1、第二章第二章 平面汇交力系平面汇交力系： 各力的作用线都在同一平面内各力的作用线都在同一平面内且且 汇交于一点的力系。汇交于一点的力系。研究方法：几何法，解析法。研究方法：几何法，解析法。例：起重机的挂钩。力系分为：平面力系、空间力系力系分为：平面力系、空间力系平面汇交力系平面汇交力系平面力偶系平面力偶系平面平行力系平面平行力系平面一般力系平面一般力系平面力系平面力系平面特殊力系平面特殊力系平面任意力系平面任意力系一、平面汇交一、平面汇交 力系的合成：力的多边形法则力系的合成：力的多边形法则A1F2F3F4F2F3F4F1RF2RFRF1Fa结论：结论： 平面汇交力系的合成结果是一个合力，合力
2、通过汇点，平面汇交力系的合成结果是一个合力，合力通过汇点，其大小可通过力的多边形法则得到，合力为多边形的封闭边。其大小可通过力的多边形法则得到，合力为多边形的封闭边。2-1 几何法几何法A1F2F3F4Fa2F1F3F4F2F3F4F1RF2RFRF1FaRF显然合力矢与各个分力的合成次序无关。显然合力矢与各个分力的合成次序无关。二、平面汇交力系的平衡条件（几何条件）二、平面汇交力系的平衡条件（几何条件）平面汇交力系的合成结果是一个合力平面汇交力系的合成结果是一个合力平面汇交力系平衡的条件为：合力平面汇交力系平衡的条件为：合力 = 0即：即：01niiRFF根据汇交力系合成的多边形法则，根据汇
3、交力系合成的多边形法则，平面汇交力系平衡的条件为：力的多边形自行封闭平面汇交力系平衡的条件为：力的多边形自行封闭（即：力的多边形的未端和始端正好重合即：力的多边形的未端和始端正好重合）PFBAhRO例题例题碾子自重碾子自重P = 20 kN，半径半径 R = 0. 6 m，障碍物高障碍物高 h = 0. 08 m，碾子中心受一水平力碾子中心受一水平力 F。求：求：（1） F = 5 kN 时，碾子对地面和障碍物的压力时，碾子对地面和障碍物的压力（2）欲将碾子拉过障碍物，）欲将碾子拉过障碍物，F 力的最小值力的最小值（3）F力沿什么方向拉动碾子最省力，此时力沿什么方向拉动碾子最省力，此时F力应为
4、多大？力应为多大？PFBAhROPFOAFBF解：以碾子为研究对象，解：以碾子为研究对象，碾子受平面汇交力系作用，处于平衡状态碾子受平面汇交力系作用，处于平衡状态（1）由碾子的平衡条件，力的多边形应自行封闭）由碾子的平衡条件，力的多边形应自行封闭PFAFBF866. 06 . 008. 06 . 0cosRhR030kNFFFB102sinkNFPFBA34.11866.01020cosR = 0. 6 mh = 0. 08 mPFBAhRO（2）碾子越过障碍物时的临界条件为：）碾子越过障碍物时的临界条件为：由此时的力的多边形，可得到由此时的力的多边形，可得到0AFkNPF55.1130tan
5、20tan0PFOAFBF0PFBFPFBFPFOAFBF0（3）当）当 F 力的方向可变化时力的方向可变化时由受力多边形可见，当拉力由受力多边形可见，当拉力 F 与与 垂直时，垂直时，拉力拉力 F 最小。最小。BFkNPF10sin20sinminminFPFBAhRO几何法解题过程：几何法解题过程：选取研究对象；选取研究对象；分析受力，画受力图；分析受力，画受力图；作力多边形或力三角形；作力多边形或力三角形；求出未知量。求出未知量。FFFXxcosFFFYycos22yxFFF一、力在坐标轴上的投影一、力在坐标轴上的投影 力 投影 X=Fx=Fcos ： Y=Fy=Fsin=F cos2-
6、2 解析法解析法注：投影的正负注：投影的正负投影 力由图可看出，各分力在x轴和在y轴投影的和分别为： XXXXRx421YYYYYRy4321YRyXRx合力投影定理：合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一 轴上投影的代数和。轴上投影的代数和。即：二、合力投影定理及汇交力系简化二、合力投影定理及汇交力系简化合力的大小：合力的大小： 方向：方向： 作用点：作用点：2222YXRRRyxxyRRtgXYRRxy11tgtg为该力系的汇交为该力系的汇交点点三、平面汇交力系的平衡方程三、平面汇交力系的平衡方程 从前述可知：平面汇交力系平衡的必要与充分
7、条件是该力系的合力为零。 即：0022yxRRR00YRXRyx为平衡的充要条件，也叫平衡方程为平衡的充要条件，也叫平衡方程由由 正负号确定所在象限正负号确定所在象限YX ,例：已知：例：已知： F1=200N, F2=300N, F3=100N, F4=250N, 求求图示汇交力系合力的大小和方向图示汇交力系合力的大小和方向。解：各分力在轴上投影的代数和为：解：各分力在轴上投影的代数和为：i xRxFF合力：合力：N.FFFRyRxR317122夹角：夹角：oRRx.).arccos(FFarccos,994075480i FRiyRyFFxyOF1F2F3F445o60o45o30oFRo
8、ooocosFcosFcosFcosF454560304321N.312970702507070100503008660200oooocosFcosFcosFcosF454530604321N.311270702507070100866030050200454545450 xF045coscosCAFF0yF045sinsinFFFCAkN 3.28kN 4.22CAFF已知已知 P = 20 kN，求平衡时杆求平衡时杆AB 和和 BC所受的力所受的力例题例题解：解：AB 、BC 都是二力杆都是二力杆取节点取节点 B 为研究对象，画受力图为研究对象，画受力图ABCDP030060BCFB1F2
9、FBAFxy030060ABCDP030060由平衡方程：由平衡方程：解得：解得：BCFB1F2FBAFxy030060 0 xF030cos60cos-21FFFRA 0yF060cos30cos21FFFBCKNFBA321. 7KNFBC32.27投影轴常选择与未知力垂直，投影轴常选择与未知力垂直，使每个方程中只有一个未知数。使每个方程中只有一个未知数。 例题：例题：四杆机构四杆机构CABD在图示位置平衡，作用有力在图示位置平衡，作用有力F1和和F2，杆重不计。求力杆重不计。求力F1和和F2的关系。的关系。ABCDF1F290o45o30o60o解：解：A、B两点的受力图两点的受力图：A
10、F1FACFABxBFBAF2FBDx 045 0 1oAB xcosFFFA6104621.FFFFBAAB 030 0 2oBA xcosFFFB注意反作用力不必再加负号注意反作用力不必再加负号2-3 平面力对点之矩的概念及计算平面力对点之矩的概念及计算力对物体可以产生 移动效应移动效应-取决于力的大小、方向转动效应转动效应-取决于力矩的大小、方向力对点之矩（力矩）的概念：力对点之矩（力矩）的概念：平面力平面力F 对对O点之矩的计算方法点之矩的计算方法：注意：注意：在平面问题中，力对点之矩为一代数量，在平面问题中，力对点之矩为一代数量，以绕矩心逆时针转动为正，反之为负。以绕矩心逆时针转动为
11、正，反之为负。 ABCMO2F的面积的面积力矩的单位：力矩的单位：mN mkN 或或OhABMo(F)FO：矩心矩心 h：力臂力臂r FhMOF力矩的性质：力矩的性质：1、当力沿其作用线移动时，、当力沿其作用线移动时， 保持不变。保持不变。 FOM2、若使、若使 则：则： 0F OM或：或：F = 0，（，（无力作用）无力作用）或：或：h = 0，（，（力通过矩心）力通过矩心）3、互为平衡的两个力对同一点的矩的和、互为平衡的两个力对同一点的矩的和 = 0OhABMo(F)FrO：矩心矩心 h：力臂力臂2-4 平面力偶理论平面力偶理论一、力偶与力偶矩一、力偶与力偶矩1. 力偶的定义力偶的定义FF
12、AB记为：记为：)F,F(2. 力力 偶偶 实实 例例 3、力偶矩、力偶矩用以衡量力偶对刚体的转动效应用以衡量力偶对刚体的转动效应平面有一对力偶，将它们对平面有一对力偶，将它们对O 点取矩点取矩根据力对点之矩，力偶对根据力对点之矩，力偶对O 之矩为：之矩为：FdM BxdOAFF dFFddxFFxFmFmMoo)()()(力偶矩与矩心无关力偶矩与矩心无关平面力偶矩平面力偶矩力偶矩的大小力偶矩的大小力偶在作用平面内的转向力偶在作用平面内的转向FdM注意：注意：力偶矩是一个代数量，正负号表示力力偶矩是一个代数量，正负号表示力偶的转向，通常以逆时针转向为正，偶的转向，通常以逆时针转向为正，反之为负
13、。单位为反之为负。单位为Nm。力偶和力一样都是最基本的力学量力偶和力一样都是最基本的力学量二、同平面内力偶的等效定理二、同平面内力偶的等效定理 在同平面内的两个力偶，如果力偶矩在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等（大小相等、转向相同），则两力偶相等（大小相等、转向相同），则两力偶彼此等效。彼此等效。 推论推论 1 1：只要保持力偶矩大小不变，力偶只要保持力偶矩大小不变，力偶可在作用面内任意移动，其对刚体的作用效可在作用面内任意移动，其对刚体的作用效果不变。果不变。FF FF 平面平面力偶等效定理的推论力偶等效定理的推论 推论推论 2 2： 保持力偶矩大小不变，分别改保持力偶矩大小不变，分别改变
14、力和力偶臂大小，其作用效果不变。变力和力偶臂大小，其作用效果不变。FF F / 2F / 2 平面平面力偶等效定理的推论力偶等效定理的推论 平平 面面 力力 偶偶 的的 特特 点点特点一：力偶无合力特点一：力偶无合力；特点二：力偶只能用力偶来平衡；特点二：力偶只能用力偶来平衡；特点三：特点三：力偶对刚体的转动效应，只与力偶对刚体的转动效应，只与力偶矩的大小和正负有关。力偶矩的大小和正负有关。力偶矩是力偶作用的唯一量度。力偶矩是力偶作用的唯一量度。力偶的表示方法：力偶的表示方法：=MMFFd三、平面力偶系的合成和平衡条件三、平面力偶系的合成和平衡条件=2F1Fd1d21F2FF2FABFdFFF
15、dM431. 平面力偶系的合成平面力偶系的合成dMF,dMF2413dFdF4321MM ABd3F3F4FF42. 平面力偶系的平衡条件平面力偶系的平衡条件01niiM充要条件：即：所有各力偶矩的代数和等于零。即：所有各力偶矩的代数和等于零。结论：结论：在同平面内的任意个力偶可在同平面内的任意个力偶可合成一个合力偶，合力偶矩合成一个合力偶，合力偶矩等于各个力偶矩的代数和。等于各个力偶矩的代数和。niiMM1 根据力偶理论，一个力偶与一个力是不可能根据力偶理论，一个力偶与一个力是不可能平衡的，平衡的，图示圆盘图示圆盘 O 为何能在力偶为何能在力偶 M 和和力力 P 的作用下保持平衡的作用下保持
16、平衡 ？平衡条件是什么平衡条件是什么 ？圆盘的半径为圆盘的半径为 r 。MOrPMPOOyF图示圆盘图示圆盘 O 为何能在力偶为何能在力偶 M 和和力力 P 的作用下保持平衡的作用下保持平衡 ？ 圆盘的中心圆盘的中心 O 处作用有一个处作用有一个垂直方向约束力，该力与力垂直方向约束力，该力与力 P 组成组成一个力偶，该力偶与力偶一个力偶，该力偶与力偶 M 保持保持平衡。平衡。PrMPFOy圆盘的平衡条件为：圆盘的平衡条件为：MOrP例题：例题：已知已知mkNM 21m.OAr50030求：系统平衡时的求：系统平衡时的2M以及铰链以及铰链 O 、B 处的处的约束力约束力1M2MABrO1M2MABrO2MABAF BFA1MOAFOFr1、对圆轮、对圆轮O 0M2、对于杆、对于杆AB2M)sinr(FA解得：解得：mkNMsinMM841212kNsinrMFFFABO811M)sinr(FA 0M当杆件除承受力偶作用外，还受二力当杆件除承受力偶作用外，还受二力作用时，该二力必形成力偶。作用时，该二力必形成力偶。力偶只能跟力偶平衡力偶只能跟力偶平衡注意注意例题：例题：求图示刚架支座求图示刚架支座A、B的约束反力。的约束反力。ABCMaaa解：AC为二力杆，受力如图。为二力杆，受力如图。aMFMaFMBB2020( )aMFA2( )BCMFBCFFAFCCA对对BC杆杆
