1、1 / 233-1 扭转的概念和实例扭转的概念和实例工程构件分类工程构件分类:杆杆板板yxz块体块体杆的基本变形杆的基本变形:轴向拉压扭转弯曲2 / 23研究对象：研究对象： 圆截面直杆圆截面直杆受力特点：受力特点：作用在垂直于轴线的不作用在垂直于轴线的不同平面内的外力偶，且同平面内的外力偶，且满足平衡方程满足平衡方程:SMx=0变形特征：相对扭转角变形特征：相对扭转角fABM0y传动轴传动轴fABxM0z变形前变形前汽车转向轴汽车转向轴变形后变形后圆轴各横截面将绕其轴线发生相对转动。圆轴各横截面将绕其轴线发生相对转动。3 / 233-2 扭转和扭转图及其计算扭转和扭转图及其计算扭矩：扭矩：T
2、是横截面上的内力偶矩。是横截面上的内力偶矩。内力内力由截面法求得。由截面法求得。M0M0Mn取左边部分取左边部分M0假想切面假想切面外力偶外力偶平衡平衡内力偶内力偶由平衡方程：由平衡方程：Mn? M04 / 23M0M0Mn扭矩扭矩平衡平衡取左边部分取左边部分M0假想切面假想切面Mn外力偶外力偶由平衡方程：由平衡方程：M0Mn? M0? Mn?Mn取右边部分取右边部分Mn和和Mn?是同一截面上的内力是同一截面上的内力，应当有相同的大小和正负。，应当有相同的大小和正负。扭矩扭矩平衡平衡外力偶外力偶5 / 23扭矩的符号规定：扭矩的符号规定：MnM0正正M0Mn负负按右手螺旋按右手螺旋法则确定扭法
3、则确定扭矩的矢量方矩的矢量方向，扭矩矢向，扭矩矢量的指向与量的指向与截面的外法截面的外法线方向一致线方向一致者为正，反者为正，反之为负。之为负。6 / 23画扭矩图：画扭矩图：AB段段：10kN?mMnAB10kN?m 10kN?moAB20kN?m20CxMn/kN?m1 10M?10kN?m 2BC段段：nABMnBCAMnBC? 20kN?mBC20kN?m以平行于杆轴线的坐标以平行于杆轴线的坐标x表示截面的位置，以垂表示截面的位置，以垂直于直于x轴的坐标表示截面扭矩值，即得到轴的坐标表示截面扭矩值，即得到 扭矩图扭矩图。7 / 23简捷画法：FN图（轴力）图（轴力）2kN8kNMn图图
4、10kN?m 10kN?moACx5kN5kN2kN8kNB20kN?m+向按右手法确定按右手法确定205kN+向5kNMn/kN?m+3kN1 10-5kNFN图图ABC在左端取参考正向，按载 荷荷大小画水平线；遇集中载荷作用则内力相应增减；至右端回到零。8 / 23例例3-1 3-1 传动轴如图，转速传动轴如图，转速n=700r/min，主动轮的输入，主动轮的输入功率为功率为PA=400KW，从动轮，从动轮B、C和和D的输出功率分别的输出功率分别为为PB=PC=120KW，PD=160KW。试作轴的扭矩图。试作轴的扭矩图。解：由功率转速关解：由功率转速关系计算外力偶矩系计算外力偶矩MBBM
5、CCMAAMDDPA400MA? 9.55? 9.55? 5.46kN?mn700PB120MB? MC? 9.55? 9.55?1.64kN?mn700PD160MD? 9.55? 9.55? 2.18kN?m9 / 23n700MBBMCCMAAMDDMA? 5.46kN?mMB? MC?1.64kN?mMD? 2.18kN?mMBBMn1Mn3MDD求各截面内力：求各截面内力：BC段段CA段段MBBMCCMn 1?1.64 kN ? mMn2? ?3.28kN?mMn2AD段段Mn/kN.mC2.18Mn3?2.18 kN ? mBA1.643.28D最大扭矩在最大扭矩在AB段，且段，且
6、Mn图Mn?3280N?m10 / 23MBBMCCMAAMDD简捷画法：MA? 5460N?mMB? MC?1640N?mMD? 2180N?m+向按右手法确定按右手法确定Mn图Mn/kN.m2.18ADCB1.643.2811 / 2310-3 圆轴扭转时的应力与变形圆轴扭转时的应力与变形变形体静力学的基本研究思路：变形体静力学的基本研究思路：静力平衡条件静力平衡条件10.3.1 +变形几何条件变形几何条件+材料物理关系材料物理关系刚性平面假设：刚性平面假设：变形前后，扭转圆轴各变形前后，扭转圆轴各个横截面仍然保持为平个横截面仍然保持为平面，二平面间距离不变面，二平面间距离不变，其半径仍然
7、保持为直，其半径仍然保持为直线且半径大小不变。线且半径大小不变。12 / 231. 变形几何条件变形几何条件变形前变形前变形后变形后1. 变形几何条件变形几何条件取长为取长为dx的微段研究，在扭矩作用下，右端面刚性的微段研究，在扭矩作用下，右端面刚性转动角转动角df，原来的矩形，原来的矩形ABCD变成为菱形变成为菱形ABC? D?。MnAggCrdfOC?DdfrD?g是微元的直角改变量，即是微元的直角改变量，即半径半径r各处的剪应变。因为各处的剪应变。因为CC? = gdx=rdf , 故有：故有：g? rd?/dxdf / dx ,称为单位扭转角。称为单位扭转角。Bdx对半径为对半径为r的
8、其它各处，可的其它各处，可作类似的分析。作类似的分析。13 / 23对半径为对半径为r的其它各处，的其它各处，作类似的分析。作类似的分析。MnABgrgrCdfC?D同样有：同样有：CC? = gdx=rdfrOD?r即得变形几何条件为：即得变形几何条件为：g?rd?/dx-(1)dx剪应变剪应变g的大小与半径的大小与半径r成正比。与单位扭转成正比。与单位扭转角角df /dx成正比。成正比。14 / 232. 物理关系物理关系材料的应力材料的应力-应变关系应变关系材料的剪应力与剪应变之间有与拉压类似的关系。材料的剪应力与剪应变之间有与拉压类似的关系。在线性弹性范围内，剪切虎克定律为：在线性弹性
9、范围内，剪切虎克定律为：t? Gg-(2)tGG11OtsG是是t?g曲线的斜率，如图，曲线的斜率，如图，称为剪切弹性模量。称为剪切弹性模量。半径为半径为r处的剪应力则为：处的剪应力则为：gd?tr? Ggr? Grdx圆轴扭转时圆轴扭转时无正应力无正应力15 / 23讨论：圆轴扭转时横截面上的剪应力分布：圆轴扭转时横截面上的剪应力分布tmaxtrABgrgrroMTrd?-(3)tr? Ggr? Grdxr圆轴几何及圆轴几何及MT给定，给定，df/dx为为常数；常数；G是材料常数。是材料常数。截面上任一点的剪应力与该点截面上任一点的剪应力与该点到轴心的距离到轴心的距离r成正比；成正比；剪应变
10、在剪应变在ABCD面内，故剪应面内，故剪应力与半径垂直，指向由截面扭力与半径垂直，指向由截面扭矩方向确定。矩方向确定。16 / 23CtrdfC?ODMnD?最大剪应力在圆轴dx表面处。3. 力的平衡关系力的平衡关系d?-(3)tr? Ggr? Grdx应力是内力应力是内力(扭矩扭矩)在微截面上的分布集度。各微截在微截面上的分布集度。各微截面上内力对轴心之矩的和应与截面扭矩相等。面上内力对轴心之矩的和应与截面扭矩相等。tmaxtrtrdA取微面积如图，有：取微面积如图，有：rortdA? Mrn?A利用利用(3)式，得到：式，得到：Mnd?2GrdA? Mn?dxA17 / 233. 力的平衡
11、关系力的平衡关系令：令：d?2GrdA? Mn?dxAtmaxtrrIr?rdAA2最后得到：最后得到：d?Mn?rtr? Gr?-(4)dxIrotrMntmax在圆轴表面处，且在圆轴表面处，且Ir 称为截面对圆心的极惯性称为截面对圆心的极惯性t? M ?r/I ? M /WmaxnrnT矩，只与截面几何相关。矩，只与截面几何相关。W =I /r，称为抗，称为抗rr扭截面模量。扭截面模量。求求Ir，Wr?18 / 2310.3.2 圆截面的极惯性矩和抗扭截面模量圆截面的极惯性矩和抗扭截面模量极惯性矩极惯性矩:Ir?rdA?2dArodrA抗扭截面模量抗扭截面模量W =I /r rr讨论内径讨
12、论内径d，外径，外径D的空心圆的空心圆截面，取微面积截面，取微面积dA=2prdr, 则有：则有：dD44极惯极惯性矩性矩Ir?2pD/2d/2?r3p(D?d )pD4?dr?(1?a)4a=d/D32324?p?a抗扭截面模量：抗扭截面模量：WrIr/(D/2)D (1) /1619 / 233圆截面的极惯性矩和抗扭截面模量圆截面的极惯性矩和抗扭截面模量空空心心圆圆轴轴极惯极惯性矩性矩实实心心圆圆轴轴?a)4(1(1?a)4odDoD?IrI?r44pDpD3232?Ira=d/D=032Wr?pD4抗扭截抗扭截pD34?aWr(1)面模量面模量16pD16320 / 23研究思路：变形几
13、何条件变形几何条件g?rd?/dx -(1)d?tr? Ggr? Grdxd?Gdx+材料物理关系材料物理关系-(2)-(3)-(4)+静力平衡关系静力平衡关系r?A2dA?Mn圆轴扭转剪应力公式：圆轴扭转剪应力公式：且由且由(2)、(4)可知可知单位扭转角为：单位扭转角为：?rMtr?nIrd?/dx?Mn/GIr-(5)21 / 23结论：1）圆轴扭转时，横截面上只有剪应力，剪应力在横）圆轴扭转时，横截面上只有剪应力，剪应力在横截面上线性分布，垂直与半径，指向由扭矩的转截面上线性分布，垂直与半径，指向由扭矩的转向确定。向确定。2）截面任一处截面任一处截面外圆周处（表面）截面外圆周处（表面）
14、tr=Mn?r/ Ir实实心心圆圆轴轴tmaxtma x=Mn/Wr空空心心圆圆轴轴tmaxMnodDtrotrMnD22 / 23讨论：1）已知二轴长度及所受外力矩完全相同。若二轴截）已知二轴长度及所受外力矩完全相同。若二轴截面尺寸不同，其扭矩图相同否面尺寸不同，其扭矩图相同否 ?相同相同若二轴材料不同、截面尺寸相同，若二轴材料不同、截面尺寸相同，各段应力是否相同？各段应力是否相同？ 相同相同变形是否相同？变形是否相同？ 不同不同2）下列圆轴扭转的剪应力分布图是否正确）下列圆轴扭转的剪应力分布图是否正确 ? MnooMnoMnoMn23 / 2310.3.3 扭转圆轴任一点的应力状态扭转圆轴
15、任一点的应力状态研究两横截面相距研究两横截面相距dx的任一的任一A处单位厚度微元，左处单位厚度微元，左右二边为横截面，上下二边为过轴线的径向面。右二边为横截面，上下二边为过轴线的径向面。剪应力互等定理：剪应力互等定理：物体内任一点处物体内任一点处于相互垂直的截面上于相互垂直的截面上，剪应力总是同时存，剪应力总是同时存在的，它们大小相等在的，它们大小相等，方向是共同指向或，方向是共同指向或背离二截面的交线。背离二截面的交线。MnMntctAtdxtAdxt dytA的平衡？的平衡？SMC(F)=t? dxdy-tdydx=0 ? t=t?24 / 23纯剪应力状态纯剪应力状态: 微元各面只有剪应
16、力作用。微元各面只有剪应力作用。stActs45?t dytAdxtc45 ?t45 ?tsdx纯剪应力纯剪应力状态等价于转状态等价于转过过45?后微元的后微元的二向等值拉压二向等值拉压应力状态。应力状态。45?斜截面上的应力：斜截面上的应力：tdx+(t45?dx/cos45?)cos45?+(s45?dx/cos45?)sin45?=0一些脆性材料一些脆性材料(例如粉笔、铸铁等例如粉笔、铸铁等)承受扭转承受扭转tdx-(t45?dx/cos45?)sin45 +(s45?dx/cos45?)cos45?=0作用时发生沿轴线作用时发生沿轴线45?方向的破坏，就是由方向的破坏，就是由解得：解得
17、：s45?=-t；t45?=0。还有：还有：s?45?=t；t?45?=0此拉应力控制的。此拉应力控制的。25 / 2310.3.4 圆轴的扭转变形圆轴的扭转变形单位扭转角为：d?/dx? Mn/GIr相对扭转角相对扭转角?AB：B截面相对于截面相对于gAATggC?ABd?C?DLd?DL?0rBOMBA截面的扭转角。若截面的扭转角。若AB=L，则，则Mn/GIr=const. , 故有：故有：?AB?d?dxMndxGIr若若AB间扭矩不变，材料不变，截面尺寸不变，则间扭矩不变，材料不变，截面尺寸不变，则?AB? MnL/GIrGI r称为抗扭刚度，反映轴抵抗变形的能力。称为抗扭刚度，反映
18、轴抵抗变形的能力。26 / 23若扭矩、材料，截面尺寸改变，则需分段求解。若扭矩、材料，截面尺寸改变，则需分段求解。例例10-2 空心圆轴如图，已知空心圆轴如图，已知MA=150N.m，MB=50N.m MC=100N.m，材料，材料G=80Gpa，试求（试求（1）轴内的最大剪应力；）轴内的最大剪应力；（2）C截面相对截面相对A截面的扭转角。截面的扭转角。解解: 1) 画扭矩图。画扭矩图。f24MAf18MBMCC2) 计算各段应力计算各段应力:AB段：段：N-mm-Mpa单位制单位制A1000B1000tmax1Mn1Mn1?3pD1dWr11 ?16D13Mn/N.m150100150 ?
19、10 ?16?34?80.8MPa24p1? (18 / 24) ABC27 / 23f222) 计算各段应力计算各段应力:f24MAf18MBMCCBC段：段： N-mm-Mpa单位制单位制A1000B1000tmax 2Mn2Mn2?3pD2dWr21 ?16D23Mn/N.m150100100?10?16?34?86.7MPa22p1?(18/ 22) AB故故tmax=86.7Mpa3) 计算扭转角计算扭转角?ACM lMlABBCn2n1?AC?+?0.183 radGIrABGIrBC28 / 23f22C10-4 圆轴扭转时的强度和刚度计算圆轴扭转时的强度和刚度计算1.强度条件s
20、max=?s=拉压ss/n (延延)sb/n (脆脆)扭转强度条件t =?t=maxts/n (延延)tb/n (脆脆)smax?FN/A?st与与s之关系：之关系：tmax?Mn/Wr?tt=0.50.6s (钢材，延性钢材，延性)t=0.81.0s (铸铁，脆性铸铁，脆性)29 / 232.刚度条件单位统一为单位统一为?/m， 则有：则有：扭转圆轴必须满足强度条件，以保证不破坏；扭转圆轴必须满足强度条件，以保证不破坏；oMn180 qmax?q另一方面，轴类零件若变形过大，则不能正常工作另一方面，轴类零件若变形过大，则不能正常工作pGIr（弧度转换为角度）（弧度转换为角度），即还须满足刚度
21、条件。，即还须满足刚度条件。轴轴AB间的相对扭转角为：间的相对扭转角为：?AB=MnL/GIr单位长度的扭转角为：单位长度的扭转角为：q =?AB/L=Mn/GIr扭转刚度条件则为：扭转刚度条件则为：qma x?q -许用扭转角许用扭转角机械设计手册建议：机械设计手册建议： q =0.250.5?/m; 精度高的轴；精度高的轴；?q =0.51.0 /m; 一般传动轴。一般传动轴。30 / 233.扭转圆轴的设计tmax?Mn/Wr?t强度条件：刚度条件：极惯极惯性矩性矩qmaxMn180?qpGIro二者二者均须均须满足满足Ir?pD4抗扭截抗扭截32?Wr面模量面模量16pD3扭转圆轴的设
22、计计算：强度、刚度校核；扭转圆轴的设计计算：强度、刚度校核；确定许用载荷（扭矩）；确定许用载荷（扭矩）；设计轴的几何尺寸。设计轴的几何尺寸。31 / 23例例10-3 实心圆轴如图，已知实心圆轴如图，已知MB=MC=1.64kN.m，MD=2.18kN.m 材料材料G=80GPa，t=40MPa ，q=1?/m，试设计轴的直径。，试设计轴的直径。解解: 1) 画扭矩图。画扭矩图。最大扭矩在最大扭矩在AB段，且段，且MBBMCCMAAMDDMn?3280N?m2) 按强度设计，有：按强度设计，有：MnMntmax?t 3WrpD /16D?3Mn/kN.mCB2.18AD1.643.2816 M
23、maxpt16?3280?3?36? 75?10 (m )? 75mm32 / 23p?40?10N-m-Pa单位制单位制2) 按刚度设计，有：按刚度设计，有：Mmax180Mmax180 qmax?q4ppGIrGpD /32则有：则有：432 M?180432?3280?180max?D292p q G80?10?p?1?69.9?10(m )?70 mm?3ooN-m-Pa单位制单位制同时满足强度与刚度要求，则应取取大者同时满足强度与刚度要求，则应取取大者D? 75mm33 / 23讨论：若取a=0.5，试设计空心圆轴尺寸。a?(0.5)p(D/2)?p(aD/2) Lg空心轴空心轴2扭
24、矩图不变，按强度设计，有：扭矩图不变，按强度设计，有：?a(1)/12p(D/Tg实心轴实心轴2) LTmaxmaxtmax?t3(1?a4)/16p重量比：重量减轻重量比：重量减轻25%，尺寸略大一点。，尺寸略大一点。WDT16 Mmax?D?4p(1?a)t332216?328046=76.4mmp?(1?0.5 )40?10o按刚度设按刚度设计，有：计，有：则有：则有：4Mmax180qmax?qpGpD4(1?a4) /3232?3280?180D?=71mm92480?10?p(1?a)?134 / 23取取 D=78mm10-4. 联轴节如图。轴径联轴节如图。轴径D=100mm，四
25、个直径，四个直径d=20mm的螺栓对称置于的螺栓对称置于D1=320mm的圆周上，的圆周上， t=12mm。若。若t=80MPa，sj=120MPa。试确定许用的扭矩。试确定许用的扭矩M。解：解：1)考虑考虑 轴的扭转轴的扭转t tD1强度条件强度条件:MMmaxtmax?t 3pD /16WT3t?pM扭扭? D /16DoM36?80 100p/16?15.7 10 N.mm?15.7kN .m35 / 23M=minMi=15.7 kN.m2)考虑考虑 螺栓剪切螺栓剪切强度强度: t=FQ/(pd2/4)?t有：有：FQ?tpd2/4=25.12 kN t tFQDFQoD1FQFQM由
26、平衡条件有由平衡条件有4FQ(D1/2)=MM剪剪=4FQ(D1/2)? 425.120.16=16.1 kN?m2)考虑考虑 螺栓挤压螺栓挤压强度：强度：sj=Fj/Aj=Fj/td?sj Fj有有: Fj ? tdsj=28.8kNFj由平衡条件有：由平衡条件有：4Fj(D1/2)=M故故M挤挤=428.80.16=18.4 kN.m。FjoD1FjM36 / 23小结内力内力应力应力杆的拉压轴力轴力FN(拉为正拉为正)正应力正应力s 在横截在横截面上均匀分布。面上均匀分布。FN圆轴扭转扭矩扭矩Mn(右手法右手法)剪应力剪应力t 在横截在横截面上线性分布。面上线性分布。tmaxMn最大剪最大剪应力在应力在o表面处表面处ss? FN/ A抗拉刚度抗拉刚度变形变形tmax? Mn/Wrq? M/nGIr抗扭刚度抗扭刚度37 / 23DL?FNL/EA小结强度强度设计设计杆的拉压圆轴扭转MnFN? ts? stmax?WAr3抗扭截抗扭截pD实心轴Wr?面模量：面模量：16刚度刚度设计设计空心轴Wr?pD16o3(1?a)4Mn180q? qGIrp4极惯性矩：极惯性矩：实心轴I?pDr32空心轴Ir?pD432(1?a)38 / 23439 / 23
