1、在终极的分析下，一切知识都是历史在终极的分析下，一切知识都是历史在抽象的意义下，一切科学都是数学在抽象的意义下，一切科学都是数学在理性的基础上，所有的判断都是统计学在理性的基础上，所有的判断都是统计学C. R. RaoC. R. Rao教材：教材：概率论与数理统计（经管类），第三版概率论与数理统计（经管类），第三版吴赣昌吴赣昌 主编，中国人民大学出版社主编，中国人民大学出版社参考教材参考教材： 1 1、概率论与数理统计概率论与数理统计 浙江大学浙江大学 盛骤盛骤 等主编，等主编， 高等教育出版社高等教育出版社2 2、统计学与计量经济学统计学与计量经济学 多米尼克多米尼克. .萨尔瓦多萨尔瓦多
2、等，等， 复旦大学出版社复旦大学出版社推荐阅读书籍推荐阅读书籍：见文档：见文档“概率统计课程推荐书籍概率统计课程推荐书籍.doc”关于教材配套光盘关于教材配套光盘：作为习题集及解答使用作为习题集及解答使用如何学好如何学好“概率统计概率统计”课程课程课前预习课前预习课堂跟进课堂跟进课后回顾课后回顾+ +练习练习概率论与数理统计课程结构图概率论与数理统计课程结构图ProbabilityStatistics第一章第一章 随机事件及其概率随机事件及其概率 作业：作业：1-1：8,91-2：2,41-3：5,6,9 1-4：6,8,101-5：2,4,5,8 1.11.1随机事件； 1.21.2随机事件
3、的概率；1.31.3古典概型与几何概型； 1.41.4条件概率*；1.51.5事件的独立性* ；1.1 随机事件随机事件 从观察现象开始从观察现象开始二、随机试验二、随机试验E1. 1. 可重复性可重复性: : 试验可以在相同的条件下重复进行试验可以在相同的条件下重复进行; ;2. 2. 可观察性可观察性: : 试验结果可观察试验结果可观察, ,所有可能的结果是明确的所有可能的结果是明确的; ;3. 3. 不确定性不确定性: : 每次试验出现的结果事先不能准确预知每次试验出现的结果事先不能准确预知. .三、样本空间三、样本空间四、随机事件四、随机事件两个特殊的事件：两个特殊的事件：不可能事件不
4、可能事件必然事件必然事件,S S一一. 什么是随机现象什么是随机现象? 六六 事件间的关系与运算事件间的关系与运算通过事件的关系与运算来实现将复杂的事件分解成较简单通过事件的关系与运算来实现将复杂的事件分解成较简单事件的事件的“组合组合”。没有相同的元素与互不相容和事件事件的差集与不发生发生而事件事件的交集与同时发生与事件事件的和集与至少有一个发生与事件事件的相等与相等与事件事件的子集是发生发生导致事件的余集的对立事件子集事件元素基本事件空集不可能事件全集必然事件样本空间集合论概率论记号BABAABBABABABABAABBABABABABABABABABAAAAA,S事件的关系与运算的维恩图
5、表示法事件的关系与运算的维恩图表示法BA完备事件组完备事件组1A2A3A6A5A4A7A两两互不相容两两互不相容回顾：回顾：1.1 随机事件随机事件 随机现象； 随机现象的统计规律性； 样本空间； 随机事件； 事件的集合表示； 事件的关系与运算； 事件的运算规律思考：“两个事件的互不相容”与“两个事件对立”有什么区别？用集合及其运算表达随机事件有什么便捷之处？1.2 随机事件的概率随机事件的概率 频率及其性质 概率的统计定义 概率的公理化定义 概率的性质*内容分布：内容分布：尽管随机事件具有随机性，但是在一次试验中发生的尽管随机事件具有随机性，但是在一次试验中发生的可能性大小是客观存在的，并且
6、是可以度量的可能性大小是客观存在的，并且是可以度量的. .历史发展：历史发展： 频率频率概率（频率的稳定值）概率（频率的稳定值） 概率：度量事件出现的可能性大小概率：度量事件出现的可能性大小 如何求值？如何求值？ “抛硬币抛硬币”试验：抛掷试验：抛掷n次，观察出现正面次数次，观察出现正面次数.n=5n=50n=500nHfn(H)nHfn(H)nHfn(H)120.4220.442510.502230.6250.502490.498310.2210.422560.512451.0250.502530.506510.2240.482510.502620.4210.422460.492740.81
7、80.362440.488820.4240.482580.516930.6270.542620.5241030.6310.622470.494【定义【定义1】在相同的条件下，进行了在相同的条件下，进行了 次试验，次试验， 在这在这次试验次试验中，事件中，事件 发生的次数发生的次数 称为事件称为事件 发生的发生的频数频数。比值比值/ / 称为事件称为事件 发生的发生的频率频率，并记成，并记成( () .) .A出现的频率出现的频率 fn(A)A出现的次数出现的次数试验总次数试验总次数一、频率及其性质 1 .01AnnnfA 2 .1nnfSn 113 .kkiAninnnnfAnnn概率概率 事
8、件事件A发生发生的频繁程度的频繁程度事件事件A发生发生的可能性的大小的可能性的大小概率的统计定义概率的统计定义频频 率率稳稳 定定 值值p只是概率的近似值只是概率的近似值【定义【定义2】概率的统计定义】概率的统计定义 P A( A. H. 柯尔莫哥洛夫1903-1987 )20世纪最有影响的数学家，是美国、英国、法国等多国院士世纪最有影响的数学家，是美国、英国、法国等多国院士或皇家学会会员。或皇家学会会员。他建立了在测度论基础上的概率论公理体系，奠定了近代概他建立了在测度论基础上的概率论公理体系，奠定了近代概率论的基础，率论的基础，同时他也是随机过程论的奠基人之一，同时他也是随机过程论的奠基人
9、之一，此外，他在信息论、测度论、拓扑学等领域都有重大贡献此外，他在信息论、测度论、拓扑学等领域都有重大贡献“数学界的莫扎特数学界的莫扎特”前苏联科学家前苏联科学家设设 E,S ,对于对于 赋予一个实数赋予一个实数,记为记为 事件事件 A 的概率，的概率，)()()(2121APAPAAP则是两两互不相容事件若,3201AA)(P,)(AP非负性非负性完备性完备性可列可加性可列可加性二、概率的定义（公理化定义）二、概率的定义（公理化定义）AS要求集合函数要求集合函数 满足满足 下列三个公理下列三个公理： 11)(iiiiAPAP三、概率的性质三、概率的性质分解思想分解思想求概率的迂回战术求概率的
10、迂回战术SBA性质4:特别地特别地:ABS概率的单调性概率的单调性ABSASBASABAAB BA性质性质6(6(加法公式加法公式):):SSSBA)()()()()()()()()1ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAPnnnkjikjinjijiniiniinAAAPAAAPAAPAPAPAAAn2111111211,)2有个事件对任意加法公式的推广加法公式的推广课堂练习习题课堂练习习题12 ，4题题问题：问题： P AP BP CP ABP BCP ACP ABC例例5：利用分解思想：利用分解思想回顾：回顾：1.2 随机事件的概率随机事件的概率 频率及其性质； 概率的统计定义；
11、概率的公理化定义； 概率的性质思考：当采用“频率的稳定值”近似得到事件的概率值方法时，会有哪些局限性？试验次数n究竟要大到什么程度？频率究竟在什么意义下趋近于概率？1.31.3学习准备：排列与组合计数方法学习准备：排列与组合计数方法1.3 古典概型与几何概型古典概型与几何概型古典概型古典概型 （含有限个样本点）含有限个样本点）该模型中概率的计算依据：建立在对称性基础上的等可能性该模型中概率的计算依据：建立在对称性基础上的等可能性几何概型几何概型（含无限个样本点）含无限个样本点）一、古典概型一、古典概型古典概型古典概型 随机试验E：样本空间S （有限性有限性） S只含有限个样本点只含有限个样本点
12、 （等概性）（等概性）每个基本事件出现的可能性相等每个基本事件出现的可能性相等12,nS 12nPPP计算方法计算方法Ak12,kiiiAA 计算古典概率例计算古典概率例2基本事件总数基本事件总数34n 放球的所有可能结果：放球的所有可能结果：A: :每个杯子最多放每个杯子最多放1 1个球；个球；B: :每个杯子最多放每个杯子最多放2 2个球；个球；C: :每个杯子最多放每个杯子最多放3 3个球；个球； 1SABC,P ABCP AP BP C（本例目的：求事件（本例目的：求事件B B的概率的方法）的概率的方法） 34334C!P A 344P C 1P BP AP C 古典概型计算概率时应注
13、意的问题：古典概型计算概率时应注意的问题：三、几何概型三、几何概型古典概型必须假定试验结果是有限个，这限制了它的使用范围。推广：保留等可能性，允许试验结果为无推广：保留等可能性，允许试验结果为无限个，这种试验模型为限个，这种试验模型为几何概型几何概型。法国数学家法国数学家蒲丰蒲丰提出提出: :将随机事件与几何结合起来将随机事件与几何结合起来. .何为几何概型？何为几何概型？ AP ASASSS P AA 1P SS往区域往区域S S内内随机抛掷一点随机抛掷一点例例620 xy20 xy 课堂练习课堂练习【问题】：【问题】：任取两个真分数，求它们的乘积不大于任取两个真分数，求它们的乘积不大于1/
14、41/4的概率的概率0 1x,y,14114114411444GxSP xydxSln在实际问题中常常需要考虑在固定试验条件下，外加某些在实际问题中常常需要考虑在固定试验条件下，外加某些条件时随机事件发生的概率。条件时随机事件发生的概率。1.4、条件概率、条件概率条件概率条件概率乘法公式乘法公式全概率公式全概率公式贝叶斯公式贝叶斯公式概率性质：概率性质：有限可加性有限可加性注意对此种条件概率的理解注意对此种条件概率的理解S=HH,HT,TH,TT，A=HH,HT,TH,B=HH,TT连抛硬币连抛硬币2次，观察向上面出现的情况。次，观察向上面出现的情况。求已知事件求已知事件A发生的条件下事件发生
15、的条件下事件B发生的概率？发生的概率？一、引例一、引例31)|(ABP事件AB中样本点的数目事件A中样本点的数目13SBAAB定义定义1：设设A，B两个事件，两个事件，P(A)0，将将已知事件已知事件A发生条件下事件发生条件下事件B发生的发生的条件概率条件概率记为记为P(B|A)二、条件概率的定义二、条件概率的定义()(|)( )0( )P ABP B AP AP A1. 对于任一事件对于任一事件B，有，有1 P(B|A) 02. P(S|A) 13. 设设 两两互不相容两两互不相容条件概率性质12nA ,A ,A设事件设事件A满足满足P（A）0，则，则条件概率条件概率P(B|A)与无条件与无
16、条件P(B)的区别的区别一般的一般的，P(B|A) P(B)有关条件概率的三公式三、乘法公式三、乘法公式()(|)( )0( )P ABP B AP AP A()(|)( )0( )P ABP A BP BP B例例3：求两次取到均为黑球的概率求两次取到均为黑球的概率1 1、古典概型方法：、古典概型方法：2 2、乘法公式方法：、乘法公式方法：解：解： 23210115PP CP乘法公式的推广乘法公式的推广-P20 （4.4式）式）1210nP A AA对于任一对于任一n1n1，如果，如果则有则有121nP A AAP A21|P AA3121122121|nnnnP AA AP AA AAP
17、AA AA乘法公式适用范围：乘法公式适用范围：求若干事件的积事件的概率，如果这些事件之间求若干事件的积事件的概率，如果这些事件之间，可以考虑，可以考虑“顺序顺序”造成的概率影响，利用乘法公式求概率。造成的概率影响，利用乘法公式求概率。四、四、 全概率公式全概率公式12,()0niA AAP A |iiiAB APPPB 12= nBBABABA 全概率公式的应用环境全概率公式的应用环境我们把事件我们把事件 B看作某一过程的看作某一过程的“结果结果”，若已知每一原因发生的概率，若已知每一原因发生的概率， 即即已已知知iP A 即即已已知知iP B A而且每一原因对结果的影响程度已知，而且每一原因
18、对结果的影响程度已知，则我们可用全概率公式计算结果发生的概率则我们可用全概率公式计算结果发生的概率 即即求求 P BA1, ,A2, , , ,An为导致结果为导致结果B产生的原因产生的原因, , 1niiBB A 由由“原因原因”推推“结果结果”五、贝叶斯公式五、贝叶斯公式例例5 5：续：续若当前无法得知利率是否上涨，但是已知该只股票上涨了，若当前无法得知利率是否上涨，但是已知该只股票上涨了，分析利率上涨的概率。分析利率上涨的概率。|?P A B 分析：由例分析：由例5 5得知，得知，|0.8,|0.4P B AP B A现在是已经知道结果，逆向分析某种原因造成的概率现在是已经知道结果，逆向
19、分析某种原因造成的概率 |P ABP A BP B |P B A P AP B A P AP B A P A()(|)( )iiP BAP ABP B 12,()0niA AAP A ( )0P B 1(|) ()(|) ()iinkkkP B A P AP B A P A 定理定理2（贝叶斯公式）：（贝叶斯公式）：Bayes公式的应用环境公式的应用环境我们把事件我们把事件B看作某一过程的结果，看作某一过程的结果， 即即已已知知iP B A而且每一原因对结果的影响程度已知，而且每一原因对结果的影响程度已知， iP A B即即求求A1 1, ,A2 2, , , ,An n为导致结果为导致结果B
20、产生的原因产生的原因若已知每一原因发生的概率若已知每一原因发生的概率( (先验概率先验概率) )， 即即已已知知iP A是对先验概率是对先验概率的一种校正的一种校正扩展：贝叶斯判别法扩展：贝叶斯判别法 回顾：回顾：1.5 事件的独立性事件的独立性事件独立性事件独立性 试验序列独立性试验序列独立性独立性是概率论中应用即为广泛的重要概念，其重要性主要表独立性是概率论中应用即为广泛的重要概念，其重要性主要表现在：现在：1 1、概率论中的许多重要普遍规律，最初是在独立性条件下发现、概率论中的许多重要普遍规律，最初是在独立性条件下发现的；的；2 2、从带有独立性条件的特殊概型中看出的许多本质，常可以作、
21、从带有独立性条件的特殊概型中看出的许多本质，常可以作为研究一般概型的线索；为研究一般概型的线索；3 3、在数理统计中，样本的抽取总是要求在一定的独立性条件下、在数理统计中，样本的抽取总是要求在一定的独立性条件下进行；进行；4 4、独立性的概念有助于简化概率计算。、独立性的概念有助于简化概率计算。引例引例:（例（例1）A: :抽到抽到KB: :抽到的牌是黑色的抽到的牌是黑色的 452P A 2652P B 252P AB 226P A|B 24P B| A 一、两个事件的独立一、两个事件的独立若两事件A，B满足则称A，B, 或称 注：注：事件互不相容、相互独立是完全不同的两个概念事件互不相容、相
22、互独立是完全不同的两个概念两个事件相互独立性质两个事件相互独立性质【定理【定理1 1】：设】：设A，B是两事件，若是两事件，若A，B相互独立，则相互独立，则【定理【定理2 2】：若随机事件】：若随机事件 A 与与 B 相互独立，则相互独立，则AABB独立独立二、有限个事件的独立性二、有限个事件的独立性12k,iiiAAA对于任意n个事件 A1，A2， ，An，若对每一2k n，任意 k 个事件称事件 A1，A2， ，An，满足：【性质【性质1 1】若】若n个事件相互独立个事件相互独立, , 则其中任意则其中任意k个事件也相互独立个事件也相互独立; ;【性质【性质2 2】若】若n个事件相互独立个
23、事件相互独立, , 则将其中任意则将其中任意 个事件换个事件换成它们的对立事件成它们的对立事件, , 所得的所得的n个事件仍相互独立个事件仍相互独立; ; )1 (nmm运用多个事件的相互独立简化概率计算运用多个事件的相互独立简化概率计算1、计算积事件的概率为：、计算积事件的概率为：2、加法定理可以简化为：、加法定理可以简化为：练习：练习：设事件设事件A1,A2, ,An相互独立，相互独立，P(Ai)=pi, ,求：求：所有事件所有事件全不发生的概率；全不发生的概率；至少发生一个事件的概率；至少发生一个事件的概率；恰好发生一个事件的概率恰好发生一个事件的概率扩展扩展-独立性与可靠性理论：独立性
24、与可靠性理论：模型描述：模型描述：一个系统能正常工作的概率称为该系统的可靠性一个系统能正常工作的概率称为该系统的可靠性。现有两系统都由同。现有两系统都由同类电子元件类电子元件A、B、C、D所组成，如图所示。每个元件的可靠性都是所组成，如图所示。每个元件的可靠性都是p。分别求两。分别求两个系统的可靠性。个系统的可靠性。解：以解：以R1、R2分别记两个系统的可靠性，以分别记两个系统的可靠性，以A、B、C、D分别记相应元件工作分别记相应元件工作正常的事件，则正常的事件，则 2RP ABCDP ABP CDP ABCD242pp1RP A BC DP ABDACDP ABDP ACDP ABCD342
25、pp例例3： 2221pppp1p 三、伯努利概型三、伯努利概型独立重复试验序列：由某个随机试验的多次重复组成，且各次试验的结独立重复试验序列：由某个随机试验的多次重复组成，且各次试验的结果相互独立。果相互独立。对每一次试验的结果只关心：对每一次试验的结果只关心：只有两种可能结果的试验只有两种可能结果的试验（Bernoulli）独立重复进行独立重复进行n次次 每一次中事件每一次中事件A发生的概率相同，发生的概率相同，都是都是 p。各次试验结果互不影响各次试验结果互不影响P(A1A2An)=P(A1)P(A2) P(An)Ai：第：第i次试验结果次试验结果 1P Ap P Ap伯努利伯努利定理（
26、定理定理（定理3）在在n重伯努利试验中，事件重伯努利试验中，事件A恰好恰好发生发生k次的概率：次的概率：Bk：在：在n重伯努利试验中，事件重伯努利试验中，事件A恰好恰好发生发生k次。次。在在n次试验中，某次试验中，某k次试验结果是次试验结果是A，另外，另外n-k次试验结果是次试验结果是A的对立事件的对立事件。nnnnnnnn( pp)p (p)p (p)p (p)CCC 01011011111P(B0)P(B1)P(Bn)课堂练习习题课堂练习习题15 ，13题题女士品茶问题（假设检验）女士品茶问题（假设检验）实际推断原理实际推断原理假设问题：女士说法不可信，那么她是碰运气猜出来的。假设问题：女
27、士说法不可信，那么她是碰运气猜出来的。应解决问题：应解决问题：“她是碰运气猜出来的她是碰运气猜出来的”可能性多大。可能性多大。1010.00097662P 推翻假设！推翻假设！【问题描述】：一位常饮牛奶加茶的女士称：她能【问题描述】：一位常饮牛奶加茶的女士称：她能够从一杯冲好的饮料中辨别出先放牛奶还是先放茶。够从一杯冲好的饮料中辨别出先放牛奶还是先放茶。并且她在并且她在1010次试验中都能正确的辨别出来，问该女次试验中都能正确的辨别出来，问该女士的说法是否可信？士的说法是否可信？但是如果不断地、独立地重复试验，无论事件的概率多么小，它迟早会发生的。但是如果不断地、独立地重复试验，无论事件的概率多么小，它迟早会发生的。利用独立性认识小概率事件利用独立性认识小概率事件 1211nnniiP A AAP A1111nniiPA 1n 第一章第一章 基本要求基本要求练习：练习：
