1、 连续型随机变量连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间所有可能取值充满一个区间, ,对这种类型的随机变量对这种类型的随机变量, ,不能象离散型随机变量那不能象离散型随机变量那样样, ,以指定它取每个值概率的方式以指定它取每个值概率的方式, ,去给出其概率分去给出其概率分布布, ,而是通过给出所谓而是通过给出所谓“概率密度函数概率密度函数”, ,研究随机研究随机变量落入某个区间内的概率变量落入某个区间内的概率. .则称则称 X为为连续型连续型随机变量随机变量, 称称 f (x) 为为 X 的的概率密概率密度度函数函数，简称，简称概率密度概率密度.1 1、连续型随机变量与密度函数的概念、连续型随
2、机变量与密度函数的概念 ( )(),Xf xxRXa b 对对于于随随机机变变量量 ，若若存存在在非非负负可可积积函函数数使使得得随随机机变变量量 取取值值任任意意区区间间的的概概率率为为()( )baP aXbf x dx 0 xf(x)ab( )baf x dx几何定义几何定义2 2、概率密度函数的性质、概率密度函数的性质1 o( )0f x 2 o( )1f x dx 【注注】这两条性质是判定一个这两条性质是判定一个函数函数 f(x)是否为某连续型是否为某连续型X概率密度的充要条件概率密度的充要条件0 xf(x)面积为面积为11 1、分布函数是研究随机变量概率分布的统一工具、分布函数是研
3、究随机变量概率分布的统一工具离离散散型型随随机机变变量量：( )()()kkkkxxxxF xP XxP Xxp连连续续型型随随机机变变量量：( )()( )xF xP Xxf t dt 0 xf(x)x( )( )xF xf t dx2 2、连续型随机变量的分布函数处处连续、连续型随机变量的分布函数处处连续,xRx 证证明明：设设自自变变量量改改变变量量0000limlim()( ) lim() lim( )0 xxxxxxxFF xxF xP xXxxf t dt 正是由于分布函数的为连续函数，随机变量才称正是由于分布函数的为连续函数，随机变量才称为连续型，这也是连续型随机变量的另一定义。
4、为连续型，这也是连续型随机变量的另一定义。3 3、连续型随机变量取单点值概率为、连续型随机变量取单点值概率为0.0.,()0XxR P Xx 连连续续型型随随机机变变量量00()lim() lim( )0 xxxxxP XxP xXxxf t dt 由由P(B)=1, 不能推出不能推出 B=S由由P(A)=0, 不能推出不能推出A 由此可以得到如下结论：由此可以得到如下结论：4 4、连续型随机变量任意区间内的概率求法、连续型随机变量任意区间内的概率求法,()0XxR P Xx 由由于于连连续续型型随随机机变变量量, ()()()()( )( )( )baa bR abP aXbP aXbP a
5、XbP aXbF bF af x dx ( )( )DP XDxXfdx 总总之之：连连续续型型随随机机变变量量5 5、连续型随机变量分布函数与密度函数关系、连续型随机变量分布函数与密度函数关系. .( )()( ) ( )( )( )xxXF xP Xxf t dtFxf t dtf x 连连续续型型随随机机变变量量 由由于于由此可知：分布函数求导等于概率密度函数；由此可知：分布函数求导等于概率密度函数； 密度函数求积分等于分布函数。密度函数求积分等于分布函数。6 6、连续型随机变量密度函数的意义、连续型随机变量密度函数的意义. .00()( )( )( )lim() limxxF xxF
6、xf xFxxP xXxxx 若若 x 是是 f(x) 的连续点，则的连续点，则对对 f(x)的进一步理解的进一步理解: 故故 X的密度的密度 f(x) 在在 x 这一点的值，恰好是这一点的值，恰好是X 落落在区间在区间 上的概率与区间长度上的概率与区间长度 之比的之比的极限极限. 这里，如果把概率理解为质量，这里，如果把概率理解为质量， f (x) 相当于相当于线密度线密度.x( ,x xx6 6、连续型随机变量密度函数的意义、连续型随机变量密度函数的意义. .0()( )( )lim()( )()()= ( )xP xXxxf xFxxP xXxxf xxP xXxxf xxx 无无穷穷小
7、小量量若不计高阶无穷小，有若不计高阶无穷小，有( )P xXxxf xx ( )f xx 在连续型变量理论中所起的作用与在连续型变量理论中所起的作用与()kkP Xxp在离散型变量理论中所起的作用在离散型变量理论中所起的作用相类似相类似.0 xf(x)abxx xs01,(),()= lim()( )( )kka xbnbiiaxiX P aXbpX P aXbf xxf x dxsf xx 离离散散型型随随机机变变量量连连续续型型随随机机变变量量即即区区间间内内诸诸多多小小面面积积微微元元之之和和 要注意的是要注意的是，密度函数，密度函数 f (x)在某点处在某点处a的高度的高度(取值取值)
8、，并不反映，并不反映X取值的概率取值的概率. 但是，这个高度越但是，这个高度越大，则大，则X取取a附近的值的概率就越大附近的值的概率就越大. 也可以说，在也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度程度. f (x)xoa 031 ( )2 3420 7(1) (2)( ) (3) (1)2kxxxXf xxkF xPX 例例设设连连续续型型随随机机变变量量其其它它求求： 常常数数解解：由由归归一一性性可可知知034034( )0(2)02xf x dxdxkxdxdxdx342203110(2)0124kxxx16k0 x34 xx
9、 x x (2)0,( )00 xxF xdx 20003,( )( ) 0612xxxF xf t dttxdtdt 2030334,( )( ) 0(2)32624xxxF xf t dtttxdtdtdtx 0340344,( )0(2)0162xttx F xdtdtdtdt1,036( )2,3420,xxxf xx 其其它它220,0,0312( )32,3441,4xxxF xxxxx 即即 77413112248PXFF（ ）22(0.30.7)(0.7)(0.3)0.70.30.4PXFF20 02 ( ) 011 1( )(0.30.7)xXF xxxxf xPX 例例设设
10、连连续续型型随随机机变变量量求求：概概率率密密度度函函数数以以及及2 01( )( )0 xxf xFx 解解：由由题题可可知知，其其它它.)3(;2)2(;,)1(:., 1,arcsin, 0)(的概率密度的概率密度随机变量随机变量的值的值系数系数求求的分布函数为的分布函数为设连续型随机变量设连续型随机变量XaXaPBAaxaxaaxBAaxxFX 练习练习1),(lim)(xFaFax 故有故有解解 (1) 因为因为 X 是连续型随机变量是连续型随机变量, )(lim)(xFaFax ,)(连续连续所以所以xF aaBAarcsin aaBAarcsin即即BA2 , 0 BA2 , 1
11、 .1 B ., 1,arcsin121, 0)(axaxaaxaxxF所所以以,21 A解之得解之得)2(aF 0)2arcsin(121 aa6121 2)2(aXaP )( aF .32 )()(xFxf 的概率密度为的概率密度为随机变量随机变量 X)3( ., 0,122其其它它axaxa练习练习2 设随机变量设随机变量X的概率密度函数为的概率密度函数为,( )0,kaxbf x 其其它它( )kF x求求 的的值值以以及及分分布布函函数数1,( )0,axbf xba 其其它它0,( ),1xaxaF xaxbbaxb （一）均匀分布（一）均匀分布则称则称X在区间在区间( a, b)
12、上服从均匀分布，上服从均匀分布，X U(a, b)1,( )0,axbf xba 其其它它若随机变量若随机变量X的概率密度为：的概率密度为：记作记作 ( , ),1 .( ,),1,c lcXU a blc clP cXcldl acclbabbxa 若若对对于于长长度度 为为的的区区间间有有 0,( ),12 .xaxaF xP XxaxbbaxbX 的的分分布布函函数数为为： 公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车站的时间，即乘客的候车时间等站的时间，即乘客的候车时间等.均匀分布常见于下列情形：均匀分布常见于下列情形： 如在数值计算中，由于四舍五如
13、在数值计算中，由于四舍五 入，小数点后某入，小数点后某一位小数引入的误差；一位小数引入的误差；例例3 3 某公共汽车站从上午某公共汽车站从上午7 7时起，每时起，每1515分钟来一班车，分钟来一班车，即即 7:007:00，7:157:15，7:30, 7:45 7:30, 7:45 等时刻有汽车到达此等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间站，如果乘客到达此站时间 X 是是7:00 7:00 到到 7:30 7:30 之间之间的均匀随机变量的均匀随机变量, , 试求他候车时间少于试求他候车时间少于5 5分钟的概率分钟的概率. .解解以以7:007:00为原点，以分为单位为原点，以分为单位.
14、 . 由题可知由题可知(0,30)XU 1,030( )300,xf x 其其它它 为使候车时间为使候车时间X少于少于 5 分钟，乘客必须在分钟，乘客必须在 7:10 到到 7:15 之间，或在之间，或在7:25 到到 7:30 之间到达车站之间到达车站.所求概率为：所求概率为：10152530PXPX 1530102511130303dxdx即乘客候车时间少于即乘客候车时间少于5 分钟的概率是分钟的概率是1/3.从上午从上午7时起，每时起，每15分钟来一班车，即分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30等时刻有汽车到达汽车站，等时刻有汽车到达汽车站，2(1,6),10XUxXx 练练习习
15、：设设求求方方程程有有实实根根的的概概率率1 165(1,6),( )0 xXUf x 其其它它解法一：解法一：2=40X2(40)(2)(2)P XP XP X 262214( )( )055f x dxf x dxdx解法二：由性质解法二：由性质2(40)(2)(2)(2)P XP XP XP X (26)4(16)5LXLX （二）指数分布（二）指数分布 指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命寿命.若若 随机变量随机变量 X具有概率密度具有概率密度 ,0,0 ,xexfx 其其它它, ,0 其其中中为常数为常数, 则称则称 X 服从参数为服从
16、参数为 的指数分布的指数分布. 1,0( )0,xexF xP Xx 其其它它若若X 服从参数为服从参数为 的指数分布的指数分布, 则其分布函数为则其分布函数为事实上事实上 , xF xf t dt 0 x xx xF xf t dt 0 xdt 0 x 当当 时时,0 x 当当 时时, xF xf t dt 00dt 0 xtedt 100, 0( ) 0, 0 xkexf xx 例例4 4 某电子元件使用寿命为随机变量某电子元件使用寿命为随机变量X，其概率密，其概率密度为度为求求：(1) 常数常数k； (2) 寿命超过寿命超过100小时的概率；小时的概率；解：解：1000(1) ( )1,
17、xf x dxkedx 1 100;k10011001(2) (100)=;100 xP Xedxe 解：解：(300,200)(3) (300200)=(200)P XXP XXP X 312(300)=.(200)P XeeP Xe 可见，指数分布具有“无记忆性无记忆性”.100, 0( ) 0, 0 xkexf xx 例例4 4 某电子元件使用寿命为随机变量某电子元件使用寿命为随机变量X，其概率密，其概率密度为度为求求：(3) 已知元件已正常使用已知元件已正常使用200小时，至少还能使用小时，至少还能使用100小时的概率；小时的概率；解：解：(4) :3100Y设设个个元元件件中中使使用
18、用小小时时损损坏坏的的元元件件数数，(1)=1(0)P YP Y100, 0( ) 0, 0 xkexf xx 例例4 4 某电子元件使用寿命为随机变量某电子元件使用寿命为随机变量X，其概率密，其概率密度为度为求求：(4) 3个这样的元件使用个这样的元件使用100小时后，至少一个损小时后，至少一个损坏的概率坏的概率(假定这假定这3个元件是否损坏相互独立个元件是否损坏相互独立).1(3, 1),YBe 则则1 33=1()1.ee（三）正态分布（高斯分布）（三）正态分布（高斯分布）1 1、一般正态分布、一般正态分布 若连续型随机变量若连续型随机变量X 的的概率密度为概率密度为22()21( ),
19、2xf xex 2( ,)XN (0),X 其其中中 和和都都是是常常数数，则则称称服服从从参参数数的的正正态态分分布布或或高高斯斯分分布布。 2 2( ,)2( ,)NN 密密度度函函数数中中易易错错的的表表示示方方法法：， (00)f x 参参数数的的确确定定，由由于于 注意：注意：( 2,4)2,2XN 例例如如： 当随机变量受到众多相互独立的随机影响，而当随机变量受到众多相互独立的随机影响，而每个因素的影响微小不能起主导作用，因素正负影每个因素的影响微小不能起主导作用，因素正负影响可以相互叠加时，随机变量往往服从正态分布。响可以相互叠加时，随机变量往往服从正态分布。例如：产品质量指标，
20、原件尺寸，射击目标的水平例如：产品质量指标，原件尺寸，射击目标的水平与垂直误差，信号噪声干扰强度等。与垂直误差，信号噪声干扰强度等。2 2、正态曲线的特点、正态曲线的特点 0,()()xhPhXPXh 关关于于对对称称区区间间的的概概率率相相同同： (1) ( )0,f xx 单单峰峰曲曲线线：“中中间间高高，两两边边低低”整整体体位位于于 上上方方(2)x 对对称称轴轴： max1()(23)fX 最最值值： 1122(4),( )011,22xf xee 渐渐近近线线： 拐拐点点：2(5)( ,)XN 曲曲线线变变化化 决决定定曲曲线线位位置置：固固定定 改改变变 ，曲曲线线平平移移形形状
21、状不不变变()X决决定定曲曲线线中中峰峰陡陡峭峭程程度度： 取取值值的的离离散散程程度度 max1()2fPX平平坦坦，即即max1()2fPX陡陡峭峭，即即（6 6）正态分布）正态分布 的分布函数的分布函数2( ,)N 22()21,2txF xedtx 3 3、标准正态分布、标准正态分布 222211,22xtx xexedtx )(x )(x =0,1(0,1)N 当当时时的的正正态态分分布布即即称称为为标标准准正正态态分分布布( )( ) xx 标标准准正正态态分分布布的的密密度度函函数数和和分分布布函函数数一一般般用用和和表表示示4 4、标准正态分布密度函数与分布函数的性质、标准正态
22、分布密度函数与分布函数的性质221(1) ( )2xxey 为为偶偶函函数数，标标准准正正态态曲曲线线关关于于 轴轴对对称称 ()( )xx1(0)(0)2P XP X221(2)( )=2txxedt 对对于于分分布布函函数数 ()( )xx由由于于()()P XxP Xx ()()()1()1( )xP XxP XxP Xxx ()1( )( )()1xxxx 5 5、标准正态分布函数表的应用、标准正态分布函数表的应用表表格格特特点点：04.994.99,1xp 查查表表范范围围，若若则则自自变变量量只只有有正正值值（上上限限），查查询询负负值值需需利利用用性性质质转转换换( ) 01(0
23、,1),() 021() 0 xxXNP Xxxxx 若若()( )()2 ( )1 ()22 ( )P XxxxxP Xxx 常常见见应应用用：5(0,1),XN 例例 ：设设查查表表计计算算下下列列概概率率(1)P X ( 0.50.3)PX(1.5)P X (2)P X 1(1)1(1)10.84130.1587P X(0.3)( 0.5)(0.3)(1(0.5) 0.617910.69150.3094 (1.5)( 1.5)(1.5)1(1.5)2 (1.5)12 0.9331910.86638 (2)(2)1(2)( 2)22 (2)22 0.977250.0455P XP X 6
24、6、一般正态分布与标准正态分布关系、一般正态分布与标准正态分布关系 标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布. .2( ,)(0,1)XXNN 重要定理：重要定理：2( ,)(0,1)XXNZN XZ 证证明明：设设 22212t xXP ZxPxP Xxedt (),;:tutu dtdu ux 令令 2222211( )22tu xxP Zxedtedux (0,1)XZN 即即： 根据结论根据结论, ,只要将标准正态分布的分布函数制只要将标准正态分布的分布函数制
25、成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题. . XXaaFaP XaP 2( ,)(0,1)XXNN 若若，则则 ()() ()()aXbP aXbPba 6(3,4),XN 例例 ：设设计计算算下下列列概概率率(25)PX(2)P X 2335313()(1)22222XXPP(2)(2)323323()()2222P XP XXXPP 11(1)()(1)(1( )0.532822 15151()()( )1( )0.69772222 6(3,4),XN 例例 ：设设计计算算下下列列概概率率,()()cP XcP Xc求求使使得得()()1()(
26、)P XcP XcP XcP Xc1()2P Xc331()()222XcP XcP3032cc 27( ,),()XNP Xk 例例 ：设设讨讨论论 2( ,),(0,1)XXNN 解解： ()P Xk()XPk ()( )()2 ( )1XPkkkkk ()2 ( )1P Xkk 1k ()2 (1)10.6826P X 2k (2 )2 (2)10.9544P X 3k (3 )2 (3)10.9973P X (3 ,3 )0.9973XX 可可见见一一般般正正态态分分布布的的随随机机变变量量， 取取值值于于内内的的概概率率高高达达。即即 几几乎乎不不会会落落入入该该区区间间之之外外。
27、3“原原则则” 21(2,),(24)0.3,(0)XNPXP X 、且且求求 (0,100),100319.6XN 2 2、假假设设测测量量的的随随机机误误差差试试求求次次独独立立重重复复测测量量中中至至少少 次次测测量量误误差差的的绝绝对对值值大大于于的的概概率率。21(2,),(24)0.3,(0)XNPXP X 、且且求求 22(2,),(0,1)XXNN 解解： 22242(24)()XPXP22()(0)0.3()0.8 20222(0)()()1()0.2XP XP (0,100),100319.6XN 2 2、假假设设测测量量的的随随机机误误差差试试求求次次独独立立重重复复测测
28、量量中中至至少少 次次测测量量误误差差的的绝绝对对值值大大于于的的概概率率。(19.6)(19.6)(19.6)P XP XP X 解解：(1.96)(1.96)10101(1.96)1(1.96)0.05XXPP (100,0.05)YB 31001000(3)1(2)10.05 0.95iiiiP YP YC 5np 350510.87535()!kkek 查查表表解解P(X h)0.01或或 P(X h) 0.99，下面我们来求满足上式的最小的下面我们来求满足上式的最小的h . . 练习练习 公共汽车车门的高度是按男子与车门顶公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在头碰头机会在 0
29、.01 以下来设计的以下来设计的. .设男子身高设男子身高XN( (170, ,62),),问车门高度应如何确定问车门高度应如何确定? ? 设车门高度为设车门高度为h cm, ,按设计要求按设计要求因为因为 XN( (170, ,62),),故故 P(X0.996170h因而因而 = = 2.33, ,即即 h=170+13.98 184设计车门高度为设计车门高度为184厘米时，可使厘米时，可使男子与车门碰头男子与车门碰头机会不超过机会不超过0.01. .P(X h ) 0.99求满足求满足的最小的的最小的 h .) 1 , 0(6170NX 所以所以 . .17017066XhP 1706h
30、 2( ,)XN 已知已知90分以上的分以上的12人，人，60分以下的分以下的83人，若从高分人，若从高分到低分依次录取，某人成绩为到低分依次录取，某人成绩为78分，问此人能否被录分，问此人能否被录取？取？练习练习 某单位招聘某单位招聘155155人，按考试成绩录用，共有人，按考试成绩录用，共有526526人报名，假设报名者的考试成绩人报名，假设报名者的考试成绩分析分析首先求出首先求出和和然后根据录取率或者分数线确定能否录取然后根据录取率或者分数线确定能否录取解解 成绩成绩X服从服从 2,N 12900.0228526P X 83600.1588526P X 录取率为录取率为 1550.2947526可得可得 909011 0.02280.9772P X 60600.1588P X 601 0.15880.8412 得得 查表得查表得 601.0902.0查表得查表得 601.0902.0解得解得 70 , 10故故 270,10XN设录取的最低分为设录取的最低分为 x则应有则应有 0.2947P Xx1 0.29470.7053P Xx 700.705310 x75.4x 700.5410 x某人某人78分，可分，可被录取。被录取。
