1、第二章第二章 离散时间信号的离散时间信号的时域表示时域表示第二章第二章 离散时间信号的时域表示离散时间信号的时域表示2.1 离散时间信号 2.2 典型序列与序列表示 2.3 采样过程 2.4 离散时间系统 2.5 LTI离散时间系统的时域特性2.1 离散时间信号离散时间信号2.1.1 时域表示离散时间信号又称作序列序列，这个序列称为一组样本。 典型的离散时间信号样本用xn表示，自变量n取- 到+ 的整数。离散时间信号用xn表示 xn只在n为整数时有定义！2.1.1 时域表示时域表示 对连续时间信号 以相等的时间间隔为周期抽样，也可得到离散时间序列xn：( )ax t ( )()at nTax
2、nx tx nT., 2, 1,0,1,2,.n 1TFTT：抽样间隔，抽样周期FT：抽样率2.1.1 时域表示时域表示l范数(表征离散时间信号大小) p=1为平均绝对值，p=2为均方根。p=时，定义为 ，表示绝对值的峰值。对相对误差的估计用误差的L2范数与原始信号L2范数之比表示 matlab中的中的norm(x,p)函数函数max( )xx n1( ),ppppnxx np为正整数2.1.1 时域表示时域表示 不管xn是否由连续信号抽样得到，xn都代表序列的第n个样本连续信号抽样信号数字信号抽样量化2.1.1 时域表示时域表示l长度 离散时间信号分为无限长序列，有限长序列有限长序列xn中n
3、的取值范围 为xn的长度（时宽）。12NnN211NNN2.1.2 序列的分类序列的分类 x nxn x nxn 基于对称性的分类若序列xn满足 ，则称其为共轭对称序列，实共轭对称序列为偶序列；若序列满足 ，则为共轭反对称序列，实共轭反对称序列成为奇序列。对共轭反对称序列，要求n0时样本值为纯虚数2.1.2 序列的分类序列的分类周期性序列和非周期性序列如果存在一个最小的正整数N, 满足xn=xn+N,则序列xn为周期性序列,N为周期。否则为非周期性序列。周期序列的和、积均为周期序列。（周期发生变化）模拟周期信号离散化后不一定是周期序列。2.1.2 序列的分类序列的分类l能量信号和功率信号l有界
4、序列l绝对可和序列l平方可和序列lN倍周期延拓序列周期性判断：序列周期性判断：x(n)=x(n+N)l对于正弦序列：0( )sin()x nAn, 02kNN,k为整数，k的值保证N为最小的正整数。 分情况讨论分情况讨论 00221( )kx n1）当为整数时，取，即是周期为的周期序列02s in ()8448nN0如， ， 该 序 列 是 周 期 为的 周 期 序 列0022( )PPQQkQNPx nP2） 当为 有 理 数 时 ，表 示 成，为 互 为 素 数 的 整 数取， 则，即 是 周 期 为的 周 期 序 列04425s in ()5525n0如， ， ， 该 序 列 是 周 期
5、 为的 周 期 序 列002112( )sin()844kNx nn03）当为无理数时，取任何整数 都不能使 为正整数，不是周期序列。如， ， 该序列不是周期序列序列周期性判断序列周期性判断2.1.3 序列的运算序列的运算积 是指同序号n的序列值逐项对应相乘。积的应用：调制、加窗。标量乘法 序列xn的每个样本乘以标量A产生新序列Axn1 w nx ny n2 w nAx n2.1.3 序列的运算序列的运算加 把两个序列xn和yn的样本值逐一相加得到新序列w3n应用：去噪 提高被加性噪声干扰的测量数据的质量 K次测量后总体均值：iixsd3 w nx ny n111111( )()KKKavei
6、iiiiixxsdsdKKK K足够大时，上式中噪声样本非常小 1, 01,)21(21)(nnnxn例：x(n)11/21/41/8n-2-1012y(n)1231/21/4-2-1012n0, 10,2)(nnnnyn -2-10121/43/2 3/29/425/8Z(n).0, 1)21(211,231,2)()()(nnnnnynxnznn2.1.3 序列的运算序列的运算时移 显示了xn和它的时移形式w4n之间的关系4 w nx nN4 1w nx n14 W zz X z5 1w nx n5 W zzX zN0，延时运算N0，超前运算N1，单位延时Z变换后的上式可改写为：相反为单位
7、超前运算实际中可用z(-1)表示单位延时实际中可用z表示单位超前-1012x(n)11/21/41/8.-2n11,011,)21(21)1(1,01,)21(21)(1nnnxnnnxnn2,02,)21(41)1(nnnxn即1/21/41/81x(n+1)n0-1-212.1.3 序列的运算序列的运算时间反转 如果有xn,则x-n是以n=0为对称轴将xn加以翻褶的序列。6 w nxn1, 01,)21(21)(1, 01,)21(21)(nnnxnnnxnn-1012x(n)11/21/41/8.-2n.-2-10121/81/41/21x(-n)n2.1.3 序列的运算序列的运算输出节
8、点 将一个序列分流到离散时间系统的不同部分大多数应用是采用上述基本运算的组合2.1.3 序列的运算序列的运算抽样率变换xn为抽样率FT的序列，经抽样率转换后得到抽样率为FT的新序列，则抽样率转换比定义为： R1，称为内插，提高抽样率（上抽样）。TTFRF2.1.3 序列的运算序列的运算（1） 抽取： xn xmn, m为正整数。 例如， m=2， x2n，相当于两个点 取一点；以此类推。x(2n)131/4-101x(n)1231/21/4-2-1n2.1.3 序列的运算序列的运算（2）内插： xn xn/m, m为正整数。 例如， m=2， xn/2，相当于两个点 之间插一个零点；以此 类推
9、。x(n)121/2-1 0 1nx(n/2)121/2-2 -1 0 12n。2.1.3 取样和内插取样和内插1.取样l将连续信号变成离散信号有各种取样方法，其中最常用的是等间隔周期取样等间隔周期取样，即每隔固定时间T取一个信号值，如图2-1所示。其中T称为取样周期，T的倒数称为取样频率或取样率。记为图2-1 连续信号的取样l取样定理Shannon定理( 由奈奎斯特定理所发展)l任一连续信号xa(t)，设其频谱的最高频率分量为fm，则当对它进行取样时，只要选择取样率等于或大于2fm ，就可以由这个取样序列xa (nT)来唯一准确地恢复xa (t)。 - NN)( jXc 0 - ss)(2j
10、S/T)2()(NsjXssNNs - - T1 )2()(NsjXssNNs - - T1 1()()kaaskXjXjjkT 图图2-2 连续信号取样的数学模型连续信号取样的数学模型l设有一限带信号xa(t)。当| max，它的付氏变换为Xa()。将xa(t)乘一取样函数p(t) 就得到xa(t)（戴帽），如图2.2所示。图图2-5 取样过程的时域与频域关系取样过程的时域与频域关系l最后需要说明一点：上述取样定理是理想取样，如果取样函数不是单位冲击函数序列，而是窄脉冲函数序列，则如图2-6所示(详细情况请参看相关资料)。图2-6 理想取样和非理想取样的比较2.内插l用大于奈奎斯特取样频率取
11、样低频限带信号xa(t)（对应频谱max ），则被取样信号xa(t)（戴帽）通过理想低通滤波器，只要其截止频率c满足maxc(smax)时，就可以恢复出原来信号，如图2-8所示。图图2-8 取样信号的恢复与理想低通滤波器的传输函数取样信号的恢复与理想低通滤波器的传输函数图图2-9 连续信号的内插表示连续信号的内插表示Sinc（t-nT）Xa（nT）xa(t)等于各等于各xa(mT)乘上对应的内插函数的总和！乘上对应的内插函数的总和！图图2-10 连续信号用三角形内插函数连续信号用三角形内插函数2.2 典型序列与序列表示典型序列与序列表示1.单位抽样序列(单位冲激) ( )n1-2-1012n(
12、 )n1-2-10 1mnnm1,0( )0,0nnn1,()0,nmnmnm2.2 典型序列与序列表示典型序列与序列表示单位阶跃序列 un1,0( )0,0nu nn.0 1 2 3-1nu(n)( )( )( )(1)nu nu nu n 0( )()( )(1)(2)mu nnmnnn单位抽样函数是阶越函数的微分阶跃函数是单位抽样序列的积分2.2 典型序列与序列表示典型序列与序列表示1,01( )0,NnNRn其他( )( )()NRnu nu nN.0 123-1nN-1Nu(n)10( )()( )(1)(1)NNmRnnmnnnN矩形序列( )NRn容易得到矩形序列和单位抽样序列及
13、单位阶跃序列的关系如下：2.2 典型序列与序列表示典型序列与序列表示l正弦和指数序列实正弦序列0( )cos()x nAnA，0， 是实数，分别代表正弦序列xn的振幅、角频率和相位2.2 典型序列与序列表示典型序列与序列表示l实指数序列( )na u n1,1,aa时 收敛时 发散a为实数，且当2.2 典型序列与序列表示典型序列与序列表示l复指数序列0()00( )( )(cossin)2ojnjjnnnox nex n eeeenjnnr2oNr当 时，其中N和r是正数，则复指数序列是周期为N的周期序列，满足条件的最小的N为序列的基本周期。2ofo为角频率，一般表示为2.2 典型序列与序列表
14、示典型序列与序列表示l基波和谐波若某些正弦序列的角频率是同一个正弦序列的角频率的整数倍，则称它们为谐波谐波，具有最低角频率的那个正弦序列成为基波基波，相应的角频率为基本频率基本频率。若谐波角频率为基波角频率的k倍，则称该谐波为k次谐波次谐波。任何周期序列都可以表示成基波和一系列谐波的线性加权和，即傅立叶级数2.3 典型序列与序列表示典型序列与序列表示用单位抽样序列表示任意序列( )( ) ()mx nx mnm任意序列可表示成单位抽样序列的任意序列可表示成单位抽样序列的时移时移加权和加权和.( ),( ) ()0,x nmnx mnmm其他X(n)为抽样的过程，取不同n2a3a-3 -2 -1
15、0 1 2 3 456ax(n)n6a例：n0n0n0(n-2)(n-6)(n+3)3a2a6a 时移加权和2.3 离散系统及其普遍关系离散系统及其普遍关系1.离散系统的定义l离散系统在数学上定义为将输入序列x(n)映射成输出序列y(n)的惟一性变换或运算。亦即将一个序列变换成另一个序列的系统，记为l通常将上式表示成图2-20所示的框图。图图2-20 离散系统的模型离散系统的模型2.线性非移变系统(1) 系统的线性特性l满足叠加原理的系统具有线性特性，即若对两个激励x1(n)和x2(n)有)()()()(2121nxbTnxaTnbxnaxTl(2) 系统的非移变特性系统的非移变是指系统的参数
16、不随时间而变化。用数学表示为lTx(nn0)=y(nn0)l即不管输入信号作用的时间先后，输出信号响应的形状均相同，仅是出现的时间不同，如图2-22 所示。图2-22 离散系统的非移变特性l(3) 线性非移变系统线性非移变系统就是既满足迭加原理 又具有非移变特性的系统，如图2-24所示。图2-24 线性非移变系统模型l(4) 线性卷积的计算l计算线性卷积有4种方法。l 利用两个序列的解析式直接计算式(2-34)。l 利用两个序列的移位求和，即先把一个序列倒置。每次将它向下移一步，求出两序列重叠部分乘积之和。l 用作图法求。l 卷积的Matlab实现3.系统的稳定性与因果性(1) 稳定性l对于一
17、个系统，当输入序列是有界时，其输出也是有界的，则称它是稳定系统。用数学描述则为l如果x(n)对于一切nl则y(n)对于一切nl因为l其中假设x(n)M。kkkkhMknxkhknxkhny)()()()()()(2因果性l一个系统如果其输出变化不会发生在输入变化之前，则称它是因果的。这就是说对于因果系统，如果取n0 ,当n n0时，x1(n) = x2(n),则n n0时，y1(n)=y2(n)。一个线性非移变系统当n0时的因果充要条件是其单位取样响应等于零,即lh(n)=0n0l这个充要条件可以从y（n） x(n)*h(n) 的解析式中导出。4.系统的差分方程描述l(1) 非递归型(FIR)
18、l非递归型因果系统是输出的现在值仅仅取决于输入的现在值与输入的过去值的系统输入的现在值与输入的过去值的系统。非递归，即输出对输入无反馈。因此，设在n时刻输入x(n)与输出y(n)的关系为ly(n)=f,x(n-1),x(n),x(n+1),l若系统是线性非移变的，y(n)可表示为 iiinxany)()( ai为为常常系系教教l(2) 递归型(IIR)l递归型因果系统输出的现在值不仅取决于输不仅取决于输入的现在值与过去值，还取决于输出的过去值。入的现在值与过去值，还取决于输出的过去值。ly(n)=f,x(n-1),x(n),x(n+1),l +g,y(n-1),y(n+1),l同理，在系统为线性、非移变、因果时，可推得NiiMiiinybinxany10)()()( (2.33)式式中中 ai ，bi为为常常系系数数。常系数线性差分方程常系数线性差分方程总结：线性时不变系统判断总结：线性时不变系统判断
