1、 解三角形的应用举例（二） 测量高度、角度1 1 知识与技能知识与技能能用正、余弦定理等知识解决与高度、角度有关的三角形问题；能用正、余弦定理等知识解决与高度、角度有关的三角形问题；2 2 过程与方法过程与方法通过合作探究，解决例题及习题，学习数学建模的方法，提高分析问题、解决问题的通过合作探究，解决例题及习题，学习数学建模的方法，提高分析问题、解决问题的能力能力；3 3 情感、态度与价值观情感、态度与价值观体会这类测量问题在某一特定情境和条件限制下的一个测量方案，感受数学的应用价体会这类测量问题在某一特定情境和条件限制下的一个测量方案，感受数学的应用价值，提高学习兴趣。值，提高学习兴趣。 重
2、点：重点：画出示意图，分析已知与所求，解三角形。画出示意图，分析已知与所求，解三角形。 难点：难点：根据题意建立数学模型，画出示意图。根据题意建立数学模型，画出示意图。学习目标学习目标1.1.正弦定理：正弦定理：2.2.余弦定理：余弦定理：2sinsinsinabcRABC=（R为三角形的外接圆半径）为三角形的外接圆半径）2222222222cos2 cos2cosabcbcAbcacaBcababC=+-=+-=+-ABCacb知识回顾知识回顾可解下列两类三角形：可解下列两类三角形：(1)(1)已知任意两角及一边；已知任意两角及一边；(2)(2)已知两边与一边的对角。已知两边与一边的对角。可
3、解下列三类三角形：可解下列三类三角形：(1)(1)已知三边长；已知三边长；(2)(2)已知两边及夹角；已知两边及夹角；(3)(3)已知两边与一边所对角。已知两边与一边所对角。 在同一铅垂平面内，视线与水平线的在同一铅垂平面内，视线与水平线的夹角，如所示夹角，如所示. .从指定方向线（正北、正南、正东或正西）到目标方向从指定方向线（正北、正南、正东或正西）到目标方向线的水平角线的水平角, ,如图所示。如图所示。南偏西603.3.仰仰( (俯俯) )角角: : 4.4.方向角：方向角：1.1.生活中生活中, ,人们怎样测量底部不可到达的物体人们怎样测量底部不可到达的物体的的高度呢？高度呢？2.2.
4、海面上海面上, ,如何确保轮船不迷失方向，保持航速如何确保轮船不迷失方向，保持航速和航向呢？和航向呢？情境引入情境引入建立数学模型，转化为解三角形的问题解决。建立数学模型，转化为解三角形的问题解决。探究点探究点1 1 测量测量高度问题高度问题例例1 1 如图如图ABAB是底部是底部B B不可到达的一个建筑物，不可到达的一个建筑物，A A为为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度ABAB的的方法方法. .思考：思考：1.1.怎样作高？怎样作高？2.2.只选一个观测点行吗？只选一个观测点行吗？合作探究合作探究C C 如图某同学选择如图某同学选择H H、G G两
5、点，使两点，使H H、G G、B B三点在同一三点在同一条条水平线水平线上，在上，在H,GH,G两点用测角仪器测得两点用测角仪器测得A A的仰角分的仰角分别是别是, ,CD=a,CD=a，且测角仪器的高是，且测角仪器的高是h h，则，则AB=AB=？分析分析：AB=_AB=_，应求，应求_. . （1 1）在哪个三角形中求）在哪个三角形中求？ （2 2）还需知道哪个边（角）？又如何求此边（角）？）还需知道哪个边（角）？又如何求此边（角）？法一法一法二法二AE+EB=AE+hAE+EB=AE+hAEAEsinsinsin()sin()ACACa aa ab bb ba ab ba ab b=-=
6、 =解解: :在在ACDACD中，中，ADC=ADC=，CD=aCD=a，DAC=-DAC=-，根据正弦定理可得根据正弦定理可得sinsin中，=A AE ER Rt t A AC CE EA AE E A AC CA AC Ca aa a=Vsinsinsinsin()a=h=A AB B A AE EA AC Ch hh ha ab ba aa ab b+=+-sin(180)sinsin(180)sin()sin()sin()ADADa aa aa aa aa aa aa a b ba a b ba a b b -= -= =解解: :在在ACDACD中，中，ADC=ADC=，CD=aC
7、D=a，ACD=180ACD=180-，根据正弦定理可得根据正弦定理可得sinsin中，=A AE ER Rt t A AD DE EA AE E A AD DA AD Db bb b=Vsin sinsinsin()a=h=h=A AB B A AE EA AD Dh ha ab bb ba a b b+- 解决高度问题步骤：解决高度问题步骤：（1 1）作高：作高：作与地平面垂直的线段表示高度；作与地平面垂直的线段表示高度；（2 2）画图：画图：分清仰角、俯角，分清仰角、俯角，画示意图（必含直角三画示意图（必含直角三角形）；角形）；（3 3）求解：求解：分析已知与所求，解三角形得实际问题的分
8、析已知与所求，解三角形得实际问题的解解. .悟悟感悟：感悟：练习练习1.1.如图某人选择如图某人选择水平面水平面上的两点上的两点C C、D D，ABAB面面BCDBCD，CD=800mCD=800m，在在C C点测得点测得A A的仰角的仰角ACB=45ACB=45，BCDBCD120120，又在又在D D点测得点测得BDCBDC4545，求，求ABAB. .6- 2(sin15 =)4提示：解答解答解:在BCD中,DC=800, BDC=45, DCB=120, DBC=180-45 -120=15,()CDsin,sinsinsin=鞍-=+2800CDBC452由正弦定理：得BC15451
9、56248003 1()+AB=8003 1 米。 AB平面BCD，ACB=45， RtABC中，AB=BC.()3-1 n mile,1520 n mile. 例2.如图一艘海轮从A出发，沿北偏东75 的方向航行10后到达海岛B 然后从B出发，沿北偏东的方向航行后到达海岛C 如果下次航行直接从A出发到达C，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离？()-邪鞍：在 ABC中，AB=103 1 ，BC=20，分ABC=180 -7515 =120 析 V靶AC,75 -求：CAB 探究点探究点2 2 测量角度问题测量角度问题()()222222cos1031202103120cos120106
10、由余弦定理：AC =ABBCABBCABC =600， AC+-创轾-+-创犏臌=()解：在 ABC中，AB=1031 ，BC=20，ABC=180 -7515 =120 D-邪鞍sin20sin1202210 6B BC CA AC C由由正正弦弦定定理理= =，s si in nC CA AB Bs si in nA AB BC CB BC CA AB BC Cs si in nC CA AB B= = = =A AC C行邪0CAB75 ,CAB45 ， 75 - CAB=30 癨 邪邪Q= =答：此船沿北偏东30 的方向航行，需要航行10 6 n mile. . 解决航海问题步骤：解决
11、航海问题步骤：（1 1）定位定位: : 选择好不动点，选择好不动点，（2 2）画图：画图：搞清方搞清方向向角，角，画出示意图，画出示意图，（3 3）求解：求解：分析已知与所求，分析已知与所求，解三角形，得实际解三角形，得实际问题的解。问题的解。感悟感悟3练习2.缉私船在A处发现一走私船在北偏东45 ，距离为10海里的B处，正沿南偏东75 的方向，以10海里/小时的速度向前逃窜，缉私船立即以10海里/小时的速度追赶，求缉私船追上走私船所需的最少时间和航向.t解：设经过 小时在C点追上，如图所示，3在 ABC中， ABC=7545 =120 ，BC=10t，AC=10t，AB=10D邪+鞍()()
12、2222222cos3102 10 10cos120由余弦定理：AC =ABBCABBCABC10t=10tt +-创+- 创窗( )212整理得：2t -t-1=0，解得t=1或t=-舍3=10=BC=10，AC=10，AB， CAB=30 ，30 +4575 ，邪鞍答：缉私船航向为北偏东答：缉私船航向为北偏东7575，1 1小时即可追上。小时即可追上。t解：设经过 小时在C点追上，如图所示，3在 ABC中， ABC=7545 =120 ，BC=10t，AC=10t，AB=10D邪+鞍10t10 3t10=,sinsin 120sin101sinsin 120.30210 3t由正弦定理：B
13、ACCtBACBACC=30C=30=BAC=BAC，BC=AB=10BC=AB=10，t=1t=1，45 45 +30 +30 =75 =75 答：缉私船航向为北偏东答：缉私船航向为北偏东7575，1 1小时即可追上小时即可追上。1.1.如图，在山顶铁塔上如图，在山顶铁塔上B B处测得地面上一点处测得地面上一点A A的俯角为的俯角为=60=60，在塔底在塔底C C处测得处测得A A处的俯角为处的俯角为=30=30, ,已知铁塔已知铁塔BCBC部分的高为部分的高为100m,100m,求山高求山高CDCD.随堂检测随堂检测 2 2已知两座灯塔已知两座灯塔A A和和B B与海洋观测站与海洋观测站C
14、 C的距离相等的距离相等, ,灯塔灯塔A A在观测站在观测站C C的北偏东的北偏东4040，灯塔灯塔B B在观测站在观测站C C的南偏东的南偏东60 60 ，则灯塔则灯塔A A在灯塔在灯塔B B的（的（ )A.)A.北偏东北偏东10 10 B. B.北北偏西偏西1010 C. C.南偏东南偏东1010 D. D.南偏西南偏西101050m50mB B解析二解析二解析一解析一练习练习1.1.如图，在山顶铁塔上如图，在山顶铁塔上B B处测得地面上一点处测得地面上一点A A的俯角为的俯角为=60=60，在塔底，在塔底C C处测得处测得A A处的俯角为处的俯角为=30=30, ,已知铁塔已知铁塔BCB
15、C部分的高为部分的高为100m,100m,求山高求山高CD.CD.解：解：在在ABCABC中，中，BCA=90BCA=90+=120+=120, , ABC=90ABC=90-=30-=30, , BAC=30BAC=30. .AC=BC=100AC=BC=100301sin30,212 =在中，=mRtRtACDACDCAD =CAD = =CDCDACACCD =AC =50 .CD =AC =50 .答：山高答：山高CDCD为为5050米米返回返回2 2. .如图所示，已知两座灯塔如图所示，已知两座灯塔A A和和B B与海洋观察站与海洋观察站C C的距的距离相等，灯塔离相等，灯塔A A在
16、观察站在观察站C C的北偏东的北偏东4040，灯塔，灯塔B B在观在观察站察站C C的南偏东的南偏东6060，则灯塔，则灯塔A A在灯塔在灯塔B B的的( () )A.A.北偏东北偏东5 5B.B.北偏西北偏西1010C.C.南偏东南偏东5 5D.D.南偏西南偏西1010B解析解析由题意可知由题意可知ACBACB180180404060608080. .ACACBCBC，CABCABCBACBA5050，从而可知灯塔，从而可知灯塔A A在灯塔在灯塔B B的北偏西的北偏西1010. .返回返回（1 1）审题审题: :准确理解题意，分清已知与所求；准确理解题意，分清已知与所求；（2 2）画图画图:
17、 :根据题意画出示意图，并注明已知条件；根据题意画出示意图，并注明已知条件；（3 3）求解求解: :分析与问题有关的一个或者几个三角形，分析与问题有关的一个或者几个三角形，运用正、余弦定理等知识正确求解，并作答。运用正、余弦定理等知识正确求解，并作答。课堂小结课堂小结1.1.解三角形应用题的一般步骤：解三角形应用题的一般步骤：实际问题实际问题抽象概括抽象概括数学模型数学模型推理推理演算演算数学模型的数学模型的解解2.2.解决实际问题的基本思路解决实际问题的基本思路实际问题的实际问题的解解还原说明还原说明检验检验作业作业导学案导学案P4P4 必做：必做：1 1、2 2、3 3、4 4 选做：选做：5 5
