1、1 第三章第三章导数及其应用 3.1 导数的概念及运算导数的概念及运算 专题 1 导数的概念与几何意 义 (2015江西重点中学盟校高三第一次联考,导数的概念与几何意义,选择题,理 3)函数 y=x3的图象在 原点处的切线方程为( ) A.y=x B.x=0 C.y=0 D.不存在 解析:由 f(x)=3x2,得 f(0)=0,所以 f(x)在原点处的切线方程为 y=0,故选 C. 答案:C 3.2 导数与函数的单调性、极值、最值导数与函数的单调性、极值、最值 专题 1 导数与函数的单调 性 (2015东北三省三校高三二模,导数与函数的单调性,选择题,理 12)若函数 y=sin 2x+aco
2、s x 在(0,)上 是增函数,则实数 a的取值范围是( ) A.(-,-1 B.-1,+) C.(-,0) D.(0,+) 解析:依题意,当 x(0,)时,y=2cos2x-asinx0,即 a-2sinx恒成立.令 t=sinx,则当 x(0,)时,t (0,1,函数 y=-2t在区间(0,1上是减函数,所以函数 y=-2t在区间(0,1上的最小值是 y|t=1=1-21=-1,于 是有 a-1,实数 a 的取值范围是(-,-1,故选 A. 答案:A 专题 2 导数与函数的极 值 (2015江西八所重点中学高三联考,导数与函数的极值,解答题,理 21)已知 f(x)=x2+ax+sinx,
3、x(0,1). (1)若 f(x)在定义域内单调递增,求 a的取值范围; (2)当 a=-2时,记 f(x)得极小值为 f(x0),若 f(x1)=f(x2),求证:x1+x22x0. 解:(1)f(x)=2x+a+cosx,x(0,1). 依题意 f(x)0 恒成立,2x+cosx-a, 令 g(x)=2x+cosx,x(0,1),g(x)=2-sinx, g(x)在 x(0,1)单调递减,且 g(0)0,g(1)0,(1)=2-. 解:(1)由已知得 f(x)=lnx+1+2ax(x0),切点坐标为(1,a), 切线方程为 y-a=(2a+1)(x-1), 把(0,-2)代入解得 a=1.
4、 (2)证明:依题意得 f(x)=0有两个不等的实数根 x1,x2(x10), ()当 a0时,g(x)0,g(x)是增函数,不符合题意; ()当 a0,则 g(x),g(x)的变化情况为 x - g(x) + 0 - g(x) 极大值 依题意得 g=ln0, 解得-0,故 x1(0,1), 由(1)知 ax1=, f(x1)=x1lnx1+a(x1lnx1-x1)(0-. 3 综上所述,f(x2)f(x1)-成立. 专题 3 导数与函数的最 值 (2015辽宁大连高三双基测试,导数与函数的最值,选择题,理 12)已知 f(x)=x+xln x,若 kZ,且 k(x-2)2恒成立,则 k 的最
5、大值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 解析:依题意,当 x=4 时,不等式 k(x-2)0,因此 g(x)在(2,+) 上的最小值为 g(e2)=8-e20,即对任意 x2,均有 g(x)g(e2)0,即 k(x-2)1,存在实数 a,b 满足 01,则 p(c)=. 令 q(c)=c-2-lnc,c1,因为 q(c)=1-0,所以 q(c)单调递增,得 q(c)q(1)=-1,又 q(3)=1-ln30,所以存在 c0(3,4),使得 q(c0)=0,即 c0-2=lnc0,当 c(1,c0)时,q(c)0,p(c)单调递增,p(c)min=p(c0)=,将 c0-2=lnc0代入得
6、 p(c)min=c0,所以 k0,当-g(x). 解:(1)f(x)=ax-2-lnx(aR), f(x)=a-. 又 f(x)在点(e,f(e)处的切线的斜率为, f(e)=,a=. 切点为(e,-1),将切点代入切线方程得 b=-2e. (2)由(1)知 f(x)=a-(x0). 当 a0时,f(x)0 时,令 f(x)=0,得 x=. 当 x变化时,f(x),f(x)随 x 的变化情况如下表: f(x) - 0 + f(x) 由表可知 f(x)在上单调递减,在上单调递增. 综上所述,当 a0时,f(x)的单调减区间为(0,+); 当 a0 时,f(x)的单调减区间为,单调增区间为. (
7、3)证明:当 x0时,要证 f(x)g(x), 即证 f(x)-ax+ex0. 即证 ex-lnx-20, 4 令 h(x)=ex-lnx-2(x0),只需证 g(x)0, h(x)=ex-, 由指数函数及幂函数的性质知 h(x)=ex-在(0,+)上是增函数. 又 h(1)=e-10,h-30 时,h(x)h(t)=et-lnt-2=-ln-2=+t-22-2=0, 又0). (1)曲线 y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为 y=2x,求 a的值; (2)当 x0 时,不等式 f(x)2x+恒成立,试求 a 的取值范围. 解:(1)已知 f(x)=ln(a+x)-ln(a-x)(a0
8、), 则 f(x)=,f(0)=, 由题意知 f(0)=2,=2,a=1. (2)令 g(x)=f(x)-2x-(0x0,a-a20,故 f(x)min=f(lna-1)=2a2-a2lna,故 ab2a2-a2lna.令 g(a)=2a2-a2lna(a0),故 g(a)=a(3-2lna)(a0),令 g(a)=0,解得 a=,当 0时,g(a)0, (x+a)F(x)0恒成立,a; ()若-2,即-a-a,则存在 x0(m,n),使得 f(x0)=.试用 这个结论证明:若-a0对 x(1,+)成立, f(x)在(1,+)上为增函数. (3)x1,由 f(x)g(x),得 x ex-1-a
9、x3-x2+(a-1)x+a0, 设 h(x)=x ex-1-ax3-x2+(a-1)x+a(x1). h(x)=(x+1)ex-1-ax2-x+a-1 =(x+1)ex-1-a(x-1)-1(x1), 设 k(x)=ex-1-a(x-1)-1(x1), k(x)=ex-1-a. 当 a1 时,k(x)0 对 x1,+)成立. 又 k(1)=0,故 k(x)0,即 h(x)0, h(x)在1,+)上单调递增, 又 h(1)=0,故 h(x)0. 当 a1时,由 k(x)=0,得 x=1+lna1. 当 x(1,1+lna)时,k(x)0, 又 k(1)=0,故 k(x)0,即 h(x)0. 又
10、 h(1)=0,故 h(x)0,这与已知条件不符. 综上所述,实数 a 的取值范围为(-,1. 3.4 定积分与微积分基本定理定积分与微积分基本定理 专题 1 定积分的计 算 (2015江西八所重点中学高三联考,定积分的计算,填空题,理 13)计算:(x3cos x)dx= . 解析:利用奇函数的对称性求解.因为函数 y=x3cosx,x-3,3是奇函数,所以 (x3cosx)dx=(x3cosx)dx+(x3cosx)dx=0. 答案:0 专题 2 利用定积分求平面图形的面积 (2015银川高中教学质量检测,利用定积分求平面图形的面积,填空题,理 14)由函数 y=x2的图象与 直线 y=2x围成的图形的面积是 . 解析:利用微积分基本定理求解.结合图形易得所求面积为(2x-x2)dx=4-. 答案: (2015辽宁重点中学协作体高考模拟,利用定积分求平面图形的面积,选择题,理 5)由 y=-1,y=0,x=2 所对应的曲线围成的封闭图形的面积为( ) A.ln 2- B.-ln 2 C.1-ln 2 D.ln 2-1 解析:依题意得所求的面积等于 dx=(x-lnx)=1-ln2,故选 C. 答案:C
