1、24.5 24.5 24.5 直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系教学内容教学内容教学内容教学内容教学内容教学内容: : : 1 1 1 直线和圆的三种位置关系及有关定义直线和圆的三种位置关系及有关定义直线和圆的三种位置关系及有关定义 2 2 2 直线和圆的位置关系的性质与判定直线和圆的位置关系的性质与判定直线和圆的位置关系的性质与判定 3 3 3 例题讲述例题讲述例题讲述 4 4 4 课堂练习课堂练习课堂练习 5 5 5 内容小结内容小结内容小结 6 6 6 课后作业布置课后作业布置课后作业布置执教人执教人执教人: :
2、:郭明珠郭明珠郭明珠古诗与数学知多少? 大漠孤烟直,长河落日圆. 这是唐代诗人王维在中的绝唱,描绘了一副空旷,慌寂的塞外黄昏景象,但数学家将那荒无人烟的戈壁视为一个平面,而将那从地面升起直上云霄的如烟气柱看成一条垂直于地面的直线,由此,”大漠孤烟直”在数学家的眼里便成了垂直于地面的直线,请问同学们:那么”长河落日圆”指的是?l l l( ( (一）直线和圆的位置关系一）直线和圆的位置关系一）直线和圆的位置关系1.1.1.直线和圆的位置关系有直线和圆的位置关系有直线和圆的位置关系有三种三种三种( ( (从直线与圆从直线与圆从直线与圆公共点的个数公共点的个数公共点的个数) ) )2.2.2.用图形
3、表示如下用图形表示如下用图形表示如下: : :. . .O O O. . .O O O. . .O O Ol l ll l ll l l相离相离相离相切相切相切相交相交相交切线切线切线切点切点切点割线割线割线. . . . . . .如果知道如果知道如果知道O O O的半径的半径的半径r r r与圆心与圆心与圆心O O O到直线到直线到直线L L L的距离的距离的距离d d d的大小关系，那么的大小关系，那么的大小关系，那么我们能判断我们能判断我们能判断O O O与直线与直线与直线L L L的位置关系吗？的位置关系吗？的位置关系吗？反过来，如果知道位置关系，那么能判反过来，如果知道位置关系，那
4、么能判反过来，如果知道位置关系，那么能判断断断r r r与与与d d d的大小关系吗？的大小关系吗？的大小关系吗？? ? ?（二）（二）（二） 直线和圆的位置关系的判定与性质直线和圆的位置关系的判定与性质直线和圆的位置关系的判定与性质 o o or r rd d do o o r r rd d do o o l l ll l ll l l (1) (1) (1) 直线直线直线L L L和和和O O O相离相离相离d d d r r r 符号符号符号“ ”读作读作读作“等价于等价于等价于”。它表示从左端可以。它表示从左端可以。它表示从左端可以 推出右端，并且从右端也可以推出作端。推出右端，并且从
5、右端也可以推出作端。推出右端，并且从右端也可以推出作端。(2) (2) (2) 直线直线直线L L L和和和O O O相切相切相切d d d= = =r r r r r rd d d(3) (3) (3) 直线直线直线L L L和和和O O O相交相交相交d d d r r r （三）（三）（三） 例题讲述例题讲述例题讲述例例例例例例 在在在RtRtRtABCABCABC中中中, , , C C C=90=90=90, , , ACACAC=3cm, =3cm, =3cm, BCBCBC=4cm, =4cm, =4cm, 以以以C C C为圆为圆为圆 心心心, , , r r r 为半径的圆与
6、为半径的圆与为半径的圆与ABABAB有怎样的位置关系有怎样的位置关系有怎样的位置关系? ? ? 为什么为什么为什么? ? ? (1) (1) (1) r r r =2cm ; (2) =2cm ; (2) =2cm ; (2) r r r =2.4cm ; (3) =2.4cm ; (3) =2.4cm ; (3) r r r =3cm.=3cm.=3cm.A A AB B BD D DC C C(1)(1)(1)D D DB B BC C C(2)(2)(2)A A AC C CB B BD D DA A A(3)(3)(3)解：解：解：过过过C C C作作作CDCDCDABABAB，垂足为
7、，垂足为，垂足为D D D（如上图）（如上图）（如上图）. . .在在在RtRtRtABCABCABC中中中, , ,根据勾股定理根据勾股定理根据勾股定理 得得得: : :ABABAB=5cm. =5cm. =5cm. 再根据三角形的面积公式有再根据三角形的面积公式有再根据三角形的面积公式有 CDCDCD AB=ACAB=ACAB=AC BCBCBC, , , CDCDCD=2.4cm =2.4cm =2.4cm 即圆心即圆心即圆心C C C到到到ABABAB的距离的距离的距离d d d=2.4cm.=2.4cm.=2.4cm.(1) (1) (1) 当当当 r r r = 2cm = 2cm
8、 = 2cm时时时, , , 有有有 d d d r r r, , , 因此因此因此C C C和和和ABABAB相离相离相离. . .(2) (2) (2) 当当当 r r r = 2.4cm= 2.4cm= 2.4cm时时时, , , 有有有 d d d = = = r r r, , , 因此因此因此C C C和和和ABABAB相切相切相切. . .(3) (3) (3) 当当当 r r r = 3cm = 3cm = 3cm时时时, , , 有有有 d d d r r r , , , 即这个圆与即这个圆与即这个圆与ABABAB相离相离相离. . . 2 1 02 1 02 1 0相离相离相
9、离 三三三 解答题解答题解答题 O O O的半径为的半径为的半径为 3 cm ,3 cm ,3 cm ,两弦两弦两弦ACACAC=2 cm , =2 cm , =2 cm , ABABAB=2 cm ,=2 cm ,=2 cm , 若以点若以点若以点O O O为圆心，再作一个圆与为圆心，再作一个圆与为圆心，再作一个圆与ACACAC相切，则这个圆的半径为多少？相切，则这个圆的半径为多少？相切，则这个圆的半径为多少？ 这个圆与这个圆与这个圆与ABABAB的位置关系又怎样？的位置关系又怎样？的位置关系又怎样？2O O OA A AB B BC C CN N NMMM. . .( ( (五五五) )
10、) 内容小节内容小节内容小节一一一 直线和圆的位置关系有三种直线和圆的位置关系有三种直线和圆的位置关系有三种相离相离相离相切相切相切相交相交相交二二二 直线和圆位置关系的性质与判定直线和圆位置关系的性质与判定直线和圆位置关系的性质与判定 （ r r r与与与d d d的数量大小关系）的数量大小关系）的数量大小关系）直线直线直线L L L和和和O O O相离相离相离 d d d r r r直线直线直线L L L和和和O O O相切相切相切 d d d = = = r r r 直线直线直线L L L和和和O O O相交相交相交 d d d r r r( ( (性质）性质）性质）（性质）（性质）（性
11、质）（性质）（性质）（性质）（判定）（判定）（判定）（判定）（判定）（判定）（判定）（判定）（判定）（六）课后作业布置（六）课后作业布置（六）课后作业布置p p p1151151151.(1) 2. 3.1.(1) 2. 3.1.(1) 2. 3. 直线和圆的位置关系 (2) 切线判定定理直线和圆相交直线和圆相交 想一想想一想想一想想一想想一想想一想P P P114114114n n nd d d d d d r;r;r;r;r;r;n n nd d d d d d r;r;r;r;r;r;n n n 直线和圆相切直线和圆相切直线和圆相切直线和圆相切直线和圆相切直线和圆相切n n n直线和圆相
12、离直线和圆相离直线和圆相离直线和圆相离直线和圆相离直线和圆相离n n nd d d d d d r;r;r;r;r;r;直线与圆的位置关系量化揭密直线与圆的位置关系量化揭密O O OO O O相交相交相交相交相交相交O O O相切相切相切相切相切相切相离相离相离相离相离相离r r rr r rr r rdddd d d d d d 切线切线的性质定理的性质定理定理定理 圆的切线垂直于过切点的直径圆的切线垂直于过切点的直径. .如图如图CDCD是是O的切线的切线,A,A是是切点切点, ,OA A是是O的半径的半径, ,CDCDOA.A. 议一议议一议议一议议一议议一议议一议 P P P11611
13、6116n n n老师提示老师提示老师提示老师提示老师提示老师提示: : :n n n切线的性质定理是证明两线垂直的重要根据切线的性质定理是证明两线垂直的重要根据切线的性质定理是证明两线垂直的重要根据切线的性质定理是证明两线垂直的重要根据切线的性质定理是证明两线垂直的重要根据切线的性质定理是证明两线垂直的重要根据; ; ;作作作作作作过切点的半径是常用经验辅助线之一过切点的半径是常用经验辅助线之一过切点的半径是常用经验辅助线之一过切点的半径是常用经验辅助线之一过切点的半径是常用经验辅助线之一过切点的半径是常用经验辅助线之一. . .C C CD D DB B BO O OA A A (1)切线
14、的性质说明了切线与过切点的直径的位置关系-垂直, (2)性质也可以说成:圆的切线垂直于过切点的半径, (3)由于过切点的直径是唯一确定的,而过圆心且垂直于切线的直线也是唯一确定的,同时过切点且垂直于切线的直线也是唯一确定的,因此如下两个结论也成立:经过圆心且垂直于切线的直线必过切点; 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. (4)性质定理:也可以这样理解:直线过圆心;直线过切点;直线垂直切线.三个命题中有两个成立,则第三个必然成立.切线的切线的判定判定定理定理定理定理 经过直径的外端经过直径的外端, ,并且垂直于这条直径的并且垂直于这条直径的直线是圆的切线直线是圆的切线. .老师提示老师提示:
15、切线的判定定理是证明一条直线是否是圆的切线的根切线的判定定理是证明一条直线是否是圆的切线的根据据;作过切点的半径是常用经验辅助线之一作过切点的半径是常用经验辅助线之一. 议一议议一议议一议议一议议一议议一议 P P P118118118C C CD D DB B BO O OA A An n n如图如图如图如图如图如图n n nOO OA A A A A A是是是是是是OO O的半径的半径的半径的半径的半径的半径, , , , , ,直线直线直线直线直线直线CDCDCDCDCDCD经过经过经过经过经过经过A A A A A A点点点点点点, , , , , ,且且且且且且CDCDCDCDCDC
16、DOO OA,A,A,A,A,A,n n n CD CD CD CD CD CD是是是是是是OO O的切线的切线的切线的切线的切线的切线. . . . . . (1)如图,定理的题设是:一条直线L满足两个条件:直线L过直径的端点A; LAB,其结论是:直线L为圆O的切线. (2)运用该定理证明某直线为圆O的切线,既是证明:点在圆上; 该直线与过该点的直径垂直.C C CD D DB B BO O OA A A到目前为止，我们所学过的切线的判定到目前为止，我们所学过的切线的判定方法有哪些：方法有哪些：1、定义法：与圆只有一个公共点的直线是圆的切线。2、数量关系：到圆心的距离等于半径的直线是圆的切
17、线。3、判定定理法:经过直径（半径）的一端，并且垂直于这条直径（半径）的直线是圆的切线。证明一条直线是圆的切线常记十二字法：证明一条直线是圆的切线常记十二字法：证明一条直线是圆的切线常记十二字法： 连半径，证垂直；作垂直，证半径。连半径，证垂直；作垂直，证半径。连半径，证垂直；作垂直，证半径。切线切线判定判定定理的应用定理的应用1.已知已知O上有一点上有一点A,A,你能过点你能过点A A点作出点作出O的切线吗的切线吗? ? 做一做做一做做一做做一做做一做做一做P P P118118118n n n老师提示老师提示老师提示老师提示老师提示老师提示: : : : : :n n n根据根据根据根据根
18、据根据“经过半径的外端经过半径的外端经过半径的外端经过半径的外端经过半径的外端经过半径的外端, , , , , ,并且垂直于这条半径的直线是并且垂直于这条半径的直线是并且垂直于这条半径的直线是并且垂直于这条半径的直线是并且垂直于这条半径的直线是并且垂直于这条半径的直线是圆的切线圆的切线圆的切线圆的切线圆的切线圆的切线”只要连接只要连接只要连接只要连接只要连接只要连接OO OA,A,A,A,A,A,过点过点过点过点过点过点A A A A A A作作作作作作OO OA A A A A A的垂线即可的垂线即可的垂线即可的垂线即可的垂线即可的垂线即可. . . . . .O O O A A An n
19、n2. 2. 2.已知已知已知已知已知已知OO O外有一点外有一点外有一点外有一点外有一点外有一点P,P,P,P,P,P,你还能过点你还能过点你还能过点你还能过点你还能过点你还能过点P P P P P P点作出点作出点作出点作出点作出点作出OO O的切线的切线的切线的切线的切线的切线吗吗吗吗吗吗? ? ? ? ? ?O O O P P P从一块三角形材料中从一块三角形材料中, ,能否剪下一个圆能否剪下一个圆, ,使其与各边都使其与各边都相切相切? ? 做一做做一做做一做做一做做一做做一做P P P119119119n n n老师提示老师提示老师提示老师提示老师提示老师提示: : : : : :
20、n n n假设符合条件的圆已作出假设符合条件的圆已作出假设符合条件的圆已作出假设符合条件的圆已作出假设符合条件的圆已作出假设符合条件的圆已作出, , , , , ,则它的圆心到三边的距离则它的圆心到三边的距离则它的圆心到三边的距离则它的圆心到三边的距离则它的圆心到三边的距离则它的圆心到三边的距离相等相等相等相等相等相等. . . . . .因此因此因此因此因此因此, , , , , ,圆心在这个三角形三个角的平分线上圆心在这个三角形三个角的平分线上圆心在这个三角形三个角的平分线上圆心在这个三角形三个角的平分线上圆心在这个三角形三个角的平分线上圆心在这个三角形三个角的平分线上, , , , ,
21、,半径半径半径半径半径半径为圆心到三边的距离为圆心到三边的距离为圆心到三边的距离为圆心到三边的距离为圆心到三边的距离为圆心到三边的距离. . . . . .三角形与三角形与圆圆的位置关系的位置关系A A AB B BC C CA A AB B BC C CI I II I I这样的圆可以作出几个这样的圆可以作出几个? ?为什么为什么?.?. 想一想想一想想一想想一想想一想想一想P P P119119119n n n直线直线直线直线直线直线BEBEBEBEBEBE和和和和和和CFCFCFCFCFCF只有一个交点只有一个交点只有一个交点只有一个交点只有一个交点只有一个交点I,I,I,I,I,I,并
22、且点并且点并且点并且点并且点并且点I I I到到到到到到ABCABCABCABCABCABC三边的距离相三边的距离相三边的距离相三边的距离相三边的距离相三边的距离相等等等等等等( ( ( ( ( (为什么为什么为什么为什么为什么为什么?),?),?),?),?),?),n n n因此和因此和因此和因此和因此和因此和ABCABCABCABCABCABC三边都相切的圆可以作出一个三边都相切的圆可以作出一个三边都相切的圆可以作出一个三边都相切的圆可以作出一个三边都相切的圆可以作出一个三边都相切的圆可以作出一个, , , , , ,并且只能作一个并且只能作一个并且只能作一个并且只能作一个并且只能作一个
23、并且只能作一个. . . . . .三角形与三角形与圆圆的位置关系的位置关系A A AB B BC C CI I IE E EF F F三角形与三角形与圆圆的位置关系的位置关系这圆叫做三角形的这圆叫做三角形的内切圆内切圆. .这个这个三角形叫做圆的三角形叫做圆的外切三角形外切三角形. .内切圆内切圆的圆心是三角形三的圆心是三角形三条角平分线的交点条角平分线的交点, ,叫做三叫做三角形的角形的内心内心. . 议一议议一议议一议议一议议一议议一议 P P P119119119n n n老师提示老师提示老师提示老师提示老师提示老师提示: : : : : :n n n多边形的边与圆的位置关系称为切多边
24、形的边与圆的位置关系称为切多边形的边与圆的位置关系称为切多边形的边与圆的位置关系称为切多边形的边与圆的位置关系称为切多边形的边与圆的位置关系称为切. . . . . .A A AB B BC C CI I I四边形与四边形与圆圆的位置关系的位置关系如果四边形的四条如果四边形的四条边边都与一个圆都与一个圆相切相切, ,这圆叫做四边形的这圆叫做四边形的内切圆内切圆. .这个四边形叫做圆的这个四边形叫做圆的外切四边形外切四边形. . 读一读读一读读一读读一读读一读读一读P P P119119119n n n我们可以证明圆外切四边的一个重要性质我们可以证明圆外切四边的一个重要性质我们可以证明圆外切四边
25、的一个重要性质我们可以证明圆外切四边的一个重要性质我们可以证明圆外切四边的一个重要性质我们可以证明圆外切四边的一个重要性质: : : : : :n n n1.1.1.1.1.1.圆外切四边形两组对边的和相等圆外切四边形两组对边的和相等圆外切四边形两组对边的和相等圆外切四边形两组对边的和相等圆外切四边形两组对边的和相等圆外切四边形两组对边的和相等. . . . . .O O OA A AB B BC C CD D D三角形与三角形与圆圆的的“切切”关系关系1.1.以边长为以边长为3,4,53,4,5的三角形的三个顶点为圆心的三角形的三个顶点为圆心, ,分别分别作圆与对边相切作圆与对边相切, ,则
26、这三个圆的半径分别是多少则这三个圆的半径分别是多少?.?. 随堂练习随堂练习随堂练习随堂练习随堂练习随堂练习P P P120120120n n n2.2.2.2.2.2.分别作出锐角三角形分别作出锐角三角形分别作出锐角三角形分别作出锐角三角形分别作出锐角三角形分别作出锐角三角形, , , , , ,直角三角形直角三角形直角三角形直角三角形直角三角形直角三角形, , , , , ,钝角三角形的内切钝角三角形的内切钝角三角形的内切钝角三角形的内切钝角三角形的内切钝角三角形的内切圆圆圆圆圆圆, , , , , ,并说明与它们内心的位置情况并说明与它们内心的位置情况并说明与它们内心的位置情况并说明与它们内心的位置情况并说明与它们内心的位置情况并说明与它们内心的位置情况? ? ? ? ? ?n n n老师提示老师提示老师提示老师提示老师提示老师提示: : : : : :n n n先确定圆心和半径先确定圆心和半径先确定圆心和半径先确定圆心和半径先确定圆心和半径先确定圆心和半径, , , , , ,尺规作图要保留作图痕迹尺规作图要保留作图痕迹尺规作图要保留作图痕迹尺规作图要保留作图痕迹尺规作图要保留作图痕迹尺规作图要保留作图痕迹. . . . . .A A AB B BC C CC C CA A AB B B A A AB B BC C C
