1、 一个一个平面平面内的一条内的一条直线直线把这个把这个平面平面分成两个分成两个部分，其中的每一部分都叫做部分，其中的每一部分都叫做半平面半平面。 一条一条直线直线上的一个上的一个点点把这条把这条直线直线分成两个部分，分成两个部分，其中的每一部分都叫做其中的每一部分都叫做射线射线。 l 从一条直线出发的两个半平从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做面所组成的图形叫做二面角二面角。这两个半平面叫做这两个半平面叫做二面角的面二面角的面。AB复习回顾复习回顾AB 二面角二面角 AB 二面角二面角 l 二面角二面角CAB DABCD表示法表示法: l 以二面角的以二面角的棱棱上任意一点为端点，在上任
2、意一点为端点，在两个面两个面内内分别作分别作垂直垂直于棱的两条射线，这两条射线所成于棱的两条射线，这两条射线所成的的角角叫做叫做二面角的平面角。二面角的平面角。 平面角是直角的二面角叫做平面角是直角的二面角叫做直二面角直二面角.相交成直二面角的两个平面，叫做相交成直二面角的两个平面，叫做互互相相垂直垂直的平面的平面。 l二面角的平面角的三个特征二面角的平面角的三个特征: :1.点在棱上，点在棱上， 2.线在面内，线在面内，3.与棱垂直与棱垂直二面角的大小的范围二面角的大小的范围: :1800OABAOB二面角的平面角的作法：二面角的平面角的作法：1 1、定义法定义法 根据定义作出来根据定义作出
3、来2 2、垂面法垂面法 作与棱垂直的平面与作与棱垂直的平面与 两半平面的交线得到两半平面的交线得到 lABO lOABAO lD3 3、三垂线定理法三垂线定理法 借助三垂线定理或借助三垂线定理或 其逆定理作出来其逆定理作出来练习：练习：指出下列各图中的二面角的平面角：指出下列各图中的二面角的平面角：BACDAABCCDDB二面角二面角B-BC-AB-BC-AADBC l二面角二面角 -l- - lBA,BDACAClBD lOEOO二面角二面角A-BC-DA-BC-DD14倾条脚线0例1:山坡的斜度是60 , 山坡上有一直道CD, 它和坡的水平?100,300米后升高多少米走沿着这条路上山的夹
4、角是AB倾条脚线0例1:山坡的斜度是60 , 山坡上有一直道CD, 它和坡的水平?100,300米后升高多少米走沿着这条路上山的夹角是AB)300ABCDHG)600.,:HABDHD垂足的水平面垂直过作过解,GABHGH于作过 根据三垂线定理连结,DGABDG 坡度的平面角是二面角.DABHDGH 030,100, DCGDCDCGRt米中在501002121 CDDG,60,50,0 DGHDGDHGRt中在050 sin6025 3DH 米:100,25 3.答 直道走米 升高约米160120A B例2 在的二面角的两个面内分别有两点 、 在棱上, 4, 8, 2, CDBDACDC若、
5、的射影分别是.;所成的角与求求ABABABCDC,/:DBCCDBCCC 且作在过分析0120, ACCCDACC的平面角是ACC用余弦定理解84120cos82282022 ACCACRtBCCC,解 104842 ABABCDA.,:BACAAAAA连垂足作过分析 三垂线定理逆定理CDCA 所成的角与是ABABA 00060120180 ACA360sin20 AACAARt解103arcsin103sin BAABAABAARt解1097arccos1097cos BAABAA0120A B例2 在的二面角的两个面内分别有两点 、 在棱上, 4, 8, 2, CDBDACDC若、的射影分
6、别是.;所成的角与求求ABAB16,ABCD例3长为 的线段两端点分别在直二面角,4530,00角、并且与两个面分别成的两个面内.所成的角和距离和求CDABABCDCDCCDACA 垂足作过分析,: 面面垂直性质 AC045, ABCABABC所成的角与是030BAD同样作E,/所的角与是且作在过CDABABECDBECDBEB 8,2845cos160 BDAC解有关的直角三角形 3882822 AE.3231638sin ABEABEABCDE,/:ABECD平面分析 的距离到平面的距离为与ABECDABCD的距离到平面即ABECABEACE 平面平面 H中在的距离到又把问题转化为ACER
7、tCHAEC,ECACCHAE 利用等积关系8,28 ECAC38 AE36838828 CH16,ABCD例3长为 的线段两端点分别在直二面角,4530,00角、并且与两个面分别成的两个面内.所成的角和距离和求CDAB1.,ABBCD BDCD练习面 ;:1ACDABD 面面求证 ABCD 内的两条相交直线垂直平面ABDCD1ABDCDBDAB平面和 , CDABDACD的一条垂线经过平面平面EF1.,ABBCD BDCD练习面 .,22的正弦值求二面角若DACBBDBCAB ABCDEF ,222aBDBCAB 设,ADFACDBFB 垂足平面作过BEFDACB 的平面角角根据三垂线定理作
8、二面 5222,2222222aaaaaBFaaaaBE 510sin BEBFBEF:解三个直角三角形二二 面面 角角一、二面角的定义：一、二面角的定义：二、二面角的表示方法：二、二面角的表示方法：三、二面角的平面角：三、二面角的平面角：四、二面角的平面角的作法：四、二面角的平面角的作法：五、二面角的计算：五、二面角的计算：二二 面面 角角 AB 二二 面面 角角 CAB D二二 面面 角角 l 1、根据定义作出来、根据定义作出来2、利用直线和平面垂、利用直线和平面垂 直作出来直作出来3、借助三垂线定理或、借助三垂线定理或 其逆定理作出来其逆定理作出来1、找到或作出二面角的平面角、找到或作出
9、二面角的平面角2、证明、证明 1中的角就是所求的中的角就是所求的 角角3、计算所求的角、计算所求的角一一“作作”二二“证证”三三“计算计算”从一条直线出发的两个半从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面面角。这条直线叫做二面角的棱。这两个半平面叫角的棱。这两个半平面叫做二面角的面。做二面角的面。 1、二面角的平面角、二面角的平面角 必须满足三个条件必须满足三个条件2、二面角的平面角、二面角的平面角 的大小与的大小与 其顶点其顶点 在棱上的位置无关在棱上的位置无关3、二面角的大小用、二面角的大小用 它的平面角的大它的平面角的大 小来度量小来度量 A
10、O lD例例1、已知锐二面角已知锐二面角 l ，A为面为面 内一点内一点，A到到 的距离为的距离为 2 ，到到 l 的距离为的距离为 4，求求二面角二面角 l 的大小。的大小。3解解： 过过 A作作 AO 于于O，过过 O作作 OD l 于于D，连连AD则由三垂线定理得则由三垂线定理得 AD l3AO=2 ，AD=4 AO为为 A到到 的距离的距离 ， AD为为 A到到 l 的距离的距离ADO就是二面角就是二面角 l 的平面角的平面角sinADO= ADO=60二面角二面角 l 的大小为的大小为60 在在RtADO中，中，43223AOAD17AO lD例例1、已知锐二面角已知锐二面角 l ，
11、A为面为面 内一点内一点，A到到 的距离为的距离为 2 ，到到 l 的距离为的距离为 4；求求二面角二面角 l 的大小。的大小。3解解： 过过 A作作 AO 于于O，过过 O作作 OD l 于于D，连连AD则由三垂线定理得则由三垂线定理得 AD l3AO=2 ，AD=4 AO为为 A到到 的距离的距离 ， AD为为 A到到 l 的距离的距离ADO就是二面角就是二面角 l 的平面角的平面角sinADO= 43223 ADO=60二面角二面角 l 的大小为的大小为60 在在RtADO中，中，AOAD18例例 2 如图如图，已知已知A、B是是120 的二面角的二面角 l 棱棱l上的两点上的两点，线段
12、线段AC，BD分别分别在面在面， 内内，且且ACl，BDl ，AC=2，BD=1，AB=3，求线段求线段CD的长。的长。ADBC lO19OAC 120 AO=BD=1, AC=271202222 COSACAOAOACCO四边形四边形ABDO为矩形为矩形, DO=AB=3例例 2 如图如图，已知已知A、B是是120 的二面角的二面角 l 棱棱l上的两点上的两点，线段线段AC，BD分别分别在面在面， 内内，且且ACl，BDl ，AC=2，BD=1，AB=3，求线段求线段CD的长。的长。ADBC l BDl AOBD，四边形四边形ABDO为矩形为矩形, DO l ， AO=BD ACl ， AOl ， l 平面平面CAO AOl CODO O437222 DOCOCD在在Rt COD中，中，DO=AB=319E解：在平面解：在平面 内，过内，过A作作AOl ，使使AO=BD, 连结连结CO、DO, 则则OAC就是就是二面角二面角 l 的平面角，即的平面角，即 OAC 120 ，71202222 COSACAOAOACCO BD=1 AO=1，在在OAC中，中，AC=2，
