1、第三章第三章 向量代数、平面与直线向量代数、平面与直线3.1 向量及其线性运算向量及其线性运算3.2 数量积数量积 向量积向量积 混合积混合积3.3 平面及其方程平面及其方程3.4 空间直线的方程空间直线的方程2.1 2.1 向量代数及其线性运算向量代数及其线性运算一、一、 向量的概念及其表示向量的概念及其表示二、二、 向量的线性运算向量的线性运算四、四、 空间直角坐标系空间直角坐标系五、五、 利用坐标进行向量的线性运算利用坐标进行向量的线性运算六、六、 向量的模、方向角、投影向量的模、方向角、投影三、三、 共线向量和共面向共线向量和共面向量量 一、一、 向量的概念及其表示向量的概念及其表示
2、1 10 0 向量向量：把既有大小、又有方向的量称为：把既有大小、又有方向的量称为向量或矢量向量或矢量. .1、概念、概念以以A为起点为起点, ,B为终点的向量用符号为终点的向量用符号 表示表示.a AB或黑体英文字母或黑体英文字母a a、b b、c c表示向量，有时也用表示向量，有时也用大写字母上加一箭头来表示，如大写字母上加一箭头来表示，如 . CBA、AB2 20 0 表示方法表示方法为了方便，也常用黑体希腊字母为了方便，也常用黑体希腊字母 、 ，向量的大小叫做向量的模，或向量的长度向量的大小叫做向量的模，或向量的长度. . 、a a 的模依次记作的模依次记作 | | |、| | |、|
3、 |a a|.|.ABAB向量向量 、3 30 0 向量的模向量的模 解析几何中所说的向量只考虑它的大小和方解析几何中所说的向量只考虑它的大小和方向而不计较它的起点位置，因此它可以平行移动，向而不计较它的起点位置，因此它可以平行移动，这种向量也称为这种向量也称为自由向量自由向量. 所以，如果两个向量所以，如果两个向量和和长度相等，方向长度相等，方向相同，就称这相同，就称这两个向量相等两个向量相等，记作，记作=. 例如例如ABCD 在平行四边形在平行四边形ABCD中，中，AB=DC. AB=DC，AD=BC，4 40 0 自由向量自由向量 5 50 0 反向量反向量 与向量与向量 的长度相等，方
4、向相反的的长度相等，方向相反的向量，称为向量，称为的的反向量反向量或或负向量负向量，记作记作 - -. . 显然，如显然，如是是的负向量的负向量(=-)，那么，那么也也是是的负向量的负向量(= =-). ABCD 在平行四边形在平行四边形ABCD中，中，按定义，显然按定义，显然 AB=-BA. AB=-CD，AD=-CB，例如例如6 60 0 零向量零向量 长度为长度为0的向量称为的向量称为零向量零向量，记作，记作0. 零向量零向量实质上实质上是起点与终点重合是起点与终点重合的向量，它的向量，它的的方向是不确定的方向是不确定的，也可以说它的方向是，也可以说它的方向是任意任意的的，可根据需要来选
5、取它的方向，可根据需要来选取它的方向. . 7 70 0 单位向量单位向量 长度为长度为1的向量叫做的向量叫做单位向量单位向量. 二、二、 向量的线性运算向量的线性运算1、加法运算、加法运算10 平行四边形法则平行四边形法则OABC+ += = 定义定义1 1 以一点以一点O O 作向量作向量OA=OA=,OB=,OB=，再以，再以OAOA，OBOB为边作平形四边形为边作平形四边形OACBOACB，称向量，称向量OC=OC=为向量为向量OAOA和和OBOB之和，记作之和，记作OAOA+ +OB=OCOB=OC，或，或+ += =.(.(称为向称为向量加法的量加法的平行四边形法则平行四边形法则)
6、.).20、三角形法则、三角形法则OAB+=+=由定义不难验证向量加法有下列基本性质：由定义不难验证向量加法有下列基本性质： 定义定义2 2 从一点从一点O O作向量作向量OA=OA=，再由再由A A点作向点作向量量AB=AB=，称向量，称向量OB OB = =是向量是向量OAOA与与ABAB的和，记的和，记作作OA+AB=OBOA+AB=OB，或，或+=+=.向量加法的基本性质：向量加法的基本性质： 对于任意向量对于任意向量、，有，有 (1) (1) +=+=+( (交换律交换律) )；(2) (2) (+)+)+= =+(+(+)()(结合律结合律) )；( (3) ) + +0 0= =
7、0 0+=； (4) (4) +(-+(-)=0.)=0.+( (+)+)+=+(+(+) )三个向量三个向量，的和可以简记为的和可以简记为+, +, n个向量个向量1，2，n的和可以简记为的和可以简记为1+2+n 。1253 s=1+2+3+4+54 s例如例如2、减法运算、减法运算 定义定义3 我们规定两个向量我们规定两个向量与与的的差差-是是与与-的和，即的和，即-=+(-).按三角形法则，按三角形法则，-是由是由的终点到的终点到的终点的向量的终点的向量. . - 向量的减法可看作向量加法向量的减法可看作向量加法的逆运算，即如的逆运算，即如+=+=，则，则=-=-. 定义定义4 4 实数
8、实数k k与一个向量与一个向量的乘积的乘积k为一个为一个向量，它的模为向量，它的模为| |k|=|=|k| |，当，当k00时，时，k的方向与的方向与的方向相同；当的方向相同；当k00时，时，k的方的方向与向与的方向相反；当的方向相反；当 k=0=0或或=0=0时，时，k=0. =0. 由定义可知：由定义可知： k=0的充要条件为的充要条件为=0 或或 k=0. 特别地，如果特别地，如果k=-1,有有(-1)=-. 与非零向量与非零向量同方向的单位向量为同方向的单位向量为记为记为 0，这时，这时=|0 3、向量的数乘运算、向量的数乘运算向量与数量的乘法向量与数量的乘法( (简称简称数乘数乘)
9、)满足下列基本性质：满足下列基本性质： 对于任意向量对于任意向量、和任意实数和任意实数 k,l有有(1) 1(1) 1= =；(2) (2) k( (l)=()=(kl) )；(3) (3) (k+ +l) )= =k+ +l；(4) (4) k( (+)=k+ +k. .向量向量加法加法与与数乘统称数乘统称为向量的为向量的线性运算线性运算. 三、三、 共线向量和共面向量共线向量和共面向量 两个向量，如果把它们的起点放在同一点时，它们两个向量，如果把它们的起点放在同一点时，它们的终点和公共起点在一条直线上，则称这两个向量是的终点和公共起点在一条直线上，则称这两个向量是共共线的线的。并规定，并规
10、定，零零向量向量平行于任何向量平行于任何向量. 方向方向相同或相反相同或相反的两个非零向量，称为的两个非零向量，称为平行平行向量。向量。记作记作.1.1.共线向量共线向量 共线向量共线向量 平行向量平行向量 证证 充分性充分性. .如果如果=m=m，由数乘向量的定义知，由数乘向量的定义知，与与共线，充分性得证共线，充分性得证. .必要性必要性.由于由于与与共线，且共线，且|0，因而有非负实数因而有非负实数使得使得 . 当当与与同向时，可取同向时，可取m=； 设向量设向量OO，向量，向量与与共线的充分必要条件是，共线的充分必要条件是，存在唯一的实数存在唯一的实数m m，使，使=m=m. .当当与
11、与反向时，可取反向时，可取m=-，向量共线判定定理向量共线判定定理于是，都有于是，都有=m引理引理1 1最后证明最后证明=m中的中的m是唯一的是唯一的. 若若=m=m1 1=m m2 2，则，则(m(m1 1-m-m2 2) )=0,=0,因为因为00，所以，所以 m m1 1=m=m2 2 . .向量向量1 1、2 2共线的充分必要条件是存在不共线的充分必要条件是存在不定理定理1 1全为零的实数全为零的实数k1 1, ,k2 2，使得，使得k1 11 1+ +k2 22 2= =0 0. .2.2.共面向量共面向量 设有设有k(3)(3)个向量，如果把它们的起点放在同一点个向量，如果把它们的
12、起点放在同一点时，它们的终点和公共起点在一个平面上，则称时，它们的终点和公共起点在一个平面上，则称这这k个个向量向量共面共面。向量共面判定定理向量共面判定定理 若向量若向量、不平行，则向量不平行，则向量与与、引理引理2 2共面的充分必要条件是存在唯一的有序实数组共面的充分必要条件是存在唯一的有序实数组(m,n)，使得使得=m+n. 证证必要性必要性 若若与与、共面，把这三个向共面，把这三个向量的起点放在同一量的起点放在同一点点O, 则它们在同一个平面上则它们在同一个平面上. . 过过=OP的终点的终点P分别作直线平行于向量分别作直线平行于向量、，它们与它们与、所在的直线分别相交于所在的直线分别
13、相交于Q，R，则则OQ，OR因为向量因为向量、不平行，则不平行，则0，0. RQPO充分性充分性 若若=m+n，则说明，则说明是以是以m、n为为边的平行四边形的对角线，边的平行四边形的对角线， 因此因此与与m、n共面，共面， 所以所以也与也与、共面共面. 仿照定理仿照定理1的唯一性，可以证明出的唯一性，可以证明出m、n的唯的唯一性一性.此部分由同学们自己完成此部分由同学们自己完成. 由引理由引理1知知 OQ=m,OR=n， 于是，由向量加法的平行四边形法则于是，由向量加法的平行四边形法则知知=m+n. 向量向量1 1、2 2、3 3共面的充分必要条件是有不共面的充分必要条件是有不全为零的实数全
14、为零的实数k1 1, ,k2 2, ,k3 3，使得，使得k1 11 1+ +k2 22 2+ +k3 33 3=0.=0.定理定理2 2xyz由三条互相垂直的数轴按由三条互相垂直的数轴按右手规则右手规则组成一个组成一个空间直角坐标系空间直角坐标系. . 坐标原点坐标原点 坐标轴坐标轴x轴轴( (横轴横轴)y轴轴( (纵轴纵轴) )z 轴轴( (竖轴竖轴) )过空间一定点过空间一定点 O O , ,o 坐标面坐标面 卦限卦限( (八个八个) )面xoy面yozzox面面四、四、 空间直角坐标系空间直角坐标系1. 1. 空间直角坐标系的基本概念空间直角坐标系的基本概念 2. 2. 向量的坐标表示
15、向量的坐标表示在空间直角坐标系下在空间直角坐标系下, ,则则沿三个坐标轴沿三个坐标轴kzjyixrxoyzMNBCijkA,轴上的单位向量分别表示以zyxkji此式称为向量此式称为向量 r r 的的坐标分解式坐标分解式 , ,rkzjyix称为向量,r任意向量任意向量 r r 对应空间中一点对应空间中一点 M ，NMONOMOCOBOA, ixOA, jyOBkzOC即即方向的方向的分向量分向量. .向量向量OM称为点称为点M关于原点关于原点O的的向径向径。向径向径 11点点 M 11有序数组有序数组),(zyxxyzo坐标轴上的点坐标轴上的点 P, Q , R ；坐标面上的坐标面上的点点 A
16、 , B , C特殊点的坐标：特殊点的坐标：)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB),(zoxC原点原点 O(0,0,0)(0,0,0)；rM定义：定义：有序数有序数 x, y, z 称为向量称为向量 r 在直角坐标系在直角坐标系 Oxyz中的中的r),(zyxM坐标坐标，记作，记作),(zyx, ,有序数有序数 x, y, z 称为点称为点M在直角坐标系在直角坐标系 Oxyz中的中的坐标坐标，记作，记作设设),(zyxaaaa , ),(zyxbbbb 则则ba),(zzyyxxbababaa),(zyxaaa对向量进行加、减与数乘运算
17、，只需对其向量的各个坐标分对向量进行加、减与数乘运算，只需对其向量的各个坐标分别进行相应的运算就行了。别进行相应的运算就行了。，为实数五、利用坐标作向量的线性运算五、利用坐标作向量的线性运算例例1. 已知两点已知两点在在AB直线上求一点直线上求一点 M , , 使使解：解： 设设 M 的坐标为的坐标为, ),(zyx如图所示如图所示ABMo11MAB, ),(111zyxA),(222zyxB及实数及实数, 1),(zyx11),(212121zzyyxx所以所以.MBAMAMMBAMOAOM MBOMOB AOOM )(OMOB OMOBOA(即即说明说明: 由得定比分点公式得定比分点公式:
18、 :,121xx,121yy121zz,1时当点点 M M 为为 AB AB 的中点的中点 , ,于是得于是得x,221xx y,221yy z221zz ABMoMAB),(zyx11),(212121zzyyxxxyz中点公式中点公式: :1. 1. 向量的模与两点间的距离公式向量的模与两点间的距离公式),(zyxr 设则有则有OMr 222OROQOPxoyzMNQRP由勾股定理得由勾股定理得, rOM作OMr OROQOP 六、向量的模、方向角、投影六、向量的模、方向角、投影 222zyxr向量的模向量的模则设),(zyxr ),(111zyxA因因AB得得两点间的距离公式两点间的距离
19、公式: :),(121212zzyyxx212212212)()()(zzyyxx对两点对两点与与, ),(222zyxBBABAOAOBBAo例例2 2. . 已知两已知两点点)5,0,4(A和和, )3, 1 ,7(B解解求与求与141)2,1,3(142,141,143.BABABA机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 方向方向相同的单位向量相同的单位向量ee2. 方向角与方向余弦方向角与方向余弦设有两非零向量设有两非零向量,ba任取空间一点任取空间一点O,aOA作,bOBOAB称称 =AOB (0 )为为向量向量 ba,的夹角的夹角. . ),(ab或,0),(z
20、yxr给定与三坐标向量与三坐标向量 i, j, kr称为其为其方向角方向角. .cosrx222zyxx方向角的余弦称为其方向角的余弦称为其方向余弦方向余弦. . 记作记作),(ba在直角坐标系中，在直角坐标系中，的夹角的夹角 , , oyzxrcosrx222zyxxcosry222zyxycosrz222zyxz1coscoscos222方向余弦的性质方向余弦的性质: :的单位向量向量 rrrr0)cos,cos,(cos机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例3. 已知两点)2,2,2(1M和和, )0,3, 1(2M的模的模 、方向余弦和方向角、方向余弦和方向角
21、 . . 解：解：,21,23)20计算向量计算向量)2, 1, 1(222)2(1) 1(2,21cos,21cos22cos,32,34321MM(21MM21MM机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 3.向量在轴上的投影向量在轴上的投影取取定点定点 O 及及单位向量单位向量 e 确定确定u轴（见右下图），轴（见右下图），定定义义任任给向量给向量 r，作作 OM r ，再过点，再过点 M 作与作与 u 轴垂直的轴垂直的平面交平面交 u 轴于点轴于点 M ，则点，则点 M 称为点称为点 M 在在 u 轴上的轴上的投影，向量投影，向量 OM 称为称为向量向量 r 在在 u
22、 轴上的分量。设轴上的分量。设OM e，则则数数 称为向量称为向量 r 在在 u 轴上的投影轴上的投影。 记作记作PrjurbaM1M2A1(O)A2补充补充向量的投影具有与坐标相同的性质向量的投影具有与坐标相同的性质: :性质性质1 1Prjcos ,u| = 性质性质2 2Prj ()PrjPrjuuu+=+性质性质3 3Prj ()Prjuu =其中其中是向量是向量与与u 轴的夹角。轴的夹角。由定义知，向量由定义知，向量(,)xyzaaa=在在直角坐标系直角坐标系 Oxyz的坐标就是的坐标就是 在三条坐标轴上的投影，即在三条坐标轴上的投影，即Prj, Prj, Prjxxyyzzaaa = = =u)( uj rP uj rP)(j rP u
