1、第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1下列命题正确的个数为()经过三点确定一个平面；梯形可以确定一个平面；两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合A0 B1 C2 D3解析错误，正确答案C2若两条直线和一个平面相交成等角，则这两条直线的位置关系是 ()A平行 B异面C相交 D平行、异面或相交解析经验证，当平行、异面或相交时，均有两条直线和一个平面相交成等角的情况出现，故选D.答案D3若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分为()A5部分 B6部分C7部分 D8部分解析 垂直于交线的截面如图，把空间分为7部分答案 C 4
2、在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是BD1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论错误的是 ()AA1、M、O三点共线 BM、O、A1、A四点共面CA、O、C、M四点共面 DB、B1、O、M四点共面解析因为O是BD1的中点由正方体的性质知，点O在直线A1C上，O也是A1C的中点，又直线A1C交平面AB1D1于点M，则A1、M、O三点共线，A正确；又直线与直线外一点确定一个平面，所以B、C正确答案D5一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中()AABCD BAB与CD相交CABCD DAB与CD所成的角为60解析如图，把展开图中的各正方形按图
3、(a)所示的方式分别作为正方体的前、后、左、右、上、下面还原，得到图(b)所示的直观图，可见选项A、B、C不正确正确选项为D.图(b)中，DEAB，CDE为AB与CD所成的角，CDE为等边三角形，CDE60.答案D6如图，四棱锥SABCD的底面为正方形，SD底面ABCD，则下列结论中不正确的是()AACSBBAB平面SCDCSA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角DAB与SC所成的角等于DC与SA所成的角解析选项A正确，因为SD垂直于平面ABCD，而AC在平面ABCD中，所以AC垂直于SD；再由ABCD为正方形，所以AC垂直于BD；而BD与SD相交，所以，AC垂直于平面SBD，进而
4、垂直于SB.选项B正确，因为AB平行于CD，而CD在平面SCD内，AB不在平面SCD内，所以AB平行于平面SCD.选项C正确，设AC与BD的交点为O，连接SO，则SA与平面SBD所成的角就是ASO，SC与平面SBD所成的角就是CSO，易知这两个角相等选项D错误，AB与SC所成的角等于SCD，而DC与SA所成的角是SAB，这两个角不相等答案D二、填空题7已知a，b为不垂直的异面直线，是一个平面，则a，b在上的射影有可能是：两条平行直线；两条互相垂直的直线；同一条直线；一条直线及其外一点在上面结论中，正确结论的编号是_(写出所有正确结论的编号)解析只有当ab时，a，b在上的射影才可能是同一条直线，
5、故错，其余都有可能答案8. 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：直线AM与CC1是相交直线；直线AM与BN是平行直线；直线BN与MB1是异面直线；直线AM与DD1是异面直线其中正确的结论为_(注：把你认为正确的结论的序号都填上)解析直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故错误答案9如图，矩形ABCD中，AB2，BC4，将ABD沿对角线 BD折起到ABD的位置，使点A在平面BCD内的射影点O恰 好落在BC边上，则异面直线AB与CD所成角的大小为_解析 如题图所示，由AO平面ABCD，可得平面ABC平面ABCD，又由DC
6、BC可得DC平面ABC，DCAB，即得异面直线AB与CD所成角的大小为90.答案 9010在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有_条解析法一在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，当M取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这3条异面直线都有交点如图所示法二在A1D1上任取一点P，过点P与直线EF作一个平面，因CD与平面不平行，所以它们相交，设它们交于点Q，连接PQ，则PQ与EF必然相交，即PQ为所求直线由点P的任意性，知有无数条直线
7、与三条直线A1D1，EF，CD都相交答案无数三、解答题11 如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，BADFAB90，BC綉AD，BE綉FA，G、H分别为FA、FD的中点(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？(1)证明由已知FGGA，FHHD，可得GH綉AD.又BC綉AD，GH綉BC，四边形BCHG为平行四边形(2)解由BE綉AF，G为FA中点知，BE綉FG，四边形BEFG为平行四边形，EFBG.由(1)知BG綉CH，EFCH，EF与CH共面又DFH，C、D、F、E四点共面12在长方体ABCDA1B1C1D1的A1C1面上有一点P(如图所示，
8、其中P点不在对角线B1D1)上(1)过P点在空间作一直线l，使l直线BD，应该如何作图？并说明理由；(2)过P点在平面A1C1内作一直线m，使m与直线BD成角，其中，这样的直线有几条，应该如何作图？解(1)连接B1D1，BD，在平面A1C1内过P作直线l，使lB1D1，则l即为所求作的直线，如图(a)B1D1BD，lB1D1，l直线BD.图(a)(2)BDB1D1，直线m与直线BD也成角，即直线m为所求作的直线，如图(b)由图知m与BD是异面直线，且m与BD所成的角.当时，这样的直线m有且只有一条，当时，这样的直线m有两条图(b)13.如图，空间四边形ABCD中，E、F分别是AD、AB的中点，
9、G、H分别在BC、CD上，且BGGCDHHC12.(1)求证：E、F、G、H四点共面；(2)设FG与HE交于点P，求证：P、A、C三点共线证明(1)ABD中，E、F为AD、AB中点，EFBD.CBD中，BGGCDHHC12，GHBD，EFGH(平行线公理)，E、F、G、H四点共面(2)FGHEP，PFG，PHE，P直线AC.P、A、C三点共线14在四棱锥PABCD中，底面是边长为2的菱形，DAB60，对角线AC与BD交于点O，PO平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60.(1)求四棱锥的体积；(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值解(1)在四棱锥PABCD中，PO面ABCD，PBO是PB与面ABCD所成的角，即PBO60，在RtPOB中，BOABsin 301，又POOB，POBOtan 60，底面菱形的面积S菱形ABCD2.四棱锥PABCD的体积VPABCD22.(2)取AB的中点F，连接EF，DF，E为PB中点，EFPA，DEF为异面直线DE与PA所成角(或其补角)在RtAOB中，AOABcos 30OP，在RtPOA中，PA，EF.在正三角形ABD和正三角形PDB中，DFDE，cosDEF.即异面直线DE与PA所成角的余弦值为.
