1、 第三章第三章 一、曲线的凹凸性一、曲线的凹凸性二、曲线的拐点及求法二、曲线的拐点及求法第五节第五节机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 曲线的凹凸性、渐近线曲线的凹凸性、渐近线 和函数作图和函数作图三、渐近线三、渐近线四、函数作图四、函数作图一、曲线的凹凸性一、曲线的凹凸性问题问题: :如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向? ?xyoxyo1x2x)(xfy 图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的上方于所张弦的上方xyo)(xfy 1x2x图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的下方于所张弦的下方ABC机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束
2、结束 xyo)()()1(21xfxf 1x2x 21)1(xx )1(21xxf xyo1x2x21)1(xx )1(21xxf )()()1(21xfxf 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 恒有恒有上任意两点上任意两点如果对如果对上连续上连续在区间在区间设设,)(21xxIIxf机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定义定义1*:;)(弧）弧）上的图形是凹的（或凹上的图形是凹的（或凹在在那么称那么称Ixf,2)()()2(2121xfxfxxf 如果恒有如果恒有的（或凸弧）的（或凸弧
3、）上的图形是凸上的图形是凸在在那么称那么称Ixf)(,2)()()2(2121xfxfxxf 对于曲线的弯曲方向，我们对于曲线的弯曲方向，我们换一个角度来看换一个角度来看曲线上任一点的切线曲线上任一点的切线位于曲线的上方位于曲线的上方曲线上任一点的切线曲线上任一点的切线位于曲线的下方位于曲线的下方机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 xyo)(xfy xyo)(xfy abABabBAxyo)(xfy xyo)(xfy abABabBA机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 1x)(,(11xfx1x)(,(11xfx2x)(,(22xfx2x)(,(
4、22xfx处处则在点则在点2x）（1）（2，对图对图)1()()()(12112xxxfxfxf ，对图对图)2()()()(12112xxxfxfxf 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 我们可以证明：定义我们可以证明：定义1 1和定义和定义2 2是等价的。是等价的。xyo)(xfy xyo)(xfy abAB递增递增)(xf abBA0 y递减递减)(xf 0 y定理定理1 1（凹凸性的充分条件）：（凹凸性的充分条件）：.)(,0)()2(;)(,0)()1()(内的图形是凸的内的图形是凸的在在则则内的图形是凹的内的图形是凹的在在则则都有都有，若对任意的若对任意的。
5、内具二阶导数内具二阶导数区间区间在在设设IxfxfIxfxfIxIxf 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 证明证明1 1：用定义用定义1 1证证)1 , 0( )()()1(21xfxf 则则(*)()()(1)()(0220110 xxfxxfxf ，)(1201xxxx )(1(1202xxxx 同同理理可可以以证证明明（2 2） 。 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 )()()1(21xfxf )()()(1()(12120 ffxxxf ，0)()(12 ff，又又0)1(
6、则则，012 xx)1()()()()1(21021xxfxfxfxf 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 21111! 2)()()()(xxfxxxfxfxf 21212112! 2)()()()(xxfxxxfxfxf 于是于是现令现令,2xx ,0)( xf,0)( f,0)(! 2)(212 xxf ,)()()(12112xxxfxfxf 由定义由定义2，(1)成立。成立。同理可以证明同理可以证明(2)。证明证明2 2：用定义用定义2 2证证推论：推论：。内有二阶导数内有二阶导数区间区间在在设设Ixf)(机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束
7、结束 。）（，除个别点外，除个别点外内内在在0)(0)()5( xfxfI;)(1内的图形是凹（凸）的内的图形是凹（凸）的在在）（Ixf;)(2的上方（下方）的上方（下方）内的任一条弦位于曲线内的任一条弦位于曲线在在）（Ixf;)(3的下方（上方）的下方（上方）曲线曲线内的任一点的切线位于内的任一点的切线位于在在）（Ixf;)(4单调递增（单调递减）单调递增（单调递减）内内在在）（xfI 则下列条件等价：则下列条件等价：例例1 1：。的凹凸性并求凹凸区间的凹凸性并求凹凸区间讨论曲线讨论曲线3xy 解：解：,32xy ,6xy 时，时，当当0 x, 0 y为凸的，为凸的，在在曲线曲线0 ,(时，
8、时，当当0 x, 0 y为凹的，为凹的，在在曲线曲线), 0 .)0 , 0(点点是曲线由凸变凹的分界是曲线由凸变凹的分界点点注意到注意到, ,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 为曲线的凸区间；为曲线的凸区间；0 ,(。为曲线的凹区间为曲线的凹区间), 0 例例2 2解：解：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 (1),1xy ,012 xy，的图形是凸的的图形是凸的xyln (2)有有对任意的对任意的，由定义由定义,0,1baba )1ln(lnln)1(baba ，即即baba )1(1，等号成立等号成立，时时当当ba 有有所以对任意的所以对
9、任意的,0, ba，baba )1(1，等号成立等号成立，时时当且仅当当且仅当ba 二、曲线的拐点二、曲线的拐点连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点. . 定理定理 2 2： 设设)(xf 连续。若连续。若)(xf 经过经过 0 x时变时变号，则点号，则点 )(,00 xfx是是)(xf的拐点。反之也成立。的拐点。反之也成立。 1 1、定义、定义注意注意: : 拐点处的切线必在拐点处穿过曲线。拐点处的切线必在拐点处穿过曲线。2 2、拐点的求法、拐点的求法机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定理定理3 3 如果如果)(xf在在),(00
10、 xx内存在二阶导数内存在二阶导数, ,点点 )(,00 xfx是是)(xf的拐点，则的拐点，则0)(0 xf. . , )()(0两边变号两边变号在在则则xxfxf ,)(,(00是拐点是拐点又又xfx,)(0取得极值取得极值在在xxf ,条件条件由可导函数取得极值的由可导函数取得极值的.0)(0 xf证证,)(二二阶阶可可导导xf,)(存在且连续存在且连续xf 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例3 3：。的拐点及凹凸的区间的拐点及凹凸的区间求曲线求曲线14334 xxy解解),(:D,121223xxy ).32(36 xxy,0 y令令.32, 021 xx
11、得得x)0 ,( ),32()32, 0(032)(xf )(xf 00凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐点拐点拐点拐点)1 , 0()2711,32(机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ，拐点为：拐点为：)2711,32( , )1 , 0(,32, 0：凸区间为凸区间为).,32 , 0 ,(凹区间为凹区间为.)()(,(,)(000的拐点的拐点连续曲线连续曲线也可能是也可能是点点不存在不存在若若xfyxfxxf 注意注意: :例例4 4：.3的拐点的拐点求曲线求曲线xy 解解,0时时当当 x,3132 xy,9435 xy.,0均不存在均不存在是不可导点是不可导点yyx
12、, 0,)0 ,( y内内但在但在;0 ,(上是凹的上是凹的曲线在曲线在 , 0,), 0( y内内在在.), 0上是凸的上是凸的曲线在曲线在.)0 , 0(3的拐点的拐点是曲线是曲线点点xy 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 求函数求函数 f (x) 的拐点的步骤：的拐点的步骤：注意：注意：例例4)(xxf ),( x0)0( f.)()(,(,0)(,0)(,)(00000的拐点的拐点是曲线是曲线那么那么而而且且的邻域内三阶可导的邻域内三阶可导在在设函数设函数xfyxfxxfxfxxf 定理定理4 4证明
13、：证明：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 所以所以不妨设不妨设,0)(0 xf000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx 0)(lim0 xxxfxx 0 的某个邻域内，有的某个邻域内，有则在则在0 x0)(0 xxxf，时时当当0 xx ,0)( xf，时时当当0 xx .0)( xf。的拐点的拐点是曲线是曲线，由定义由定义)()(,(00 xfyxfx 例例5 5：。内的拐点内的拐点在在求曲线求曲线2 , 0cossin xxy 解：解：,sincosxxy ,cossinxxy .sincosxxy , 0 y令令.47,4321 xx得得2)43( f,
14、 0 2)47( f, 0 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 拐拐点点为为：内内曲曲线线有有在在2 , 0 ).0 ,47(),0 ,43( .)(,)(的一条渐近线的一条渐近线线线就称为曲就称为曲那么直线那么直线的距离趋向于零的距离趋向于零定直线定直线到某到某如果点如果点离原点时离原点时的一条无穷分支无限远的一条无穷分支无限远沿着曲线沿着曲线上的一动点上的一动点当曲线当曲线xfyLLPPxfy 三、渐近线三、渐近线定义定义: :1.1.铅直渐近线铅直渐近线)(轴的渐近线轴的渐近线垂直于垂直于 x.)(,)(lim)(lim000的一条铅直渐近线的一条铅直渐近线就是就
15、是那么那么或或如果如果xfyxxxfxfxxxx 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例如例如,)3)(2(1 xxy有铅直渐近线两条有铅直渐近线两条: :. 3, 2 xx机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2.2.水平渐近线水平渐近线)(轴的渐近线轴的渐近线平行于平行于 x.)()()(lim)(lim的一条水平渐近线的一条水平渐近线就是就是那么那么为常数为常数或或如果如果xfybybbxfbxfxx 例如例如,arctan xy 有水平渐近线两条有水平渐近线两条: :.2,2 yy机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束
16、3.3.斜渐近线斜渐近线.)(),(0)()(lim0)()(lim的一条斜渐近线的一条斜渐近线就是就是那么那么为常数为常数或或如果如果xfybaxybabaxxfbaxxfxx 斜渐近线求法斜渐近线求法: :,)(limaxxfx .)(limbaxxfx .)(的一条斜渐近线的一条斜渐近线就是曲线就是曲线那么那么xfybaxy 显然，水平渐近线是斜渐近线的特例。显然，水平渐近线是斜渐近线的特例。机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 证明：证明：由渐近线的定义，有由渐近线的定义，有0)(lim baxxfx0)(lim xbaxxfxx则则要使此时成立，必须要使此时成立
17、，必须0)(lim)(lim xbaxxfxbaxxfxxxxfax)(lim 即即)(limaxxfbx 从从而而机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 或或不存在不存在如果如果;)(lim)1(xxfx 注意注意: :,)(lim,)(lim)2(不存在不存在但但存在存在axxfaxxfxx .)(不存在斜渐近线不存在斜渐近线可以断定可以断定xfy 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 )(lim1xfx, )(lim1xfx, .1是曲线的铅直渐近线是曲线的铅直渐近线 x xxfx)(lim又又)1()3)(2(2lim xxxxx, 2 21)
18、3)(2(2limxxxxx 1)1(2)3)(2(2lim xxxxxx, 4 .42是曲线的一条斜渐近线是曲线的一条斜渐近线 xy机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例6 6.1)3)(2(2)(的渐近线的渐近线求求 xxxxf解解)., 1()1 ,(: D的两条渐近线如图的两条渐近线如图1)3)(2(2)( xxxxf机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 0)1(lim2 bxaxxx例例7 7确定常数确定常数 a , b , 使使 211ba解解: : 由条件知，由条件知，)1(lim2xxxbx xxxxx 11lim2的渐近线，的渐
19、近线，是是1)(2 xxxfbxayxxfax)(lim 2111limxxx 1 111111lim2 xxxx21 四、函数作图四、函数作图利用函数特性描绘函数图形利用函数特性描绘函数图形. .第一步第一步第二步第二步第三步第三步机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 步骤：步骤：第五步第五步列列表表，判判断断单单调调区区间间，凹凹凸凸区区间间，极极值值点点，拐拐点点等等； 第四步第四步 求曲线的渐近线；求曲线的渐近线；第七步第七步第六步第六步必必要要时时，定定出出曲曲线线的的某某些些特特殊殊点点，如如截截距距等等； 作图。作图。机动机动 目录目录 上页上页 下页下页
20、返回返回 结束结束 例例8 8.2)1(4)(2的图形的图形作函数作函数 xxxf解解, 0:)1( xD非奇非偶函数非奇非偶函数, ,且无对称性且无对称性. .,)2(4)()2(3xxxf .)3(8)()3(4xxxf , 0)( xf令令, 2 x得驻点得驻点, 0)( xf令令. 3 x得点得点2)1(4lim2 xxx, 2 。得水平渐近线得水平渐近线2 y机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 xxfax)(lim)4( 2)1(4lim3xxxx 0 )(limaxxfbx 2)1(4lim)(lim200 xxxfxx, . 0 x得铅直渐近线得铅直渐近线
21、列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间, ,凹凸区间及极值点和拐点凹凸区间及极值点和拐点: :x)3,( ), 0( )2, 3( 3 )0 , 2( )(xf )(xf 00)(xf 2 0 不存在不存在拐点拐点极值点极值点间间断断点点3 )926, 3( 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 :补补充充点点);0 , 31(),0 , 31( ),2, 1( A),6 , 1(B).1 , 2(C作图作图xyo2 3 2111 2 3 6ABC机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2)1(4)(2 xxxf机动机动 目录目录 上页上页 下页下页
22、 返回返回 结束结束 例例9 9.1)(23的图形的图形作函数作函数 xxxxf解解),(:D无奇偶性及周期性无奇偶性及周期性. .),1)(13()( xxxf).13(2)( xxf, 0)( xf令令. 1,31 xx得驻点得驻点, 0)( xf令令.31 x得可能拐点得可能拐点:补补充充点点),0 , 1( A),1 , 0(B).85,23(C列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间, , 凹凸区间及极值点与拐点凹凸区间及极值点与拐点: :机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 函数没有渐近线。函数没有渐近线。x)31,( ), 1( )31,31( 31 )1
23、,31( 0311 拐点拐点极大值极大值2732)2716,31(0)(xf )(xf)(xf 极小值极小值0 xyo)0 , 1( A)1 , 0(B)85,23(C11 3131 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 123 xxxy机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 1 1、凹凸性的定义：两种定义；、凹凸性的定义：两种定义； 用函数二阶导数等于零或二阶导数不存在的用函数二阶导数等于零或二阶导数不存在的点，将函数的定义域分成若干个区间，由二阶导点，将函数的定义域分成若干个区间，由二阶导数的符号判定函数在各个区间的凹凸性，再由凹数的符号判定函数在
24、各个区间的凹凸性，再由凹凸性的改变判别拐点凸性的改变判别拐点; ;2 2、凹凸性的判别和拐点的求法：、凹凸性的判别和拐点的求法：3 3、渐近线的求法：水平渐近线和斜渐近线；、渐近线的求法：水平渐近线和斜渐近线；机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 五、小结五、小结4 4、函数作图。、函数作图。作业作业机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 习题习题3-4(P188) 1(3)(6)；2(2)；3；5； 7(2)(6)；8；11(2) ；12 解：解：例例4)(xxf ),( x0)0( f但但)0 , 0(并并不不是是曲曲线线)(xf的的拐拐点点. .
25、 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 思考与练习思考与练习解：解：0sinlim xxx 1sinlim0 xxxxxysin 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ; .),21( )1,21(21 e21xey 的凹区间是的凹区间是凸区间是凸区间是拐点为拐点为提示提示:)21(222xeyx )21,21( )21,( 及及yox)1,(2121e)1,(2121e ;第五节第五节 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 3. 曲线曲线4. 曲线曲线)(1122xxeey (A) 没有渐近线；没有渐近线；(B) 仅有水平渐近线；仅有水
26、平渐近线；(C) 仅有铅直渐近线；仅有铅直渐近线；(D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线既有水平渐近线又有铅直渐近线.提示提示:;111lim22 xxxee 2211lim0 xxxeeD机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 5. 求证曲线求证曲线 112 xxy有位于一直线的三个拐点有位于一直线的三个拐点.证明：证明： y y222)1(21 xxx3223)1()133(2 xxxx32)1()32)(32)(1(2 xxxxxxx2)1()1(2 22)1( x42)1( x)22(x 22)1( x)21(2xx )1(22 xx2 机动机动 目录目录 上页上页
27、下页下页 返回返回 结束结束 令令0 y得得,11 x;)1,1(从而三个拐点为从而三个拐点为因为因为32 所以三个拐点共线所以三个拐点共线.323 x,322 x, )34831,32( )34831,32( 32 1 1 34831 1 1 34831 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 6、.21)(22的图形的图形作函数作函数xex 解解, ),(: D偶函数偶函数, , 图形关于图形关于y 轴对称轴对称. .,2)(22xexx , 0)( x 令令, 0 x得驻点得驻点, 0)( x 令令. 1, 1 xx得点得点. 4 . 021)(0: xW.2)1)(
28、1()(22xexxx 2221lim)(limxxxex , 0 . 0 y得水平渐近线得水平渐近线机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 x)1,( ), 1( )0 , 1( 1 )1 , 0()(x )(x 00)(x 01 拐点拐点极大值极大值 21)21, 1(e 列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间, ,凹凸区间及极值点与拐点凹凸区间及极值点与拐点: :0拐点拐点)21, 1(e xyo11 21机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2221)(xex 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 备用题备用题 求笛卡儿叶形线求笛卡儿叶形线yxayx333 的渐近线的渐近线 . . 解解: : 令令 y = t x , ,代入原方程得曲线的参数方程代入原方程得曲线的参数方程 : : x,133tta y3213tta 1,xt 当当时时, ,因因xyx lim1lim t3213tta 313tta 1 )(limxyx 1lim t3213tta 313tta )1)(1()1(3lim21tttttat a 所以笛卡儿叶形线有斜渐近线所以笛卡儿叶形线有斜渐近线axy 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 1 t
