1、1例1.某系统的结构图如图所示。试求系统的传递函数 。 sRsC总总 复复 习习 题题21.解：3456 1sRsCsG所以提示：提示：本题用等效变换法做较复杂。主要困难可能出现在分支点和相加点互相移动时（本例中的第一步变换），其移动的思路大致是：（参考图a）当原图的反馈点（即分支点）A前移到 点时， 点的反馈值比在A点反馈少了 ，为了保证变换的等效性，需在相加点 处加以补偿，大小为 ，于是有了图a。下例的变换也是这个思路，碰到这类分支点和相加点需要相互移动的题目，可用梅逊公式求解较为简单。 AA sRsB sRs71k2ka例2. 图(a)为系统结构图，图(b)为某典型单位阶跃响应。试确定，
2、和 的值。08 . 0t0 . 218. 2 ty（b）（a）系统结构图 （b）阶跃响应曲线8 2221kasskksRsY skasskksRkasskksY122212221 21limlim122210kskasskkstyyst nnssassksG222aknn222所以又因为所以2. 解： 因为921%9%1002218. 2%e608. 0218 . 0nptsradn946. 4据题意知解得解得463.2422k014. 6946. 4608. 022na提示：提示：该例显示了由动态性能指标求系统参数的方法。故10例3. 系统的结构图如图所示，试判别系统的稳定性。若不稳定求在S
3、右半 平面的极点数。11 22245ssss02245sss系统的特征方程为看出特征方程的系数不全为正，所以系统是不稳定的。为了求出S右半平面的极点数，列劳斯阵如下： 2016200080202101012345ssssss0224s第三行元素全为零，对辅助方程求导得083s3. 解：系统的闭环传递函数为12 可用8，0替换第三行0，0；第四行第一列元素为零；用小正数 替换0，继续排列劳斯阵。 劳斯阵第一列元素变号一次，说明特征方程有一个正根。劳斯阵有一行元素全为零，说明可能有大小相等、符号相反的实根；或一对共轭虚根；或对称于虚轴的两对共轭复根。解辅助方程得：0112224jsjssss011
4、2jsjssss这样特征方程可写为1sjs js1s2s可见，系统在S右半平面有一个根 ，在虚轴上有两个根 ， ，在S左半平面有两个根 ， 。，提示：该例显示了用劳斯判据是系统稳定性的方法。讨论了两种特殊情况 （劳斯阵某行元素全为零和第一列某元素为零）下劳斯阵的组成方法。13 sG0106423sss例4.闭环控制系统的结构图如图所示。试求满足下列两个条件的三阶开环传递函 数 ，应满足的条件: (1)由单位阶跃函数输入引起的稳态误差为零； (2) 闭环系统的特征方程为 。14 sGssGsRsE111 011lim0sGssesss由题意知稳态误差为 sGs0lim sG cbsassksG2
5、 kcsbsasksGsGs231所以设则闭环系统传递函数为则 分母的常数项应为零。4. 解：由单位阶跃引起的误差为15010642323ssskcsbsas1a4b6c10k 21046G ss ss特征方程式为比较系数得即，16 500520000ssssG%st试计算闭环系统的动态性能指标 和 。例5. 某单位反馈随动系统的开环传递函数为175. 解：这是一个高阶系统，我们注意到极点离虚轴的距离较极点离虚轴远的 多，这个极点对闭环系统瞬态性能的影响很小，因此，可以忽略该极点， 而使系统近似为二阶系统。近似原则如下： 保持系统的稳态值不变； 瞬态性能变化不大。根据这个原则，原开环传递函数近
6、似为 5401500540500520000sssssssssG 2222240540nnnsssss近似后的闭环传递函数为18395. 0325. 652402nnn所以%26%100%21e时当时当26 . 1452 . 13nnst提示：提示：该例显示了高阶系统近似为二阶系统的方法，请注意近似原则。则1901. 0例6已知系统闭环根轨迹和反馈通路的零、极点分布如图的(a)和(b)所示， 试确定闭环存在重极点情况下的闭环传递函数，此时反馈通路根轨迹 增益为 。 sH图 根轨迹和 的零、极点分布20212ssskGH21kkk1k2k 122ssksH其中 ， 为前向通路的根轨迹增益； 为反
7、馈通路的根轨迹增益。6. 解：由图(a)可知系统的开环传递函数为由图(b)知因此，系统结构如图所示。09. 0618. 1618. 0382. 02122sssk由幅值条件知，分离点处2101. 02k91k由已知条件知在分离点处因此，有2 mn382. 02382. 021s236. 11s由 ，可知闭环极点之和等于开环极点之和，将分离点 代入得09. 0k382. 0382. 0236. 1 由此可知，当 时，闭环系统有重根极点，且三个极点为 ， 和 ，于是 221382. 0236. 119382. 0236. 11ssssssks22提示提示:（1）系统开环根轨迹增益为前向通路根轨迹增
8、益和反馈通路根轨迹 增益的乘积。 （2）系统闭环根轨迹增益等于前向通路的根轨迹增益。 （3）系统的闭环零点由前向通路传递函数的零点和反馈通路传递函 数的极点所组成。23 42sssksGkk5 . 0k例7已知单位反馈系统的开环传递函数为（1）画出系统的根轨迹；（2）确定系统呈阻尼振荡瞬态响应的 值范围；（3）求产生持续等幅振荡时的 值和振荡频率；（4）求主导复数极点具有阻尼比为 时的 值和闭环极点。244, 2, 02342a0, 2312180ka于是，渐近线与实轴交点为 。7. 解：（1）画根轨迹 该系统有三条根轨迹，开环极点为 。 求渐近线0k60a1k180a当 时当 时 1sP 4
9、2ssssQ 0sQsPsQsP， 求分离点：由开环传递函数知 ， 代入方程081232ss有25155. 122, 1s155. 31s845. 02s901 . 3422222sssk不在根轨迹上，舍去。分离角为 。根据幅值条件可求出分离点处的增益，是分离点， 08623kssssfkskskss0123648681 根轨迹与虚轴的交点 特征方程为劳斯表为2648k04862s83. 22, 1js当 时，辅助方程为解得根轨迹如图所示。27481 . 3 k（2）当 时，系统闭环主导极点为一对共轭复数极点，系统瞬态响应为 欠阻尼状态，阶跃响应呈阻尼振荡形式。48k83. 2n（3）当 时，
10、系统有一对共轭虚根，系统产生持续等幅振荡， 。605 . 0cos160138. 1675. 02, 1js（4）阻尼角 ，解方程或由图可知阻尼角为 的主导极点2 mn 686. 442213sss634. 842111sssk根据幅值条件知由于 ，因此闭环极点之和等于开环极点之和，另一个闭环极点为28例8. 最小相角系统对数幅频渐近特性如图所示，请确定系统的传递函数。29lg20)(vL0v8. 解：由图知在低频段渐近线斜率为0，因为最小交接频率前的低频段 ，故 。渐近特性为分段线性函数，在各交接频率处， 渐近特性斜率发生变化。 1 . 0decdB20处斜率变化 ，属一阶微分环节。 1de
11、cdB202decdB203decdB204decdB20在 处斜率变化 ，属惯性环节。在 处斜率变化 ，属惯性环节。在 处斜率变化 ，属惯性环节。在 处斜率变化 ，属惯性环节。30 111111 . 04321sssssKsG因此系统的传递函数具有下述形式4321,K式中， 待定 30lg20K62.31105 . 1K由 得 。k)(,AAL)(,BBL因渐近线特性为折线，相邻的两交接频率间，渐近特性为直线，故若设斜率为 ， 、 、为该直线上的两点，则有直线方程BABAkLLlglg)()(或BABALLklglg)()(3111lg101 . 0lglg30402011316. 01确定 ： ，所以确定 ： ，所以444lg25lg100lg056054.8243确定 ： ，所以34lglg2054081.3424371032确定 ： ，所以23lglg402020481. 32413102于是，所求的传递函数为 154.82181.341481. 31316. 011 . 062.31ssssssG
