1、第第5章章 微分方程模型微分方程模型5.6 人口的预测人口的预测（Malthus模型与模型与Logistic模型）模型）微分方程模型微分方程模型 在许多实际问题中，当直接导出变量之间的在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系较为困难，但导出包含未知函数的导数函数关系较为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较为容易时，可用建立微分方程或微分的关系式较为容易时，可用建立微分方程模型的方法来研究该问题模型的方法来研究该问题.求出方程的解求出方程的解 求出未知函数的解析表达式求出未知函数的解析表达式 利用各种数值解法、数值软件（如利用各种数值解法、数值软件（如MatlabMatlab）求
2、）求近似解近似解不必求出方程的解不必求出方程的解 根据微分方程的理论研究某些性质，或它的根据微分方程的理论研究某些性质，或它的变化趋势变化趋势 为了保持自然资料的合理开发与利用，人类必须保持并为了保持自然资料的合理开发与利用，人类必须保持并控制生态平衡，甚至必须控制人类自身的增长。控制生态平衡，甚至必须控制人类自身的增长。 本节将建立几个简单的单种群增长模型，以简略分析一本节将建立几个简单的单种群增长模型，以简略分析一下这方面的问题。一般生态系统的分析可以通过一些简单模下这方面的问题。一般生态系统的分析可以通过一些简单模型的复合来研究，大家若有兴趣可以根据生态系统的特征自型的复合来研究，大家若
3、有兴趣可以根据生态系统的特征自行建立相应的模型。行建立相应的模型。 美丽的大自然 种群的数量本应取种群的数量本应取离散值离散值，但由于种群数，但由于种群数量一般较大，为建立微分方程模型，可将种群量一般较大，为建立微分方程模型，可将种群数量看作数量看作连续变量连续变量，甚至允许它为可微变量，甚至允许它为可微变量，由此引起的误差将是十分微小的。由此引起的误差将是十分微小的。 离散化为连续，方离散化为连续，方便研究便研究 5.6 5.6 人口的预测人口的预测 5.6 5.6 人口的预测人口的预测世界人口世界人口年年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999人口（亿）人口（
4、亿） 5 10 20 30 40 50 60中国人口中国人口年年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 2000人口（亿）人口（亿） 3 4.7 6 7.2 10.3 11.3 12.95研究人口变化规律研究人口变化规律控制人口过快增长控制人口过快增长做出较准确的预报做出较准确的预报 建立人口数学模型建立人口数学模型 最简单的人口增长模型最简单的人口增长模型常用公式常用公式kkrxx)1 (0记今年人口为记今年人口为 x0, , k 年后人口年后人口为为 xk,，年增长率为年增长率为 r则则模型模型1 1 马尔萨斯（马尔萨斯（MalthusMalthus）模型模型1798
5、1798年提出年提出假设假设：单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比。单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比。0( )rtx tx e （2） （1）的解为的解为：符号：符号：00 x(t )txt 时刻时的人口，可微函数时刻时的人口，可微函数时的人口时的人口()( )( )x ttx trx tt 则则00( )dxrxdtxx （1） 于是于是x（t）满足如下微分方程：满足如下微分方程：r-人口增长率（常数）人口增长率（常数）（可分离变量微分方程）（可分离变量微分方程）单位时间内人口的增长量单位时间内人口的增长量 马尔萨斯模型的一个显著特点马尔萨斯模型的一个显著特点：种群数量翻一番所需
6、的时种群数量翻一番所需的时间是固定的间是固定的。令种群数量翻一番所需的时间为令种群数量翻一番所需的时间为T，则有：，则有： 002rTxx e 2lnTr 故故0( )rtx tx e （2） 当当r0时，表明人口将按指数规律无限增长，因此又称为时，表明人口将按指数规律无限增长，因此又称为人人口指数模型。口指数模型。0( )(e )rtx txtrx)1 (0与常用公式的一致与常用公式的一致模型检验模型检验 用用P164P164给给出的近两个世纪的美国人口统计数据（以百万出的近两个世纪的美国人口统计数据（以百万作单位），对模型作检验。作单位），对模型作检验。0( )rtx tx e 参数估计：
7、参数估计：0,rxr，x0可用已知数据利用线性可用已知数据利用线性最小二乘法最小二乘法进行估计进行估计（2） （2 2）式两边取对数，得：）式两边取对数，得：00ln ( )ln(ln ( ),ln)yartx txrtyx t ax （3） 以以17901900年的数据拟合年的数据拟合（3 3）式，用）式，用MatlabMatlab软件计算得：软件计算得：r r0.2743/10年，年，所有散点到曲线的距所有散点到曲线的距离平方和最小离平方和最小Matlab计算示范计算示范00ln ( )ln(ln ( ),ln)yartx txrtyx t ax 以以1790-1900年共计年共计12个数
8、据为例进行拟合：个数据为例进行拟合：t=0：11； %输入数据输入数据x=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76;plot (t, x, o); %画散点图画散点图y=log(x);p=polyfit(t,y,1)（3） 0.2743 1.4323p 输出结果：输出结果：001 43234 1884ln.xx0 27434 1884.( ).tx te0 27431 4323.yt表示：表示：以以1790-19001790-1900年共计年共计1212个数据为例画出拟合图形：个数据为例画出拟合图形：t=0:11;x=3.9 5
9、.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76;y=log(x);p=polyfit(t,y,1); % 一次函数的最小二乘拟合一次函数的最小二乘拟合f = polyval(p,t); % 计算所拟合函数的函数值计算所拟合函数的函数值ff = exp(f); % 因为事先因为事先取取过对数过对数plot(t,x,o,t,ff,-)axis(0 12 0 100)以以1790-2000年共计年共计12个数据为例进行拟合：个数据为例进行拟合：r =0.20743/10年，年，x0 =4.1884r =0.2022/10年，年，x0 =6.0450
10、以以1790-2000年共计年共计22个数据为例进行拟合：个数据为例进行拟合：0510152025010020030040050019502000205021002150220000.511.522.533.5x 1011t/年N/人马 尔 萨 斯 模 型 人 口 预 测模型预测模型预测 假如人口数真能保持每假如人口数真能保持每34.6年增加一倍，那么人口数将年增加一倍，那么人口数将以几何级数的方式增长。例如，到以几何级数的方式增长。例如，到2510年，人口达年，人口达21014个，个，即使海洋全部变成陆地，每人也只有即使海洋全部变成陆地，每人也只有9.3平方英尺的活动范围，平方英尺的活动范围
11、，而到而到2670年，人口达年，人口达361015个，只好一个人站在另一人的个，只好一个人站在另一人的肩上排成二层了。肩上排成二层了。 故故马尔萨斯模型是不完善的。马尔萨斯模型是不完善的。几何级数的增长MalthusMalthus模型实际上只有在群体总数模型实际上只有在群体总数不太大时才合理，到总数增大时，不太大时才合理，到总数增大时，生物群体的各成员之间由于有限的生物群体的各成员之间由于有限的生存存空间，有限的自然资源及食生存存空间，有限的自然资源及食物等原因，就可能发生生存竞争等物等原因，就可能发生生存竞争等现象。现象。所以所以MalthusMalthus模型假设的人口模型假设的人口净净增
12、长率不可能始终保持常数，增长率不可能始终保持常数，它应当与人口数量有关。它应当与人口数量有关。指数增长模型的应用及局限性指数增长模型的应用及局限性 与与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合. 适用于适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代. 可用于短期人口增长预测可用于短期人口增长预测. 不符合不符合1919世纪后多数地区人口增长规律世纪后多数地区人口增长规律. . 不能预测较长期的人口增长过程不能预测较长期的人口增长过程. .1919世纪后人口数据世纪后人口数据人口增长率人口增长率r不是常数不是常数( (逐渐下降逐渐下降)
13、 )模模型型2 2 阻滞增长模型阻滞增长模型逻辑斯蒂逻辑斯蒂(Logistic)(Logistic)模模型型人人口增口增长率应当与人口数量有关，即：长率应当与人口数量有关，即： r=r(x) 从而有从而有：00( )( )dxr x xdtxx （4）r( (x x) )是未知函数，但根是未知函数，但根据实际背景，它无法用据实际背景，它无法用拟合方法来求拟合方法来求 。为了得出一个有实际意义为了得出一个有实际意义的模型，我们不妨采用一的模型，我们不妨采用一下工程师原则。工程师们下工程师原则。工程师们在建立实际问题的数学模在建立实际问题的数学模型时，总是采用尽可能简型时，总是采用尽可能简单的方法
14、。单的方法。 r(x)最简单的形式是常数，此最简单的形式是常数，此时得到的就是马尔萨斯模型。时得到的就是马尔萨斯模型。对马尔萨斯模型的最简单的改对马尔萨斯模型的最简单的改进就是引进一次项（竞争项）进就是引进一次项（竞争项） 对马尔萨斯模型引入一次项（竞争项对马尔萨斯模型引入一次项（竞争项），令），令此时得到微分方程：此时得到微分方程： ()dxrsx xdt(1)mdxxrxdtx或或（5）（5 5）可改写成：可改写成： ()mmdxrxx xdtx（6）r-固有增长率固有增长率( ( x 很小时很小时) )xm人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）mxr
15、s 0)(mxr (2.6)式还有另一解释，由于空间和资源都是有限的，不可能供养无限式还有另一解释，由于空间和资源都是有限的，不可能供养无限增长的种群个体，当种群数量过多时，由于人均资源占有率的下降及环境增长的种群个体，当种群数量过多时，由于人均资源占有率的下降及环境恶化、疾病增多等原因，出生率将降低而死亡率却会提高。设环境能供养恶化、疾病增多等原因，出生率将降低而死亡率却会提高。设环境能供养的种群数量的上界为的种群数量的上界为xm（近似地将（近似地将xm看成常数），看成常数），x表示当前的种群数量，表示当前的种群数量，xm-x恰为环境还能供养的种群数量恰为环境还能供养的种群数量，（，（2.6
16、）指出，种群增长率与两者的乘）指出，种群增长率与两者的乘积成正比，正好符合统计规律，得到了实验结果的支持，这就是积成正比，正好符合统计规律，得到了实验结果的支持，这就是（2.6）也被称为统计筹算律的原因。也被称为统计筹算律的原因。 （2.5）被称为被称为LogisticLogistic模型或生物总数增长的统计筹算律，是由荷兰数学模型或生物总数增长的统计筹算律，是由荷兰数学生物学家弗赫斯特（生物学家弗赫斯特（VerhulstVerhulst）首先提出的。一次项系数是负的，因为当种群）首先提出的。一次项系数是负的，因为当种群数量很大时，会对自身增大产生抑制性，故一次项又被称为竞争项。数量很大时，会
17、对自身增大产生抑制性，故一次项又被称为竞争项。()dxrsx xdt(1)mdxxrxdtx或或（5）()mmdxrxx xdtx（6）dx/dtxOxmxm/2对对（6 6）分离变量：分离变量：11mdxrdtxxx 两边积分并整理得：两边积分并整理得： 1mrtxxCe 令令x(0)=x0，求得：，求得： 0001mmxxxCxx 故故（6 6）的满足初始条件的满足初始条件x(0)=x0的解为：的解为： 011( )()mrtmxx txex （7）易见：易见： lim( )mtx tx x(t)的图形请看的图形请看图图2txOxmx0 xm/2S形曲线形曲线x增加先快后慢增加先快后慢dd
18、xrxtd( )dxr x xtdx/dtxOxmxm/2txOx增加先快后慢增加先快后慢xmx0 xm/2阻滞增长模型阻滞增长模型( (Logistic模型模型) )1 (mxxrx)1()(mxxrxr指数增指数增长模型长模型Logistic 模型的应用模型的应用 经济领域中的增长规律经济领域中的增长规律( (耐用消费品的售量耐用消费品的售量) )，新产品的推广，新产品的推广. . 种群数量模型种群数量模型 ( (鱼塘中的鱼群鱼塘中的鱼群, , 森林中的树木森林中的树木).).S形曲线形曲线参数估计参数估计先估计模型参数先估计模型参数 r, xm . .模型检验模型检验阻滞增长模型阻滞增长
19、模型d(1)dmxxrxtxsxryd /d,mxtxrysxx tx由统计数据用由统计数据用线性最小二乘法线性最小二乘法作参数估计作参数估计例：美国人口数据例：美国人口数据(百万百万) t 1860 1870 1880 1960 1970 1980 1990 2000 x 31.4 38.6 50.2 179.3 204.0 226.5 251.4 281.4 r=0.2557/10年，xm =392.0886 年年实际实际人口人口计算人口计算人口(指数增长模型指数增长模型)计算人口计算人口 (阻滞增长模型阻滞增长模型)17903.96.03.918005.37.45.01960179.31
20、88.0171.31970204.0230.1196.21980226.5281.7221.21990251.4344.8245.32000422.10510152025010020030040050005101520050100150200250300指数增长模型指数增长模型阻滞增长模型阻滞增长模型用模型计算用模型计算2000年美国人口年美国人口/ )1990(1)1990()1990()1990()2000(mxxrxxxxx误差约误差约2.5%与实际数据比较与实际数据比较(2000年年281.4)=274.5模型的检验和预报模型的检验和预报 为作为作模型检验模型检验在参数估计时未用在参数
21、估计时未用2000年实际数据年实际数据加入加入2000年数据重估模型参数年数据重估模型参数r=0.2490，xm=434.0 x(2010)=306.0 预报预报美国美国2010年人口年人口 美国人口普查局美国人口普查局2010年年12月月21日公布：截止到日公布：截止到2010年年4月月1日美国总人口为日美国总人口为3.087亿亿.预报误差不到预报误差不到1%！MalthusMalthus模型和模型和LogisticLogistic模型的总结模型的总结 MalthusMalthus模型和模型和LogisticLogistic模型模型均为对微分方程均为对微分方程（4）所）所作的模拟近似方程。前
22、一模型假设了种群增长率作的模拟近似方程。前一模型假设了种群增长率r为一常数，为一常数，（r被称为该种群的内禀增长率）。后一模型则假设环境只被称为该种群的内禀增长率）。后一模型则假设环境只能供养一定数量的种群，从而引入了一个竞争项。能供养一定数量的种群，从而引入了一个竞争项。 用模拟近似法建立微分方程来研究实际问题时必须对用模拟近似法建立微分方程来研究实际问题时必须对求得的解进行检验，看其是否与实际情况相符或基本相符。求得的解进行检验，看其是否与实际情况相符或基本相符。相符性越好则模拟得越好，否则就得找出不相符的主要原相符性越好则模拟得越好，否则就得找出不相符的主要原因，对模型进行修改。因，对模
23、型进行修改。 MalthusMalthus模型与模型与LogisticLogistic模型虽然都是为了研究种群数量的模型虽然都是为了研究种群数量的增长情况而建立的，但它们也可用来研究其他实际问题，只要这增长情况而建立的，但它们也可用来研究其他实际问题，只要这些实际问题的数学模型有相同的微分方程些实际问题的数学模型有相同的微分方程即可。即可。 新产品的推广新产品的推广 经济学家和社会学家一直很关心新产品的推销速经济学家和社会学家一直很关心新产品的推销速度问题。怎样建立一个数学模型来描述它，并由此析度问题。怎样建立一个数学模型来描述它，并由此析出一些有用的结果以指导生产呢？以下是第二次世界出一些有
24、用的结果以指导生产呢？以下是第二次世界大战后日本家电业界建立的电饭煲销售模型。大战后日本家电业界建立的电饭煲销售模型。 设需求量有一个上界，并记此上界为设需求量有一个上界，并记此上界为K，记，记t时刻已销售出的时刻已销售出的电饭煲数量为电饭煲数量为x(t)，则尚未使用的人数大致为，则尚未使用的人数大致为Kx(t)，于是由统，于是由统计筹算律：计筹算律： ()dxx Kxdt记比例系数为记比例系数为k k，则则x(t)满足：满足： ()dxkx Kxdt此方程即此方程即LogisticLogistic模型，解为：模型，解为： ( )1KktKx tCe还有两个奇解还有两个奇解: x=0和和x=K
25、 对对x(t)求一阶、两阶导数：求一阶、两阶导数： 22( )(1)KktKktcK kex tCe323(1)( )(1)KktKktKktCK k eCex tCe容易看出，容易看出，x(t)0，即，即x(t)单调增加。单调增加。由由x(t0)=0，可以得出，可以得出 =1，此时，此时， 。0RKtCe2)(0Ktx当当t0，x(t)单调增加，而当单调增加，而当tt0时，时，x(t)0，x(t)单调减小。单调减小。实际调查表明，销售曲线与实际调查表明，销售曲线与LogisticLogistic曲线曲线十分接近，尤其是在销售后期，两者几乎完全吻合。十分接近，尤其是在销售后期，两者几乎完全吻合
26、。 在销出量小于最大需求量的一在销出量小于最大需求量的一半时，销售速度是不断增大的，半时，销售速度是不断增大的，销出量达到最大需求量的一半销出量达到最大需求量的一半时，该产品最为畅销，接着销时，该产品最为畅销，接着销售速度将开始下降。售速度将开始下降。所以初期应采取小批量生产并加所以初期应采取小批量生产并加以广告宣传；从有以广告宣传；从有20%20%用户到有用户到有80%80%用户这段时期，应该大批量用户这段时期，应该大批量生产；后期则应适时转产，这样生产；后期则应适时转产，这样做可以取得较高的经济效果。做可以取得较高的经济效果。 定义定义 含有未知函数的导数含有未知函数的导数 (或微分或微分
27、) 的方程，的方程，称为称为微分方程微分方程. 定义定义 如果一个函数代入微分方程后，方程如果一个函数代入微分方程后，方程两端相等，则称此函数为两端相等，则称此函数为微分方程的解微分方程的解.通解通解 特解特解22,2yxC yxxy2例如例如 ，都是微分方程，都是微分方程的解的解.xey yy 是微分方程是微分方程的解，因为的解，因为.xeyy附：微分方程简介附：微分方程简介一、可分离变量微分方程一、可分离变量微分方程( , ,)0F x y y 一阶微分方程的一般形式是：一阶微分方程的一般形式是：如果一个一阶微分方程能写成如果一个一阶微分方程能写成( )( )g y dyf x dx形式，
28、即能把微分方程写成一端只含形式，即能把微分方程写成一端只含 y 的函数和的函数和 dy，4252dyx ydx4252,ydyx dx例如例如定义定义另一端只含另一端只含x 的函数和的函数和dx，则原方程就称为，则原方程就称为可分离变可分离变量的微分方程量的微分方程.yxxy23dd的通解的通解. .分离变量得分离变量得xxyyd3d2两边积分两边积分xxyyd3d2得得13lnCxyCxylnln3即即31|xCye31Cxye e 3xeCy 1CeC令( ( C 为任意常数为任意常数 ) )或或( ( 此式含分离变量时丢失的解此式含分离变量时丢失的解 y = 0 ) )例例1 求微分方程
29、求微分方程解解:(0)y说明说明: : 在求解过程中每在求解过程中每一步不一定是同解变形一步不一定是同解变形, ,因此可能增、减解因此可能增、减解.标准形式：标准形式：未知函数及其导数都是一次的微分方程称为未知函数及其导数都是一次的微分方程称为一阶线一阶线( )( )P xxdyyxQddydx的系数是的系数是y( ),P x( )Q x( )P xydydx都是已知函数都是已知函数.如果如果称为称为一阶一阶齐次齐次线性微分方程线性微分方程.( )0Q x ( )0yP x y性微分方程性微分方程. 它的标准形式中它的标准形式中二、一阶线性微分方程二、一阶线性微分方程的系数是的系数是1，和和都
30、在方程的左边，都在方程的左边，和和，则方程变为，则方程变为如果如果,则称为则称为一阶一阶非齐次非齐次线性微分方程线性微分方程.( )0Q x 1. 一阶线性微分方程的概念一阶线性微分方程的概念方程两边积分后得方程两边积分后得1ln |( )yP x dxC 即即 P x dxyCe 为齐次方程的通解为齐次方程的通解.（ C 为常数）为常数）( )0dyP x ydx分离变量后得分离变量后得将一阶齐次线性微分方程将一阶齐次线性微分方程( )dyP x dxy 2. 一阶齐次线性微分方程的通解一阶齐次线性微分方程的通解常数变易法常数变易法作变换作变换( )( ),P x dxyC x e求解一阶非
31、齐次线性微分方程求解一阶非齐次线性微分方程则则( )d( )eP xxC x )(xP( )d( )eP xxC x )(xQ( )d( )( )eP xxP x C x 即即( ) d( )( )P xxC xQ xe( )( )( )P x dxC xQ x edxC两边积分，得两边积分，得( )( )( )p x dxp x dxyeq x edxC故非齐次线性微分方故非齐次线性微分方方程的通解为方程的通解为dxexQeCedxxPdxxPdxxP )()()()(对应齐次对应齐次方程通解方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解把齐次方程通解中的把齐次方程通解中的常数常数变变易为易为待定函数
32、待定函数的方法的方法.sin1的通解的通解求方程求方程xxyxy ,1)(xxP ,sin)(xxxQ Cdxexxeydxxdxx11sin Cdxexxexxlnlnsin Cxdxxsin1 .cos1Cxx 解：解：例例1 1二、伯努利（二、伯努利（Bernoulli）方程）方程伯努利方程的标准形式伯努利方程的标准形式: :)1,0()()(ddnyxQyxPxynny以)()(dd1xQyxPxyynn令令,1 nyzxyynxzndd)1 (dd则)()1 ()()1 (ddxQnzxPnxz求出此方程通解后求出此方程通解后, ,换回原变量即得伯努利方程的通解换回原变量即得伯努利方
33、程的通解.除方程两边除方程两边 , , 得得解法解法: :( (线性方程线性方程) )2)ln(ddyxaxyxy的通解的通解. .解解: : 令令,1 yz则方程变形为则方程变形为xaxzxzlndd其通解为其通解为ez将将1 yz1)ln(22xaCxyxxd1exa)ln(xxd1Cx d2)ln(2xaCx代入代入, , 得原方程通解得原方程通解: : 例例1 1 求方程求方程四、二阶线性微分方程四、二阶线性微分方程( )( )( )yP x yQ x yf x时时, , 称为称为非齐次方程非齐次方程; ; 0)(xf时时, , 称为称为齐次方程齐次方程. .0)(xf1122( )(
34、 )*( )yC y xC yxyx)()(xyxY齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解解的结构解的结构线性无关）线性无关）12( )( )y xyx（其其中中和和),(0为常数qpyqypy 特征根特征根: :21, rr(1) (1) 当当时时, , 通解为通解为xrxrCCy21ee2121rr(2) (2) 当当时时, , 通解为通解为xrxCCy1e)(2121rr (3) (3) 当当时时, , 通解为通解为)sincos(e21xCxCyxi2, 1r二阶二阶常常系数系数齐次齐次线性线性微分方程微分方程,02qrpr特征方程特征方程: :xmxPyqypye)(.
35、 1 为特征方程的为特征方程的 k (0, 1, 2) 重根重根, ,xmkxQxye)(*则设特解为则设特解为sin)(cos)(e. 2xxPxxPyqypynlx 为特征方程的为特征方程的 k (0, 1 )重根重根, , ixkxye*则设特解为则设特解为sin)(cos)(xxRxxRmm二阶二阶常常系数系数非齐次非齐次线性线性微分方程微分方程xxyyy2e65 求方程的通解的通解. . 解解: : 本题本题特征方程为特征方程为,0652 rr其根为其根为对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为xxCCY3221ee设非齐次方程特解为设非齐次方程特解为xbxbxy210e)(*比较系
36、数比较系数, , 得得120 b0210bb1,2110bb因此特解为因此特解为.e)1(*221xxxy3, 221rr代入方程得代入方程得xbbxb01022所求通解为所求通解为xxCCy3221ee.e)(2221xxx ,2例例1 1xxyy3sin303cos189 求方程的通解的通解. . 解解: : 特征方程为特征方程为, 092r其根为其根为对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为xCxCY3sin3cos21)3sin3cos(*xbxaxy比较系数比较系数, , 得得,5a,3b因此特解为因此特解为)3sin33cos5(*xxxyi32, 1r代入方程代入方程: :xax
37、b3sin63cos6所求通解为所求通解为xCxCy3sin3cos21为特征方程的单根为特征方程的单根 , ,3i)3sin33cos5(xxxxx3sin303cos18因此设非齐次方程特解为因此设非齐次方程特解为例例2 2五、常系数线性微分方程组解法步骤解法步骤:第一步 用消元法消去其他未知函数 , 第二步 求出此高阶方程的未知函数 ;第三步 把求出的函数代入原方程组 ,注意注意: 一阶线性方程组的通解中,任意常数的个数任意常数的个数 = 未知函数个数未知函数个数一般通过求导求导得其它未知函数 .如果通过积分求其他未知函数 , 则需要讨论任意常数的关系. 函数的高阶方程 ;得到只含一个例
38、例1. 解微分方程组 zyxy23ddzyxz 2dd解解: 由得zxzydd21代入, 化简得0dd2dd22zxzxz特征方程: 0122 rr通解: xxCCze)(21将代入, 得xxCCCye)22(21221zyxy23ddzyxz 2dd原方程通解:xxCCze)(21xxCCCye)22(21221注意注意: 是不独立的而它们与21,CC1) 不能由式求 y, 因为那将引入新的任意常数, (它们受式制约). ,的表达式中因此 y不能用另一任意常数212CC .,213也不能去掉系数代替C3) 若求方程组满足初始条件0000,zzyyxx的特解, 只需代入通解确定21,CC即可.2) 由通解表达式可见, 其中任意常数间有确定的关系,
