特征值i i的右特征向量，并可根据此性质求出的右特征向量，并可根据此性质求出v vi i。设设V = V = ，同样有，同样有V V-1-1A AT TV = V = ，或，或 V VT TA(VA(V-1-1) )T T = = 。对照可得对照可得U U-1-1 = V = VT T，由此可知左特征向量和右特征向量满足以下关系，由此可知左特征向量和右特征向量满足以下关系 VT U = I n21 v vv2020/12/852故故 Z = U-1X = VTX = X 则第则第i i个方程为个方程为Zi = ViTX = TnT2T1vv
39、vni2i1i v vvn212020/12/853由上式可见，由上式可见，v vkiki的模越大，反映了的模越大，反映了x xk k的微小变化可引起的微小变化可引起Z Zi i的极大变化，而的极大变化，而Z Zi i为与模式为与模式i i对应对应的解耦状态量，因而的解耦状态量，因而v vkiki反映了反映了x xk k对对i i的可控性。的可控性。 2020/12/8543.3.4 相关因子相关因子相关因子相关因子p pkiki是量度第是量度第k k个状态量个状态量x xk k与第与第i i个特征值个特征值i i相关性的物理量：相关性的物理量： iTikikikiuvuvp2020/12/8
40、55相关因子相关因子p pkiki是一个反映是一个反映x xk k与与i i可控性可控性v vkiki和可观性和可观性u ukiki的综合指标。在实际应用中，相关因子的综合指标。在实际应用中，相关因子p pkiki对对于于PSSPSS装设地点选择有很大的指导意义，装设地点选择有很大的指导意义，p pkiki可强烈反映哪一台机的状态量与哪个振荡模式强相关，可强烈反映哪一台机的状态量与哪个振荡模式强相关，从而可优先考虑在此机上装设从而可优先考虑在此机上装设PSSPSS来抑制相应的振荡模式。来抑制相应的振荡模式。 2020/12/8563.3.5 机电回路相关比机电回路相关比特征值特征值i的机电回路
41、相关比的机电回路相关比i定义为：定义为： i机电回路相关比机电回路相关比i反映了特征值反映了特征值i与变量与变量、的相关程度。在实际应用中，若对于某个的相关程度。在实际应用中，若对于某个特征值特征值i，有，有kkxkixkipp2020/12/857 i 1 i = ji = j2fi fi (0.22.5)Hz则认为则认为i i为低频振荡模式，即机电模式。为低频振荡模式，即机电模式。ii2020/12/8583.3.6 阻尼比阻尼比 低频振荡多出现在大区和跨大区电网并存在弱联系的系统中，这类失稳主要由弱阻尼和负阻低频振荡多出现在大区和跨大区电网并存在弱联系的系统中，这类失稳主要由弱阻尼和负阻
42、尼引起，系统阻尼强弱可由若干个主导振荡模式的阻尼比来判别。设系统的全部特征值为：尼引起，系统阻尼强弱可由若干个主导振荡模式的阻尼比来判别。设系统的全部特征值为： i = ji （i =1,2,n ） i2020/12/859对应于振荡频率对应于振荡频率i i的阻尼比的阻尼比( (阻尼系数阻尼系数)i i定义为定义为：当当i i0.10.1时表明系统阻尼较强；时表明系统阻尼较强；当当i i0.030.03时表明系统阻尼较弱；时表明系统阻尼较弱；当当i0i0时表明系统阻尼变负，将会出现增幅振荡。时表明系统阻尼变负，将会出现增幅振荡。 2i2iii2020/12/8603.3.7 线性化频域响应线性
43、化频域响应在正弦输入信号的作用下，系统输出的稳态分量称为频率响应。系统频率响应与正弦输入信在正弦输入信号的作用下，系统输出的稳态分量称为频率响应。系统频率响应与正弦输入信号之间的关系称为频率特性。号之间的关系称为频率特性。若把输出的稳态响应和正弦输入信号用复数表示，并求它们的复数比，可以若把输出的稳态响应和正弦输入信号用复数表示，并求它们的复数比，可以得到：得到： G(j) = A() )(je2020/12/861G(j) G(j) 即为频率特性，它反映了在正弦输入信号作用下，系统稳态响应与输入正弦信号的即为频率特性，它反映了在正弦输入信号作用下，系统稳态响应与输入正弦信号的关系；关系；A(
44、)A()是输出信号的幅值与输入信号的幅值之比，称为幅频特性，它是频率的函数，是输出信号的幅值与输入信号的幅值之比，称为幅频特性，它是频率的函数，反映了系统对于不同频率的正弦输入信号的衰减反映了系统对于不同频率的正弦输入信号的衰减( (或放大或放大) )特性；特性；()()是输出信号的相角与是输出信号的相角与输入信号的相角之差，称为相频特性，它表示系统输出对于不同频率的正弦输入信号的相移输入信号的相角之差，称为相频特性，它表示系统输出对于不同频率的正弦输入信号的相移特性。特性。2020/12/862在工程实际中，常把幅频特性在工程实际中，常把幅频特性A()A()画成对数坐标图的形式，对数幅值表达
45、式为画成对数坐标图的形式，对数幅值表达式为10 lg = 10 lg 10 lg = 10 lg ，单位为分贝，单位为分贝(dB)(dB)，这种对数坐标图又称为伯德，这种对数坐标图又称为伯德(Bode)(Bode)图。图。G(j)G(j)可以分为实部和虚部，即可以分为实部和虚部，即 G(j) = X() + jY() G(j) = X() + jY() X() X()称为实频特性，称为实频特性，Y()Y()称为虚频特性。在称为虚频特性。在G(j)G(j)平面上，以横坐标表示平面上，以横坐标表示X()X()，纵坐标表示，纵坐标表示Y()Y()，绘制的频率特性图称为乃奎斯特图，又称为极坐标图。，绘
46、制的频率特性图称为乃奎斯特图，又称为极坐标图。 )G(j)A(2020/12/8633.3.8 线性化时域响应线性化时域响应对系统外施一给定输入信号，其时间响应称为时域响应。可以用线性化时域响应来评价系统对系统外施一给定输入信号，其时间响应称为时域响应。可以用线性化时域响应来评价系统的小干扰稳定性。的小干扰稳定性。PSASPPSASP小干扰线性化时域响应的输入信号为一脉冲函数，其幅值为小干扰线性化时域响应的输入信号为一脉冲函数，其幅值为1 1（标幺值），持续时间为（标幺值），持续时间为三个计算（积分）步长。三个计算（积分）步长。2020/12/8643.4 PSS抑制低频振荡的原理抑制低频振荡
47、的原理电力系统中发电机经输电线并列运行时，在扰动下会发生发电机转子间的相对摇摆，并在缺电力系统中发电机经输电线并列运行时，在扰动下会发生发电机转子间的相对摇摆，并在缺乏阻尼时引起持续振荡。此时，输电线上功率也会发生相应振荡。由于其振荡频率很低，一乏阻尼时引起持续振荡。此时，输电线上功率也会发生相应振荡。由于其振荡频率很低，一般为般为0.20.22.5Hz2.5Hz，故称为低频振荡，又称机电振荡。电力系统低频振荡在国内外均有发生，故称为低频振荡，又称机电振荡。电力系统低频振荡在国内外均有发生，这种低频振荡常出现在长距离、重负荷输电线上，在采用现代快速、高顶值倍数励磁系统的这种低频振荡常出现在长距
48、离、重负荷输电线上，在采用现代快速、高顶值倍数励磁系统的条件下更容易发生。当电机的负荷较重，并且转子振荡时，调节器提供的附加励磁电流的相条件下更容易发生。当电机的负荷较重，并且转子振荡时，调节器提供的附加励磁电流的相位，将落后于转子位置角度振荡的相位，并产生负的阻尼转矩，因而有使角振荡加大的趋势。位，将落后于转子位置角度振荡的相位，并产生负的阻尼转矩，因而有使角振荡加大的趋势。2020/12/865为了解决这一问题，加入电力系统稳定器为了解决这一问题，加入电力系统稳定器PSSPSS是比较有效手段，它可以引入正值阻尼转矩去是比较有效手段，它可以引入正值阻尼转矩去抵消电压调节器产生的负值阻尼转矩。
49、抵消电压调节器产生的负值阻尼转矩。2020/12/866由左图可以看到，如果励磁调节产生的附加由左图可以看到，如果励磁调节产生的附加励磁电流的相位与转子励磁电流的相位与转子角振荡的相位一致或反相，相当于产生正的同步转矩或负的同步转角振荡的相位一致或反相，相当于产生正的同步转矩或负的同步转矩时，则不能起到平息转子振荡的作用；但当励磁调节产生的附加矩时，则不能起到平息转子振荡的作用；但当励磁调节产生的附加励磁电流在相位上领先转子角振荡的相位，相当于产生正的阻尼力励磁电流在相位上领先转子角振荡的相位，相当于产生正的阻尼力矩时，则能起到平息振荡的作用。图中附加励磁电流为矩时，则能起到平息振荡的作用。图
50、中附加励磁电流为IfdsIfds，它，它与原来电压调节器产生的附加励磁电流与原来电压调节器产生的附加励磁电流IfdIfd的矢量和将为的矢量和将为IfdcIfdc，并领前于转子振荡角并领前于转子振荡角，因而二者形成产生正阻尼转矩的综合效，因而二者形成产生正阻尼转矩的综合效果，从而能够抑制低频振荡。果，从而能够抑制低频振荡。 2020/12/867综合上述模型和原理，为了全面准确地研究小干扰稳定问题，我们选用多机系统模型，通过综合上述模型和原理，为了全面准确地研究小干扰稳定问题，我们选用多机系统模型，通过探讨系统小干扰状态在发电机转子绕组作用下、励磁作用下和投入探讨系统小干扰状态在发电机转子绕组作
