1、环状河网水流的数值计算方法环状河网水流的数值计算方法钟娜 王玲玲河海大学水电学院 2006.5.27Hohai UniversityHohai University 模型建立的必要性河网水流的水动力状况，对于平原地区特别是我国东部沿海经济发达地区的经济发展和社会生活具有重要的意义。长江及珠江三角洲城市水域的流通以及水质问题已越来越被人们所重视，对于河网水流水动力条件数值模拟的精度要求也越来越高。由于城市河网交错复杂，大部分以环状形式出现，故本文对环状河网进行建模和水力计算方法研究。 模型建立的理论依据对于环状河网的求解，可以利用显式差分求解，但工程应用中为了满足收敛及计算稳定性要求，一般倾向于
2、利用隐式求解。早期曾出现过对断面所有未知量建立方程组直接求解的一级解法，以及以河道的首、末断面水力要素为基本未知量的二级解法，但这二类方法的方程组系数矩阵都过于庞大，很难应用于大型河网，因此，本文采用以节点水位为基本未知量的三级解法。为了使模型具有可扩充性、可移植性和通用性，对于系数矩阵的求解采用矩阵标识法。 河网水流模型河网水流模型 单一河道水流的模拟计算单一河道水流的模拟计算 环状河网模型的建立环状河网模型的建立 河网的概化河网的概化 节点编码节点编码 河道的编码河道的编码 河道流动方向河道流动方向 河道断面编码河道断面编码 环状河网的水力计算流程环状河网的水力计算流程 算例算例 结论结论
3、 1.河河 网网 水水 流流 模模 型型 1.1单一河道水流的模拟计算单一河道水流的模拟计算 河网模型控制方程组为圣维南方程组 连续方程 （1）动量方程 （2） qxQtZB 022ARcQQgxZgAAQxtQ 式中，为流量， ；为水位， ； 为过水断面面积， ； 为动量校正系数； 为水面宽， ； 为水力半径， ； 为谢才系数， ， ； 为河床的造率； 为时间， ； 为流程， ； 为单位流程上侧向出流量， ，负号表示流入，为重力加速度， 。QZAsm /32mmBmRmcsm/2/1nRc/6/1ntsxmqmsm/3g2/81. 9smg Pressimann格式离散图 pressiman
4、n四点线性隐格式（3）式中， 为权重系数，图1.1 pressimann格式离散2/xtxtt )1 (n1nj1j10tfffftfxffxffxffffnjnjnjnjMnjnjnjnjMnjnjM2)(1 ()(2)(111111111 离散后的圣维南方程组 （4）（5）由方程(4)和(5)组成的方程组为常系数线性方程组。对于任意河道，设首断面号为 ，末断面号为 ，则每条河道有 个河段，有 个未知变量，可以列出 个方程，结合河道两端的边界条件，形成封闭的代数方程组，可以得到唯一的解。 jnjjnjjnjnjDZCZCQQ111111jnjjnjjnjjnjjZFZFQGQE111111
5、12LL ) 1(212LL) 1(212LL1L2L1.2 环状河网模型的建立环状河网模型的建立 对于环状河网，其节点分为内节点和外节点。为了减少方程组的阶数，通常以内节点构成基本河网。对于环状河网，内河道和外河道因为边界条件的不同而计算的形式不同。外河道的计算由于外边界条件的不同而分为两类：水位型边界和流量型边界。这两种形式采用追赶法求解的递推公式如下：1.2.1水位流量递推关系的建立水位流量递推关系的建立 水位型边界条件： (6a) 流量型边界条件： (6b)1111*LLLLQVPZ)0),(111LLLVtZP1)-L,L(i *211111111iiiiiiiiQVPZQTSQ11
6、11*LLLLZVPQ)0),(111LLLVtQP1)-L,L(i *211111111iiiiiiiiZVPQZTSZ1.2.1水位流量递推关系的建立水位流量递推关系的建立 由上面两式得出，末断面的流量都可表达成 (7)这里， 表示与该外河道相连接的基本节点水位 。内河道的计算采用双追赶方程求解。 (8a) (8b)()(22末ZfZfQLL2LZZ 末) L,3,-L2,-(i *1222LZZQLiiiii)L,2,L2,(i *2112LZZQLiiiii 设 为首节点水位， 为末节点水位，式(8)表示首、末断面流量可以用首、末断面水位的线性组合求得。当首、末断面的水位已知时，利用式
7、(8a)和(8b)，可以推出下式： (9)求得 后代入式（8a）中即可求出 。1LZZ 首2LZZ 末iiiiiiiZZZ末首*iZiQ1.2.2交叉节点水位方程的建立交叉节点水位方程的建立 节点水位方程建立的依据是水量平衡原理和能量平衡原理。 水量平衡原理表示流入某节点的水量之和等于该节点的蓄水量的变化，即： (10) 能量平衡原理表示节点所连接的各个河道断面上水位和流量与节点平均水位之间，必须符合实际的能量衔接要求。mjiijidtdZAQ11.2.2交汊节点水位方程的建立交汊节点水位方程的建立这种衔接一般分为三种情况： 如果节点可以概化为一个几何点，出入该节点的水流平缓，不存在水位突变的
8、情况，则各节点断面水位相等，均等于该点的平均水位，即 (11a) 如果各断面的过水面积相差悬殊，流速有明显的改变，但仍属于缓流的情况，按照Bernouli方程，当略去节点的局部损失时，各个断面之间的能量水头应该相等，即 (11b) ZZZji EEguZEjiii22 一般情况下，当节点建有堰、闸等水工建筑物时，节点的断面动力衔接条件可写为：(11c)将流量与节点水位关系式（11）代入水量平衡方程（10），得到与节点相邻的节点水位为未知变量的线性代数方程： (12)edQcZbQaZjjii0)(,jiiZf 对于河网每一个节点，都可建立上述的节点水位方程，形成以河网的节点水位为基本未知变量的
9、线性代数方程组： (13) 其中， 为系数矩阵， 为节点水位列阵， 为右端项列阵。RAZ AZR 为使模型具有可扩充性、可移植性和通用性，节点水位方程的求解采用矩阵标识法。根据节点水位方程系数矩阵的高稀疏性，对矩阵中非零元素进行代码标识。按照代码指示，将非零元素用一维数组存储，排除零元素，节约内存。求解时，由代码指示，只对非零元素进行运算，从而大大提高方程组求解计算的效率。 2. 河网的概化河网的概化 节点编码节点编码 对河道中节点进行统一编码，编码顺序可以任意。但为了编程的方便，需对节点的类型进行分类：一类为普通节点，即几条河流的交汇处；另一类节点为建有水工建筑物，如闸，堰等的特殊节点。 河
10、道的编码河道的编码 对于外河道和内河道进行统一编码，通常编码先从内河道开始。 河道流动方向河道流动方向 对于内河道，流向是任意的，计算水流方向为正表示沿箭头所指方向，为负表示流向逆箭头方向。 河道断面编码河道断面编码 每条河道独立编码，首节点对应于首断面，末节点对应于末断面，首断面向末断面递增的方向表示河道的计算流向。 3. 河网的水力计算流河网的水力计算流 程程 程序计算步骤 首先输入河道几何参数，计算的时间步长、空间步长及迭代的允许误差等。 计算外河道和内河道的追赶系数。 建立节点水位方程组。 求解节点水位方程。（利用超松弛迭代法将有助于加速收敛。） 内外河道的断面水位回代，直至计算结束。
11、4、 算算 例例 算例概化图算例概化图 )3(29Q124(15)2119(12)9101117(9)1315(6)(3)(14)8(11)7(8)6(5)5(2)1416182022(13)(10)3(7)2(4)1(1)12(28Z)15(27Z)14(26Z)13(25Z)10(24Z)1(23Z) 3(30Q) 3(31Z232425262728293031上图所示为一规则河网示意图，共有22条内河道，9条外河道，15个基本节点。设各节点均为无调蓄能力节点，每条河道长均为20，底坡1：10000，河道断面为梯形，底宽50m，边坡1：3，河床糙率0.025。 选用的计算参数为 1公里，
12、5分钟。计算总时长29小时。 各外河道边界条件为：Z(23)=9，Z(24)=8，Z(25)=7，Z(26)=7，Z(27)=8+3.0*sin(3.14*t/12) ，Z(28)=6Q(29)=100，Q(30)=80，Z(31)=10。 xt图图3 典型节点水位演变过程线典型节点水位演变过程线 运用上述数值方法求解该算例，可得各节点的水位及流量随时间的演变过程。图3显示了5个典型节点的水位波动过程。由图可见，随着外边界水位的正弦曲线变化，内部节点的水位依距离远近，受到不同的影响：最靠近变化边界的节点15受变化边界（边界27）的影响最大，随之作正弦波动，但相位上有滞后现象。某一时段之后，其它相关边界条件的影响也显露出来，使得典型节点的水位波动变得较为复杂。节点13和节点8受非恒定边界的影响逐渐变小，至节点3和节点1已基本不受其影响。可见，该计算结果是合理的，也说明本文的算法是有效的。5. 结结 论论 本模型的节点编码具有任意性，模型具有可扩充性和较强的通用性，可以用于解决工程实际问题。 模型的计算速度快，且具有较好的精度。 本模型适用于平原地区缓流水域，对于山区的急流不再适用。谢 谢！
