1、金融工程与风险管理金融工程与风险管理第第7章章 金融市场风险计量模型：金融市场风险计量模型：VaR7.1 VaR的定义的定义nValue at Risk ，译为风险价值或在险价值，译为风险价值或在险价值，以货币表示的风险，处在风险中的金融资以货币表示的风险，处在风险中的金融资产的货币量。产的货币量。n定义：定义：VaR是指在是指在某一给定的置信水平下某一给定的置信水平下，资产组合资产组合在未来特定的一段时间在未来特定的一段时间内可能遭内可能遭受的最大损失。受的最大损失。 （Jorion ，1997）VaR 是一种对是一种对可能实现的价值（市值）可能实现的价值（市值）损失的损失的估计，而不是一种
2、估计，而不是一种“账面账面”的损失估计。的损失估计。 VaR：金融风险的：金融风险的“天气预报天气预报”n假设假设1个基金经理希望在接下来的个基金经理希望在接下来的10天时间天时间内存在内存在 95% 概率其所管理的基金价值损失概率其所管理的基金价值损失不超过不超过$1,000,000。则我们可以将其写作：。则我们可以将其写作：Prob()1VaRc Prob($1,000,000)1 95% nVaR回答的问题：我们有回答的问题：我们有 C的置信水平在接下来的置信水平在接下来的的 T 个交易日中损失程度不会超过的金额。个交易日中损失程度不会超过的金额。 VaR：金融风险的：金融风险的“天气预
3、报天气预报”n例如：例如：A银行银行2006年年4月月1日公布其持有期为日公布其持有期为10天、置信水平为天、置信水平为99%的的VaR为为1000万元。万元。这意味着如下这意味着如下3种等价的描述：种等价的描述：1、A银行从银行从4月月1日开始，未来日开始，未来10天内资产组合天内资产组合的损失大于的损失大于1000万元的概率小于万元的概率小于1%；2、以、以99的概率确信：的概率确信：A银行从银行从4月月1日起未来日起未来10天内的损失不超过天内的损失不超过1000万元。万元。3、平均而言，、平均而言，A银行在未来的银行在未来的100天内有天内有1天损天损失可能超过失可能超过1000万元。
4、（万元。（思考：一旦超过有多思考：一旦超过有多少损失呢？少损失呢？）7.2 VaR的基本参数的基本参数n持有期：计算持有期：计算VaR的时间长度的时间长度资产组合的波动性（方差）与时间长度正相关，资产组合的波动性（方差）与时间长度正相关，故故VaR随着持有期增加而增加。随着持有期增加而增加。VaR隐含假设：资产组合在持有期内不发生变隐含假设：资产组合在持有期内不发生变化，若有变化则持有期要调整。化，若有变化则持有期要调整。新资本协议新资本协议：计算监管资本的：计算监管资本的VaR持有期持有期至少为至少为10个交易日，个交易日，JPMorgan等金融机构内等金融机构内部通常选择为部通常选择为1天
5、。天。讨论：讨论： 持有期的选择持有期的选择n资产流动性（资产流动性（liquidity）：事前确定）：事前确定原则：按金融机构无法控制损失的时间期限原则：按金融机构无法控制损失的时间期限n一般企业的资产组合缺乏流动性，可能在若干日都一般企业的资产组合缺乏流动性，可能在若干日都无法改变头寸，则相应的持有期就要长，以使无法改变头寸，则相应的持有期就要长，以使VaR给出的风险能够覆盖多日的给出的风险能够覆盖多日的“考验考验”。n如果金融机构能够一天一次度量风险并且改变资产如果金融机构能够一天一次度量风险并且改变资产组合的构成，则其风险可以控制在组合的构成，则其风险可以控制在1天内，故可将持天内，故
6、可将持有期定为有期定为1天。天。若头寸可以快速出清（若头寸可以快速出清（liquidation）或变现，）或变现，则可以选择较短的持有期，反之亦反。则可以选择较短的持有期，反之亦反。讨论：讨论： 持有期的选择持有期的选择n正态分布的要求正态分布的要求持有期越长，资产组合回报持有期越长，资产组合回报r的分布越偏离正的分布越偏离正态分布，态分布，VaR计算中最方便的假设是回报率服从正态分计算中最方便的假设是回报率服从正态分布，在较短的持有期下，基于正态分布的假设布，在较短的持有期下，基于正态分布的假设更为合理。更为合理。n头寸的调整头寸的调整持有期越长，风险管理者越可能改变头寸，则持有期越长，风险
7、管理者越可能改变头寸，则时间越短越能保证资产组合所有资产头寸不变时间越短越能保证资产组合所有资产头寸不变的假设。的假设。-4-20246-.3-.2-.1.0.1.2.3.4.5R_10Normal QuantileTheoretical Quantile-Quantile-4-3-2-101234-.8-.6-.4-.2.0.2.4.6.8R_125Normal QuantileTheoretical Quantile-Quantile讨论：讨论： 持有期的选择持有期的选择n数据约束数据约束从理论上讲，从理论上讲，VaR模型可以较为准确地计算任意持有期模型可以较为准确地计算任意持有期下资产组
8、合的市场风险，但事实上，鉴于长期历史数下资产组合的市场风险，但事实上，鉴于长期历史数据收集的困难，往往设置较短的持有期。据收集的困难，往往设置较短的持有期。例如，若计算某资产的例如，若计算某资产的VaR需要需要1000个数据才能达到足个数据才能达到足够的精度，若计算该资产持有期为够的精度，若计算该资产持有期为1天的天的VaR，则需要，则需要4年（每年年（每年250个交易日）的数据，而如果持有期为个交易日）的数据，而如果持有期为10天，天，就需要有就需要有40年的数据年的数据 。长时期的历史数据在实际中可能无法获得，而且距离长时期的历史数据在实际中可能无法获得，而且距离当前时刻过于遥远的历史数据
9、，由于市场情形的变化当前时刻过于遥远的历史数据，由于市场情形的变化可能使早期的数据对可能使早期的数据对VaR计算具有很大的干扰性。计算具有很大的干扰性。讨论：置信水平的选择讨论：置信水平的选择n后验测试后验测试置信水平越高，对于同样的资产组合、在给定的持有置信水平越高，对于同样的资产组合、在给定的持有期内，置信水平越高，则期内，置信水平越高，则VaR越大，即资产的损失大于越大，即资产的损失大于VaR的可能性越小，可靠性越高！的可能性越小，可靠性越高！但是，为了验证但是，为了验证VaR所需要的数据越多，实际中可能受所需要的数据越多，实际中可能受到数据量的限制。到数据量的限制。n风险资本要求风险资
10、本要求金融机构维持安全性的愿望和股东报酬率之间的权衡。金融机构维持安全性的愿望和股东报酬率之间的权衡。n监管要求监管要求监管当局为保持金融系统的稳定需要设置较高的置信监管当局为保持金融系统的稳定需要设置较高的置信水平，如水平，如新资本协议新资本协议至少为至少为99%。讨论：置信水平的选择讨论：置信水平的选择n统计和比较的需要统计和比较的需要不同的机构使用不同的置信水平报告不同的机构使用不同的置信水平报告VaR数值，数值，需要知道其假设的分布和置信水平，若分布假需要知道其假设的分布和置信水平，若分布假设为正态分布，则可以相互转化，不影响不同设为正态分布，则可以相互转化，不影响不同机构之间的不同置
11、信水平下的评价。机构之间的不同置信水平下的评价。但是，不同分布下的但是，不同分布下的VaR无法转化，如无法转化，如T分布。分布。qtdist(0.99,4)=3.7469473879792，qtdist(0.95,2)=2.91998558035372。讨论：置信水平的选择讨论：置信水平的选择n置信水平的目的：即可信度或可靠性，通常为置信水平的目的：即可信度或可靠性，通常为99%（BCBS）或）或95（JP Morgan）。）。理由：银行业的脆弱性，防范小概率发生的极端风险，理由：银行业的脆弱性，防范小概率发生的极端风险，故要求计量的是资产组合的下方风险故要求计量的是资产组合的下方风险(Dow
12、nside Risk)。虽然这种风险发生的概率只有虽然这种风险发生的概率只有5或者或者1，但危害性，但危害性大。大。n总结：总结：VaR的计算的是极端风险，而不是平均风的计算的是极端风险，而不是平均风险，这与险，这与传统的方差计量风险传统的方差计量风险有本质区别。有本质区别。 7.3 VaR的数学定义的数学定义 n由由VaR的定义，若资产组合未来的随机损益为的定义，若资产组合未来的随机损益为=V，则对应于置信水平为（一般为，则对应于置信水平为（一般为99或者或者95）的）的VaR满足如下等式满足如下等式1Pr()cVaR 由于约定俗成的惯例，一般将由于约定俗成的惯例，一般将VaR取为正值，故在
13、（取为正值，故在（1.1）中）中的的VaR前面加负号。前面加负号。1999年，年，Artzner等给出严格的等给出严格的VaR数学数学定义式定义式（7.1）infPr1VaRyyc （7.2）7.3.1 连续情形连续情形n由由7.2，VaR就是对应于置信水平就是对应于置信水平c的损益分的损益分布的下分位数，由于其值为负，故在（布的下分位数，由于其值为负，故在（7.2）等号右边加负号，这表明等号右边加负号，这表明VaR计量的是资产计量的是资产组合的下方风险（组合的下方风险（Downside Risk）。在连）。在连续的情形下续的情形下VaR满足满足1( )()VaRcfy dyFVaR( )fy
14、( )Fy和，分别表示资产组合随机损益的分别表示资产组合随机损益的PDF和和CDF上式是解析法计算上式是解析法计算VaR的基本依据。的基本依据。VaR收益收益损失损失1-CPr约定俗成：约定俗成：VaR是以正数表示。是以正数表示。7.3.2 离散情形离散情形n式（式（7.2）对）对VaR的定义既适用于损益序列的定义既适用于损益序列为连续型随机变量的情形，也适用于离散为连续型随机变量的情形，也适用于离散的损益分布。若资产组合的损益序列为离的损益分布。若资产组合的损益序列为离散型，则散型，则VaR满足满足kkVaR1Pr(),k1,2,.c 上式便成为历史模拟法和蒙特卡洛模拟法计算上式便成为历史模
15、拟法和蒙特卡洛模拟法计算VaR的基本依据。的基本依据。7.4 VaR计算的基本原理计算的基本原理n不妨将不妨将A银行的全部资产看成银行的全部资产看成1个资产组合，期初个资产组合，期初（比如（比如2005.1.1）该组合的盯市价值为）该组合的盯市价值为V0，10天后天后其资产其资产 的价值如下图所示：的价值如下图所示：(VaR不是以账面价值，不是以账面价值，而是以市场价值计算来计算风险而是以市场价值计算来计算风险)回报率回报率r是随机变量是随机变量v0持有期持有期 T10天天vT=v0(1r)7.4 VaR计算的基本原理计算的基本原理n如果在某个置信水平如果在某个置信水平C（比如（比如99）下，
16、第）下，第T天资天资产组合的最低价值为产组合的最低价值为VT*，则，则0(1)TTvvr由由VaR的定义：资产组合在未来一段时间内可能的定义：资产组合在未来一段时间内可能的最大损失，有两种损失定义的最大损失，有两种损失定义:若以绝对损失定义若以绝对损失定义VaR，则称为绝对，则称为绝对VaR。若以回报的均值为参照来定义损失，即相对损若以回报的均值为参照来定义损失，即相对损失，则称为相对失，则称为相对VaR。00000() (1) 0TTTTAVaRvvvvvvrv r 期初的价值已知期初的价值已知需要估计的未知量需要估计的未知量期初价值期初价值期末的价期末的价值（在某值（在某个置信水个置信水平
17、下）平下）绝对绝对VaR（Absolute VaR）相对相对VaR（Relative VaR）n如果资产组合的平均回报率为如果资产组合的平均回报率为，在某一置，在某一置信水平下，资产组合持有期末的最小回报率信水平下，资产组合持有期末的最小回报率为为r*，则，则0000*( )( ) (1)(1) =-TTTTRVaRE vvE vvvvrvv rvv示例：相对示例：相对VaRV95置信水置信水平，最大损平，最大损失失2580万万*V平均收益为平均收益为800万万比较：相对比较：相对VaR与绝对与绝对VaR*$8,000,000( $25,800,00 0 )$33, 8 00, 0 00RVa
18、Rvv * $25,800,000AVaRv 总结：总结：VaR的优点的优点1、精确性：借助于数学和统计学工具，、精确性：借助于数学和统计学工具，VaR以定量的方式给出资产组合下方风险以定量的方式给出资产组合下方风险（Downside Risk）的确切值。）的确切值。2、综合性：、综合性：将风险来源不同、多样化的金融工具的风险纳将风险来源不同、多样化的金融工具的风险纳入到一个统一的计量框架，将整个机构的风险入到一个统一的计量框架，将整个机构的风险集成为一个数值。集成为一个数值。可实施集中式的风险管理系统，提高风险管理可实施集中式的风险管理系统，提高风险管理的效率。的效率。总结：总结：VaR的优
19、点的优点3、通俗性：货币表示的风险，方便公众、银行、监管机构通俗性：货币表示的风险，方便公众、银行、监管机构之间的沟通，充当信息披露工具。之间的沟通，充当信息披露工具。起源：起源：JP Morgan的的CEO Weathstone要求每天的要求每天的4.15 报告报告只产生一个数字：计量不同交易工具，只产生一个数字：计量不同交易工具，不同部门综合后的风险。不同部门综合后的风险。截止到截止到1999年，年，BCBS监管下的监管下的71家银行中有家银行中有66家对公家对公众披露众披露VaR。n缺点：缺点：VaR并没有告诉我们在可能超过并没有告诉我们在可能超过VaR损失损失的时间内（如的时间内（如9
20、5置信度的置信度的5/100天中；或天中；或99的的1/100天中）的实际损失会是多少。天中）的实际损失会是多少。 7.5 VaR计算方法的解析法计算方法的解析法n解析法，又称为方差解析法，又称为方差-协方差法、参数法。协方差法、参数法。借助统计学，利用历史数据拟合回报率借助统计学，利用历史数据拟合回报率r的统的统计分布。计分布。常见的分布有：正态分布、对数正态分布、常见的分布有：正态分布、对数正态分布、t分分布、广义误差分布（布、广义误差分布（GED）等。）等。n由历史数据，可以得到回报率由历史数据，可以得到回报率r的均值、方的均值、方差、协方差等，即所谓的统计参数。差、协方差等，即所谓的统
21、计参数。n由参数来估计回报率由参数来估计回报率r在某个置信水平下的在某个置信水平下的最小值。最小值。7.5.1 单资产正态分布单资产正态分布VaRn假定假定A银行期初的资产市值银行期初的资产市值v0=$100,000,000根据根据历史资料，其资产历史资料，其资产10天回报率天回报率r服从正态分布，即服从正态分布，即*111%0.01(0.01,0.04)0.299%,2.33,2.33 0.20.010.465ccrrNzczzr 若可以查正态分布表得到所以这里我们也可以发现方差计量风险的缺点：虽然回报率方这里我们也可以发现方差计量风险的缺点：虽然回报率方差仅为差仅为4，但回报率可以低到，但
22、回报率可以低到-46.5%。n若以绝对若以绝对VaR来计算来计算*0000 (1) $100,000,000 ( 0.465) $46,500,000AVaRvvvvrv r 计算结果表明：在计算结果表明：在10天内，这家期初有天内，这家期初有1亿美元资产的银行，亿美元资产的银行，我们可以以我们可以以99概率确信：其绝对损失不大于概率确信：其绝对损失不大于4650万美元，或万美元，或者说绝对损失大于者说绝对损失大于4650万美元的可能性只有万美元的可能性只有1。7.5.1 单资产正态分布单资产正态分布VaR在持有期在持有期0,1（单期）内该资产的回报为（单期）内该资产的回报为r23210ln(
23、4)( ,)23aagaarrsrrrrNs 则期末资产的随机价值为则期末资产的随机价值为10(1)vvr定义该资产持有期为定义该资产持有期为1、置信水平为、置信水平为c的最低价值（资产的最低价值（资产价值的下价值的下c分位数）为分位数）为10(1)vvr由正态分布的性质则有由正态分布的性质则有()/czr则根据则根据VaR的定义即可得到单期的的定义即可得到单期的AVaR为为*1010()cAVaRvvvz 下面计算持有期为下面计算持有期为T期的期的VaR，资产的回报，资产的回报ri满足满足2 . .( ,)irii dN 121()()()()TTiiTTiiE rErTD rDrT1211
24、1lnlnln.lnTt Tttt TTiitttt Tssssrrssss 0()TcAVaRv zTTn以上计算的是绝对以上计算的是绝对VaR，若是相对，若是相对VaR，容，容易得到易得到10cRVaRvz0TcRVaRvzTn并且成立并且成立n这就是著名的这就是著名的“平方根法则平方根法则”（square-root rule）1TRVaRRVaRT算例算例n设某股票初始价格为设某股票初始价格为10元，若该股票的回报服从元，若该股票的回报服从正态分布，其日回报的标准差为正态分布，其日回报的标准差为5，则该股票持，则该股票持有期为有期为1年（年（250个交易日），个交易日），99置信水平下的
25、置信水平下的每股每股RVaR为为110 2.33 5%25018.42RVaR年252,5,52yeardayweekdayyearweek平方根法则的模型风险平方根法则的模型风险n平方根法则：若持有期增加为原来的平方根法则：若持有期增加为原来的K倍，倍，则则RVaR值增大为原值的值增大为原值的K0.5倍。倍。n平方根法则成立的必要条件是：资产的回平方根法则成立的必要条件是：资产的回报是独立同分布的，报是独立同分布的，且全部头寸只能在持且全部头寸只能在持有期末瞬间出清。有期末瞬间出清。n事实上，回报的波动很难满足上述的两个事实上，回报的波动很难满足上述的两个假设，故以平方根法则计算的假设，故以
26、平方根法则计算的VaR存在模型存在模型风险。风险。平方根法则的模型风险平方根法则的模型风险n当资产的持有期从当资产的持有期从1天增加到天增加到T天时，若天时，若1天的风天的风险价值为险价值为VaR，则，则T天的风险价值为天的风险价值为 由此就会导致一个荒谬的结果：由此就会导致一个荒谬的结果：一个期初价值为一个期初价值为1元的资产，经过一个充分长的元的资产，经过一个充分长的T天后，天后，该资产的该资产的VaR将超过将超过1元。这意味着该资产的价值为负，元。这意味着该资产的价值为负，但实际上该资产无论经过多少持有期，其最大的损失但实际上该资产无论经过多少持有期，其最大的损失就是就是1元而不可能大于
27、它。元而不可能大于它。n故巴塞尔资本协议要求故巴塞尔资本协议要求1天换算为天换算为10天可用平方根天可用平方根法则。法则。 TVaR平方根法则的模型风险平方根法则的模型风险n导致这个问题的根源是：导致这个问题的根源是：VaR基于盯市价值的假基于盯市价值的假设而采取的瞬间出清策略（不论头寸多少！）。设而采取的瞬间出清策略（不论头寸多少！）。nVaR背后隐含的假定是：一个在背后隐含的假定是：一个在0时刻持有任意数时刻持有任意数量资产的投资者，从量资产的投资者，从0时刻到时刻到T-1时刻都没有参与时刻都没有参与交易，而只有到交易，而只有到T时刻瞬间出清全部头寸时刻瞬间出清全部头寸 。n因为因为 代表
28、的是从代表的是从0时刻观察时刻观察T时刻的回报波动时刻的回报波动（标准差），这显然高估了风险。（标准差），这显然高估了风险。 T比较：平方根比较：平方根VaR的缺陷的缺陷n采取采取Monte Carlo 仿真进行实证，并选取仿真进行实证，并选取1996年年12月月16日到日到2002年年12月月31日上证指数作为模拟的日上证指数作为模拟的基础。基础。上证指数年回报的均值为上证指数年回报的均值为0.0986，标准差，标准差0.2371，由此，由此计算得到日回报均值为计算得到日回报均值为0.000394，标准差为，标准差为0.0150；基于几何布朗运动，以基于几何布朗运动，以MATLAB程序进行持
29、有期为持程序进行持有期为持有为有为1天、天、5天、天、10天、天、30天、天、250天（天（1年）、年）、500天天（2年）、年）、1250（5年）、年）、2500天天(10年年)和和5000天（天（20年）。年）。基于平方根法则计算基于平方根法则计算VaR，以，以1天为基础。天为基础。99%置信度长期置信度长期VaR与平方根与平方根VaR 持有期（天）151030250500125025005000长期VaR0.03450.07610.10640.17940.45340.58350.74160.76020.4982平方根VaR0.03490.07800.11040.19120.55190.7
30、8051.23411.74532.46827.5.2 资产组合正态分布资产组合正态分布VaRn设某资产组合包含设某资产组合包含n种资产，第种资产，第i种资产种资产(i=1,2,n)，根据资产组合的方差计算公式，根据资产组合的方差计算公式2111,( )nnnpiiiijijijiijijD rwww Tw w若每种资产的回报均服从正态分布，由于组合回报是若每种资产的回报均服从正态分布，由于组合回报是各个资产的线性组合，则组合回报也服从正态分布，各个资产的线性组合，则组合回报也服从正态分布，从而持有期为从而持有期为1，置信水平为，置信水平为c的资产组合的资产组合RVaR为为0cRVaRv zTw
31、w00,1. . niiistvwv0,iv为资产为资产期初期初i的盯市价值的盯市价值。由此可见，组合由此可见，组合VaR计算的关键是估计回报的方差计算的关键是估计回报的方差-协方差矩阵协方差矩阵，故解析法又称为，故解析法又称为“方差协方差法方差协方差法（Variance-covariance Method） 0220111,22222200111,2111, PcPnnnciiijijijiijijnnniiccijijijiijijnnniijijiijijVaRv zTv zTwwwv wz Tv z TwwVaRVaRVaR 相应地，持有期为相应地，持有期为T天的资产组合天的资产组合p
32、（假设在此期间资（假设在此期间资产组合没有发生变化）的产组合没有发生变化）的VaR可以计算公式为可以计算公式为注意：限制于联合正态分布，至少是椭球分布族（注意：限制于联合正态分布，至少是椭球分布族（Elliptical distribution）讨论：债券组合讨论：债券组合VaRn假设市场上有假设市场上有100种债券，这些债券的期限都为种债券，这些债券的期限都为1年，债券的票面利率、到期收益率和年，债券的票面利率、到期收益率和违约率违约率分别分别为为3%、3%和和1%，且这些债券相互独立的。若某，且这些债券相互独立的。若某投资者拥有投资者拥有100万元的现金，两种投资方案：万元的现金，两种投资
33、方案：n分散投资组合分散投资组合A：分别对这：分别对这100种债券各投资种债券各投资1万万元。显然，在组合元。显然，在组合A中，只要其中有中，只要其中有3种或种或3种以种以上的债券违约，投资者就有损失上的债券违约，投资者就有损失 任意任意3种债券违约损失是种债券违约损失是30000元，其余元，其余97种债券的收种债券的收益是益是29100元，因此仍损失元，因此仍损失900元，元，3种以上的债券违约种以上的债券违约则损失更大。则损失更大。n组合组合A损失的概率是损失的概率是 %7.901. 00.9901. 00.9999. 012982100991100100CC由于组合由于组合A遭受损失的概
34、率是遭受损失的概率是7.9%5%，所以在，所以在95%置信水平下持有为置信水平下持有为1年的年的VaR0。n未分散投资组合未分散投资组合B：只投资：只投资1种债券，其损失概率种债券，其损失概率为为1%，故有，故有99%的概率获得的概率获得30000元的收益，所以元的收益，所以95%置信水平下的置信水平下的VaR为为-30000元。元。n在在95%的置信水平下，的置信水平下，VaR测量风险的结果是：分测量风险的结果是：分散组合散组合A的风险大于未分散投资组合的风险大于未分散投资组合B 。n期望收益：两个组合同为期望收益：两个组合同为19700元。因此，元。因此，由由95%VaR得到的结论是组合得
35、到的结论是组合B优于组合优于组合A？n若将置信水平提高到若将置信水平提高到99.1%，则组合，则组合A优于组合优于组合B。由于组合由于组合B损失损失100万的概率是万的概率是1%，在，在99.1%置信水平置信水平下组合下组合B的的VaR为为100万。万。组合组合A损失损失100万的概率为万的概率为0.01100 ，则在，则在99.1%置信水平置信水平下下VaR00下进行下进行数值搜索。对于每个数值搜索。对于每个，将其代入，将其代入1f( ) A n从而得到从而得到ff，将，将ff代入代入T12T12ff( ff)0cczzn看上述的两个约束条件是否满足，上述过程由计算看上述的两个约束条件是否满
36、足，上述过程由计算机程序完成。机程序完成。112122221212121121max(,)12621min( )262fVaRfffffv xxxx xxx sub.to 11-112T12ffcz二次规划问题（二次规划问题（quadratic programming）的）的MATLAB程序程序 xfxHx21minbxAsub.to 调用命令为：调用命令为：quadprogMATLAB程序程序n%输入下列系数矩阵：输入下列系数矩阵： nH = 1 -1; -1 2 nf = -2; -6nA = 1 -1; 1 2nb = 3.8416nlb = zeros(2,1)n%然后调用二次规划函数
37、然后调用二次规划函数quadratic：nx,fval,exitflag,output,lambda = quadprog(H,f,A,b,lb)95%VaR的计算结果的计算结果nx =1.1366n 1.3525nfval = -9.4503nVaR= 9.45037.9 VaR计算的历史模拟法计算的历史模拟法历史模拟法（历史模拟法（Historical Simulation）基本思想：资产未来的价格或回报可能是历史上的所基本思想：资产未来的价格或回报可能是历史上的所有情形中的一种。有情形中的一种。非参数方法，区别于参数法，不需要估计均值、方差非参数方法，区别于参数法，不需要估计均值、方差等
38、参数等参数n计算证券计算证券S明日的明日的99置信水平下的置信水平下的VaR。u得到得到S证券今日（证券今日（2004.12.6）之前）之前1001个交易日的收个交易日的收盘价，并由此计算得到盘价，并由此计算得到1000个交易日的涨跌幅（回报个交易日的涨跌幅（回报率）。率）。u假定这假定这1000种涨跌幅在明天都有可能发生，即以今日种涨跌幅在明天都有可能发生，即以今日价格（价格（8.28元）为基础，那么明天的价格就有元）为基础，那么明天的价格就有1000种种可能。可能。收盘价格涨跌幅明日（12月7日）可能的价格2000102111.552000102211.15-0.47.8820001023
39、11.690.548.822000102411.65-0.048.242000102511.80.158.432000102812.70.99.182000102912.28-0.427.862000103011.79-0.497.792000103112.10.318.592000110111.45-0.657.632000110411.750.38.58200411228.63-0.028.26200411238.61-0.028.26200411248.23-0.387.9200411278.2-0.038.25200411288.280.088.36200411298.550.278.
40、55200411308.42-0.138.15200412018.650.238.51200412048.780.138.41200412058.6-0.188.1200412068.28-0.327.961000种种可能可能的价格的价格（局部）（局部）n将将S证券未来证券未来1000种可能的价格由小到大排序，种可能的价格由小到大排序，那么那么99置信水平下的最大损失就是对应于第置信水平下的最大损失就是对应于第10种最坏的情形，即证券的种最坏的情形，即证券的V*，经计算得到，经计算得到8.02n将今天（将今天（12月月6日）的价格减去明天（估计的）日）的价格减去明天（估计的）1000种中第种中
41、第10个最坏情形的价格个最坏情形的价格V* ，就得到了，就得到了99置信水平下、持有期为置信水平下、持有期为1天的天的VaR，即，即*0A 8.27 8.020.25VaRVV（元）历史模拟法的计算步骤历史模拟法的计算步骤n收集资产的历史数据，计算历史上资产的回报收集资产的历史数据，计算历史上资产的回报分布。分布。n用历史上的资产回报的分布，来表示未来价格用历史上的资产回报的分布，来表示未来价格的波动，由此估计资产未来的的波动，由此估计资产未来的N种价格。种价格。n收集资产的历史数据，计算历史上资产的回报收集资产的历史数据，计算历史上资产的回报分布。分布。n用历史上的资产回报的分布，来表示未来
42、价格用历史上的资产回报的分布，来表示未来价格的波动，由此估计资产未来的的波动，由此估计资产未来的N种价格。种价格。历史模拟法假设和优点历史模拟法假设和优点n历史模拟法假设：资产未来损益的概率分历史模拟法假设：资产未来损益的概率分布与其历史损益是同分布的，故可用历史布与其历史损益是同分布的，故可用历史上的资产价格的变化或风险因子的波动，上的资产价格的变化或风险因子的波动，来表示它们未来的波动，从而只要在某一来表示它们未来的波动，从而只要在某一置信水平下，找到相对应的资产历史回报置信水平下，找到相对应的资产历史回报的分位数，就可以得到的分位数，就可以得到VaR的估计值。的估计值。n历史模拟法可以方
43、便地处理金融资产的非历史模拟法可以方便地处理金融资产的非线性、重尾性等解析法难以处理的问题，线性、重尾性等解析法难以处理的问题，这也是历史模拟法的最大优点。这也是历史模拟法的最大优点。,1,(1)i ti ti tsss ,1i ti ti tsss,1,1(2)i ti ti tsss,1,1,2i ti ti tsss,1,999(1000)i ti ti tsss ,1,999,1000i ti ti tsss ， ， ,1( ),1,2,.,i tsjjk表示表示t1日第日第i种证券价格的种证券价格的第第j个估计值个估计值若以资产的价值来表示则为若以资产的价值来表示则为1,2,(1),
44、(1),.(1)(1)t Tt Tn t Tt Tfffv定价公式1,2,(2),(2),.(2)(2)t Tt Tn t Tt Tfffv定价公式1,2,( ),( ),.( )( )t Tt Tn t Tt Tfkfkfkvk定价公式 ( )( )t Ttkvkv若以风险因子来估计，则为若以风险因子来估计，则为,tm ttrrttteu2为为t时刻交易时刻交易金额变化率金额变化率市场调整的流动市场调整的流动性指标性指标流动性引流动性引起的残差起的残差例子：历史模拟法计算例子：历史模拟法计算,tm ttrrttu2输入输入N个个Vt输入输入N个个rm，t输出输出N2个个rt计算原理：由历史数
45、据形成任意的价量组合。计算原理：由历史数据形成任意的价量组合。N天的交易量相天的交易量相对数和对数和N天的回报，就会形成天的回报，就会形成N2种组合。种组合。注意：注意： N2-N种过去没种过去没有发生的。有发生的。未来真实回报落在估计回报分布中的概率随选取样本的数量增未来真实回报落在估计回报分布中的概率随选取样本的数量增加而增大。加而增大。实证分析实证分析模型回归模型回归数据选取：深发展（价格，交易额）、深市成数据选取：深发展（价格，交易额）、深市成份股指（份股指（1996.12.162003.9.25）共）共1435个交易个交易日日Eviews 3.1回归结果（回归时只用回归结果（回归时只
46、用2002.12.31前前的数据）的数据）5.2 利用回归模型计算利用回归模型计算VaR由历史模拟法，窗口期：由历史模拟法，窗口期：1000天。天。MATLAB程程序给出序给出106个下一个交易日回报的估计值，得到个下一个交易日回报的估计值，得到概率分布。概率分布。由由VaR定义，求得持有期定义，求得持有期1天，天，99置信水平下置信水平下的的VaR值。值。,-0.000124 1.006532tm ttrrttteu0.0002060.0002862 说明：说明：（1）前者用非对称的）前者用非对称的GARCH（1，1）模型回归；）模型回归；（2）两个方程的系数都比较显著，后一个方程的）两个方
47、程的系数都比较显著，后一个方程的R2值较小。值较小。N=1000;%设置进入模型的设置进入模型的rm或或vt数数 q=round(N*N*5/100);%设置模型的显著设置模型的显著性水平性水平size_vt_rm1=size(vt_rm1);for i=1:(size_vt_rm1(1)-1435) rm=vt_rm1(1435-N+1+i:1435+i,2); vt=vt_rm1(1435-N+1+i:1435+i,1);re = sqrt(abs(0.000286+0.000206*vt); for j=1:N start=N*(j-1)+1; ends=N*j; rt(start:en
48、ds,1)= -0.000124+1.006532*rm+re(j,1); endj=0;for k=1:(N*N) if rt(k,1)0 j=j+1; rt2(j,1)=rt(k,1); endendrt3=sort(rt2);rt_1(i,1)=rt3(p);rt_5(i,1)=rt3(q);end利用利用MATLAB 5.0编写的程序编写的程序深发展深发展9999置信水平日置信水平日VaRVaR值（局部）值（局部）日期日期La-VaRLa-VaR日期日期La-VaRLa-VaR日期日期La-VaRLa-VaR日期日期La-VaRLa-VaR2003-1-2003-1-2 20.0310
49、20.031021 12003-1-2003-1-9 90.031230.031234 42003-2003-9-129-120.0236910.0236912003-9-2003-9-19190.0236480.0236482003-1-2003-1-3 30.031020.031027 72003-1-2003-1-10100.031210.031214 42003-2003-9-159-150.0236650.0236652003-9-2003-9-22220.0241340.0241342003-1-2003-1-6 60.031020.031029 92003-1-2003-1-13
50、130.031200.031209 92003-2003-9-169-160.0236790.0236792003-9-2003-9-23230.0240820.0240822003-1-2003-1-7 70.031230.031234 42003-1-2003-1-14140.031200.031206 62003-2003-9-179-170.0236490.0236492003-9-2003-9-24240.0239610.0239612003-1-2003-1-8 80.031230.031234 42003-1-2003-1-15150.031200.031206 62003-20
