1、第8讲 曲线与方程一、选择题1已知两定点A(1,1)，B(1，1)，动点P满足，则点P的轨迹是()A圆 B椭圆C双曲线 D拋物线解析 设点P(x，y)，则(1x,1y)，(1x，1y)，所以(1x)(1x)(1y)(1y)x2y22.由已知x2y22，即1，所以点P的轨迹为椭圆答案B2已知点F，直线l：x，点B是l上的动点若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是()A双曲线 B椭圆 C圆 D抛物线解析由已知：|MF|MB|.由抛物线定义知，点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，故选D.答案D3设圆(x1)2y225的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上
2、任一点线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析M为AQ垂直平分线上一点，则|AM|MQ|，|MC|MA|MC|MQ|CQ|5，故M的轨迹为椭圆，a，c1，则b2a2c2，椭圆的标准方程为1.答案D4已知点P是直线2xy30上的一个动点，定点M(1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|MQ|，则Q点的轨迹方程是()A2xy10 B2xy50C2xy10 D2xy50解析由题意知，M为PQ中点，设Q(x，y)，则P为(2x，4y)，代入2xy30，得2xy50.答案D5已知二面角l的平面角为，点P在二面角内，PA，PB，A，B为垂足，且
3、PA4，PB5，设A，B到棱l的距离分别为x，y，当变化时，点(x，y)的轨迹方程是()Ax2y29(x0)Bx2y29(x0，y0)Cy2x29(y0)Dy2x29(x0，y0)解析 实际上就是求x，y所满足的一个等式，设平面PAB与二面角的棱的交点是C，则ACx，BCy，在两个直角三角形RtPAC，RtPBC中其斜边相等，根据勾股定理即可得到x，y所满足的关系式如图，x242y252，即x2y29(x0，y0)答案B6在平行四边形ABCD中，BAD60，AD2AB，若P是平面ABCD内一点，且满足：xy0(x，yR)则当点P在以A为圆心，|为半径的圆上时，实数x，y应满足关系式为()A4x
4、2y22xy1 B4x2y22xy1Cx24y22xy1 Dx24y22xy1解析如图，以A为原点建立平面直角坐标系，设AD2.据题意，得AB1，ABD90，BD.B、D的坐标分别为(1,0)、(1，)，(1,0)，(1，)设点P的坐标为(m，n)，即(m，n)，则由xy0，得：xy，据题意，m2n21，x24y22xy1.答案D二、填空题7已知圆的方程为x2y24，若抛物线过点A(1,0)、B(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是_解析 设抛物线焦点为F，过A、B、O作准线的垂线AA1、BB1、OO1，则|AA1|BB1|2|OO1|4，由抛物线定义得|AA1|BB1|FA|
5、FB|，|FA|FB|4，故F点的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)答案 1(y0)8. 如图，点F(a,0)(a0)，点P在y轴上运动，M在x轴上运动，N为动点，且0，0，则点N的轨迹方程为_解析由题意，知PMPF且P为线段MN的中点，连接FN，延长FP至点Q使P恰为QF之中点；连接QM，QN，则四边形FNQM为菱形，且点Q恒在直线l：xa上，故点N的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线，其方程为：y24ax.答案y24ax9如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点M在AB上，且AMAB，点P在平面ABCD上，且动点P到直线A1D1的距离的平方与P到点
6、M的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xAy中，动点P的轨迹方程是_解析过P作PQAD于Q，再过Q作QHA1D1于H，连接PH、PM，可证PHA1D1，设P(x，y)，由|PH|2|PM|21，得x211，化简得y2x.答案y2x10. 曲线C是平面内与两个定点F1(1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a1)的点的轨迹，给出下列三个结论：曲线C过坐标原点；曲线C关于坐标原点对称；若点P在曲线C上，则F1PF2的面积不大于a2.其中，所有正确结论的序号是_解析 曲线C经过原点，这点不难验证是错误的，如果经过原点，那么a1，与条件不符；曲线C关于原点对称，这点显然正确，如果在某点处|P
7、F1|PF2|a2，关于原点的对称点处也一定符合|PF1|PF2|a2；三角形的面积SF1F2P2，很显然SF1F2P|PF1|PF2|sinF1PF2|PF1|PF2|.所以正确答案 三、解答题11.如图，已知F(1,0)，直线l：x1，P为平面上的动点，过点P作l的垂线，垂足为点Q，且 .求动点P的轨迹C的方程解 法一：设点P(x，y)，则Q(1，y)，由，得(x1,0)(2，y)(x1， y)(2，y)，化简得C：y24x.法二：由，得()0，()()0，220.|.点P的轨迹C是抛物线，由题意，轨迹C的方程为y24x.12设椭圆方程为x21，过点M(0,1)的直线l交椭圆于A，B两点，
8、O为坐标原点，点P满足()，点N的坐标为，当直线l绕点M旋转时，求：(1)动点P的轨迹方程；(2)|的最大值，最小值解(1)直线l过定点M(0,1)，当其斜率存在时设为k，则l的方程为ykx1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知，A、B的坐标满足方程组消去y得(4k2)x22kx30.则4k212(4k2)0.x1x2，x1x2.P(x，y)是AB的中点，则由消去k得4x2y2y0.当斜率k不存在时，AB的中点是坐标原点，也满足这个方程，故P点的轨迹方程为4x2y2y0.(2)由(1)知4x22，x而|NP|222232，当x时，|取得最大值，当x时，|取得最小值.13在平面直角坐
9、标系xOy中，椭圆E：1(a0，b0)经过点A，且点F(0，1)为其一个焦点(1)求椭圆E的方程；(2)设随圆E与y轴的两个交点为A1，A2，不在y轴上的动点P在直线yb2上运动，直线PA1，PA2分别与椭圆E交于点M，N，证明：直线MN通过一个定点，且FMN的周长为定值解(1)根据题意可得可解得椭圆E的方程为1.(2)由(1)知A1(0,2)，A2(0，2)，P(x0，4)为直线y4上一点(x00)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PA1方程为yx2，直线PA2方程为yx2，点M(x1，y1)，A1(0,2)的坐标满足方程组可得点N(x2，y2)，A2(0，2)的坐标满足方程组可得由
10、于椭圆关于y轴对称，当动点P在直线y4上运动时，直线MN通过的定点必在y轴上，当x01时，直线MN的方程为y1，令x0，得y1可猜测定点的坐标为(0,1)，并记这个定点为B.则直线BM的斜率kBM，直线BN的斜率kBN，kBMkBN，即M，B，N三点共线，故直线MN通过一个定点B(0，1)，又F(0，1)，B(0,1)是椭圆E的焦点，FMN周长为|FM|MB|BN|NF|4b8，为定值14已知向量a(x，y)，b(1,0)，且(ab)(ab)(1)求点Q(x，y)的轨迹C的方程；(2)设曲线C与直线ykxm相交于不同的两点M、N，又点A(0，1)，当|AM|AN|时，求实数m的取值范围解(1)由题意得ab(x，y)，ab(x，y)，(ab)(ab)，(ab)(ab)0，即(x)(x)yy0.化简得y21，Q点的轨迹C的方程为y21.(2)由得(3k21)x26mkx3(m21)0，由于直线与椭圆有两个不同的交点，0，即m2m2，解得0m0，解得m，故所求的m的取值范围是.(ii)当k0时，|AM|AN|，APMN，m23k21，解得1m1.综上，当k0时，m的取值范围是，当k0时，m的取值范围是(1,1).
