1、第六章责任准备金本章结构n净责任准备金（受益责任准备金）n净责任准备金的定义n净责任准备金确定原理n用前瞻法确定常见险种的净责任准备金n净责任准备金的其他确定公式n完全离散场合责任准备金的递推公式n半连续责任准备金的确定n一年缴费若干次责任准备金的确定n分数期责任准备金的确定 n修正责任准备金本章中英文单词对照n净责任准备金 （受益责任准备金）n前瞻亏损n保费差公式n缴清保费公式n过去法公式nNet premium reserve (Benefit reserves)nProspective lossnPremium-difference formulanPaid-up insurance f
2、ormulanRetrospective formula本章中英文单词对照n阶梯保费n修正责任准备金n完全初年定期制nStep premiumnModified reserve nFull preliminary term 责任准备金产生的原因0t未来责任未来收入w未来责任未来收入差值责任准备金责任准备金产生原因n净保费厘定原则：净均衡原则，保证了以保单发行日为参照点保险公司的未来保费收入现时值和未来保险赔付的现时值相等。且以保障期内任意某个时刻为参照点，所有收支的现时值相等。n但除了保单发行日以外，以保障期内任意某个时刻为参照点，未来收支的现时值都有可能不平衡。责任准备金图解0t未来责任未来
3、收入w未来责任未来收入差值责任准备金仍在保障范围内的被保险人数差值责任准备金对每位仍在保障范围内的被保险人的未尽责任现值责任准备金的分类n按覆盖责任分：n净责任准备金（受益责任准备金）n费用责任准备金n修正责任准备金n按被保险人缴费、保险人赔付的方式分：n完全连续责任准备金（死亡即刻赔付，连续缴费）n完全离散责任准备金（死亡年末赔付，生存期初缴费）n半连续责任准备金（死亡即刻赔付，生存期初缴费）概述n寿险业务的长期性和不确定性要求保险公司为未来的给付责任积累起足够的资产，所以寿险负债评估是精算部最重要的工作之一。其中责任准备金的评估是该项工作的核心n责任准备金的作用包括n保障保单所有人的合理利
4、益n保证寿险公司的偿付能力n保证合理的释放寿险业务的利润责任准备金的作用（1）n责任准备金是寿险公司最为重要的负债，一般占所有负债的80到90，和总资产的比例也可能超过80。n债权给出了债权人对债务人的资产的索取权，具体到寿险公司，可以这么说：寿险公司管理和积累起来的资产是一块蛋糕，而某个时刻的责任准备金说明的是在这个时刻有效保单应该分到的蛋糕大小。n对个别保单来说，就是评估的责任准备金，如果用保单组的概念来描述，就是保单组的责任准备金总和。 责任准备金的作用（2）n评估责任准备金的主要目的是保证保单所有人的利益，监管机构原则上应该代表保单所有人的利益，所以会要求保险公司持有和责任准备金相当的
5、资产以保证偿付能力。n责任准备金是在清算假设下进行的评估，要理解这句话，可以考虑下述问题：如果在这个时刻保险公司破产，那么有效保单应该得到多少利益？这个问题没有唯一正确的答案，责任准备金给出的是比较合理的答案。对责任准备金评估工作的监管n责任准备金的过去法计算公式可以对此作出合理解释，从公式可以看到，责任准备金的评估结果依赖于所使用的评估方法和评估假设n监管最严格的国家，监管机构会规定适用的准备金评估方法和评估假设并要求保险公司遵照执行n在监管较松的国家，会规定确定评估假设的程序和方法，允许精算师在一定范围内选择他自己认为合适的评估假设。第一节净责任准备金净责任准备金的定义n定义：n保险公司在
6、任意时刻对每个仍在保障范围内的被保险人的未尽责任现时值，就称为净责任准备金。n或者说是每个现存被保险人将来的受益现值，所以也称为受益责任准备金。n实质n责任准备金是现存被保险人未来受益与未来缴费现时值之差责任准备金的含义n以完全离散终身寿险为例n解释：责任准备金为未来的保险责任的现时值减去未来保费收入的现时值。1100jjhhjjx hx hjhjjx hjjVbvpqvp 例6.1n设保险公司发行某保单，被保险人的整值剩余寿命K的概率函数为n该保单在被保险人死亡年末给付1，年利率6%。根据净均衡保费原则确定：（1）在趸缴保费场合，确定在各年期末责任准备金。（2）在净均衡保费场合，确定在各年期
7、末责任准备金。01 0,1,2,34kqk例6. 1答案n趸缴保费场合n期缴保费场合参照时刻0123责任准备金00.890.920.94参照时刻0123责任准备金00.180.380.59净责任准备金的确定原理（以完全连续终身寿险为例）n前瞻亏损（prospective loss）n其中11 UJtkUJLvpaLvpa . . 、 是 ()的 剩 余寿 命 ，( ) 0( ) ,ux tx t ujx kx kjx kjr vUJxtf upuf jpqqk jZ 净责任准备金的确定n前瞻亏损的期望即该时刻的净责任准备金n用这种原理确定责任准备金的方法称为前瞻方法()UtxtUx tx tV
8、 AE LE vPE aAPa前瞻亏损方差222211 UtUUx tx tVar LVar vPaPVar vPAA例6.2n已知：n利用前瞻方法确定完全连续终身寿险在未来任意时刻t的净责任准备金及前瞻损失的方差，缴费方式也连续0.04,0.06例6.2答案22220.04,0.060.4,0.25,10,()0.040.4,10()()0()()10.25xxxxx txx txtxx txx txtxxAAaP AAAaaV AAP AaP AVarLAA例6.3n已知n利率按6计算n求：100,0100 xlxx3535(1)()(2)() ,0,10,20,60(3)() ,0,10
9、,20,60ttP AV AtVarLt例6.3答案3535356535353503535353535(1)1001/651/65,0650.258112.7333()0.02xttttttlxptptAvpdtAaAP Aa 例6.3答案35353535222353535()()()()1ttttttV AAP AaP AVarLAA例6.3答案00.00000.1187100.05770.1001200.12890.1174300.22710.1073400.36190.0861500.55080.0508600.82140.009735()tV A()tVarLt用前瞻法确定常见险种的净
10、责任准备金完全连续场合完全离散场合终身寿险，终身缴费()()txx txx tkxx kxx kfullycontinuousV AAP A afullydiscreteVAPa其他公式的推导n将 代入，得.1x kx kAd a .111,111ddx kxx kxx kxx kxx kxkxxxkxxxkVPd adaAAaaaaAAAPVV将代入有：，将，代入，有n又1kxxkxxkxxkxkxkxxkxkxxkVAP aPAPPPaPPPd终身寿险，h年缴费:.,(),x k h kthx khxxx kAP akhV AAkh_:,khx t h tx thxtxx tx khxx
11、khh kxx kfullycontinuousAP athVAthfullydiscreteAP akhVAkh终身寿险，终身缴费，一年缴纳m次n有n如果h年缴费 .mmmx kkxx kxVAPa .,kmmmhx kx kxxx kAPakhVAkhn年定期寿险，n年缴费111:111:(),()0,0,x t n tx nx t n ttx nx k n kx nx k n kkx nfullycontinuousAP AatnV AtnfullydiscreteAP aknVknH年内缴付nK年末的给付准备金n一年m次11:1:1,kxhx k n kx nhx nx k n kk
12、h kAPakhVAkh 1:1:1:1:,xnkxnmmhx k n kmx k h khx k n kAPakhVAkh死亡即刻赔付 1:1_1_:1_:,xnkmmx k n khmhx k nx k h kkx k n kAPakhVAAkhn年两全保险，n年缴费:1:(),()1,(),1,x t n tx nx t n ttx nx k n kx nx k n tkkx nfullycontinuousAP AatnV AtnfullydiscreteAP AaknVkn h年缴费n年定期两全保险:(),(),1,1,hx t n tx nx t h thtx nx t n thx
13、 k n kx nx k h khkxx k n kfullycontinuousAP AathnV AAhtntnfullydiscreteAPakhnVAhknkn n年延期、m年缴费的终身生存年金:.:(),(),(),xtmxn tnxt mttxmxtnxxkmxnkxk mkkxnxkfullycontinuousaPaatmVaatmfullydiscreteaPaakmVaakm责任准备金的其它确定方法n保费差公式（premium-difference formula）n责任准备金等于剩余缴费期内保费差的精算现值。n缴清保险公式（paid-up insurance formul
14、a）n责任准备金等于部分受益的精算现值。n后顾方法（retrospective method）n责任准备金是已付保费积累值与保险成本积累值（accumulated cost of insurance）之差。保费差公式推导n以完全连续n年期寿险为例11:11:11:()()()()()tx nx t n tx nx t n tx t n tx nx t n tx t n tx t n tx nx t n tV AAP AaAP AaaP AP Aa缴清保费公式推导n以完全连续n年定期两全保险为例:()()()1()1()tx nx t n tx nx t n tx nx t n tx t n t
15、x t n tx nx t n tx t n tV AAP AaP AaAAP AAP A过去法推导n过去法是过去净保费终值与过去赔付金终值之差，以终身寿险为例，k年末的过去净保费终值为 ，过去赔付金在利率和生者利下累积到k年末的终值为nk年末的给付准备金为：.:xx kP s1:1x kkxAE:.:.1:1:11xkkxx kkxxx kx kkxxP sP aVAEAEH年内缴付的终身寿险n当k=h，过去的净保费累积到h年末为n ，在累积到k年末为：n则.: xhxhsP.:1,hxkxhhxhPEs.:.1:.1:1111,1,hxhxhxk hx hhx k hx hkxxkxx h
16、x hx hx kx kx hhkxhxkxx kPPPEEEEPkhsaaaAaAEVPkhEnN年缴费的n年两全险，nN年缴付的，延期n年的生存年金1:.:1,1,x kx kx nkxkx nPaknEVknA:.:.1,x n n kx knxx nkxnxknxPaasknEVaPaskn 后顾方法推导n以完全连续n年定期两全保险为例:1:1:1:()()()()sx nx s n sx s n stx sx s tx s t n s ttx sx s tx s t n s ttx ss tx s tx s tx nsx nx s tx s ts tx ntx sV AAPaAEAP
17、 aEaAPaEV AV APaAV AE 后顾法推导1:1:1:()()特别0()0()其 中 :(cos)sx nx s tx s ts tx ntx ssx nx tx tttxx nx ttxx ttxtxV APaAV AEsV APaAV APskEAkaccumulatedt of insuranceE应用前瞻公式和后顾公式的原则n在保障时间超出缴费期的场合，前瞻公式更为便利。n在尚未提供受益的递延期内，后顾公式更为方便。,()htxx tthV AA:,()()tmxxmx ttmVaPa s 例6.4n一种完全离散的保额为1000的3年期两全保险，已知：（1）i=6% (2)
18、 (3)n计算：年龄xx+1x+21000900810yl:31000332.51xP21:3:31000()xxVVxl例6.4答案n由后顾公式：:311:3:3:11111:3:32:321000 (1)10001000 ()1000 332.51 1.06 100280.519001000 ()(1)1000900 (332.51280.51) 1.06 100610 908 001.8xxxxxxxxxxxxxxl PidVP skllPVidVl21:3:31000()610.89280.51330.38xxVV例6.5n已知：n计算：20110:100.01212,0.01508,
19、0.06942,0.1443xxxxPPPV2010 xV例6.5答案n后顾法2010201020:10101020:101010:1011:10:10:10:1020101020:10()1110.06942()0.1143(0.015080.01212)/ 0.069420.15694xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxVP skVVPP sVP skPssPVVPP s其它公式11 ()1 ()11 ()1111111x tx txtxx tx tx tx txxx tx txxxx txx tx tx ttxxxAaAVAPaP aaaaaaaaAAaaaAVaA 例6.6n计
20、算在哪些时刻有n已知：t016201013.1216.11112.815.81212.415.31311.9214.81411.3614.3x tax ta txtxVV 例6.6答案1x ttxxaVa t100.180.195110.20.21120.2250.235130.2550.26140.290.2851x ttxxaVa 给付准备金的递推公式n年末赔付的终身寿险，年缴保费，k年末将来法给付准备金计算公式为：11111kxx kxx kkxxx kxx kx kxx kx kx kx kx kx kx kx kkxxx kx k kxVAPaVPAP aAPaAvqvpAavpaV
21、PvqvpV 由：得到：，式n上式可得n对式1移项：111x kkxxx kx kkxlVPidlV 1111111111xx kx k kxkxx kx kkxxkxx kkxxx kkxkxkxPvqvpVVqiiVPVqVPqVvVV 将式1p代入，同乘以移项后： vn对上式同乘（1+i）并移项：n第n年末的给付准备金等于每年净保费的累积和保险成本累积的差额1111111111000011100.111K1,1 i1 i1 i1 i1 iK,1 i1 iK1 inkxkxxx kkxn kx kx kkxnnnn kn kn kn kxkxxx kkkkkxn xnnn kn kn xx
22、x kkknxVi VPiqVqVVVPVVVPP s 设：上式同乘因为： 0，所以左边为110Knkx kk 一般递推公式n如果 表示为k年末给付准备金， 表示k+1年初的净保费， 表示为k年末的死亡给付，则：kVkPkb 11111111111111kkkx kx k kkkx kx k kkkkkkkx kkkkx kkkkkkx kkx kVPbvqvpVPbvqvpVVVVPibV qPbV vqvVVVPibqVfacklerp或者：公式例6.7n已知：n计算：202023 1524 150.04 ,0.585 ,0.6iVV38p例6.7答案2023 15382024 15392
23、02023 15383824 153838380.585()0.6()(1)0.585 1.04(1)0.60.979VAprospectiveVAprospectiveViqpVppp半连续责任准备金的确定n以h年缴费n年定期两全保险为例n其他险种场合可以同理推导。半连续责任准备金都可以转换为完全离散责任准备金的函数:1111:11:()()(),hthx nx t n tx nx t n thhx t n tx t n tx nx nx t n tUDDhhttx nx nV AAP AaiiAAPPaiVVth一年缴m次保费的责任准备金的确定 n完全离散终身寿险()()( )mmkxkx
24、xkxVVm PV()( )mxkm PVextra reserve for lost premium一年缴m次保费的责任准备金推导()()()()()()()()()()()()( )( )1且1( )( )( )( )( )() ( )( )( )()mxxxxxxxxxxmmmmxxxxxmmmmmxxxxxxxxmxxxxxmxam amAPadaPaPdaaPm a Pm PaPm PAm Pm PaaPPdm PPmm dPP ()()()()()()()()()()()()() ( )( )()( ( )( )( )1 ()( )mmmkxkxx kxx kx kxx kmmxx
25、 kxx kmmxxx kx kmxxx kmxx kmxxx kmxkVVAPaAP aP aPaPPaaPmm dPaPm amm PdP am PV()()()( )( )xmmkxkxkmxkVVm PVm PVextra reserve for lost premium一年缴费m次的完全离散n年定期两全保险的责任准备金 n“损失保费”部分形成的额外责任准备金等于缴费期内每次缴纳 元纯保费的纯寿险完全离散责任准备金 的一部分，比例为 ()()1:( )hmhmhkkhkx nx nx nx nVVmPV()1:( )mhhkx nx hmPVextra reserve for lost
26、 premium():mhx nP1:hkx hV( )m例n某（x）投保n年期1单位元延期生存年金，保费在n年内缴清，若被保险人在缴费期死亡，则在死亡年末赔付截至当时累积的给付准备金数额，求年缴保费和t（t=n）年末的给付准备金n解：死亡给付与给付准备金相等，即11111111100.,1,2,3,kkkkkkkx kkkkknnkkknkknkknnnnx nx nnx nnnbV knPbV vqvVVPvvVv VPvvVv Vv VPav Vv aaVaPas由将来法给付准备金公式n(2)等式11111.ttkkkkkkktttttPvv VvVPav VVPs会计年度末给付准备金n
27、保险年度又称契约年度，是从保险契约成立日为起点的年度。会计年度又称业务年度，通常等于日历年度，期末给付准备金可以由保险年度末给付准备金推算出来n（x）的终身寿险，假设在j+1保险年度末死亡给付为n，每年净保费为P，在j+1年初缴付，j=0,1,.则：1jb11111101,t hhht ht hthx t hthx t hththVVPb vqVvp 为整数，时点的给付准备金为：11111111111111111UDDx thx thx t hx tx tx tx tx thx t hhx tx tx thx thx t hx tx thx t hhx tx tht htx ttx tx th
28、 qpqhqh qhqh qh qqphqppppppphqvVbh qVphq n由公式 11111111111111t111:111111i11kkkkkx ktttttx ttx ttttx tht htttx ttx tx thtttx tx thxx tVVPibV qVVPibV qb qVPiVpvsoVVPiVphVphqvhVPih Vphqqipvh可知如果 和很小时，和111.111x tt htttt htttqVhVPh VVh Vh Vh P近似为 则：进一步为：分数期责任准备金n近似方法1(1)(1),01(1)k skkxVsVsVs Pss Punearned
29、 premium 第二节修正责任准备金费用责任准备金n净保费责任准备金（受益责任准备金）n保险人将来的净责任n费用责任准备金n由于保险业的特殊性，第一年的费用远远高于以后各年的费用，所以分期缴付保费场合，保险人的费用责任准备金实际上一直是负的。n换言之，在保险费用这一方面是保险人先垫付了被保险人的费用，被保险人用将来的分期付款逐期偿还首年欠付费用。例6.8n保险计划：向（x）发行每年年初缴费的三年期两全保险n收支方式：完全离散,i=0.15n死亡率：n保险金额：1000n费用金额：见下一页费用明细表120.1,0.1111,0.5xxxqqq费用明细表费用类别时间第一年第二年保费%固定量保费%
30、固定量推销佣金10%2%营业费用4%31税金、许可证费用2%2%保单维持2%12%1发行与等级分类2%4总计20%86%2例6.8分析一、纯(净)保费与净保费责任准备金计算:3:3:3:3:3:3:3:3100010001000110001000 xxxxxtxx ttxx ttAAPdaAVAP a例6.8分析二、毛保费和费用年金的计算0:3:3:30:3:3xxxxxGaAee aeaee aeGP例6.8分析三、毛保费责任准备金与费用责任准备金的计算:3:3:3:310001000100010001000()tetx tttaggtx ttxx tttteVPVeeaVAPVeGaVV修
31、正责任准备金的产生n如果不考虑费用责任准备金的因素，始终以净保费责任准备金为准计算保险公司的债务，会使保险公司保险初年的负担很重，而且利润溢出各年变动非常大。n为了保险公司的利润溢出比较平滑，也同时兼顾被保险人的利益，有了修正责任准备金的概念。修正责任准备金原理阶梯保费值n原始等额净保费n修正后阶梯保费修正前等额保费：P,P,，P修正后阶梯保费：，P修正责任准备金确定:1:1:k:k:1:1:11kx kx n kx nx kxxx kx kx kaPaPaaPaaaPP aPPa整理后有：将代入有：n对(x)的m年两全保险，缴费期为n年，净保费调整期为k年，t年末的修正给付保证金为：:m:m
32、:.1: 1:mtkn1tnMODtnk txx t m tx t k tx mx t n knnx t m tx mx t n tx mx t k tntnxx mx t k tnMODxtttxxtxVAaPaAPaPaVPaVsKEtk当时由过去法：当时， 年末的给付保证金就是均衡保费的给付保证金完全初年修正责任准备金nFull preliminary term(FTP)n定义：第一年的修正净保费为第一年的死亡受益现值 ，并在整个缴费期修正给付准备金的方法。n则有1:1xA1:11:1:1:1FPT11:1FPT1n 1:1:FPTxFPTxx nx nFPTxnx nxxx nAPAP
33、PPaaaPaAaPa由于，将其代入一般公式：又n用A表示（x）的保险现值，A（1）表示在x+1时同一保险的现值，则：n如，（x）的m年1单位元两全保险，缴费期为n，则 11:11FPT1111111xx nxxxnxPaAAE AE AAaa： n则：FPT1:111111xmnxxAPa： m： nn则该保险在k年末的完全初年修正法给付准备金为： :m:1:1:1:11:111:1111:11111:1nFPTFPTkxx km kx kn knx km kxmx kn knxmxkmkxknknkxmVAaAPaAPaV 美国保险监督官标准n产生背景：FPT适用于低费率保单，如果是高费率
34、保单，第一年冲销的费用就过多了。n美国保险监督官标准：n如果是低保费保单： 采用FPT调节n如果是高保费保单： ，则191F P TxP191F P TxP1191:11191:1.:ComComxxxComxx nPAPAPa加拿大修正制n加拿大保险法规允许更大力度的修正n条件： ，其中 为第一年费用按均衡保费衡量的额外补贴，有n其中：na150净均衡保费nb新契约费nc仍然提供的管理费用及保单持有人分红时在第二年及以后年中可收回费用的精算现值。CanCanPECanEmin( , , )CanEa b c现金价值n现金价值（Cash Value）的概念n在契约有效期内，被保险人退保，保险人
35、需依照约定，退还投保人一定的金额，这部分金额称为保单退保时具有的现金价值，或者称为保单的解约退保金。n退保时：现金价值小于保单的给付准备金，经过一定年限后，现金价值通常等于给付准备金。n初期的费用需要从责任准备金进行扣除；退保使保险公司的财务稳定下降，导致逆向选择，需要相应作出补偿；退保时也需要一定的手续费。现金价值计算n1.直接计算法：n2.调整保费法tttttCVVSCSC表示保单在 年的退保费用 PttCVA tP a tVPP a tP为调整净保费， 为均衡保费n调整净保费 由附加保费定义。附加保费可分为在保费缴付期恒定缴纳的E和保单初年比续年多支出的 。这样初年的附加保费为： n这样
36、每年的总保费为：P1E1E+EE，次年为111,GPEGaPE aAEEaAEPPEPAan美国1941：n美国198010.4min,0.040.25min,0.040.02xEPPP11.25min,0.040.01EP保险选择权n1.减额缴清保险n退保人选择的方式是把退保的现金价值作为趸缴保费，购买一份和原保单其他条件相同但是保额减少的保单，称为减额缴清保险选择权n2.展期保险n把现金价值转换为原保单保险金额相同，但是比原保单期限缩短的选择方式。kkkkC VAkC VAk bb1:kx k sCVAn3.自动保费贷款n投保人应按期缴费的保费在超出宽限期仍然未缴付，保险人可以在保单现金价值的范围内自动为投保人办理保单贷款，一边继续缴费，使保单继续有效的选择方式。假设投保人k时停缴保费，每年保费为G，贷款利息为j,则贷款的最大时期长度t为：.k tt jGsCV
