1、第4讲 椭 圆一、选择题1中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是()A.1 B.1C.1 D.1解析依题意知：2a18，a9,2c2a，c3，b2a2c281972，椭圆方程为1.答案A2椭圆1(ab0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为 ()A. B. C. D.2解析因为A，B为左、右顶点，F1，F2为左、右焦点，所以|AF1|ac，|F1F2|2c，|F1B|ac.又因为|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，所以(ac)(ac)4c2，即a25
2、c2.所以离心率e，故选B.答案B3已知椭圆x2my21的离心率e，则实数m的取值范围是 ()A. B.C. D.解析椭圆标准方程为x21.当m1时，e21，解得m；当0m1时，e21m，解得0mb0)的两顶点为A(a,0)，B(0，b)，且左焦点为F，FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为()A. B.C. D.解析 根据已知a2b2a2(ac)2，即c2aca20，即e2e10，解得e，故所求的椭圆的离心率为.答案B6已知椭圆C：1(ab0)的离心率为.双曲线x2y21的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为()A.1 B.1C.1
3、 D.1解析因为椭圆的离心率为，所以e，c2a2，c2a2a2b2，所以b2a2，即a24b2.双曲线的渐近线方程为yx，代入椭圆方程得1，即1，所以x2b2，xb，y2b2，yb，则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆C的交点坐标为，所以四边形的面积为4bbb216，所以b25，所以椭圆方程为1.答案D二、填空题7设F1、F2分别是椭圆1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|3，则P点到椭圆左焦点的距离为_解析 由题意知|OM|PF2|3，|PF2|6.|PF1|2564.答案 48在等差数列an中，a2a311，a2a3a421，则椭圆C：1的离心率为_解析由题意，得a410，
4、设公差为d，则a3a2(10d)(102d)203d11，d3，a5a4d13，a6a42d16a5，e.答案9. 椭圆=1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上.如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的_倍解析 不妨设F1（3，0），F2（3，0）由条件得P（3，），即|PF2|=，|PF1|=，因此|PF1|=7|PF2|.答案 710.如图，OFB，ABF的面积为2，则以OA为长半轴，OB为短半轴，F为一个焦点的椭圆方程为_解析设标准方程为1(ab0)，由题可知，|OF|c，|OB|b，|BF|a，OFB，a2b.SABF|AF|BO|(ac)b(2bb)b2，b22，b，a
5、2，椭圆的方程为1.答案1三、解答题11如图，设P是圆x2y225上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|PD|.(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的长度解(1)设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(xP，yP)，由已知得P在圆上，x2225，即C的方程为1.(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y(x3)，设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y(x3)代入C的方程，得1，即x23x80.x1，x2.线段AB的长度为|AB| .12设F1，F2分别为椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，过F
6、2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60，F1到直线l的距离为2.(1)求椭圆C的焦距；(2)如果2，求椭圆C的方程解(1)设椭圆C的焦距为2c，由已知可得F1到直线l的距离c2，故c2.所以椭圆C的焦距为4.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由2及l的倾斜角为60，知y10，直线l的方程为y(x2)由消去x，整理得(3a2b2)y24b2y3b40.解得y1，y2.因为2，所以y12y2，即2，解得a3.而a2b24，所以b25.故椭圆C的方程为1.13 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：1(ab0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x
7、y20相切(1)求椭圆C的方程；(2)已知点P(0,1)，Q(0,2)设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T.求证：点T在椭圆C上(1)解由题意知，b.因为离心率e，所以 .所以a2.所以椭圆C的方程为1.(2)证明由题意可设M，N的坐标分别为(x0，y0)，(x0，y0)，则直线PM的方程为yx1，直线QN的方程为yx2.法一联立解得x，y，即T.由1，可得x84y.因为221，所以点T的坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上法二设T(x，y)，联立解得x0，y0.因为1，所以221.整理得(2y3)2，所以12y84y212y9，即1.所以点T坐标满足椭圆C的方
8、程，即点T在椭圆C上14如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且AB1B2是面积为4的直角三角形(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B1作直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2QB2，求直线l的方程解(1) 如图，设所求椭圆的标准方程为1(ab0)，右焦点为F2(c,0)因AB1B2是直角三角形，又|AB1|AB2|，故B1AB2为直角，因此|OA|OB2|，得b.结合c2a2b2得4b2a2b2，故a25b2，c24b2，所以离心率e.在RtAB1B2中，OAB1B2，故SAB1B2|B1B2|OA|OB
9、2|OA|bb2.由题设条件SAB1B24得b24，从而a25b220.因此所求椭圆的标准方程为：1.(2)由(1)知B1(2,0)，B2(2,0)由题意知直线l的倾斜角不为0，故可设直线l的方程为xmy2.代入椭圆方程得(m25)y24my160.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1，y2是上面方程的两根，因此y1y2，y1y2，又(x12，y1)，(x22，y2)，所以(x12)(x22)y1y2(my14)(my24)y1y2(m21)y1y24m(y1y2)1616，由PB2QB2，得0，即16m2640，解得m2.所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x2y20和x2y20.
