1、1数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项2数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列an1_an其中nN*递减数列an1_an常数列an1an摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法4数列的通项公式如果数列an的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式【知识拓展】1若数列an的前n项和为Sn，通项公式为an，则an2在数列an中，若an最大，则若an最小，则3数列
2、与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)所有数列的第n项都能使用公式表达()(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个()(3)1,1,1,1，不能构成一个数列()(4)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列()(5)如果数列an的前n项和为Sn，则对nN*，都有an1Sn1Sn.()1下列说法中，正确的是()A数列1,3,5,7可表示为1,3,5,7B数列1,0，1，2与数列2，1,0,1是相同的数列C数列的第k项为1D数
3、列0,2,4,6,8，可记为2n答案C解析数列的通项公式为an1，ak1.故C正确；数列中的数讲究顺序，而集合无序，故A、B均错；D中0无对应的n.2已知数列，下列各数中是此数列中的项的是()A. B.C. D.答案B3(教材改编)在数列an中，a11，an1(n2)，则a5等于()A. B.C. D.答案D解析a212，a31，a413，a51.4数列an中，ann211n，则此数列最大项的值是_答案30解析ann211n(n)2，nN*，当n5或n6时，an取最大值30.5已知数列an的前n项和Snn21，则an_.答案解析当n1时，a1S12，当n2时，anSnSn1n21(n1)212
4、n1，故an题型一由数列的前几项求数列的通项公式例1(1)(2016太原模拟)数列1,3,6,10，的一个通项公式是()Aann2(n1) Bann21Can Dan(2)数列an的前4项是，1，则这个数列的一个通项公式是an_.答案(1)C(2)解析(1)观察数列1,3,6,10，可以发现11，312，6123，101234，第n项为1234n.an.(2)数列an的前4项可变形为，故an.思维升华由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法(2)具体策略：分式中分子、分母的特征；相
5、邻项的变化特征；拆项后的特征；各项的符号特征和绝对值特征；化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；对于符号交替出现的情况，可用(1)k或(1)k1，kN*处理根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式(1)1,7，13,19，；(2)0.8,0.88,0.888，；(3)，.解(1)数列中各项的符号可通过(1)n表示，从第2项起，每一项的绝对值总比它的前一项的绝对值大6，故通项公式为an(1)n(6n5)(2)数列变为，故an.(3)各项的分母分别为21,22,23,24，易看出第2,3,4项的绝对值的分子分别比分母小3.因此把第1项变为，原数列化为，
6、故an(1)n.题型二由an与Sn的关系求通项公式例2(1)(2017南昌月考)若数列an的前n项和Snan，则an的通项公式an_.答案(2)n1解析由Snan，得当n2时，Sn1an1，两式相减，整理得an2an1，又当n1时，S1a1a1，a11，an是首项为1，公比为2的等比数列，故an(2)n1.(2)已知下列数列an的前n项和Sn，求an的通项公式Sn2n23n；Sn3nb.解a1S1231，当n2时，anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n5，由于a1也适合此等式，an4n5.a1S13b，当n2时，anSnSn1(3nb)(3n1b)23n1.当b1时，a1适合此
7、等式；当b1时，a1不适合此等式当b1时，an23n1；当b1时，an思维升华已知Sn，求an的步骤(1)当n1时，a1S1；(2)当n2时，anSnSn1；(3)对n1时的情况进行检验，若适合n2的通项则可以合并；若不适合则写成分段函数形式(1)已知数列an的前n项和Sn3n22n1，则其通项公式为_(2)已知数列an的前n项和Snn29n，则其通项an_；若它的第k项满足5ak8，则k_.答案(1)an(2)2n108解析(1)当n1时，a1S13122112；当n2时，anSnSn13n22n13(n1)22(n1)16n5，显然当n1时，不满足上式故数列的通项公式为an(2)anan又
8、8也适合an2n10，an2n10，nN*.由52k108，7.5k0)，运用基本不等式得f(x)2，当且仅当x3时等号成立因为an，所以，由于nN*，不难发现当n9或n10时，an最大思维升华(1)解决数列的单调性问题可用以下三种方法用作差比较法，根据an1an的符号判断数列an是递增数列、递减数列还是常数列用作商比较法，根据(an0或an0)与1的大小关系进行判断结合相应函数的图象直观判断(2)解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值(3)数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解(1)(2016哈尔滨模拟)数列an满足an1a1，
9、则数列的第2 015项为_(2)设an3n215n18，则数列an中的最大项的值是()A. B.C4 D0答案(1)(2)D解析(1)由已知可得，a221，a32，a42，a521，an为周期数列且T4，a2 015a50343a3.(2)an32，由二次函数性质，得当n2或3时，an最大，最大值为0.12解决数列问题的函数思想典例(1)数列an的通项公式是an(n1)()n，则此数列的最大项是第_项(2)若ann2kn4且对于nN*，都有an1an成立，则实数k的取值范围是_思想方法指导(1)可以将数列看成定义域为正整数集上的函数；(2)数列的最值可以根据单调性进行分析解析(1)an1an(
10、n2)()n1(n1)()n()n，当n0，即an1an；当n9时，an1an0，即an1an；当n9时，an1an0，即an1an知该数列是一个递增数列，又因为通项公式ann2kn4，所以(n1)2k(n1)4n2kn4，即k12n，又nN*，所以k3.答案(1)9或10(2)(3，)1数列，的第10项是()A BC D答案C解析所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把每一部分进行分解：符号、分母、分子很容易归纳出数列an的通项公式an(1)n1，故a10.2已知数列的通项公式为ann28n15，则()A3不是数列an中的项B3只是数列an中的第2项C3只是数列an中的第6
11、项D3是数列an中的第2项和第6项答案D解析令an3，即n28n153，整理得n28n120，解得n2或n6.3(2016山西长治月考)已知数列an满足a11，an1则其前6项之和为()A16 B20C33 D120答案C解析a22a12，a3a213，a42a36，a5a417，a62a514，所以前6项和S6123671433，故选C.4若数列an满足a12，a23，an(n3且nN*)，则a2 018等于()A3 B2C. D.答案A解析由已知a3，a4，a5，a6，a72，a83，数列an具有周期性，T6，a2 018a33662a23.5数列an满足anan1(nN*)，a22，若S
12、n是数列an的前n项和，则S21为()A5 B.C. D.答案B解析anan1，a22，anS2111102.故选B.6(2016开封一模)已知函数yf(x)的定义域为R.当x1，且对任意的实数x，yR，等式f(x)f(y)f(xy)恒成立若数列an满足a1f(0)，且f(an1) (nN*)，则a2 015的值为()A4 029 B3 029C2 249 D2 209答案A解析根据题意，不妨设f(x)()x，则a1f(0)1，f(an1)，an1an2，数列an是以1为首项，2为公差的等差数列，an2n1，a2 0154 029.7已知数列an的前n项和为Sn，且Sn2n21，则a3_.答案
13、10解析a3S3S22321(2221)10.8已知数列an的前n项和为Sn，Sn2ann，则an_.答案2n1解析当n1时，S1a12a11，得a11，当n2时，anSnSn12ann2an1(n1)，即an2an11，an12(an11)，数列an1是首项为a112，公比为2的等比数列，an122n12n，an2n1.9已知数列an的通项公式an(n2)()n，则数列an的项取最大值时，n_.答案4或5解析假设第n项为最大项，则即解得即4n5，又nN*，所以n4或n5，故数列an中a4与a5均为最大项，且a4a5.*10.在一个数列中，如果nN*，都有anan1an2k(k为常数)，那么这
14、个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积已知数列an是等积数列，且a11，a22，公积为8，则a1a2a3a12_.答案28解析依题意得数列an是周期为3的数列，且a11，a22，a34，因此a1a2a3a124(a1a2a3)4(124)28.11已知数列an的前n项和为Sn.(1)若Sn(1)n1n，求a5a6及an；(2)若Sn3n2n1，求an.解(1)因为a5a6S6S4(6)(4)2，当n1时，a1S11，当n2时，anSnSn1(1)n1n(1)n(n1)(1)n1n(n1)(1)n1(2n1)，又a1也适合此式，所以an(1)n1(2n1)(2)因为当n1时，a1S16；当n2
15、时，anSnSn1(3n2n1)3n12(n1)123n12，由于a1不适合此式，所以an12已知Sn为正项数列an的前n项和，且满足Snaan(nN*)(1)求a1，a2，a3，a4的值；(2)求数列an的通项公式解(1)由Snaan (nN*)可得a1aa1，解得a11，S2a1a2aa2，解得a22，同理，a33，a44.(2)Sna，当n2时，Sn1a，得(anan11)(anan1)0.由于anan10，所以anan11，又由(1)知a11，故数列an为首项为1，公差为1的等差数列，故ann.*13.已知数列an中，an1(nN*，aR且a0)(1)若a7，求数列an中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的nN*，都有ana6成立，求a的取值范围解(1)an1(nN*，aR且a0)，又a7，an1(nN*)结合函数f(x)1的单调性，可知1a1a2a3a4，a5a6a7an1(nN*)数列an中的最大项为a52，最小项为a40.(2)an11，已知对任意的nN*，都有ana6成立，结合函数f(x)1的单调性，可知56，即10a8.
