1、第十三章 轴对称13.4 课题学习 最短路径问题人民教育出版社义务教育教科书八年级数学（上册）人民教育出版社义务教育教科书八年级数学（上册）问题问题1相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的从图中的A 地出发，到一条笔直的河边地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然饮马，然后到后到B 地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？最短？探索新知探索新知BAl精通
2、数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题这个问题后来被称为知识回答了这个问题这个问题后来被称为“将军饮马将军饮马 问题问题”你能将这个问题抽象为数学问题吗？你能将这个问题抽象为数学问题吗？ 探索新知探索新知BAl追问追问1这是一个实际问题，你打算首先做什么？这是一个实际问题，你打算首先做什么？ 将将A，B 两地抽象为两个点，将河两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直抽象为一条直 线线 探索新知探索新知BAlPPP要想解决这个问题，我们一起先来学习相关的知识点。要想解决这个问题，我们一起先来学习相关的知识点。思考？思考？点点P在哪里
3、才在哪里才能能使使得得路程路程最短呢？最短呢？ 前面我们研究过一些关于前面我们研究过一些关于“两点的所两点的所有连线中，线段最短有连线中，线段最短”、“连接直线外连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短段最短”等的问题，我们称它们为最短等的问题，我们称它们为最短路径问题现实生活中经常涉及到选择路径问题现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识最短路径的问题，本节将利用数学知识继续探究数学中的最短路径问题继续探究数学中的最短路径问题 最短路径问题垂线段OC最短。OABCDE 如图所示，从如图所示，从A A地到地到B B地有三条路可供选择
4、，地有三条路可供选择，选走哪条路最近？你的理由是什么？选走哪条路最近？你的理由是什么？ 两点之间两点之间,线段最短线段最短FEDCBABA已知：如图，已知：如图，A，B在直线在直线L的两侧，在的两侧，在L上求一点上求一点P，使得，使得PA+PB最小。最小。 P连接连接AB,线段线段AB与直线与直线L的交点的交点P ，就是所求。，就是所求。AB思考？思考？为什么这样做就能得到最短距为什么这样做就能得到最短距离呢？离呢？根据：根据：两点之间线段最短两点之间线段最短.P如图，要在燃气管道如图，要在燃气管道L L上修建一个泵站，分别向上修建一个泵站，分别向A A、B B两镇供气，泵站修在管道的什么地方
5、，可使所两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？用的输气管线最短？P所以泵站建在点所以泵站建在点P P可使输气管线最短可使输气管线最短P P应用ABl B/P 点点P P的位置即为所求的位置即为所求. .M 作法：作法： 作点作点B B关于直线关于直线l l的对称点的对称点B B/ /. . 连接连接ABAB/ /, ,交直线交直线l l于点于点P.P.已知：如图已知：如图,A,A、B B在直线在直线L L的同一侧，在的同一侧，在L L上上求一点，使得求一点，使得PA+PBPA+PB最小最小. . 为什么这样做就能得为什么这样做就能得到最短距离呢？到最短距离呢？MA + MB
6、PA+PB 即即MA + MBPA+PB 三角形任意两边之和大于第三边三角形任意两边之和大于第三边 如图所示，要在街道旁修建一个超市，如图所示，要在街道旁修建一个超市，向居民区向居民区A、B B提供生活用品，超市应建在什么地提供生活用品，超市应建在什么地方，才能使从方，才能使从A A、B B到它的距离之和最短到它的距离之和最短 练练考点：练练考点：请你自己动手 试一试！A超市超市ABl B/P如图如图,A,A、B B在直线在直线L L的同一侧，的同一侧，P P为为L L上一动上一动点，点点，点P P在在L L上哪里使得上哪里使得PA+PBPA+PB最小？最小？P P已知：如图已知：如图A是锐角
7、是锐角MON内部任意一点，内部任意一点，在在MON的两边的两边OM，ON上各取一点上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小，组成三角形，使三角形周长最小.BCDE分析：当分析：当ABAB、BCBC和和ACAC三条边的长度恰好能够体现在三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小一条直线上时，三角形的周长最小 已知：如图已知：如图A是锐角是锐角MON内部任意一点，内部任意一点，在在MON的两边的两边OM，ON上各取一点上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小，组成三角形，使三角形周长最小.分别作点分别作点A关于关于OM，ON的对称的对称点点A，A；连接；连接A，A，分别交
8、，分别交OM，ON于点于点B、点、点C，则点，则点B、点点C即为所求即为所求ABA/B/PQ最短路线：最短路线：A P Q BA P Q BlMN如图：如图：A为马厩，为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。请你帮他确定这一天的最短路线。巩固反馈：巩固反馈：1、如图，张庄、如图，张庄A、李庄、李庄B位于河沿的同侧，现要在位于河沿的同侧，现要在河沿河沿g上修一提灌站上修一提灌站C向张庄向张庄A、李庄、李庄B提水。当提提水。当提
9、灌站修在河沿灌站修在河沿g的的C处时，所用水管最短，为处时，所用水管最短，为3千米。千米。已知已知BC的长为的长为2千米，你能在图中找出张庄千米，你能在图中找出张庄A的位的位置吗？置吗？g.提灌站提灌站C李庄李庄B2、如图，小河边有两个村庄、如图，小河边有两个村庄A,B,要在河边建一自要在河边建一自来水厂向村庄来水厂向村庄A与村庄与村庄B供水。供水。 (1)若要使厂部到若要使厂部到A,B村庄的距离相等，则应选择在村庄的距离相等，则应选择在哪建厂？哪建厂？（2）若要使厂部到）若要使厂部到A,B村的水管最省料，应建在什村的水管最省料，应建在什么地方？么地方？A村村B村村3、如图，两条公路、如图，两
10、条公路OA、OB相交，在两条公路的相交，在两条公路的中间有一个油库，设为点中间有一个油库，设为点P。如在两条公路上各设。如在两条公路上各设置一个加油站，请设计一个方案，把两个加油站设置一个加油站，请设计一个方案，把两个加油站设在何处，可使运油车从油库出发，经过一个加油站，在何处，可使运油车从油库出发，经过一个加油站，再到另一个加油站，最后回到油库所走的路程最短。再到另一个加油站，最后回到油库所走的路程最短。OP问题 2 （造桥选址问题）如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直。）ABMNab解决问题 2 作图 证明ABMNabAMNABMNabA证明证明: :ABMNabAMN练习 1、如图1，台球桌上有一个黑球，一个白球，如何用球杆去击白球使其撞到AB边反弹后再撞到黑球?2、如图2，四边形ABCD中，BAD=120，B=D=90,在BC，CD上分别找一点M、N，当AMN周长最小时，AMN+ANM的度数为多少？图 1图 2DBACABDCAANM归纳小结归纳小结（1）本节课研究问题的基本过程是什么？）本节课研究问题的基本过程是什么？ （2）轴对称在所研究问题中起什么作用？）轴对称在所研究问题中起什么作用？教科书复习题教科书复习题13第第15题题 布置作业布置作业
