1、一、行列式的性质一、行列式的性质行列式行列式 称为行列式称为行列式 的转置行列式的转置行列式. TDD记记nnaaa2211nnaaa21122121nnaaa D2121nnaaannaaa2112 TDnnaaa2211证明证明 的转置行列式的转置行列式记记ijaDdet ,212222111211nnnnnnTbbbbbbbbbD ,1,2,ijjibai jn即按定义按定义 .1121212121 nppptnppptTnnaaabbbD行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等. .故故.TDD 证毕证毕说明说明 行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位,因
2、此行列因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. .12121 nppptnaaaD 又因为行列式又因为行列式D可表示为可表示为互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）, ,行列式变号行列式变号. .设行列式设行列式,2122221112111nnnnnnbbbbbbbbbD 是由行列式是由行列式 变换变换 两行得到的两行得到的, ijaDdet ji,于是于是 njinpjpipptbbbbD1111 111ijntpjpipnpaaaa ,111nijnpjpipptaaaa ,1为为自自然然排排列列其其中中nji.1的逆序数的逆序数为排列为排列
3、njippppt11,jinppppt设排列的逆序数为则有则有即当即当 时时,jik, ;kpkpab 当当 时时,jik, ,ipjpjpipabab 例如例如 ,111tt 故故 .11111DaaaaDnijnpjpippt 证毕证毕,571571 266853.825825 361567567361266853,.iji jrr交换两行记作,.iji j交换两列记作 如果行列式有两行（列）完全相同，则如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零此行列式为零. .证明证明互换相同的两行，有互换相同的两行，有 . 0 D,DD 推论推论 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（
4、列）中所有的元素都乘以同一数乘以同一数 ，等于用数，等于用数 乘此行列式乘此行列式. .kknnnniniinaaakakakaaaa212111211nnnniniinaaaaaaaaak212111211 ().iiirkckk第 行（或列）乘以 ,记作或 行列式的某一行（列）中所有元素的公因行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面子可以提到行列式符号的外面().iiikrkck第 行（或列）提出公因子 ,记作或 行列式中如果有两行（列）元素成比行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零例，则此行列式为零证明证明nnnniniiiniinaaakakakaaa
5、aaaa21212111211nnnniniiiniinaaaaaaaaaaaak21212111211 . 0 性质性质4 若行列式的某一列（行）的元素都是两若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和数之和, ,nnnininnniiniiaaaaaaaaaaaaaaaD)()()(2122222211111211 则则D等于下列两个行列式之和：等于下列两个行列式之和：nnninnininnninniniaaaaaaaaaaaaaaaaaaD 122211111122211111例如例如性质性质5 把行列式的某一列（行）的各元素乘以把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列同一数然
6、后加到另一列(行行)对应的元素上去，行对应的元素上去，行列式不变列式不变njnjninjjinjiaaaaaaaaaaaa122221111111111112122221()()()ijjnijjjnninjnjnjijaakaaaaakaaaaakaakcac k例如例如性质性质.ijkkrjir 以 数乘 第 行 加 到 第 行 上 ,记 作例例2101044614753124025973313211 D二、应用举例二、应用举例计算行列式常用方法：利用运算把行列式计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值化为上三角形行列式，从而算得行列式的值jikrr 3
7、2101044614753124025973313211 D3 解解2101044614753124022010013211312 rr2101044614753140202010013211 2101044614753124022010013211312 rr 2 3 122rr 4 42rr 2220020100140203512013211 2220035120140202010013211 144rr 133rr 2220001000211003512013211 34rr 2220020100211003512013211 23rr 2 60000010002110035120132
8、11 612 454rr .12 6400001000211003512013211 352rr 4 P26P26091119 4 计算计算 阶行列式阶行列式nabbbbabbbbabbbbaD 解解 abbbnababbnabbabnabbbbna1111 D将第将第 都加到第一列得都加到第一列得n, 3 , 22nccc例例211(1)11bbbabbanbbabbba 1(1)bbba banba ba b 00 .)() 1(1 nbabna(1) canb21311,nrr rrrr注注 意意1. 几个运算写在一起，各个运算的次序一几个运算写在一起，各个运算的次序一般不能颠倒。般不能
9、颠倒。a bc d12rra c b dcd21rra c b daba bc d12rrabc a d b21rrcdc a d b而又如a bc d12rr21rra c b dc a d b注注 意意2. ijjirrrr 与 的区别ijjirkrkrr 不能写成 3. ijijrkrckc 或:上三角行列式ijijrkrckc 或:下三角行列式nnnnnknkkkkkbbbbccccaaaaD1111111111110 设设,)det(11111kkkkijaaaaaD ,)det(11112nnnnijbbbbbD .21DDD 证明证明例例3证明证明;0111111kkkkkppp
10、ppD 设为设为化为下三角形行列式化为下三角形行列式，把，把作运算作运算对对11DkrrDji 化为下三角形行列式化为下三角形行列式把把作运算作运算对对22,DkccDji .0111112nnnknqqpqqD 设为设为,01111111111nnnnknkkkkqqqccccpppD 化为下三角形行列式化为下三角形行列式把把算算列作运列作运，再对后，再对后行作运算行作运算的前的前对对DkccnkrrkDjiji, nnkkqqppD1111 故故.21DD 2n计算阶行列式例例422nnababDcdcd.其中未写出的元素为222 -12nDnn把的第行依次与第行, ，第 行对调解解200
11、000000nabcdabDabcdcd 22 -1nn再把第列依次与第列,2，第 列对调，得2 -2n（作次相邻对换）,2(1)n由上题结果，有222(1)nnDD D2(1)()nadbc D递推可得22()()nnDadbcD12()nadbcD() .nadbc (行列式中行与列具有同行列式中行与列具有同等的地位等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立同样成立). 计算行列式常用方法：计算行列式常用方法：(1)利用定义利用定义;(2)利用利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值列式的值三、小结三、小结行列式的行列式的6个性质个性质思考题思考题阶行列式阶行列式计算计算411111111111122222222ddddccccbbbbaaaaD 1 abcd已知已知思考题解答思考题解答解解111111112222dddcccbbbaaaD 1111111111112222dddcccbbbaaa dddcccbbbaaaabcd1111111111112222 dddcccbbbaaa111111111111122223 . 0
