1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 5.4 平面向量应用举例 最新考纲 考情考向分析 1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题 2.会用向量方法解决简单的力学问题及其他一些实际问题 . 主要考查平面向量与函数、三角函数、不等式、数列、解析几何等综合性问题，求参数范围、最值等问题是考查的热点，一般以选择题、填空题的形式出现，偶尔会出现在解答题中，属于中档题 . 1向量在平面几何中的应用 (1)用向量解决常见平面几何问题的技巧： 问题类型 所用知识 公式表示 线平行、点共线等问题 共线向量定理 a b?a b?x1y2 x2y1 0，其中 a (x1， y1)， b (x2， y2)， b 0 垂
2、直问题 数量积的运算性质 a b?a b 0?x1x2 y1y2 0，其中 a (x1， y1)， b (x2， y2)，且 a， b 为非零向量 夹角问题 数量积的定义 cos a b|a|b|( 为向量 a， b的夹角 )，其中 a， b 为非零向量 长度问题 数量积的定义 |a| a2 x2 y2，其中 a (x，y)， a 为非零向量 (2)用向量方法解决平面几何问题的步骤： 平面几何问题 设向量 向量问题 运算 解决向量问题 还原 解决几何问题 2向量在解析几何中的应用 向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述它主要强调向量=【 ;精品教育资源文库 】 = 的
3、坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体 3向量与相关知识的交汇 平面向量作为一种工具，常与函数 (三角函数 )、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题 知识拓展 1若 G 是 ABC 的重心，则 GA GB GC 0. 2若直线 l 的方程为 Ax By C 0，则向量 (A， B)与直线 l 垂直，向量 ( B， A)与直线 l平行 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确 (请在括号中打 “” 或 “”) (1)若 AB AC ，则 A， B， C 三点共线 ( ) (2)在 ABC 中，若 AB BC 0)，则
4、其准线方程为 x p2. 曲线 E 的 方程可化为 (x 3)2 (y 2)2 16， 则有 3 p2 4，解得 p 2，所以抛物线 M的方程为 y2 4x， F(1,0)设 A? ?y204， y0 ，则 OA ?y204， y0 ，AF ? ?1 y204， y0 ，所以 OA AF y204?1 y204 y20 4，解得 y0 2. 所以点 A 的坐标为 (1,2)或 (1， 2) 题型一 向量在平面几何中的应用 典例 (1)在平行四边形 ABCD 中， AD 1， BAD 60 ， E 为 CD 的中点若 AC BE 1，则 AB _. 答案 12 解析 在平行四边形 ABCD 中，
5、取 AB 的中点 F， 则 BE FD ， BE FD AD 12AB ， 又 AC AD AB ， AC BE (AD AB ) ? ?AD 12AB AD 2 12AD AB AD AB 12AB 2 |AD |2 12|AD |AB |cos 60 12|AB |2 1 12 12|AB | 12|AB |2 1. ? ?12 |AB | |AB | 0，又 |AB |0 ， | AB | 12. (2)已知 O 是平面上的一定点， A， B， C 是平面上不共线的三个动点，若动点 P 满足 OP OA (AB AC )， (0 ， ) ，则点 P 的轨迹一定通过 ABC 的 ( ) =
6、【 ;精品教育资源文库 】 = A内心 B外心 C重心 D垂心 答案 C 解析 由原等式，得 OP OA (AB AC )，即 AP (AB AC )，根据平行四边形法则，知 AB AC 是 ABC 的中线 AD(D 为 BC 的中点 )所对应向量 AD 的 2 倍，所以点 P 的轨迹必过 ABC 的重心 引申探究 本例 (2)中，若动点 P 满足 OP OA ?AB|AB | AC|AC |， (0 ， ) ，则点 P 的轨迹一定通过 ABC 的 _ 答案 内心 解析 由条件，得 OP OA ?AB|AB | AC|AC |，即 AP ?AB|AB | AC|AC |，而 AB|AB |和
7、AC|AC |分别表示平行于 AB ， AC 的单位向量，故 AB|AB | AC|AC |平分 BAC，即 AP 平分 BAC，所以点 P 的轨迹必过 ABC 的内心 思维升华 向量与平面几何综合问题的解法 (1)坐标法 把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决 (2)基向量法 适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解 跟踪训练 (1)在 ABC 中，已知向量 AB 与 AC 满足?AB|AB | AC|AC | BC 0，且 AB|AB | AC|AC | 12，则 AB
8、C 为 ( ) A等边三角形 B直角三角形 C等腰非等边三角形 D三边均不相等的三角形 答案 A 解析 AB|AB |， AC|AC |分别为平行于 AB ， AC 的单位向量，由平行四边形法则可知 AB|AB | AC|AC |为 BAC的平分线 因为?AB|AB | AC|AC | BC 0，所以 BAC 的平分线垂直于 BC，所以 AB AC. =【 ;精品教育资源文库 】 = 又 AB|AB | AC|AC |?AB|AB | ?AC|AC |cos BAC 12，所以 cos BAC 12，又 0 BAC ，故 BAC 3 ，所以 ABC 为等边三角形 (2)(2017 长沙长郡中学
9、临考冲刺训练 )如图，在平行四边形 ABCD 中， AB 1， AD 2，点 E，F， G， H 分别是 AB， BC， CD， AD 边上的中点，则 EF FG GH HE 等于 ( ) A.32 B 32 C.34 D 34 答案 A 解析 取 HF 的中点 O， 则 EF FG EF EH EO 2 OH 2 1 ? ?12 2 34， GH HE GH GF GO 2 OH 2 1 ? ?12 2 34， 因此 EF FG GH HE 32，故选 A. 题型二 向量在解析几何中的应用 典例 (1)已知向量 OA (k,12)， OB (4,5)， OC (10， k)，且 A， B，
10、C 三点共线，当 k0 时，若 k 为直线的斜率，则过点 (2， 1)的直线方程为 _ 答案 2x y 3 0 解析 AB OB OA (4 k， 7)， BC OC OB (6， k 5)，且 AB BC ， (4 k)(k 5) 67 0， 解得 k 2 或 k 11. 由 k0 可知 k 2，则过点 (2， 1)且斜率为 2 的直线方程为 y 1 2(x 2)，即 2x y 3 0. (2)若点 O 和点 F 分别为椭圆 x24y23 1 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，则 OP FP=【 ;精品教育资源文库 】 = 的最大值为 _ 答案 6 解析 由题意，得 F( 1,0)
11、，设 P(x0， y0)， 则有 x204y203 1，解得 y20 3? ?1 x204 ， 因为 FP (x0 1， y0)， OP (x0， y0)， 所以 OP FP x0(x0 1) y20 x20 x0 3? ?1 x204 x204 x0 3，对应的抛物线的对称轴方程为 x0 2，因为 2 x02 ，故当 x0 2 时， OP FP 取得最大值 224 2 3 6. 思维升华 向量在解析几何中的 “ 两个 ” 作用 (1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于 “ 包装 ” ，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去 “ 向量外衣 ” ，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而
12、解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题 (2)工具作用：利用 a b?ab 0(a， b 为非零向量 )， a b?a b(b0) ，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法 跟踪训练 (1)(2017 衡阳联考 )已知对任意平面向量 AB (x， y)，把 AB 绕其起点沿逆时针方向旋转 角得到向量 AP (xcos ysin ， xsin ycos )叫作把点 B 绕点 A 逆时针方向旋转 角得到点 P.设平面内曲线 C 上的每一点绕原点沿逆时针方向旋转 4 后得到点的轨迹是曲线 x2 y2 2，则原来曲线 C 的方程
13、是 ( ) A xy 1 B xy 1 C y2 x2 2 D y2 x2 1 答案 A 解析 设平面内曲线 C 上的点 P(x， y)，则其绕原点沿逆时针方向旋转 4 后得到点P ? ?22 ?x y?， 22 ?x y? ， 点 P 在曲线 x2 y2 2 上， ? ?22 ?x y? 2 ? ?22 ?x y? 2 2， 整理得 xy 1.故选 A. (2)(2017 安徽省安师大附中、马鞍山二中测试 )已知点 A 在椭圆 x225y29 1 上，点 P 满足 AP=【 ;精品教育资源文库 】 = ( 1) OA ( R)(O 是坐标原点 )，且 OA OP 72，则线段 OP 在 x
14、轴上的射影的最大值为 _ 答案 15 解析 因为 AP ( 1)OA ，所以 OP OA ， 即 O， A， P 三点共线，因为 OA OP 72， 所以 OA OP |OA |2 72， 设 A(x， y)， OA 与 x 轴正方向的夹角为 ，线段 OP 在 x 轴上的射影为 |OP |cos | | |x| 72|x|OA |2 72|x|x2 y2 721625|x|9|x| 722 16925 15， 当且仅当 |x| 154 时取等号 题型三 向量的其他应用 命题点 1 向量在不等式中的应用 典例 已知 O 是坐标原点，点 A( 1,2)，若点 M(x， y)为平面区域? x y2 ，x1 ，y2上的一个动点，则 OA OM 的取值范围
