1、13.1 3.1 力对点之矩力对点之矩 汇交力系的合力矩定理汇交力系的合力矩定理 第第3章章 力偶理论力偶理论3.2 3.2 力偶及其性质力偶及其性质3.3 3.3 力偶系的合成与平衡力偶系的合成与平衡23.1 3.1 力对点之矩力对点之矩 汇交力系的合力矩定理汇交力系的合力矩定理ABF Mo(F)表示力表示力F 绕绕 O 转动的效应转动的效应力矩的单位力矩的单位: Nm 或或 kNmOdMo(F) =Fdd -力臂O- 矩心正负号规定：正负号规定：力使物体绕矩心逆时针转为力使物体绕矩心逆时针转为 +力使物体绕矩心顺时针转为力使物体绕矩心顺时针转为 一、平面力系中力对点的矩一、平面力系中力对点
2、的矩3ABFdO几个结论：几个结论：1、若、若F=0 或或 d=0，则：，则： Mo(F) =02、当力、当力F 沿其作用线滑动时，沿其作用线滑动时， 力对同一点的矩力对同一点的矩Mo(F) 不变。不变。3、同一个力对不同点的矩不同，即：、同一个力对不同点的矩不同，即： 力对点的矩与矩心的选择有关。力对点的矩与矩心的选择有关。4、 Mo(F) =Fd =2 OAB面积面积注意：平面力系中力对点的矩是一代数量。注意：平面力系中力对点的矩是一代数量。3.1 3.1 力对点之矩力对点之矩 汇交力系的合力矩定理汇交力系的合力矩定理4二、空间力系中力对点的矩OxyzAFrAO力矩的大小力矩的大小;力矩平
3、面的方位力矩平面的方位;力力矩在力矩平面内的转向。矩在力矩平面内的转向。力矩的三要素力矩的三要素:OAOMFrF（ ） 表示力F绕O点转动的效应,O点称为矩心,即：空间力系中力对点之矩是一矢量，空间力系中力对点之矩是一矢量，简称为力矩矢。）（FMO3.1 3.1 力对点之矩力对点之矩 汇交力系的合力矩定理汇交力系的合力矩定理5BA（x,y,z)rAOMo(F)dOxyz Fsin2OAOMFrFFdS OAB力矩矢的大小：（ ）方向：垂直于方向：垂直于r、F 决定的平面，决定的平面， 指向由右手螺旋法则判定。指向由右手螺旋法则判定。 作用在作用在O点。点。力对点的矩的解析表示力对点的矩的解析表
4、示AO r - , ,xiyjzkx y zA表示 点的三个坐标xyz -,xyzFF iF jF kF F FF表示 在坐标轴上的投影FrFMAOO）（3.1 3.1 力对点之矩力对点之矩 汇交力系的合力矩定理汇交力系的合力矩定理6()()() zyxzyxyFzF izFxFjxFyF k力矩矢在坐标轴力矩矢在坐标轴上的投影为：上的投影为：0( )zyxMFyFzF zyxFFFzyxkjiFrFMAOO）（0( ) xzyMFzFxF 0( ) yxzMFxFyF 3.1 3.1 力对点之矩力对点之矩 汇交力系的合力矩定理汇交力系的合力矩定理7三、汇交力系的合力之矩定理三、汇交力系的合力
5、之矩定理AF1F2FiFnrAOFRMo(FR) = rAOFR iRFF合力对任一点之矩的矢量等于各分力对同一点之矩的矢量和。合力对任一点之矩的矢量等于各分力对同一点之矩的矢量和。O空间汇交力系的合力之矩定理：空间汇交力系的合力之矩定理： = rAO(Fi)= （rAOFi）= Mo(Fi)3.1 3.1 力对点之矩力对点之矩 汇交力系的合力矩定理汇交力系的合力矩定理8Mo(FR)= Mo(Fi) FA(x,y)XyoFxFydxy举例：举例：=xFy-yFxMo(F) =Fd= Mo(Fy) +Mo(Fx)Mo(F)= Mo(Fi) 3.1 3.1 力对点之矩力对点之矩 汇交力系的合力矩定
6、理汇交力系的合力矩定理9 力偶所在的平面称为力偶作用面力偶所在的平面称为力偶作用面3.2 力偶及其性质力偶及其性质ABFF 一、力偶一、力偶( F , F )由大小相等,方向相反而不共线的两个平行力组成的力系。d力偶只能使物体发生转动，不引起移动-力偶的转动效应。力偶的转动效应。d 称为力偶臂F= - F 10工程实例工程实例3.2 力偶及其性质力偶及其性质111、空间力系：力偶矩是一个矢量， 用 表示M二、力偶矩二、力偶矩ABFF rBAm力偶矩是一个标量M = Fd 正负号的规定：力偶使物体逆时针转为力偶使物体逆时针转为 +力偶使物体顺时针转为力偶使物体顺时针转为FrMBA2、平面力系：A
7、BFF d3.2 力偶及其性质力偶及其性质12 1、力偶不能与一个力等效，因此力偶没有合力，、力偶不能与一个力等效，因此力偶没有合力，也不能用一个力来平衡。力偶只能与力偶等效也不能用一个力来平衡。力偶只能与力偶等效,也只也只能与力偶平衡。力偶中的两个力在任一轴上投影的能与力偶平衡。力偶中的两个力在任一轴上投影的代数和为代数和为0，但力偶不是等效力系。，但力偶不是等效力系。三、力偶的性质三、力偶的性质3.2 力偶及其性质力偶及其性质133.3 力偶系的合成与平衡力偶系的合成与平衡ABFF rBAM rB0 rA0O证明证明: 在空间任取一点在空间任取一点O为矩心为矩心Mo(F, F ) = Mo
8、(F) +Mo(F ) = rBAF= (rBo - rAo) F= rBoF + rAo F 2、力偶中两力对空间任一点的矩的矢量和（代数和）、力偶中两力对空间任一点的矩的矢量和（代数和） 等于该力偶矩等于该力偶矩 ,而与矩心的选择无关。而与矩心的选择无关。F = - F= M143、力偶的等效性质、力偶的等效性质（1）只要力偶矩矢保持不变。力偶可以从刚体）只要力偶矩矢保持不变。力偶可以从刚体 的一个平面移到另一个平行的平面内的一个平面移到另一个平行的平面内,而而 不改变其对刚体的转动效应。不改变其对刚体的转动效应。（2）力偶可以在其作用面内任意转移）力偶可以在其作用面内任意转移,而不会而不
9、会 改变它对刚体的转动效应。改变它对刚体的转动效应。（3）在保持力偶矩大小不变的条件下）在保持力偶矩大小不变的条件下,可以任可以任 意改变力偶的力的大小和力臂偶的长短意改变力偶的力的大小和力臂偶的长短, 而不改变它对刚体的转动效应。而不改变它对刚体的转动效应。力偶矩矢是自由矢量。力偶矩矢是自由矢量。MMMM3.2 力偶及其性质力偶及其性质15A1A2AnM1M2MnOxyzM1 M2Oxyz Mn 3.3 力偶系的合成与平衡力偶系的合成与平衡 设一空间力偶系由设一空间力偶系由 n 个力偶组成个力偶组成,其力偶矩矢其力偶矩矢 分别为分别为: M1 , M2 , Mn (1) 力偶系的合成力偶系的
10、合成16合矢量投影定理：合矢量投影定理：合矢量在某一轴上的投影合矢量在某一轴上的投影等于各分矢量在同一轴上等于各分矢量在同一轴上投影的代数和。投影的代数和。空间力偶系的合成空间力偶系的合成合力偶合力偶Mx = MixMy = MiyMz = MizM = MiiMM 平面力偶系的合成平面力偶系的合成合力偶合力偶代数和代数和矢量和矢量和3.3 力偶系的合成与平衡力偶系的合成与平衡173.3 力偶系的合成与平衡力偶系的合成与平衡 (2) 力偶系的力偶系的平衡平衡空间力偶系的平衡空间力偶系的平衡-平衡的必要、充分条件是平衡的必要、充分条件是: 力偶系中所有各力偶矩矢在三个直角坐标轴中每一轴上的投影的
11、代数和等于零。 Mix = 0 Miy = 0 Miz = 0平面力偶系的平衡方程平面力偶系的平衡方程当作用在刚体上的主动力全是力偶时，约束反力一定形当作用在刚体上的主动力全是力偶时，约束反力一定形成力偶。成力偶。 Mi = 0183.3 力偶系的合成与平衡力偶系的合成与平衡例1 梁AB两端各作用一力偶，力偶矩的大小为M1=17kNm， M2=27.5kNm，转向如图。梁长l=6m，梁的重量不计，试求A、B两处的约束力。193.3 力偶系的合成与平衡力偶系的合成与平衡解 取梁AB为研究对象。梁在两个力偶和两端约束力的作用下平衡。FB的方向铅直， FA的方向不定。由于力偶只能与力偶平衡，因此FA
12、必然与FB组成一个力偶。由平面力偶系的平衡条件0, 021lFMMMAi1.75kNABFF203.3 力偶系的合成与平衡力偶系的合成与平衡例2 正方体边长a=0.1m，其上作用有三个力偶 、 。已知 ， ， ，试求三个力偶的合成结果。1120 2FFN2220 2FFN11( ,)F F22(,)F F33(,)F F3330FFN213.3 力偶系的合成与平衡力偶系的合成与平衡解：将三个力偶的力偶矩用矢量表示，如图b所示。1124N mMFa2224N mMFa333N mMFa这三个力偶合成为一个合力偶，合力偶矩为123MMMM合力偶矩的投影是12cos45cos450 xxMMMM 12sin45sin454 2N myyMMMM 33zzMMMN m 223.3 力偶系的合成与平衡力偶系的合成与平衡合力偶矩的大小为222220(4 2)341xyzMMMMN mN m合力偶矩的方向余弦为0cos(, )041xMM iM 4 2cos(, )0.883441yMM jM 3cos(, )0.468541zMM kM 于是(, )90 ,M i (, )27.94 ,M j (, )62.06M k 合力偶矩的方向如图c所示。
