1、第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解第第 二章二章 控制系统状态空间控制系统状态空间表达式的解表达式的解2.1 线性定常齐次状态方程的解线性定常齐次状态方程的解2.2 状态转移矩阵的性质及计算方法状态转移矩阵的性质及计算方法2.3 线性定常系统非齐次状态方程的解线性定常系统非齐次状态方程的解2.4 线性时变系统的解线性时变系统的解2.5 离散时间系统状态方程求解离散时间系统状态方程求解2.6 线性连续系统的离散化线性连续系统的离散化第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解一、定义：一、定义： 运动的分类运动的分类1、自由运动自由运动：
2、线性定常系统在没有控制作用时，由初始：线性定常系统在没有控制作用时，由初始 条件引起的运动称自由运动。条件引起的运动称自由运动。 状态方程状态方程： 2、强迫运动、强迫运动：线性定常系统在控制作用下的运动：线性定常系统在控制作用下的运动,称为强称为强 迫运动。迫运动。 状态方程状态方程：00)(,XtXAXX强迫运动自由运动00)(,XtXBuAXX 00)(),(XtXBA0 u2.1 2.1 线性定常齐次状态方程的解线性定常齐次状态方程的解第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解二、齐次状态方程的解二、齐次状态方程的解也就是系统的自由解，是系统在没有控制输入的也
3、就是系统的自由解，是系统在没有控制输入的情况下，由系统的初始状态引起的自由运动，设情况下，由系统的初始状态引起的自由运动，设系统的状态方程的齐次部分为：系统的状态方程的齐次部分为：)()(tAxtx其中：其中： ，且初始条件为且初始条件为nnnRARtx,)()0()(0 xtxt线性定常连续系统：线性定常连续系统：Axx （1 1）幂级数法）幂级数法标量定常微分方程标量定常微分方程 的解为：的解为： 将标量齐次微分方程的解法推广到向量微分方将标量齐次微分方程的解法推广到向量微分方程中去。假设程中去。假设 的解的解X(t)为时间为时间t的向量的向量幂级数形式，即：幂级数形式，即： 第第 二章二
4、章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解Axx kktbtbtbbtx2210)(式中式中，kbbbb210都是都是n n维向量，则维向量，则xax第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解1232132)(kktkbtbtbbtx)(2210kktbtbtbbA故而有：故而有：00323021201!1! 31312121bAkbbAAbbbAAbbAbbKK且有且有0)0(bx。第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解kktbtbtbbtx2210)(kktbAktbAtAbb020200!1! 21)0()!1! 21
5、(22xtAktAAtIkk故故第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解022!1!1! 21KkkkkAttAktAktAAtIe)0()(xetxAt定义：定义：则则axx )0()(xetxat纯量微分方程纯量微分方程的解为的解为，ate称为指数函数，而向量微分方程的解在形式上称为指数函数，而向量微分方程的解在形式上teA称为矩阵指数函数。称为矩阵指数函数。 与其是相似的，故把与其是相似的，故把第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解)(tetA)(tx)0(x是由是由转移而来，对于线性定常系统，转移而来，对于线性定常系统，teA又
6、有状态转移矩阵之称，并记作又有状态转移矩阵之称，并记作)(t，即：，即：状态转移矩阵状态转移矩阵)0()(xetxAt将将 两端取拉氏变换，有两端取拉氏变换，有（2）拉普拉斯变换法：）拉普拉斯变换法： 0 xsxAsI 01xAsIsx 011xAsILtx11AsILeAtAxx )()0()(sAxxssx第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解xx0010【例】【例】 已知系统的状态方程为已知系统的状态方程为 ，初始条件为初始条件为 ，试求状态转移矩阵和状态，试求状态转移矩阵和状态)0(x方程的解。方程的解。解：（）求状态转移矩阵解：（）求状态转移矩阵kkAt
7、tAktAAtIet!1! 21)(220010A000032nAAA此题中：此题中：，第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解所以所以1010001001)(ttAtIetAt)0(101)0()(xtxetxAt ）状态方程的解）状态方程的解【例】【例】 已知系统状态方程为已知系统状态方程为 ，第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解xx3210) 0 ( x初始条件为初始条件为，试求状态方程的解。，试求状态方程的解。解：解：)0()(xetxAt321321000ssssAsI 第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态
8、空间表达式的解2211221221112112213)2)(1(1)(1ssssssssssssAsIttttttttAteeeeeeeeAsILet2222112222)()()0(2222)0()(2222xeeeeeeeexetxttttttttAt 故而故而 第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解2.2 2.2 状态转移矩阵的性质及计算方法状态转移矩阵的性质及计算方法)(tetA)(tx)0(x是由是由转移而来，对于线性定常系统，转移而来，对于线性定常系统，teA又有状态转移矩阵之称，并记作又有状态转移矩阵之称，并记作)(t，即：，即： )(00)(ttA
9、ett)(0tx若初始条件为若初始条件为，则状态转移矩阵记为：，则状态转移矩阵记为：一、一、状态转移矩阵状态转移矩阵1 1）状态转移矩阵的性质）状态转移矩阵的性质第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解二、状态转移矩阵的性质二、状态转移矩阵的性质)()()(tt)(tteeeAAA)()()(0()0(ttt性质一性质一 或或这是组合性质，它意味着从这是组合性质，它意味着从- -转移到转移到0 0，再从，再从0 0转转移到移到t t的组合，即的组合，即: 第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解IIA )()(ttett性质二性质二 上述
10、二性质可由定义得到证明。上述二性质可由定义得到证明。本性质意味着状态矢量从时刻本性质意味着状态矢量从时刻t又转移到时刻又转移到时刻t ，显然，状态矢量是不变的。显然，状态矢量是不变的。)()(1tttteeAA1性质三性质三 或或这个性质是，状态转移矩阵的逆意味着时间的逆这个性质是，状态转移矩阵的逆意味着时间的逆转；利用这个性质，可以在已知转；利用这个性质，可以在已知x(tx(t) )的情况下，的情况下，求出小于时刻求出小于时刻t t的的x x(t t0),( t0t) )()()()()()0(1ttItttt第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解AA)()()
11、(tttAAAAAttteeedtd这个性质说明，这个性质说明， 或或e eATAT矩阵和矩阵和A A矩阵是可以矩阵是可以交换的。可由交换的。可由 得到得到A A)(t性质四性质四对于状态转移矩阵，有对于状态转移矩阵，有 或或 A)0()(t第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解)()()()()(122121tttttt令令 便可证明便可证明 21ttt该性质表明该性质表明 可分解为可分解为 与与 的乘积，的乘积，且且 与与 可交换相乘。可交换相乘。 )(21tt )(1t)(2t)(1t)(2t性质五性质五第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态
12、空间表达式的解性质六性质六)()()(011202tttttt)()()(0022txtttx)()()(0011txtttx)()()()()()(001121122txtttttxtttx 证明：证明：(1) (2) (3) 比较（比较（1）、（）、（3）式，有）式，有)()()(011202tttttt成立。成立。第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解根据这一性质，可把一个转移过程分为若干个小根据这一性质，可把一个转移过程分为若干个小的转移过程来研究。如下图的转移过程来研究。如下图: :第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解)(
13、)(kttk性质七性质七)()()()(kteetktAkAtk性质性质八八若矩阵若矩阵A，B可交换，即可交换，即ABBA，那，那么么 ，否则不成立。，否则不成立。 BtAttBAeee )(第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解根据定义，根据定义， 比较上述两展开式比较上述两展开式t t的各次幂的系数可知，当的各次幂的系数可知，当ABABBABA式，式， BtAttBAeee )(第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解三、几个特殊的状态转移矩阵三、几个特殊的状态转移矩阵1 1）nnA00121ttttAtnneeeeet00)(12
14、1第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解2)2)111101101A100)!2(110)!1(1! 2112121mmtAttmttmttee第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解3 3）若矩阵）若矩阵A A为一约当矩阵，即为一约当矩阵，即jAAAJA002112jAtA tAtA teeee第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解4 4）若矩阵）若矩阵A A通过非奇异矩阵通过非奇异矩阵P P化为对角线矩阵，即：化为对角线矩阵，即：APP1, ,则：则：1PPeetAt5) 5) 若若wwA，则：，则：t
15、Atewtwtwtwtecossinsincos第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解ttttttttAteeeeeeeee22222222)(1t【例】【例】 已知状态转移矩阵为已知状态转移矩阵为 试求试求和和A A。解：（解：（1 1）根据状态转移矩阵的性质）根据状态转移矩阵的性质3 3，可知，可知 tttttttteeeeeeeett222212222)()(第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解（2 2）根据状态转移矩阵的性质）根据状态转移矩阵的性质4 4，可知，可知 32100442222)0(2222teeeeeeeeAt
16、ttttttt第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解4401101AAtettttttttttAteteeetteeetetteeet000002106121)(232【例】【例】 已知已知 试求状态转移矩阵试求状态转移矩阵解：根据特殊状态转移矩阵的特点，可知解：根据特殊状态转移矩阵的特点，可知 。第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解ttttsincos0cossin0001I)0(Ittttt0101000010sincos0cossin0001【例】【例】 验证如下矩阵是否为状态转移矩阵。验证如下矩阵是否为状态转移矩阵。 解：利
17、用性质解：利用性质2 2 所以该矩阵不是状态转移矩阵。所以该矩阵不是状态转移矩阵。，第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解 Axx 11)0(xtteetx22)(12)0(xtteetx2)(Ate【例】【例】 已知系统状态方程为已知系统状态方程为， 当当时，时，当当时，时，试求系统矩阵试求系统矩阵A A和状态转移矩阵和状态转移矩阵)0(A)0()(xetxAt1121222Attttteeeee解：由性质解：由性质4 4可知：可知：由已知，有由已知，有 第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解112121121222122ttttt
18、tttAteeeeeeeeetttttttteeeeeeee222222223120424222)(022220tttttttttteeeeeeeetA 第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解2 2）状态转移矩阵的计算方法）状态转移矩阵的计算方法1. 1. 直接法直接法iiAttAitAAtIe!1! 2122. 2. 拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法11)()(AsILetAtAPP11PPeetAt3. 3. 化矩阵化矩阵A A为标准型法为标准型法第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解4. 4. 化矩阵指数化矩阵指数Ate为为A A的
19、有限项。的有限项。nnnnaaaAIf111)(，则则A A满足满足0)(111nnnnaAaAaAAf1)Cayley-Hamilton1)Cayley-Hamilton定理定理设设n n阶矩阵阶矩阵A A的特征多项式为：的特征多项式为：其特征方程，即其特征方程，即: :第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解10)(nmmmAtAtae)(,),(),(110tatatan可表示为可表示为A A的的Ate) 1( n状态转移矩状态转移矩阶多项式阶多项式 式中，式中，均为幂函数。均为幂函数。 推论推论2 2）化）化Ate为为A A的有限项的有限项112210)()
20、()()(nnAtAtaAtaAtaItae第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解3)3)(tai的计算。的计算。(1) A(1) A的特征值互异时。的特征值互异时。tttnnnnnnnneeetatata211121222211211110111)()()(第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解(2)A(2)A有重特征值时有重特征值时ttttmtmnnnnnnmmmmnnmmnmeeeetmetmtatatatata1111211132113121111312111110)!2(1)!1(111100010000)()()()()(
21、第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解【例【例】已知已知 求求解：解：0110AAte3322! 31! 21tAtAAtIeAt2200! 21001001tttt00! 3133tt1. 1. 直接法直接法kkkAttAktAtAAtIe03322!1! 3! 2第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解 ! 4! 21! 5! 3! 5! 3! 42142535342ttttttttttttttcossinsincos第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解! 33210! 232103210100133
22、22tttetA32323232252731373267231ttttttttttt3210AteA【例【例】已知已知，求，求解解: 第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解2. 2. 拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法11)()(AsILetAt【例】已知【例】已知3210AteA，求，求 321sssAI解解 第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解2211221221112112)2)(1()2)(1(2)2)(1(1)2)(1(3sssssssssssssssssssssssadjss213)2)(1(1)(1)(1AIAIAI所以所以
23、 ttttttttteeeeeeeese222211 -222)(AIA第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解APP11PPeetAt3. 3. 化矩阵化矩阵A A为标准型法为标准型法 类似地，若矩阵类似地，若矩阵A A可变换为可变换为JordanJordan标准形，标准形，则则e eAtAt可由下式确定出可由下式确定出: : e eAtAt = = PePeJtJt P P11 若可将矩阵若可将矩阵A A变换为对角线标准形，那么变换为对角线标准形，那么e eAtAt可由下式给出可由下式给出: : 第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的
24、解【例】已知【例】已知3210AteA，求，求12100PeePettAt2, 121第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解 ttttttttttttttAteeeeeeeeeeeeeeePP2222222121222211122111200211111121112211111第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解【例【例】考虑如下矩阵考虑如下矩阵331100010A解解 该矩阵的特征方程为该矩阵的特征方程为0) 1(133|323AI因此，矩阵因此，矩阵A A有三个相重特征值有三个相重特征值=1=1。可以证明，。可以证明，矩阵矩阵A
25、 A也将具有三重特征向量（即有两个广义特征也将具有三重特征向量（即有两个广义特征向量）。易知，将矩阵向量）。易知，将矩阵A A变换为变换为JordanJordan标准形的变标准形的变换矩阵为换矩阵为第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解 矩阵矩阵P P的逆为的逆为121011001P1210110011P第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解于是于是JAPP1001100111210110013311000101210110011第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解注意到注意到tttttttJeteee
26、tteee000212可得可得eAt = PeJtP 1第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解即即tttttttttttttttttttttttttetteeetteetteetteetteeetetetteetteeeteeettee22222222222123212121212112101100100021121011001第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解【例】【例】 已知已知 ，求，求 解：解： Ate根据前面有关内容，可知：根据前面有关内容，可知：设设 ，则，则 得：得： 得：得： 得：得： 第第 二章二章 控制系统状态
27、空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解 ， 第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解 或由约旦形式直接写出变换阵或由约旦形式直接写出变换阵 421211101P1PPeeJtAt第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解4. 4. 化矩阵指数化矩阵指数Ate为为A A的有限项。的有限项。然后通过求待定时间函数获得然后通过求待定时间函数获得 的方法。这的方法。这种种AteAte利用利用凯莱凯莱-哈密尔顿定理，化哈密尔顿定理，化 为为A A的有限项，的有限项，方法相当系统，而
28、且计算过程简单。方法相当系统，而且计算过程简单。【例】已知【例】已知3210AteA，求，求. 2, 1)2)(1(321det21AI第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解ttttttttttAteeeeeeeetataeetataAtaItae22221101211010211122111)()(11)()()()(21第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解ttttttttttttAteeeeeeeeeeeeAtaItae2222221022223210)(1001)2()()(第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状
29、态空间表达式的解2.1 线性定常齐次状态方程的解线性定常齐次状态方程的解2.2 状态转移矩阵的性质及计算方法状态转移矩阵的性质及计算方法2.3 线性定常系统非齐次状态方程的解线性定常系统非齐次状态方程的解2.4 线性时变系统的解线性时变系统的解2.5 离散时间系统状态方程求解离散时间系统状态方程求解2.6 线性连续系统的离散化线性连续系统的离散化第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解2.3 线性定常系统非齐次状态方程的解线性定常系统非齐次状态方程的解 给定线性定常系统非齐次状态方程为给定线性定常系统非齐次状态方程为)()()(tButAxtx其中其中， ， 且初始
30、条件为且初始条件为 rnnnrnRBRARtuRtx,)(,)()0()(0 xtxt解法：解法：1、直接积分法、直接积分法2、拉氏变换法、拉氏变换法第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解在上式两边左乘在上式两边左乘e-At，可得，可得)()()()(tBuetxedtdtAxtxeAtAtAt 将上式由将上式由0积分到积分到t，得，得dBuextxetoAAt)()0()(求出其解为求出其解为)()()(tButAxtx采用类似标量微分方程求解的方法，将上式写成采用类似标量微分方程求解的方法，将上式写成 1、直接积分法、直接积分法第第 二章二章 控制系统状态空间
31、表达式的解控制系统状态空间表达式的解totAAtdBuexetx)()0()()(或或todButxttx)()()0()()(注意：若取注意：若取 作为初始时刻，积分可得：作为初始时刻，积分可得： 0tdBuetxetxeAttAtAt)()()(000dBuetxetxtAttttA)()()()(0)(00 即：即：第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解2、拉氏变换法、拉氏变换法BuAxx)()()0()(sBusAxxssx)()0()()(sBuxsxAsI，两边同时取拉氏变换，两边同时取拉氏变换 )()()0()()(11sBuAsIxAsIsx)()
32、()0()()(1111sBuAsILxAsILtx则则第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解tdftfsFsFL021211)().()().(在此在此 视为视为 ， 视为视为 ，则，则 1)( AsI)(1sF)(sBu)(2sFdBuexetxtAtAt)()0()()(0由拉氏变换卷积定理：由拉氏变换卷积定理： 或或dtBuexetxAtAt)()0()(0具体采用那个式子，视求解方便程度而定。具体采用那个式子，视求解方便程度而定。第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解非齐次状态方程的解非齐次状态方程的解)(tx右边第一项表示
33、由输入向量为零时，初始状态引右边第一项表示由输入向量为零时，初始状态引起的自由运动，称为起的自由运动，称为状态方程的零输入响应状态方程的零输入响应；第；第二项是初始状态为零时，输入向量引起的的强制二项是初始状态为零时，输入向量引起的的强制运动，称为状态方程的运动，称为状态方程的零状态响应零状态响应。第二项的存。第二项的存在为控制提供了这样的可能性，即通过选择输入在为控制提供了这样的可能性，即通过选择输入向量向量u(t)，使得，使得x(t)的形态满足期望的要求。的形态满足期望的要求。是由两部分组成：等式是由两部分组成：等式dBuetxetxtAttttA)()()()(0)(00第第 二章二章
34、控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解当当u(t) 为几种典型的控制输入时，即为几种典型的控制输入时，即脉冲信号输入；脉冲信号输入；阶跃信号输入；阶跃信号输入；斜坡信号输入斜坡信号输入 ；有如下形式。有如下形式。dBuexetxtAtAt)()0()()(0第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解1 脉冲信号输入，即：脉冲信号输入，即： 时时即：即： )()(tKtU第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解2 阶跃信号输入，即阶跃信号输入，即 )(tx即：即：)( 1)(tKtU第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制
35、系统状态空间表达式的解3 斜坡信号输入，即斜坡信号输入，即 ，可以求得：，可以求得： KttU)(第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解【例】已知系统状态方程为【例】已知系统状态方程为 u103210 xx ttttttttAteeeeeeeee22222222解：解： 由已知由已知u(t) =1, u(t-) = 1，则有，则有 输入输入 ，)( 1)(ttu 初始条件为初始条件为)0()0()0(21xxx试求解此非齐次状态方程。试求解此非齐次状态方程。，BdexetxAtAt0)0()(Ate（1 1）先求）先求，由前面例题可知，由前面例题可知 第第 二章二
36、章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解BdeAt0deeeeeeeeBdetAt102222022220deeeet2202（2 2）求）求 tttteeeeteeee22222121021 第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解故而故而 tttttttttttteeeexxeeeeeeeetx222122222121)0()0(2222)(10012123122212)0()0(2222)(2222212222tttttttttttttttteeeeeeeexxeeeeeeeetx或直接代入右式或直接代入右式 得得tttttttttttteee
37、exxeeeeeeee222122222121)0()0(2222第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解%Example grid;xlabel(时间轴时间轴);ylabel(x代表代表x1，-*代表代表x2);t=0:0.1:10;x1=0.5-exp(-t)+0.5*exp(-2*t);x2=exp(-t)-exp(-2*t);plot(t,x1,x,t,x2,*)end第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解2.4 线性时变系统的解线性时变系统的解系统微分方程中只
38、要有一个系数是时间的连续函系统微分方程中只要有一个系数是时间的连续函数，便称为时变系统。数，便称为时变系统。 线性时变连续系统动态方程的一般形式为线性时变连续系统动态方程的一般形式为: :)()()()()(tutBtxtAtx)()()()()(tutDtxtCty第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解研究时变系统比研究定常系统要复杂困难得多，研究时变系统比研究定常系统要复杂困难得多，这里只研究把定常的某些状态空间分析的理论推这里只研究把定常的某些状态空间分析的理论推广应用到时变系统中去，而传递函数和频率特性广应用到时变系统中去，而传递函数和频率特性在时变系统中
39、推广是很困难的。在时变系统中推广是很困难的。 在定常连续系统齐次状态方程的解析中，曾应用在定常连续系统齐次状态方程的解析中，曾应用与标量定常齐次微分方程解的类比方法导出矩阵与标量定常齐次微分方程解的类比方法导出矩阵指数及状态转移矩阵概念，这里也采用与标量时指数及状态转移矩阵概念，这里也采用与标量时变齐次微分方程解的类比方法来导出某些结果。变齐次微分方程解的类比方法来导出某些结果。 第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解一、时变齐次状态方程的解一、时变齐次状态方程的解标量时变齐次微分方程标量时变齐次微分方程 )()()(txtatx用分离变量法，并在用分离变量法，并
40、在 取积分，有取积分，有ttt,0ttttdtaxdx00)()()(解得解得 即转移特性与即转移特性与a(t)以及以及t、t0 有关。故时变系统有关。故时变系统的状态转移矩阵不再是形如的状态转移矩阵不再是形如 ，而是，而是 第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解可见可见x(t)也是由也是由x(t0)转移而来，但转移特性不再转移而来，但转移特性不再是定常情况下的是定常情况下的 ，而是，而是 ， datt0)(exp)(exp0tta)(0tt ),(0tt时变齐次状态方程为时变齐次状态方程为 )()()(txtAtx。第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制
41、系统状态空间表达式的解)(),()(00txtttx设其解设其解 式中式中 为时变系统状态转移矩阵。将解代为时变系统状态转移矩阵。将解代入原方程有入原方程有 ),(0tt)(),()()(),()(0000txtttAtxtttx故故),()(),(00tttAtt当当t t= =t t0 0时，由时，由 )(),()(00txtttx有有Itt),(0是是 应满足的微分方程及初始条件。应满足的微分方程及初始条件。 第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解ItttttAtt),(),()(),(000),(0tt已知定常系统的已知定常系统的 的幂级数表达式的幂级数表
42、达式),(0tt对于时变系统，可否用上述类似公式来表示？对于时变系统，可否用上述类似公式来表示？ 第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解ItttttAtt),()
43、,()(),(0000线性时变系统状态转移矩阵线性时变系统状态转移矩阵 是满足如下矩阵是满足如下矩阵),(0tt微分方程和初始条件微分方程和初始条件的解。的解。二、时变系统状态转移矩阵的性质二、时变系统状态转移矩阵的性质 （1）时变系统状态转移矩阵）时变系统状态转移矩阵第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解Itt),(),(),(),(020112tttttt2、；（2）线性时变系统状态转移矩阵的几个重要性质）线性时变系统状态转移矩阵的几个重要性质1、)(),()(0011txtttx证证)(),()(0022txtttx)(),(),()(),()(001121
44、122txtttttxtttx又又),(),(),(020112tttttt有有第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解),(),(001tttt3、；该性质表明该性质表明 必有逆，必有逆，x(t0) 至至x(t1)的状态转移的状态转移矩阵是矩阵是x(t1)至至x(t0)的状态转移矩阵的逆阵。的状态转移矩阵的逆阵。 ),(0tt该性质表明，该性质表明， x(t0)转移至转移至x(t2) 的转移特性，可的转移特性，可分解为分解为x(t0) 至至x(t1) 及及x(t1) 至至x(t2)的分段转移特的分段转移特性，或者说性，或者说 x(t0) 至至x(t1) 及及x(t
45、1) 至至x(t2) 的转移特的转移特性，可合成为性，可合成为 x(t0)至至x(t2) 的转移特性。的转移特性。Itttttt),(),(),(00第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解tttttddAAdAItt010012210)()()(),()()()()(00tAdAdAtAtttt4、计算时变系统状态转移矩阵的公式、计算时变系统状态转移矩阵的公式上式一般不能写成封闭形式，可按精度要求，上式一般不能写成封闭形式，可按精度要求，用数值计算的方法取有限项近似。特别地，只用数值计算的方法取有限项近似。特别地，只有当满足有当满足),(0ttttdAtt0)(e
46、xp),(0即在矩阵乘法可交换的条件下，即在矩阵乘法可交换的条件下，如下矩阵指数函数形式如下矩阵指数函数形式 才可表示为才可表示为第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解三、时变非齐次状态方程的解三、时变非齐次状态方程的解)()()()()(tutBtxtAtx设其解为设其解为对上式求导有：对上式求导有：设其解为设其解为)(),()(0ttttx)()()(),()()(),()(),()(000tutBttttAtttttttx)()()(),(0tutBttt故故第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解)()(00ttx又又所以所以d
47、uBttxttt)()(),()()(000duBttxtttxtt)()(),()(),()(000第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解若考虑时变系统输出方程为若考虑时变系统输出方程为)()()()()(tutDtxtCty则时变系统输出响应函数为则时变系统输出响应函数为)()()()(),()()(),()()(000tutDdtuBttCtxtttCtytt第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解第第 二章二章 控制系统状态空间控制系统状态空间表达式的解表达式的解2.1 线性定常齐次状态方程的解线性定常齐次状态方程的解2.2 状
48、态转移矩阵的性质及计算方法状态转移矩阵的性质及计算方法2.3 线性定常系统非齐次状态方程的解线性定常系统非齐次状态方程的解2.4 线性时变系统的解线性时变系统的解2.5 离散时间系统状态方程求解离散时间系统状态方程求解2.6 线性连续系统的离散化线性连续系统的离散化第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解2.5 2.5 离散时间系统状态方程求解离散时间系统状态方程求解离散时间状态空间表达式为离散时间状态空间表达式为 )()()()()()()() 1(kkkkTkTkDuCxyuHxGx第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解 离散系统状
49、态方程描述了离散系统状态方程描述了(k+1)T时刻的状态与时刻的状态与kT时刻的状态、输入量之间的关系；离散系统输出时刻的状态、输入量之间的关系；离散系统输出方程描述了方程描述了kT时刻的输出量与时刻的输出量与kT 时刻的状态、输时刻的状态、输入量之间的关系。入量之间的关系。 离散时间系统状态方程求解方法：离散时间系统状态方程求解方法：递推法（迭代法），递推法（迭代法），对定常、时变系统都适用对定常、时变系统都适用 ；Z变换法，变换法，只适用于定常系统。只适用于定常系统。第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解)()() 1(kkkHuGxx)0()(0 xxkk1
50、）递推法求解离散时间系统的状态方程）递推法求解离散时间系统的状态方程线性定常离散时间系统的状态方程为：线性定常离散时间系统的状态方程为： 用递推法解上面矩阵差分方程，即依次取用递推法解上面矩阵差分方程，即依次取 ，得：，得： ，210k第第 二章二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解) 1 ()0()0() 1 () 1 ()2(, 12HuGHuxGHuGxxk)2() 1 ()0()0()2()2() 3(, 223HuGHuHuGxGHuGxxk) 1()2()0()0() 1() 1()(, 11kkkkkkkkkHuGHuHuGxGHuGxx即即 101)()0(
