1、2014年2月第五节第五节 平面标量场平面标量场 用复变函数表示平面标量场 在物理及工程中常常要研究各种各样的场，如电磁场、声场等，这些场均依赖于时间和空间变量。若场与时间无关，若场与时间无关，则称为恒定场则称为恒定场，如静电场、流体中的定常流速等。若所研究若所研究的场在空间的某方向上是均匀的的场在空间的某方向上是均匀的，从而只需要研究垂直于该方向的平面上的场，这样的场称为平面场平面场。取定垂直于某方向的平面为XOY平面，其上的点用z=x+iy来表示，于是场中每一个具有分量Ax，Ay的向量可表为),(i),()(yxAyxAzAAyx 理想流体定常流 平面温度场例题：P18 例1、例2第六节第
2、六节 多值函数多值函数根式函数22sini22coskkrz是主幅角其中, 1 , 0,krezi记202sini2cosierr212sini2cosierr值域的幅角范围为,2 )值域的幅角范围为0,)w0w1支点 n-1阶支点 一阶支点 Riemann面黎曼面第二章 复变函数的积分2.1 复变函数的积分2.2 科西定理2.3 不定积分2.4 科西公式 性质CCCdzzgBdzzfAdzzBgzAf)()()()(2121)()()(CCCCdzzfdzzfdzzf的逆向是其中CCdzzfdzzfCC,)()(CCdzzfdzzf)()(的长度为其中ClzfMMldzzfC|,)(|max
3、,)( 路积分的计算方法1. 归为二元函数的积分来计算，计算公式为2. 参数方程的表达形式C: z=z(t)CCCdyyxudxyxvdyyxvdxyxudzzf),(),(i),(),()(dttztzfdzzfC)()()(t举例CzdzRe其中：(1) C为由原点到(1,0)再到(1,1)的折线； (2) C为由原点到 (1,1)的直线1|22) 1(1izdzz计算积分：3|2|22)9(1izdzz计算积分：定义：绝对收敛与条件收敛称级数 是绝对收敛的，如果 是收敛的1nnw1|nnw定理三：收敛的必要条件级数 收敛的必要条件是1nnw0limnnw定理二：收敛的充分必要条件设 ，则
4、级数 收敛的充分必要条件是 和 都收敛，其中un和 vn皆为实数。), 2 , 1(invuwnnn1nnw1nnu1nnv称级数 是条件收敛的， 如果 是发散的， 而 是收敛的1nnw1|nnw1nnw性质连续性可积性解析性级数 在C上一致收敛，且wn(z)在C上连续，则)(1zwnn11)()(nCnCnndzzwdzzw级数 在B内一致收敛，且wn(z)连续，则该级数在B内连续)(1zwnn级数 在B内一致收敛于f(z)，且wn(z)在B内解析，则f(z)在B内解析，且)(1zwnn1)()()()(nknkzwzf 问题的提出已知结果：当 f(z)在圆|z-z0|R内解析，Taylor
5、定理告诉我们，f(z)必可展开成幂级数。问题是：当 f(z)在圆|z-z0|R内有奇点时，能否展开成幂级数或展开成类似于幂级数的形式。第5节 洛朗级数展开 双边幂级数其中nnnnnnnzzazzazzazzaazzazzazza)()()()()()()(00202010101202000)(nnnzza被称为双边幂级数的正幂部分10)(nnnzza被称为双边幂级数的负幂部分00)(nnnzza正幂部分10)(nnnzza负幂部分R2R1z0R1z0|z-z0|R1R2z0R2|z-z0|收敛环R2|z-z0|R2外收敛。如果R2R1，那么双边幂级数就在环状域 R2|z-z0|R1 内收敛，所
6、以 R2|z-z0|R1给出了双边幂级数的环状收敛域，称为收敛环。双边幂级数在收敛环内绝对内闭一致收敛。孤立奇点 概念若函数 f(z) 在某点z0在不可导，而在z0的任意邻域内除z0外连续可导，则称z0为f(z)的孤立奇点；若在z0的无论多小的邻域内总可以找到z0以外的不可导点，则称z0为f(z)的非孤立奇点。举例孤立奇点的例子2/111 , ,1zezz非孤立奇点的例子)/1sin(1z1 ,21 , ,0, ,21 ,1第四章 留数定理及其应用4.1 留数定理4.2 应用留数定理计算实变函数定积分*4.3 计算定积分的补充例题5.3 函数第五章 Fourier变换5.1 傅立叶级数5.2
7、傅里叶积分和傅里叶变换 Fourier展开基本函数族1sin,cos, 1nxlnxln函数 f(x) 的Fourier展开式 10sincosnnnxlnbxlnaaxf lldfla210 llndlnflacos1 llndlnflbsin1 Dirichlet定理-Fourier展开收敛定理若 f(x) 满足： (1)处处连续，或在每个周期内只有有限个第一类间断点； (2) 在每个周期内只有有限个极值点，则( )( )1 (0)(0)2f xxf xFourierf xf xx在连续点函数的展开在间断点l-l 正弦级数和余弦级数若函数 f(x) 是奇函数，则Fourier展开成正弦级数
8、若函数 f(x) 是偶函数，则Fourier展开成余弦级数例1：设 f(x) = x+1, x (0,l),试将其展开成正弦级数例子l-l例2：设 f(x) = x, x(0,l),试将其展开成余弦级数例3：设 f(x) = x, x (0,l),试根据条件 f (0)= f (l)=0 将 其展开成Fourier级数l-ll-l2l-2l 复形式的Fourier级数基本函数族nxlnie函数 f(x) 的Fourier展开式 nxlninecxf lllnindeflc21例1：矩形函数是指试将矩形脉冲 展开成Fourier积分210211rectxxx Tthtf2rect01234567
9、-1-0.500.511.522.533.543; 2hT AhT2TT3T4T2 tfthTOT ThAsin2例2：具有2N个完整波形的正弦波列：试将它展开成Fourier积分 000202sinNtNttAtf-40-30-20-10010203040-1011; 1;100AN 020202sin2NAB00.20.40.60.811.21.41.61.82-4-2024681012 B002NAN2110N2110 Fourier变换的性质性质1（导数性质）( )( )fxi F性质2（积分性质）1( )( )xf x dxFi性质4（延迟性质）0()( )i xf xxeF性质3（
10、相似性质）1()f axFaa性质5（位移性质）0( )()ixef xF性质6（卷积性质）1212( )( )2( )( )f xfxFF性质1（导数性质）( )( )fxi F性质2（积分性质）1( )( )xf x dxFi性质4（延迟性质）0()( )i xf xxeF性质3（相似性质）1()f axFaa性质5（位移性质）0( )()ixef xF 多重Fourier积分321321321),(),(dkdkdkekkkFzyxfzkykxkidxdydzezyxfkkkFzkykxki321),(21),(3321kdekFrfrki3)()(rderfkFrki33)(21)(k
11、dekFrfrki32/3)(21)(rderfkFrki32/3)(21)( 例123(0)0,(0)1tyyyeyy解：设y(t)=Y(p)，方程两边取Laplace变换，有21( )(0)(0)2( )(0)3 ( )1p Y ppyypY pyY pp21( ) 12( )3 ( )1p Y ppY pY pp 3118842( )(1)(1)(3)113pY ppppppp( )y t 3311488ttteee -1Y(p)利用初始条件，得到 例2222(0)(0)(0)(0)0tyxxyeyxyxtyyxx 解：设y(t)=Y(p)，x(t)=X(p)，方程组两边取Laplace
12、变换，并利用初始条件，得到( )x t ttte -1X(p)2222212( )( )( )( )112( )( )2( )( )p Y pp X ppX pY pppp Y pp X ppY pX pp 222(1) ( )( )(1)12( )(1)( )(1)ppY ppX pp ppY ppX ppp 2221( )(1)21( )(1)Y pp ppX ppp( )y t 1ttete -1Y(p) 例30( )(1)(0)0tdiidtdti解：设i(t)=I(p)，方程两边取Laplace变换，并利用初始条件，得到1( )( )ppI pI pep( )i t cos(1)(1
13、)tH t-1I(p)2( )1ppI pep数学物理方程数学物理方程 课程的内容课程的内容三种方程、 四种求解方法、 二个特殊函数分离变量法、行波法、积分变换法、格林函数法波动方程、1-6,14输运方程、7-8稳定场方程、9-13贝赛尔函数、勒让德函数 数学物理方程定义数学物理方程定义描述某种物理现象的数学微分方程。数学物理方程数学物理方程 课程的内容课程的内容三种方程、 四种求解方法、 二个特殊函数分离变量法、行波法、积分变换法、格林函数法波动方程、1-6,14输运方程、7-8稳定场方程、9-13贝赛尔函数、勒让德函数 数学物理方程定义数学物理方程定义描述某种物理现象的数学微分方程。简化假
14、设：(2)振幅极小， 张力与水平方向的夹角很小。(1)弦是柔软的，弦上的任意一点的张力沿弦的切线方向。cos1cos1 gds M M ds x T y xdx x T 牛顿运动定律：sinsinTTgdsma横向：coscosTT纵向：( , )sintan(d , )sintanu x txu xx tx其中：TT(d , )( , )u xx tu x tTgdsmaxx22(d , )( , )( , )ddu xx tu x tu x tTg xxxxt其中：ddsx22( , )mdsu x tat22(d , )( , )( , )( , )ddu xx tu x tu x tu
15、 x txxxxxxx2222( , )( , )ddux tu x tTgxxxt其中：从麦克斯韦方程出发：cv0 DHJtBEtDB在自由空间：HBED00HEtHEtEHcv0,0J例例2、时变电磁场、时变电磁场00HEtHEtEH对第一方程两边取旋度，)(EtH根据矢量运算：2()HHH 2()HHtt222tHH由此得：得 ：2222222xyz 拉普拉斯算子： 同理可得：2221EEt电场的三维波动方程222222221()HHHHtxyz磁场的三维波动方程例例3 3、静电场、静电场电势u 确定所要研究的物理量：根据物理规律建立微分方程：Eu/ E)(uE/2 u02 u对方程进行
16、化简：uu2/拉普拉斯方程(无源场) 泊松方程 同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性。边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历史，即个性。初始条件：能够用来说明某一具体物理现象初始状态的条件。边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上的约束情况的条件。二、定解条件的推导二、定解条件的推导其他条件：能够用来说明某一具体物理现象情况的条件。初始时刻的温度分布：B、热传导方程的初始条件0(, )|()tu M tMC、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件 描述稳恒状态，与初始状态无关，不含初始条件A、 波动方程的初始条件00|( )( )ttuxuxt1、初始条件、初始条件描述系统的初始
17、状态描述系统的初始状态系统各点的初位移系统各点的初速度(2)自由端：x=a 端既不固定，又不受位移方向力的作用。2、边界条件、边界条件描述系统在边界上的状况描述系统在边界上的状况A、 波动方程的边界条件(1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：0|0,xu( , )0u a t 或：0 x auTx0 x aux( , )0 xu a t (3) 弹性支承端：在x=a端受到弹性系数为k 的弹簧支承。x ax auTkux 或0 x auuxB、热传导方程的边界条件(1) 给定温度在边界上的值|sufS给定区域 v 的边界(2) 绝热状态0sun(3)热交换状态牛顿冷却定律：单位时间内从物体
18、通过边界上单位面积流到周围介质的热量跟物体表面和外面的温差成正比。11()d dd dudQk uuS tkS tn 热交换系数； 周围介质的温度1k1u1SSuuun1kk第一类边界条件第二类边界条件第三类边界条件1 1、定解问题、定解问题三、定解问题的概念三、定解问题的概念(1) 初始问题：只有初始条件，没有边界条件的定解问题；(2) 边值问题：没有初始条件，只有边界条件的定解问题；(3) 混合问题：既有初始条件，也有边界条件的定解问题。 把某种物理现象满足的偏微分方程和其相应的定解条件结合在一起，就构成了一个定解问题。定解问题的检验定解问题的检验 解的存在性：定解问题是否有解；解的唯一性
19、：是否只有一解；解的稳定性：定解条件有微小变动时，解是否有相应 的微小变动。3 3、线性偏微分方程的分类、线性偏微分方程的分类 按未知函数及其导数的系数是否变化分为常系数和变系数微分方程 按自由项是否为零分为齐次方程和非齐次方程2 2、微分方程一般分类、微分方程一般分类 (1) 按自变量的个数，分为二元和多元方程；(2) 按未知函数及其导数是否线性，分为线性微分方程和 非线性微分方程；(3) 按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一阶、二阶 和高阶微分方程。5 5、微分方程的解、微分方程的解 古典解：如果将某个函数 u 代入偏微分方程中，能使方程成为恒等式，则这个函数就是该偏微分方程的解。形式解：未经过验证的解为形式解。 6 6、求解方法、求解方法分离变量法、行波法、积分变换法、格林函数法
