机械工程控制基础-补充拉氏变换和拉式反变换-河南课件.ppt

1、补充补充 时间函数时间函数f(t)，当，当t0时，时， f(t)=0， t0时，时， f(t)的拉氏变换计为的拉氏变换计为Lf(t)或或F(s)，且定义为，且定义为 0( )( )( )stL f tF sf t edt ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )L x tX sL y tY sL m tM sL n tN sj虚数单位序号序号f(t)F(s)1 (t)单位脉冲函数单位脉冲函数121(t) 单位阶跃函数单位阶跃函数u(t)3t 单位斜坡函数单位斜坡函数r(t)456sin t22s 1s21sate 1sa atte 21sa 常用函数的拉氏变换对照表常用函数的拉氏

2、变换对照表序号序号f(t)F(s)7cos( t)891011121!nns 1atbteeba 1sasb22ss (1 2 3)ntn ， (1 2 3)natt en ， 1!nnsa 1btatbeaeba ssasb 111atbtbeaeabab 1s sasb序号序号f(t)F(s)1314151622sin11ntnnet 2222nnnss 22sa 21(1)atatea 21ssa sinatet cosatet 22sasa 序号序号f(t)F(s)1718 2221sin111arctanntnet 2222nnns ss 22211sin111arctanntnet

3、 222nnsss根据表格直接写出结果 2222211( )1,1( ),11,sin,cosatatLtLtL tssL eL esasasLtLtss 22sa sinatet cosatet 22sasa 121212( )( )( )( )( )( )L f tf tL f tL f tF sF s ( )( )( )L kf tkL f tkF s ( )( )(0 )df tLsF sfdt 22(1)2( )( )(0 )(0 )d f tLs F ssffdt12(1)(2)(1)( )( )(0 )(0 )(0 )(0 )nnnnnnnd f tLs F ssfsfsffdt

4、 ( )( )nnndf tLs F sdt 32325624d yd ydydxyxdtdtdtdt解：利用线性定理和微分定理，可得解：利用线性定理和微分定理，可得 325( )6( )( )2 ( )4( )( )s Y ss Y ssY sY ssX sX s32(562) ( )(41)( )sssY ssX s32( )41( )562Y ssX ssss 3.积分定理积分定理 ( 1)11( )( )(0 )Lf t dtF sfss ( 1)(0 )f(f tdt ）2(1)(2)22111( )()( )(0 )(0 )Lf tdtF sffsss (1)(2)()1( )()

5、1111( )(0 )(0 ).(0 )nnnnnLf tdtF sfffssss 式中式中 f (-1)(0+) 、 f (-2)(0+) 、 f (-n)(0+) 为式中为式中f(t)的的各重积分在各重积分在t=0+时的值，如果这些初值为零，则有时的值，如果这些初值为零，则有 1( )( )nnLf t dtF ss4初值定理初值定理 0(0 )lim( )lim( )tsff tsF s 5 5终值定理终值定理 0( )lim( )lim( )tsff tsF s 20055( )lim( )lim( )lim22tssff tsF sss 例：已知例：已知 ，求，求f(t)的终值。的终

6、值。 25( )(2)F ss ss 二、拉氏反变换及其计算方法二、拉氏反变换及其计算方法 （一）拉氏反变换的定义（一）拉氏反变换的定义11( )( )( )2rjstrjLF sf tF s e dsj 式中，式中，r为大于为大于F(s)的所有奇异点实部的实常数。的所有奇异点实部的实常数。所谓奇异点，即所谓奇异点，即F(s)在该点不解析，也就是在该点不解析，也就是F(s)在该点及其邻域不处处可导。在该点及其邻域不处处可导。1111( )( )( )( )( )( )( )( )x tLXsy tLY sm tLMsn tLN s 已知象函数已知象函数F(s)，求出与之对应的原函数，求出与之对

7、应的原函数f(t)就就称为拉氏反变换，计作称为拉氏反变换，计作1( )( )LF sf t( (二二).).拉氏反变换的计算方法拉氏反变换的计算方法1.查表法 111211112222111( ),1( ),11,sin,cosatatLtLtLtssLeLesasasLtLtss 2. 部分分式展开法 (利用逆变化的线性原理) 111211112222111( ),1( ),11,sin,cosatatLtLtLtssLeLesasasLtLtss 111211112222111( ),1( ),11,sin,cosatatLtLtLtssLeLesasasLtLtss 1212101212

8、10( )( )( )mmmmmmnnnnnnb sbsbsb sbB sF sA sa sasasa sa1212101() ()()()()mmmmmmrijknb sbsbsb sbspspspspsp 11111112()()()()rrrrijknknBBBspspspsspspAAspsp 1,rknBAA为实数为实数,称称留数留数留数的方法可分为下面三种情况研究。留数的方法可分为下面三种情况研究。kA例例1 1 求求53( )(1)(2)(3)sF ssss 31253( )(1)(2)(3)123AAAsF sssssss 31253(1)(1)(1)(1)(1)(2)(3)1

9、23AAAsssssssssss 32153(1)(1)(2)(3)23AAsAssssss 1s 令 225( 2)3( )(2)7(12)(32)sAF s s 335( 3)3( )(3)6(13)(23)sAF s s 115( 1)3( )(1)1(21)(31)sAF s s 查查表表： 1123176( )( )12376tttf tLF sLssseee 176( )123F ssss 1123176( )( )12376tttf tLF sLssseee 例例2 2 求求21( )(1)sF ss ss 21211( )(1)1313222213132222ssF ss ss

10、s sjsjsAssjsj (2). 包含有共轭极点的情况包含有共轭极点的情况 12, 12,3130,22ssj 13121322221sjsjsss 121131312222jj 由此得：由此得： 11 20 2011(1)ssAss ss 2222211( )(1)131322221=132211122=1322ssF ss ssssjsjssssss 22222211122( )13221311 122=23131322222sF sssssss 11122313( )( )1cossin223ttf tLF setet 21( )(2)(3)F ss ss 21122( )(3)32

11、AABBF sssss22311( )(3)( 3)( 32)3sAF s s (3). 包含有多重极点的情况包含有多重极点的情况 rB 12011( )2 318sBF ss 22211( )(2)( 2)( 23)2sBF s s 2112221( )(2)(3)(3)32AABBF ss ssssss 22211222212111(3)(3)(3)(2)(3)321=(3)(3)(2)21=3(3)(2)ABBsAsss sssssBBA sss sssAss s 11143,3(2)9令sAs s 因而上式拉氏反变换为因而上式拉氏反变换为 23323311411( )(1986)182

12、9318ttttttf teeteeete21191( )182(2)4(3)3(3)F sssss将将A1、A2、B1、B2 代入前面方程得代入前面方程得小结小结拉氏变换的主要性质。典型函数的拉氏变换结果。拉式逆变换的三种情况：不同实数极点；有共轭复数极点；有重极点。再举一些例子：1211( )11oAAXsTsssTs例111( )( )1ooXsx tTss 已已知知，求求 1021111;1111;1ssTAsTssATsTTss 解111( )11oTXsTsssTs1( )( )1(0)tToox tLXset 2221( )( )2noonnXsx ts ss 已已知知，求求例2

13、解 2222222222222222()()()(1)()1(1)(1)nnnnnnnnnnnnnnssssssss001,11, 显显然然，共共轭轭纯纯虚虚根根有有共共轭轭复复根根，相相等等的的实实根根不不相相等等的的实实根根0211222211( )1cosnonnnsx tLLs ssst 2222221( )=2nnonnnXss sss s 01, 共共轭轭复复数数根根 22222222222()(1)()1(1)(1)nnnnnnnnnnssssss21,2=1nnsj222221( )=22nonnnnAsXss sssss 2220222222211;221=22nnnsnnn

14、nnnnAss ssssAsssssss 222111nnnnnnsjjj 令令 2220222222211;221=22nnnsnnnnnnnAss ssssAsssssss =1=2n；2222222222211( )=222211=()(1)()nnonnnnnnnnndsXss sssssssssss 1221222221222221222221( )()1()()11()()11()()1nondnnndnddnndnddnndndsx tLsssLssssLssssLssse - - - - 222222221cossin111cossin11sincoscossin11sicos

15、n111sisinarct nna()110nnnnnnntddtddtddtdtttdddettettettetttetet 122222122122222122221()()11()()21( )(11()()1nnndnddnndnddnndnnonddsx tLsssLssssLssssLssse - - - - 222222221cossin111cossin11sincoscossin11sicosn111sisinarct nna()110nnnnnnntddtddtddtdtttdddettettettetttetet 2122222122212212222211()()121

16、1()( )()1()()1dnndnddnndnondnnndnnddsLssssLssssx tLsssLsses - - - - 22222222cossin11cossin111cossin11sincoscossin11sin111sinarctan(0)1nnnnnnnttddtddtddtddtdtdtetettettettetett 1221222221222221222221( )()1()()11()()11()()1nondnnndnddnndnddnndndsx tLsssLssssLssssLssse - - - - 22222222cossin11cossin111

17、cossin11sincoscossin11sin111sinarctan(0)1nnnnnnnttddtddtddtddtdtdtetettettettetett 1221222221222221222221( )()1()()11()()11()()1nondnnndnddnndnddnndndsx tLsssLssssLssssLssse - - - - 22222222cossin11cossin111cossin11sincoscossin11sin111sinarctan(0)1nnnnnnnttddtddtddtddtdtdtetettettettetett 1221222221

18、222221222221( )()1()()11()()11()()1nondnnndnddnndnddnndndsx tLsssLssssLssssLssse - - - - 22222222cossin11cossin111cossin11sincoscossin11sin111sinarctan(0)1nnnnnnnttddtddtddtddtdtdtetettettettetett 1221222221222221222221( )()1()()11()()11()()1nondnnndnddnndnddnndndsx tLsssLssssLssssLssse - - - - 2222

19、2222cossin11cossin111cossin11sincoscossin11sin111sinarctan(0)1nnnnnnnttddtddtddtddtdtdtetettettettetett 1221222221222221222221( )()1()()11()()11()()1nondnnndnddnndnddnndndsx tLsssLssssLssssLssse - - - - 22222222cossin11cossin111cossin11sincoscossin11sin111sinarctan(0)1nnnnnnnttddtddtddtddtdtdtetette

20、ttettetett 1221222221222221222221( )()1()()11()()11()()1nondnnndnddnndnddnndndsx tLsssLssssLssssLssse - - - - 22222222cossin11cossin111cossin11sincoscossin11sin111sinarctan(0)1nnnnnnnttddtddtddtddtdtdtetettettettetett 1221222221222221222221( )()1()()11()()11()()1nondnnndnddnndnddnndndsx tLsssLssssLs

21、sssLssse - - - - 22222222cossin11cossin111cossin11sincoscossin11sin111sinarctan(0)1nnnnnnnttddtddtddtddtdtdtetettettettetett 1221222221222221222221( )()1()()11()()11()()1nondnnndnddnndnddnndndsx tLsssLssssLssssLssse - - - - 22222222cossin11cossin111cossin11sincoscossin11sin111sinarctan(0)1nnnnnnnttd

22、dtddtddtddtdtdtetettettettetett 1 2122211221( )21()()nonnnnnnx tLs ssABCLLsssss 2202222222211;()1();()11()( 1)1()nnnnnsnnnnsnnnsnsAsssCsssBssss 1 2122211221( )2111()()nonnnnnnnx tLs ssLLsssss 11(1)nnnttntneteet 1, 不不相相等等的的实实根根 22222222222()(1)()1(1)(1)nnnnnnnnnnssssss21,2=1nns 222222221( )21=1111non

23、nnnnnnnnnnXss sssssABCsss 222222221( )21=1111nonnnnnnnnnnnXss sssssABCsss 2220112nnnsAss ss 222202222122222112111111121121nnnnnsnnnnnnnsnnnnAss ssBssss 223( )( )1iooXKXsx tsTs 例例已已知知，求求 1,231,( )=11iosjsTXKABBXssjsjTsTssjsj 解解：. . 故故+， 2221( )=11;1;121;121ioiisTiisjiisjXKABBXssjsjTsTssjsjXKX KTAsjsj

24、TXXKKBsjTsjjTXXKKBsjTsjjT +， 222112212222( )=11;12121( );12121=121ioiiitj tj tTotj tj tiiiTtiiTXKABBXssjsjTsTssjsjX KTXXKKABBTjjTjjTAx teBeB eTX KTXXKKeeeTjjTjjTX KTXKeeTjT +，1111tantan221(tan)(tan)222211222221=121=sin(tan)11jTj tjTj tijtTjtTtiiTtiiTeXKeejTX KTKXeeeTjTX KTKXetTTT 11( )( )1ooXsx tTss

25、 1. 1. 已已知知，求求2221( )( )2noonnXsx ts ss 2. 2. 已已知知，求求223.( )( )1iooXKXsx tsTs 已已知知，求求拉氏变换作业：拉氏变换作业：223( )( )1iooXKXsx tsTs 例例已已知知，求求1,2322221,( )=11iosjsTXKsAXssTssTs 解解：. . 故故+ +，1,232222,1,( )=11,1,1ioisjsjisjsTXKsAXssTssTsKXsTsKXjjT 解解：. . 故故+ +， 2221122122222( )=11;12121( );12121=12ioiiitj tj tT

26、otj tj tiiiTtjiiTXKABBXssjsjTsTssjsjX KTXXKKABBTjjTjjTAx teBeB eTX KTXXKKeeeTjjTjjTX KTXKeeTT +，11tantan222121jTj tjjTj tieeXKeeeT 222112212222( )=11;12121( );12121=121ioiiitj tj tTotj tj tiiiTtiiTXKABBXssjsjTsTssjsjX KTXXKKABBTjjTjjTAx teBeB eTX KTXXKKeeeTjjTjjTX KTXKeeTjT +，1111tantan221(tan)(tan)

27、222211222221=121=sin(tan)11jTj tjTj tijtTjtTtiiTtiiTeXKeejTX KTKXeeeTjTX KTKXetTTT 1,231,( )=11iosjsTXKABBXssjsjTsTssjsj 解解：. . 故故+， 222( )=11;12121ioiiiXKABBXssjsjTsTssjsjX KTXXKKABBTjjTjjT +， 2221122122222( )=11;12121( );12121=12ioiiitj tj tTotj tj tiiiTtjiiTXKABBXssjsjTsTssjsjX KTXXKKABBTjjTjjTAx teBeB eTX KTXXKKeeeTjjTjjTX KTXKeeTT +，11tantan222121jTj tjjTj tieeXKeeeT