1、第一章 张量分析初步第一章 张量分析初步n本章学习目的 引入最基本的张量概念，为今后学习应变张量、应力张量、广义虎克定律和弹性波方程等专业概念及运算做准备。是本门课的数学基础。n已学习过的物理量标量？向量？n有了标量标量和向量向量是否足够描述自然现象？ 333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa如何用一个最简单的式子来表示？ 1?2n用矩阵？n还有更简单的表示方法吗?n可总结为： aij, xj, bi是些什么量？ijijbxa1.1 指标记号及两个特殊符号 n指标记号空间有个坐标系OXYZ，P (x, y, z)是其中的一点，坐标为
2、：x, y ,z直角坐标系中的基向量： 并两两正交垂直坐标轴代号x, y, z可否用别的符号进行代换呢？用xx1, yx2, zx3则P (x, y, z)P(x1,x2,x3)基向量同样可以做如下代换：OyxzP(x, y, z)321,ekejeiX2X1OX3P(x1, x2, x3)再对上述代换结果进行简写P点改写为：P(x1,x2,x3)P(xi, i=1,2,3)P(xi)基向量：ei, i=1,2,3 ei则称上述字母i为指标，i的取值i=1,2,3为指标i的取值范围，使用上述指标简写表达式的方式称为指标记号。注意：指标记号只是一种人为规定的简写方式，是一种约定俗成，如同结绳记事
3、，并不是什么高深的东西。n向量的指标记号原直角坐标系下的向量在新直角坐标系中可表示为kzj yi xpo332211exexexpo书写成求和的方式： 为了不每次都书写求和符号，简化书写做如下约定：n如果在数学表达式内的任一项中，有某个指标重复重复出现一次出现一次(出现两次)，就表示对该指标在其取值范取值范围内围内取一切值，并对对应项对应项进行求和求和。n如果重复出现如果重复出现多于一次多于一次(出现两次以上)，因为没有，因为没有进行定义，所以没有意义，进行定义，所以没有意义，！则向量OP在新坐标系内可写为31iiiexpo3 , 2 , 1,iexpoii3 , 2 , 1,iexpoii提
4、示: 求和约定同样是人为规定，就像“+”两边的数要相加一样，仅仅是因为创造此记号法的人这么规定而已 ，没有什么神秘的地方！谁创造了求和约定? Einstein (爱因斯坦)n则前述方程组也可用求和约定进行表达n上式中i和j有何不同? 在每一项中i只出现了1次，j出现了2次，表示求和的只有j指标。i？j？333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa3 , 2 , 1,jibxaijij哑批标：在同一项中重复出现一次(即出现两次)、从而对其应用求和约定的指标称为哑指标。 如上式中的j指标。自由指标：同一项中不重复出现(即只出现一次)，因而不
5、约定求和的指标称为自由指标。如上式中的i指标。n可否将上式表示成如下形式？n指标记号的特点：a)哑指标只是表示约定求和，与用什么字母表示无关；kjijbxajjijbxa3 , 2 , 1,jibxAijij3 , 2 , 1,mibxAimimb)在同一表达式中，每一项必须出现相同的自由指标；c)自由指标的个数决定简写方程代表的实际方程的个数，可用3n次方来求代表的方程数；此时n为自由指标的个数； d)哑指标的个数决定了该项所代表的实际求和项的项数，可用3n次方来求代表的方程数；此时n为哑指标的个数；n如果研究的问题是二维问题，而不是三维问题，如何使用指标记号？kjicbaijicbajji
6、cbaP(x,y) P(x1,x2)P(x, =1,2)向量OP表示为：OP=x1e1+x2e2求和表示为：n每次还要书写取值范围，太烦！对取值范围进行约定：用拉丁字母(i, j, k等)书写的指标其取值范围是1,2,3； 用希腊字母(,b等)书写的指标其取值范围是1,2。2 , 1,2 , 1,21exPOexPOiiexpo ijijbxAexpo OP用希腊字母表示的自由指标的个数决定简写方程代表的实际方程的个数，可用2n次方来求代表的方程数；用希腊字母表示的哑指标的个数决定了该项所代表的实际求和项的项数，可用2n次方来求代表的项数；例题1.Qii, S展开？步骤：分析i,指标类型？字母
7、类型？再展开2.写出a=Aijbicj的展开式。3.写出 的展开式。4.写出 的展开式。5.?写出 的展开式。6.?写出 的展开式。jjiintijjkikbb)(21ijjiijxuxueijijew21两个特殊符号 n两个特殊符号 为书写的方便，可以使用kronecker符号和排列符号简化书写。 nkronecker符号定义如何理解kronecker符号jijiij0101322331132112332211阶的单位矩阵表示的是一个 3ij100010001ijnKronecker符号的特点： a)Kronecker具有对称性. b)Kronecker可表示为基向量的点乘.c) d) 如何
8、证明?两种方式:u将左式展开，再给定每一个i值，求左右是否相等；u只有当i=j时ij才不等于“0”， e) 证明同上。f) jiijjiijee3332211iiiijjaaiiiiiiijjaaa)(不求和ijkikjikkjAAAijkjikn排列符号定义：如何理解：数字排列沿顺时针方向旋转取1； 数字排列沿逆时针方向旋转取-1； 中任两取值相同时当的奇排列时为当的偶排列时为当kjikjikjieijk,3 , 2 , 1,3 , 2 , 1,0111312231123eee1213321132eee123eijk不同排列次序间的关系 只要旋转的方向相同则取值符号相同，否则取值符号相反，任
9、两个字母取值相同则取“0”值！n排列符号的几点重要结论：kjiikjjikkijjkiijkeeeeeeijkkijkjieeeekijkjikeebaba )(kmjnknjmimnijkeeknijnijkee26ijkijkee证明见例题neijk与ij间的关系kijkjieeee:由排列符号的性质ijkkjieeee.,.,列式形式表示成其三个棱的行平行六面体的体积可以由矢量分析知另外体的体积其物理意义是单位立方表示的是混合积由于kjieeeijkkkkjjjiiikjieeee321321321),(),(),(321321321kkkkjjjjiiiieeeei,ej,ek为3个单
10、位基向量，i,j,k互不相等。例题;. 6;. 5;,. 4;,? . 3; 1:,. 2;,. 122kmjnknjmimnijkiiiiijjiieebaexddsdxdxdsnnnababaebbeaa证明的叉积和求向量间的叉积量试用排列符号表达基向右手坐标系中的长度为直角坐标系中向量其中证明证明为单位向量设求设向量例6证明333231232221131211)det(:AAAAAAAAAAst方法一132231331221233211231231133221332211AAAAAAAAAAAAAAAAAArqppqrrqppqrAAAeAAAe321321:,)(,行列式变号列行交换其
11、中任意两对于三阶行列式来说321321321)det(kkkjjjiiistijkAAAAAAAAAAenmlnmlnmlstlmnAAAAAAAAAAe333222111)det(通过观察,6项求和，3项为正3项为负。是否和排列符号有关？132231321331221213233211132231231312133221231332211123AAAeAAAeAAAeAAAeAAAeAAAeknkmkljnjmjlinimilstlmnijkAAAAAAAAAAee)det(1)det(,stststA时当取knkmkljnjmjlinimillmnijkeeknjlimkljnimkljm
12、inkmjlinkmjnilknjmillmnijkeekmjnknjmknjiimkijnimkijminkmjiinkmjniiknjmiiimnijkeeknkjjnknjjijnijkee262kkijkijkee321321321:nnnmmmiiiimne由方法二321321321nnnmmmiiiijkimnijkeeenknjnimkmjmiikijiiimnijkee0) 3(;2)2(; 3) 1 (:. 8;)()(:,? . 7jiijkijljkikljiijiiiiiiaaeeecbabcacbaeccebbeaa简捷证明证明如果1.2 坐标变换n什么是坐标变换空间
13、中同一个点在不同直角坐标系内的坐标值是不同的，这些坐标值之间的变换关系就是坐标变换。如下图，在ox1x2x3和ox1x2x3两个坐标系中，P点的坐标取值是不同的。n坐标变换类型：坐标旋转、坐标平移、坐标反射等；本门课中只讨论坐标旋转。n坐标变换在本专业的一般应用：三维地震勘探施工设计；数字图像处理、三维可视化技术；张量计算等；n二维坐标变换公式推导空间一点P，向径为dx,长度为ds在ox1x2坐标系内坐标为(x1,x2);在 坐标为 ;求两坐标间的关系?21xxo),(21xxb opx1设bcos*:1sdx 则bsin*2dsx )cos(*1bsdx)sin(*2bsdxbbbbsins
14、in*coscos*)sinsincos(cos*1dsdsdsxsincos21xxbbcossinsincos*cossin*21xxdsds2121cossinsincosxxxx2121cossinsincosxxxxbbcossinsincos设:则bbbxx bbbxx 对于三维坐标系，有：jijixxbjjiixxbn二 坐标变换系数bij的含义:,321321即轴间的夹角余弦轴与表示则位基向量分别对应两坐标系的单系和坐标旋转后的新坐标旧坐标系，oxxo，e、exxxoxxoxjiijiib),cos(jijiijeeeeb),cos(ijijjieeeeb如图有 如果给定了bi
15、j，就确定了直角坐标系的一个旋转变换，则称bij为坐标系变换系数。bij中每一行是所对应的新坐标轴单位基向量在旧坐标系中的分量； bij每一列是所对应的旧坐标轴单位基向量在新坐标系中的分量。n坐标变换系数的性质由坐标变换系数的定义知：jijieebjjiieebijjkikbb) 1 (kikieebljljeeb)()(ljlkikjiijeeeebbjkikkljliklkjlikeebbbbbbijkjkibb)2(kkiieeblljjeeblkljkijieeeebbklljkiijbbkjkiijbb?jiijbb1)det()3(333231232221131211bbbbbbb
16、bbbij由矢量分析知，单位体积为： 1)(321eeellee11bmmee22bnnee33b)(3232nmnmeeeebblmnlnmeeee3232bb)()(321321lsmnlnmseeeeeebbbmnlnmleeee321321)(bbbrqppqreeee321321)(bbb1321rqppqrebbbrqppqrije321)det(,bbbb由于另外1)det(333231232221131211bbbbbbbbbbij333231232221131211)4(bbbbbbbbbBijjkikbbTBB1100010001:332313322212312111333
17、231232221131211bbbbbbbbbbbbbbbbbb即IBBT:即TBB1n三维坐标系内，新旧坐标变换公式的获得jjiijijixxxxbb由客观实际知，向量大小和方向与坐标系选取无关。因此，任一向量在新旧两坐标系内大小、方向相同！ iiiiexex:即有等式两边同乘以 ,jejiijiieexeexjiiijixxbijijxxbkjkjxxb母表示无关由于哑指标与用什么字kikixxijb:,得代换用将指标jijixxbn提问：n此节回顾： ?:jjiixxb如何证明),cos(jijiijeeeebjijieebjjiieebijjkikbbijkjkibbjiijbb1d
18、etijbjijixxbjjiixxb例题?,90. 132103321ijxxxooxxxoxb换系数求两坐标系间的坐标变时而成为新坐标系轴旋转绕当直角坐标系?,180? . 232103321ijxxxooxxxoxb换系数求两坐标系间的坐标变时系而成为新坐标轴旋转绕当直角坐标系?,313131. 3132321321ijoxoxoxxoxoxoeeenb求重合分别依次与旧坐标系轴坐标系的坐标轴使所得新方向旋转旧坐标系绕1.3 张量的定义n张量的定义：张量是在所给坐标系内，用一组有序数描述一个量。此量可以是物理量，也可以是几何量。在不同坐标系内，此有序数一般不同。此有序数中的每一个数必须要
19、满足坐标变换规律：根据满足变换规律的不同，可以将张量划分成不同种类。 n不同阶正交张量的定义1.零阶张量标量 如果一个量，有一个分量并满足如下变换式，则称此量为零阶张量或标量。jijixxbjjiixxb),(),(321321xxxxxx零阶张量是坐标变换下的不变量；零阶张量举例：温度，质量等。2.一阶张量向量设有一个量，它有3个有序分量，在新旧坐标系中的分量分别为 和 ，如果满足下式，则称这个量是一阶张量或向量，记为：例如：位移，速度等。3.二阶张量iaiaiaa jijiaabjjiiaab设有一个量，它有9个有序分量，在旧新两个直角坐标系内其分量分别为Tij和ijT如果满足下式,则称其
20、为二阶张量.记为也可表示成矩阵形式二阶张量举例: 应力张量, 应变张量.nn阶张量 设有一个量，有3n个有序分量，在旧新两个直角坐标系中这个量的分量分别为 和 ，如果满足：mnjnimijTTbbmnnjmiijTTbb或ijTT 333231232221131211TTTTTTTTTTTijniiiT.21niiiT.21则称这个量为n阶张量，记为例如：弹性系数张量Cijkl为四阶张量。n可以通过以上几种张量定义，判断一个量是否是张量。n张量的性质已知一个张量在某个直角坐标系内的分量分量以及直角坐标系的变换系数变换系数，则可求出该张量在另一直角坐标系内的分量。如果某个张量在某个直角系内所有分
21、量都等于“0”，则此张量在所有直角坐标系中的分量也全为“0”。nnnnnnnnjjjijiji jii ijjjjijijiii iTTTT.2122112121221121.bbbbbbniiiTT.21在直角坐标系ox1x2x3内，如果有张量Aij和Bij在旧坐标系内满足如下方程 ，旧新坐标系间的坐标变换系数为bij，则在新坐标内方程形式不变。n结论：坐标变换时张量方程的形式是不变的，这和客观物理规律是一致的。 ),(),(321321xxxBxxxAijijmnnjmimnnjmiBAbbbb),(),(321321xxxBxxxAijij例题.010001100.,023201310,
22、. 4.ker? . 3.:,. 2.:. 1321321ijijijxxxoAxxoxkronec一baba一dsb其中坐标变换系数中的分量标系试求此张量在新直角坐中为它在直角坐标系设有一个二阶张量是二阶张量符号试证阶张量为证明为一阶张量阶张量是空间中两点的距离试证.011121110,010001100.,. 5ijijijjijixxbb其中值试求其在旧坐标系中的阶张量如果已知新坐标系中二给定一坐标变换1.4 张量的代数运算n张量的相等 如果两个同阶张量在一个坐标系中的每个对应分量都相等，则称这两个张量相等。即： ，则 。n张量加(减) 两个同阶张量的和(差)仍是一个同阶张量，其分量是原
23、来两个同阶张量对应分量的和(差)。如何证明？设由旧坐标ox1x2x3到新坐标系的坐标变换系数为bij，Aij和Bij分别是两个二阶张量，证明其和也是二阶张量。证明：ijijBA BAijijijBAC n张量乘积(并积)一个r阶张量A(3r个分量)和一个s阶张量B(3s个分量)的乘积是一个rS阶的张量C。C有3r+s个分量，是A的3r个分量与B的3s个分量分别的乘积，记为mnjnimmnjnimijijBABAbbbbijmnjnimmnmnjnimijijCCBABAbbbb)(mnjnimijCCbbBAC由旧坐标系ox1x2x3到新坐标系的坐标变换系数为bij，Aij和Bijk分别是二阶
24、和三阶张量，证明其乘积是五阶张量。证明：n张量乘积运算的性质1.服从分配律，即：(A+B)C=AC+BCklmijijklmBAC:令rstmtlskrpqjqipklmijijklmBABACbbbbbijklmpqrstmtlskrjqiprstpqmtlskrjqipCCBAbbbbbbbbbbpqrstmtlskrjqipijklmCCbbbbb2.服从结合律，即：(AB)C=A(BC)3.不满足交换律，即：ABBAn张量的缩并 在r(r2)阶张量Ti1i2in中，令其任何两个指标相同，并对重复出现指标施行约定求和，称这种运算为缩并。对r2阶张量进行一次缩并运算后得结果为r-2阶张量。
25、n试证明三阶张量Aijk缩并后为一阶张量。证明：对于三阶张量，有 令j=i，有lmnknjmilijkAAbbblmnknimiliikAAbbblmnknlmiikAAbmmnkniikAAb在上式中，i和m为哑指标，只表示求和。因此，上式满足一阶张量定义。成立！n张量的内积 在r(r0)阶张量A与s(s0)阶张量B的乘积中，对分别属于张量A和张量B的指标进行一次缩并，称如此所得的r+s-2阶张量为张量A与B的内积，记为AB。对记号AB所表达内积中的缩并做一个约定约定：缩并是对A的最后一个指标和B的第一个指标进行的。nnnmmnAAAA332211mmnnnnnAAAAb332211:令nk
26、nkbbbmmnkniikAAb由n 例:T与S是二阶张量，试求它们的内积。 解：方法一 T=Tij，S=Smn 根据定义，有：TS=TijSjn 方法二 根据矢量的点乘，有n结论结论：张量的内积可以用缩并运算来表达，也可以通过两个张量点乘的方式来表达。 )()(nmmnjiijeeSeeTSTnijnijnijmmnijnmjimnijeeSTeeSTeeeeSTST)(例题.),2 , 3, 0(,310002041? . 3.),2 , 2, 1 (,130221012. 2.,2:. 1bTbTAbbAbAeeeeijijijijijijkkijijij试求内积一阶张量已知二阶张量和试
27、求内积一个向量设一个二阶张量表示的二阶应变张量张量试求用二阶应力为标量其中为表示的二阶应力张量已知用二阶应变张量1.5 商法则n由于通过坐标变换系数证明一个量是张量比较复杂，因此需要引入一种较简单的证明方式。n引例：Aijk由33个有序数组成的一个量，对于任意的一阶张量ui,vj,wk都使Aijkuivjwk是个标量，则Aijk是一个三阶张量。 证明：321321,xxxoxxox新坐标系旧坐标系321321xxxoxxoxijb:,所以有是标量因为kjiijkwvuAkjiijkkjiijkwvuAwvuAlnmlknjmikjikjiwvuwvuwvubbb:,则有为三阶张量由张量乘积知
28、所以，Aijk是三阶张量。得证！n结论：33个有序分量组成的一个量与3个向量进行内积的结果是标量，则此量是3阶张量。lnmijklknjmikjiijkwvuAwvuAbbb0)(lnmijklknjmimnlwvuAAbbb:,所以有是任意的由于kjiwvu0ijklknjmimnlAAbbbmnlkljnimijkAAbbbn引例2：Aijk由33个有序数组成的一个量，对任意的二阶张量都使其内积是一阶张量。证明：Aijk是一个三阶张量。n证明：321321,xxxoxxox新坐标系旧坐标系321321xxxoxxoxijbijijkkijijkBACBA令是一阶张量由于,pqpqrkrrk
29、rkBACCbbijjqippqrkrpqpqrkrijijkBABABAbbbb0)(ijpqrkrjqipijkBAAbbb 同样，由于Bij的任意性，所以 所以，Aijk是三阶张量。 n结论：33个有序分量组成的一个量与2阶张量进行内积的结果是向量，则此量是3阶张量。n商法则：如果任意任意的S阶张量与一组3r个有序数组成的量的内积，得到r-s阶张量，则此量是r阶张量。0pqrkrjqipijkAAbbbpqrkrjqipijkAAbbb例题n例1：ij有32个有序分量，如果对任意向量nj有ti=ijnj，其中ti是向量。则ij为二阶张量。n例2：Cijkl有34个有序分量，如果对任意二阶
30、张量eij都有ij=cijklekl，其中ij是二阶张量。则Cijkl是四阶张量。如果ekl，ij为二阶零张量，等式成立，但不可判断Cijkl为四阶张量。n通过商法则可以比较简便地判断一个量是不是张量。?坐标变换系数bij是二阶张量吗？为什么？ jijieeb1.6 几种特殊张量1.零张量所有分量全为零的张量被称为零张量。例如二阶零张量：?二阶张量在旧坐标系内是零张量，则在新坐标系内也是零张量吗？2.单位张量若二阶张量Iij=ij，则称此二阶张量Iij为单位张量，记为I。表示成矩阵形式为：000000000O100010001IjiijeeI:即零张量是零阶张量吗？单位张量性质: IA=AI=
31、A证明： 得证！AeeAeeAeeAeeAeeAIliillijlijlijkklijlkkljiij)()(AeeAeeAeeAeeeeAIAjkkjjkljkljkliijkljiijlkkl)()(3.转置张量 若A=Aijeiej，则称二阶张量性质1：证明：二阶张量性质2：kiTikTjkijTCCBABA)()()(。AeeAAjijiT的转置张量为AATT)(AATTTTABBA)(ijijjijijkiijkjiijkkijjiijkkjikkTjiijTeAaeAaeAaeeAeaAaeaAeaAeaeeAA)()()()(ikjkijCBABACBA:,令由商法则为二阶张量因
32、为kijikjTTCABABn逆张量 如果二阶张量A、B各自分量所构成的行列式都不等于零，且AB=BA=I，则A, B互为逆张量，记为A = B-1，B = A-1。n正交张量 如果AAT= ATA = I，则称A是正交张量。显然，对正交张量有A -1= AT。n对称张量及反对称张量如果二阶张量Aij=Aji，则称此二阶张量A为对称张量。二阶对称张量仅6个独立分量。 若四阶张量Bijkl=Bkjil，则称此张量关于指标i,k对称。 如果二阶张，Cij=-Cji则称此二阶张量C为反对称张量。二阶反对称张量仅3个独立分量。 若四阶张量Bijkl=-Bkjil，则称此张量关于指标i,k反对称。 n性
33、质张量的对称性质和反对称性质不因坐标系变换而改变。 任一个二阶张量都可以唯一地表示为一个对称张量与一个反对称张量的和。 )(21)(21jiijjiijijAAAAA)(21jiijijAAC令)(21jiijjiAACjiijCC Cij为对称张量，Dij为反对称张量。3.如果两个张量进行两次内积，而一个张量关于这两个内积指标是对称的，另一个张量关于这两个内积指标是反对称的，则内积等于零。 如：设三阶张量Aijk关于指标i,j是对称的，二阶张量Bij关于指标i,j是反对称的，求AijkBij的值。)(21jiijijAAD令)(21)(21jiijijjijiAAAADjiijDD解： Ai
34、jkBij=0? 试证：对于任意的二阶对称张量Tij，有eijkTij=0.证明：jijikijijkBABAijijkjiijkijijkBABABA02ijijkBAjikijkeeijjikijijkTeTe互换哑指标i, j，有：jiijjiijkijijkTTTeTe又,0ijijkTe5.各向同性张量 如果一个张量的每个分量都是坐标变换下的不变量，则称此张量为各向同性张量。零阶各向同性张量：所有的零阶张量都是各向同性张量。一阶各项同性张量：iieaa 设一阶各向同性张量iiiieaea:则jijiaab又iiaaa,为各向同性张量又jijiaab0)(0)(jijijjijijja
35、aabb 又因为ij-bij不一定为零 所以，零向量是唯一的一阶各向同性张量！n二阶各向同性张量0ia,为二阶各向同性张量设ijAAmnjnimijAAbbijijAA 由于mnjnimijAAbb0)(mnjnimjnimAbbijijaA经推导n三阶各向同性张量n四阶各向同性张量mnlkljnimijkBBBbbb有设三阶张量 ,ijkijkBBB:,有为和向同性时当0)(mnlkljnimkljnimBbbbijkijkeBb:,有经推导pqrslskrjqipijklCCCbbbb:, 有设四阶张量ijklijklCCC:,有为四阶各向同性时当pqrslskrjqipijklCCbbb
36、b)(jkiljlikklijijklC例题.122254402. 2.:. 1称张量之和分解成对称张量和反对将二阶张量改变而改变对称性不因坐标系的二阶张量的对称性与反证明ijT1.7 二阶张量的特征值和特征向量 n特征值和特征向量的定义当一个二阶张量T与任意向量a内积时，结果为向量b。即： 对于所有分量都是实数的二阶张量T，如果存在非零向量n，经T变换后所得的向量仍平行于n。即：其中为标量，则称为二阶张量T的特征值(主值)，称n为二阶张量T与对应的特征向量(主向量)，称n的方向为T与对应的特征方向(主方向)。baT?同向吗与babannTijijnnT或n特征值、特征向量的性质张量T及n的分
37、量Tij及nj都与坐标系的选取有关；特征值是个标量，因而与坐标系的选取无关；如果n是T与对应的特征向量，则与n平行的任何一个向量an(a为实数)都是T与同一特征值相对应的特征向量。 n特征值和特征向量的求法 对已给的二阶张量Tij设其特征值及其对应的特征向量为及n (n=niei，nini=1）上式可表示成如下的线性齐次方程组: ijijnnT0)(jijijnT 0)(0)(0)(333232131323222121313212111nTnTnTnTnTnTnTnTnT如果上式方程组有非零解，则其系数行列式必为零。即:0|ijijT0333231232221131211TTTTTTTTT展开
38、上式，可得到关于的三次方程023 )det()(21,ijijijjjiiiiTTTTTT其中.023的特征方程为则称式ijT求解出上式的根就求解出Tij的特征值，再代入 10)(iijijijnnnT就可以求出所对应的特征向量n。 n 由于二阶张量的特征值是标量，与坐标系选取无关。则特征方程中的I、II、III三个系数也与坐标系的选取无关。因此，分别称它们为第一第一、第二第二和第三不变量第三不变量。321133221321例题?. 3介各向同性张量表达式阶求二ijijnnT:.,:即其主方向可以任意给定来说对于二阶各向同性张量解.,为对应的主方向为对应的主值其中in0)(jijijnT0,i
39、jijiTn可任意给定由于ijijT.110121011. 1的特征值及特征向量求二阶张量ijT.1010022033. 2的主值和主方向求二阶张量ijAn二阶实对称张量的特征值和特征向量的性质二阶实对称张量的特征值都是实数；二阶实对称张量对应于不同特征值的两个特征向量必正交；二阶实对称张量总存在有三个相互垂直的主方向；沿二阶张量三个相互垂直的主方向的右手坐标系，称为主轴坐标系。 在主轴坐标系内二阶实对称张量的矩阵形式是对角形的；例题.100001010. 1的特征值及特征向量求二阶张量ijT.320230002.,. 2ijA，、坐标系内的分量写出题给量在所选主轴并选取一个主轴坐标系特征向量
40、值求下列二阶张量的特征03202300020.ijijA解2,5, 1321求特征向量10)(iijijijnnnA102200220000,1)1(2)1(2)1(2)1(2)1(1)1(1)1(3)1(2)1(3)1(2)1(11nnnnnnnnnnn时当10)1(3)1(3)1(2)1(2)1(3)1(2)1(1nnnnnnn)21210(321)1(eeen1022002200003,5)1 (2)1 (2)1 (2)1 (2)1 (1)1 (1)2(3)2(2)2(3)2(2)2(11nnnnnnnnnnn时当10)2(3)2(3)2(2)2(2)2(3)2(2)2(1nnnnnnn
41、)21210(321)2(eeen10200200000,2)1(2)1(2)1(2)1(2)1(1)1(1)3(3)3(2)3(3)3(21nnnnnnnnnn时当10?)3(1)3(1)3(3)3(2)3(1nnnnn)00(321)3(eeen选取主轴坐标系第二步,3321)3(2321)2(1321)1()00()21210()21210(xeeenxeeenxeeen为为为)3(321)2()1(00002121021210neeekjikjinn所选主轴坐标系成立000050001:321内的分量为在所选的主轴坐标系xxxoAij?,100012021. 3ijijAb系数主轴坐标
42、系的坐标变换并求出原坐标系到所选轴坐标系并选取一个主特征向量的特征值求二阶张量例.) 1 ( :求特征值解0100012021|ijijA3, 1, 13211000000220022,1)1(3)1(3)1(2)1(2)1(1)1(1)1(2)1(1)1(2)1(11nnnnnnnnnn时当1)1(3)1(3)1(2)1(2)1(1)1(1)1(2)1(1nnnnnnnn12)1(3)1(3)1(1)1(1nnnn)00(; 1,0321)1()1(3)1(1eeennn时当)02121(;21,0321)2()1(2)1(3eeennn时当1040000220022,3)3(3)3(3)3
43、(2)3(2)3(1)3(1)3(3)3(2)3(1)3(2)3(11nnnnnnnnnnn时当10)1(3)1(3)1(2)1(2)1(1)1(1)3(3)1(2)1(1nnnnnnnnn021)3(3)3(2)3(1nnn先取主轴坐标系)2()02121(321)3(eeen321)3(3321)2(2321) 1 (102121:02121:100:eeenxoeeenxoeeenxo轴轴轴)3(321)2() 1 (0212102121100neeekjinn321)3(33321) 1 (22321)2(112102121:100:02121:,eeenexoeeenexoeeene
44、xoxoxo轴轴轴轴向量互换轴向量与将重新选取主轴坐标系321)3(3321)2(2321)1(1100:010:001:eeenoxeeenoxeeenox轴轴轴0212110002121jiijeeb1.8 张量分析n在某个空间区域的每个点P，以及在某个时间间隔内的每个时刻t，都一一对应地给定张量每个分量的值，那么就给定了一个张量场张量场。 直角坐标系内某点的向量可表示为：标量场可表示为：向量场可表示为：二阶张量场可表示为：n阶张量场可表示为： n稳定场稳定场：与时间t无关的场称为稳定场。 n非稳定场非稳定场：与时间t有关的场称为非稳定场。 iiexx ),(),(txtxi),(),(t
45、xatxaaiii),(),(txTtxTTiijij),(),(.2121txTtxTTiiiiiiinn1.二阶张量场的时间导数张量场T对时间求偏导数后仍为同阶张量。2.二阶张量场的梯度 二阶张量T求梯度后为三阶张量。tTTtTTijij或kijkijxTT,:记为kkxegrad:梯度算子记为注意此处的逗号下标!3.张量场的方向导数 4.张量场的散度 TllTlT:为方向的方向导数可表示与张量场.方向上的投影的梯度在等于张量场lT)()(:jiijkkeeTxeTdivT为二阶张量场的散度定义jikkijjikkijeTeeexTdivT,)(jiijeTdivT,5.张量场的旋度 6.
46、张量场的散度定理(Gauss定理) 设空间区域V具有分片光滑封闭边界曲面S，n为S的外法向单位向量，向量场在V内具有连续的偏导数.一阶张量散度定理 )()(:jiijkkeeTxeTcurlT为二阶张量场的旋度定义likijkiljikkijeeTeeeexTcurlT,)()( 为一阶张量udvudivdsunVS二阶张量场散度定律ViiSiidvudsun,:即)( 为二阶张量场TdvTdivdsTnVSViijSijidvTdsTn,:即例题bcurlaacurlbbadivbagradgradgradx)(:,. 3)(:,. 2?,. 1试证和有向量试证和有标量散度和旋度求其梯度有一向量第一章回顾n指标记号，两个符号n坐标变换系数及性质 n张量定义 n张量的特征值，特征向量，主方向，主轴坐标系 n张量的代数运算，张量分析
