1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 3.2 导数的应用 最新考纲 考情考向分析 1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间 (其中多项式函数一般不超过三次 ) 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值 (其中多项式函数一般不超过三次 )；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次 ) 3.会利用导数解决某些实际问题 (生活中的优化问题 ). 考查函数的单调性、极值、最值，利用函数的性质求参数范围；与方程、不等式等知识相结合命题，强化函数与方程思想、转化与 化归思想、分类讨论思想的应用意识；题型以解答题为
2、主，一般难度较大 . 1函数的单调性 如果在某个区间内，函数 y f(x)的导数 f( x)0，则在这个区间上，函数 y f(x)是增加的；如果在某个区间内，函数 y f(x)的导数 f( x)0(f( x)0.( ) (2)如果函数 f(x)在某个区间内恒有 f( x) 0，则 f(x)在此区间内没有单调性 ( ) (3)函数的极大值不一定比极小值大 ( ) (4)对可导函数 f(x)， f( x0) 0 是 x0点为极值点的充要条件 ( ) (5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值 ( ) 题组二 教材改编 2如图是函数 y f(x)的导函数 y f( x)的图像，则
3、下面判断正确的是 ( ) A在区间 ( 2,1)上 f(x)是增加的 B在区间 (1,3)上 f(x)是减少的 C在区间 (4,5)上 f(x)是增加的 D当 x 2 时， f(x)取到极小值 答案 C 解析 在 (4,5)上 f( x)0 恒成立， f(x)是增加的 3设函数 f(x) 2x ln x，则 ( ) A x 12为 f(x)的极大值点 =【 ;精品教育资源文库 】 = B x 12为 f(x)的极小值点 C x 2 为 f(x)的极大值点 D x 2 为 f(x)的极小值点 答案 D 解析 f( x) 2x2 1x x 2x2 (x0)， 当 02 时， f( x)0， x 2
4、 为 f(x)的极小值点 4函数 f(x) x3 6x2的递减区间为 _ 答案 (0,4) 解析 f( x) 3x2 12x 3x(x 4)， 由 f( x)0 ； 当 x ? ? 6 ， 2 时， y1. 不等式的解集为 (1， ) 8设 a R，若函数 y ex ax 有大于零的极值点，则实数 a 的取值范围是 _ 答案 ( ， 1) 解析 y ex ax， y ex a. 函数 y ex ax 有大于零的极值点， 方程 y ex a 0 有大于零的解， 当 x0 时， ex0 ，即 8x 1x20，解得 x12， 函数 y 4x2 1x的递增区间为 ? ?12， .故选 B. 2已知函数
5、 f(x) xln x，则 f(x)( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A在 (0， ) 上是增加的 B在 (0， ) 上是减少的 C在 ? ?0， 1e 上是增加的 D在 ? ?0， 1e 上是减 少的 答案 D 解析 因为函数 f(x) xln x 的定义域为 (0， ) ， 所以 f( x) ln x 1(x0)， 当 f( x)0 时，解得 x1e， 即函数的递增区间为 ? ?1e， ； 当 f( x)0， 则其在区间 ( ， ) 上的解集为 ? ? ， 2 ? ?0， 2 ， 即 f(x)的递增区间为 ? ? ， 2 和 ? ?0， 2 . 思维升华 确定函数单调区间的步骤 (
6、1)确定函数 f(x)的定义域 (2)求 f( x) (3)解不等式 f( x)0，解集在定义域内的部分为递增区间 (4)解不等式 f( x)0)，讨论函数 y f(x)的单调区间 解 f( x) exex 1 a 11ex 1 a. 当 a1 时， f( x)0，得 (1 a)(ex 1)1， 即 ex 1 11 a，解得 xln a1 a， 由 f( x)0)试讨论 f(x)的单调性 解 由题意得 f( x) exax2 (2a 2)x(a0)， 令 f( x) 0，解得 x1 0， x2 2 2aa . 当 01 时， f(x)的递增区间为 ? ? ， 2 2aa 和 (0， ) ，递减
7、区间为 ? ?2 2aa ， 0 . 题型三 函数单调性的应用问题 命题点 1 比较大小或解不等式 典例 (1)(2017 南昌模拟 )已知定义在 ? ?0， 2 上的函数 f(x)的导函数为 f( x)，且对于任=【 ;精品教育资源文库 】 = 意的 x ? ?0， 2 ，都有 f( x)sin x 2f ? ? 3 B f ? ? 3 f(1) C. 2f ? ? 6 g? ? 3 ， 即f? ? 422f? ? 332， 3f ? ? 4 2f ? ? 3 . (2)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数， f(2) 0，当 x0 时，有 xf ?x? f?x?x2 0 的解集是 _ 答案
8、 ( ， 2)(0,2) 解析 当 x0 时， ? ?f?x?x 0， 此时 x2f(x)0. 又 f(x)为奇函数， h(x) x2f(x)也为奇函数 故 x2f(x)0 的解集为 ( ， 2)(0,2) 命题点 2 根据函数单调性求参数 典例 (2018 石家庄质检 )已知函数 f(x) ln x， g(x) 12ax2 2x(a0) =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)若函数 h(x) f(x) g(x)存在递减区间，求 a 的取值范围； (2)若函数 h(x) f(x) g(x)在 1,4上是减少的，求 a 的取值范围 解 (1)h(x) ln x 12ax2 2x， x(0 ，
9、) ， 所以 h( x) 1x ax 2，由于 h(x)在 (0， ) 上存在递减区间， 所以当 x(0 ， ) 时， 1x ax 21x2 2x有解 设 G(x) 1x2 2x，所以只要 aG(x)min即可 而 G(x) ? ?1x 1 2 1，所以 G(x)min 1. 所以 a 1. 又因为 a0 ，所以 a 的取值范围为 ( 1,0)(0 ， ) (2)因为 h(x)在 1,4上是减少的， 所以当 x1,4 时， h( x) 1x ax 20 恒成立， 即 a 1x2 2x恒成立 由 (1)知 G(x) 1x2 2x， 所以 a G(x)max，而 G(x) ? ?1x 1 2 1，
10、 因为 x1,4 ，所以 1x ? ?14， 1 ， 所以 G(x)max 716(此时 x 4)， 所以 a 716，又因为 a0 ， 所以 a 的取值范围是 ? ? 716， 0 (0 ， ) 引申探究 1本例 (2)中，若函数 h(x) f(x) g(x)在 1,4上是增加的，求 a 的取值范围 解 因为 h(x)在 1,4上是增加的， 所以当 x1,4 时， h( x)0 恒成立， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以当 x1,4 时， a 1x2 2x恒成立， 又当 x1,4 时， ? ?1x2 2x min 1(此时 x 1)， 所以 a 1，即 a 的取值范围是 ( ， 1 2
11、本例 (2)中，若 h(x)在 1,4上存在递减区间，求 a 的取值范围 解 h(x)在 1,4上存在递减区间， 则 h( x)1x2 2x有解， 又当 x1,4 时， ? ?1x2 2x min 1， 所以 a 1，又因为 a0 ， 所以 a 的取值范围是 ( 1,0)(0 ， ) 思维升华 根据函数单调性求参数的一般思路 (1)利用集 合间的包含关系处理： y f(x)在 (a， b)上单调，则区间 (a， b)是相应单调区间的子集 (2)f(x)是增加的的充要条件是对任意的 x( a， b)都有 f( x)0 且在 (a， b)内的任一非空子区间上， f( x)不恒为零，应注意此时式子中
12、的等号不能省略，否则漏解 (3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题 跟踪训练 已知函数 f(x) 3xa 2x2 ln x 在区间 1,2上为单调函数，求 a 的取值范围 解 f( x) 3a 4x 1x，若函数 f(x)在区间 1,2上为单调函数，即在 1,2上， f( x) 3a 4x 1x0 或 f( x) 3a 4x 1x0 ， 即 3a 4x 1x0 或 3a 4x 1x0 在 1,2上恒成立， 即 3a4 x 1x或 3a4 x 1x. 令 h(x) 4x 1x，因为函数 h(x)在 1,2上是增加的， 所以 3a h(2)或 3a h(1)，即 3a 152 或 3a3 ， 解得 a0，得 01.4 分 当 a0 时，令 g( x) 0，得 x 1 或 x 12a， 6 分 若 12a12， 由 g( x)0，得 x1 或 01，即 00，得 x12a或 0x1， 由 g( x)0，得 1x12a， 若 12a 1，即 a 12，在 (0， ) 上恒有 g( x)0.10 分 综上可得：当 a 0 时，函数 g(x)在 (0,1)上是增加的， 在 (1， ) 上是减少的； 当 0a12时，函数 g(x)在 (0,1)上是增加的， 在 ? ?1， 12a 上是减少的，在 ? ?12a， 上是增加的；
