1、第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面6.1 二次型及其标准形6.2 正定二次型6.3 曲面及其方程6.4 二次曲面n 曲面曲面和和曲线的一般方程曲线的一般方程 n 球面及其方程球面及其方程n 柱面及其方程柱面及其方程( , )00f x yzn 旋转曲面方程旋转曲面方程22(, )0fxyzn若已知二次曲面的标准方程，则容易画出它的图形。n若二次曲面的方程不是标准方程，要通过正交变换和平移变换把一般二次方程化为标准方程，从而知道其图形。1232231122331213232220 常数项二次型一次项ba xa ya za xya xza yxcb yzb z2222210 xyxzy
2、zxy222011101110 xyxzyzAA 二次型 的矩阵解111111= EA 2=(2)( +1) 12321= A的特征值：，11220111=, ,对特征值，方程组的基础解系TEA X 232311 01 21 2 1 T= - , ,/ ,/ ,将，正交化：T23231011 01 0 1 =, , , ,对特征值的基础解系TTEA X11323211111112033322666,将，单位化：TTTppp12313121613121613026 ,得正交矩阵： =Pppp1112 1 1 ( ,- ,- ), ,则有，令其中，=TTTP APdiagXXx y zYxy zP
3、Y222221xyxzyzxy21122 01 ( ,),TY diagPYY2221111221xyzy2221111221 0 =xyzy得 22 01 ,TX AXX2221111221 0 = 将 配方 xyzy2121211做平变换：移xxyyzz它是一个圆锥面。222111210 =xyz22222220=得 这是原曲面方程的标准方程，xyzA正定正定, 2222221xyzabc作业22P164: 21第一章第一章 2, 4, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 14, 18, 21第二章第二章 1(3)(6), 3, 4, 6, 9, 12, 13, 20, 14, 15
4、, 16, 21, 22, 23第三章第三章 1, 3, 4, 8, 9, 10, 11, 12, 16, 18, 20,22, 25, 27, 28第四章第四章 1, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,14(2)(3), 15, 16(2)(4), 20, 23第五章第五章 1(2)(4), 2(2), 3, 9(2)(4), 14(1)(3), 15第六章第六章 3, 4(1)(3), 6, 9, 10, 11, 12, 16, 17, 2100001000100=0000001nniiiabababababa bababab（4）=nD：设 原式证1 211100
5、100100000()( 1)0000001001nnnabababababDabababababababab 按第 行展开：120000100100()0000001001nnabababababababababababababab12()nnnDab DabD11212()nnnnnnDaDbDabDb DaD223221()()nnnbDaDbDaD2()1nababba abab22()nnbbb1=+nnnDaDb12212= (+)+nnnnnna aDbba Dabb221332213=()+nnnnnnnnaaDbabba Da babb1222211=+nnnnnaDaba
6、babb122221()+nnnnnaababa babb122221+nnnnnnaababa babb0nin iia b2,AAOAO证明：若 是实对称矩阵且则111212122212=nnnnnnaaaaaaAaaa证：设TAAA 是对称矩阵，1112111211212221222221212=nnnnTnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaAAAaaaaaa1112111211212221222221212=nnnnTnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaAAAaaaaaa222111212222122222212=nnnnnnaaaaaaaaaO=0ija因为所有元素都是实数，
7、得AOkklEBAEkBklOE求的逆。其中为 阶单位矩阵， 为矩阵。10,klAEEA ：解可逆。1112111222122,XXAXkXlXX设其中是 阶矩阵；是 阶矩阵。11122122=kkllEBEOXXOEOEXX112112222122klXBXEXBXOXOXE11122122klXEXBXOXE 1klEBAOE得 12123213121,=+ =+=+sssss 证明向量组与向量组， ，等价。 121212 ,(1) ()ssss 不妨设是列向量。证明：（用秩的方法）1212,ss 矩阵11222112212,ssssccccccsss 12121212,ssss 12(1
8、)(1)(1)121212, , , ,sscscscsss 120, 0, , 0, ,s 121212 ,sssrr 1212,ss 向量组可由向量组线性表示。1212,ss 显然，向量组可由向量组线性表示。1212,ss 所以，向量组与向量组等价。12(1)(1)(1)121212, , , ,sscscscsss ,()()()A Bmnr ABr Ar B设都是矩阵，证明：12121212 =,nnnnABA nBn 令,其中，是 的 个列向量， 是证的：个列向量.11221122=,nnnnABABn 则 其中，是的 个列向量，12121212( ), ( ).,.nsntr As
9、r Bt 设不妨设的极大线性无关组为. 设的极大线性无关组为11221212,nnst 向量组可由向量组,线性表示。11221212,nnst 向量组的秩 向量组,的秩1212,stst 而向量组的秩 向量组的向量个数1122(,)nnrst 所以， ()( )( )r ABr Ar B即,()( ) A BnAnBOr Ar B设都 是 阶 矩 阵 ,若证 明 12r,r.,nrsB ：设令证AB 121212 ,=,=O ,nnnABAAAAAO AOAO 由则有：.iBAXO组可见，的的每每一一列列都都是是方方程程的的解解12,nAXO 则的的基基至至多多础础解解系系包包含含n-rn-r
10、个个解解B B中中有有n-rn-r个个线线性性无无关关向向量量则 s sn - rn - r，即即r+sr+sn n. .2= . ( () )AnAAr AAEnr设是 阶 矩 阵 ， 且 证 明BAE证：令2(-)ABA A EAAO11 ( )(-)r Ar A En由习题 的结论知，2,(,0),rrTAnAATT ATrEaErdi g 试证明：设 是 阶实对称矩阵，且则存在 正交矩阵使得其中 为秩， 为 阶单位矩阵。.A 设 的特征值为 ，对应 的特征向量为证。A2A2 220, =0 =1=10A 则有 ，即0的特征值只能是 和或1t0.Ant设 有 个特征值为，个特征值为1-0(1,1,1,0,0)=00tTn ttn tET ATTATdiag 个个则对实对称矩阵A，存在正交矩阵T,使得0( )()00tTn ttrEr Ar T ATrt所以，0=00rnTrET AT则有 19周星期三周星期三(1月月8日日)，9:00-11:00AM 3302021班班(前前40名同学名同学) 3302032班班(49)，1班班(第第41-51号同学号同学) 3302043班班(58)，其他非本专业同学，其他非本专业同学(17)19周星期二周星期二(1月月7日日)，3:00-5:00PM31号楼号楼3楼教师休息室楼教师休息室
