1、2022年全国统一高考数学试卷（新高考）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）已知集合A1，1，2，4，Bx|x1|1，则AB（）A1，2B1，2C1，4D1，42（5分）（2+2i）（12i）（）A2+4iB24iC6+2iD62i3（5分）图1是中国古代建筑中的举架结构，AA，BB，CC，DD是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为DD1OD1=0.5，CC1DC1=k1，BB1
2、CB1=k2，AA1BA1=k3已知k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3（）A0.75B0.8C0.85D0.94（5分）已知向量a=（3，4），b=（1，0），c=a+tb，若a，c=b，c，则t（）A6B5C5D65（5分）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有（）A12种B24种C36种D48种6（5分）若sin（+）+cos（+）22cos（+4）sin，则（）Atan（）1Btan（+）1Ctan（）1Dtan（+）17（5分）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为33和43，其顶
3、点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A100B128C144D1928（5分）已知函数f（x）的定义域为R，且f（x+y）+f（xy）f（x）f（y），f（1）1，则k=122 f（k）（）A3B2C0D1二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9（5分）已知函数f（x）sin（2x+）（0）的图像关于点（23，0）中心对称，则（）Af（x）在区间（0，512）单调递减Bf（x）在区间（-12，1112）有两个极值点C直线x=76是曲线yf（x）的对称轴D直线y=32-x是曲线yf（
4、x）的切线（多选）10（5分）已知O为坐标原点，过抛物线C：y22px（p0）焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点M（p，0）若|AF|AM|，则（）A直线AB的斜率为26B|OB|OF|C|AB|4|OF|DOAM+OBM180（多选）11（5分）如图，四边形ABCD为正方形，ED平面ABCD，FBED，ABED2FB记三棱锥EACD，FABC，FACE的体积分别为V1，V2，V3，则（）AV32V2BV3V1CV3V1+V2D2V33V1（多选）12（5分）若x，y满足x2+y2xy1，则（）Ax+y1Bx+y2Cx2+y22Dx2+y21三、填空题：本题共4小题，每小题5
5、分，共20分。13（5分）已知随机变量X服从正态分布N（2，2），且P（2X2.5）0.36，则P（X2.5） 14（5分）曲线yln|x|过坐标原点的两条切线的方程为 ， 15（5分）设点A（2，3），B（0，a），若直线AB关于ya对称的直线与圆（x+3）2+（y+2）21有公共点，则a的取值范围是 16（5分）已知直线l与椭圆x26+y23=1在第一象限交于A，B两点，l与x轴、y轴分别相交于M，N两点，且|MA|NB|，|MN|23，则l的方程为 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10分）已知an是等差数列，bn是公比为2的等比数列，且a
6、2b2a3b3b4a4（1）证明：a1b1；（2）求集合k|bkam+a1，1m500中元素的个数18（12分）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3已知S1S2+S3=32，sinB=13（1）求ABC的面积；（2）若sinAsinC=23，求b19（12分）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间20，70）的概率；（3）已知该地区
7、这种疾病的患者的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间40，50）的人口占该地区总人口的16%从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间40，50），求此人患这种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001 ）20（12分）如图，PO是三棱锥PABC的高，PAPB，ABAC，E为PB的中点（1）证明：OE平面PAC；（2）若ABOCBO30，PO3，PA5，求二面角CAEB的正弦值21（12分）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a0，b0）的右焦点为F（2，0），渐近线方程为y3x（1）求C的方程；（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于
8、A，B两点，点P（x1，y1），Q（x2，y2）在C上，且x1x20，y10过P且斜率为-3的直线与过Q且斜率为3的直线交于点M从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立M在AB上；PQAB；|MA|MB|注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分22（12分）已知函数f（x）xeaxex（1）当a1时，讨论f（x）的单调性；（2）当x0时，f（x）1，求a的取值范围；（3）设nN*，证明：112+1+122+2+1n2+nln（n+1）2022年全国统一高考数学试卷（新高考）参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
9、求的。1（5分）已知集合A1，1，2，4，Bx|x1|1，则AB（）A1，2B1，2C1，4D1，4【解答】解：|x1|1，解得：0x2，集合Bx|0x2AB1，2故选：B2（5分）（2+2i）（12i）（）A2+4iB24iC6+2iD62i【解答】解：（2+2i）（12i）24i+2i4i262i故选：D3（5分）图1是中国古代建筑中的举架结构，AA，BB，CC，DD是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为DD1OD1=0.5，CC1DC1=k1，B
10、B1CB1=k2，AA1BA1=k3已知k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3（）A0.75B0.8C0.85D0.9【解答】解：设OD1DC1CB1BA11，则CC1k1，BB1k2，AA1k3，由题意得：k1k30.2，k2k30.1，且DD1+CC1+BB1+AA1OD1+DC1+CB1+BA1=0.725，解得k30.9，故选：D4（5分）已知向量a=（3，4），b=（1，0），c=a+tb，若a，c=b，c，则t（）A6B5C5D6【解答】解：向量a=（3，4），b=（1，0），c=a+tb，c=（3+t，4），a，c=b，c，ac|a|c|=
11、bc|b|c|，25+3t5=3+t1，解得实数t5故选：C5（5分）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有（）A12种B24种C36种D48种【解答】解：把丙和丁捆绑在一起，4个人任意排列，有A22A44=48种情况，甲站在两端的情况有C21A33A22=24种情况，甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有482424种，故选：B6（5分）若sin（+）+cos（+）22cos（+4）sin，则（）Atan（）1Btan（+）1Ctan（）1Dtan（+）1【解答】解：因为sin（+）+cos（+）22cos（+4）sin，所以2si
12、n（+4）22cos（+4）sin，即sin（+4）2cos（+4）sin，所以sin（+4）cos+sincos（+4）2cos（+4）sin，所以sin（+4）cossincos（+4）0，所以sin（+4-）0，所+4-=k，kZ，所以k-4，所以tan（）1故选：C7（5分）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为33和43，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A100B128C144D192【解答】解：由题意得，上底面所在平面截球所得圆的半径为332sin60=3，下底面所在平面截球所得圆的半径为432sin60=4，如图，设球的半径为R，则轴截面中由几何知识可得R2-32+
13、R2-42=1，解得R5，该球的表面积为4R2425100故选：A8（5分）已知函数f（x）的定义域为R，且f（x+y）+f（xy）f（x）f（y），f（1）1，则k=122 f（k）（）A3B2C0D1【解答】解：令y1，则f（x+1）+f（x1）f（x），即f（x+1）f（x）f（x1），f（x+2）f（x+1）f（x），f（x+3）f（x+2）f（x+1），f（x+3）f（x），则f（x+6）f（x+3）f（x），f（x）的周期为6，令x1，y0得f（1）+f（1）f（1）f（0），解得f（0）2，又f（x+1）f（x）f（x1），f（2）f（1）f（0）1，f（3）f（2）f（1）2，
14、f（4）f（3）f（2）1，f（5）f（4）f（3）1，f（6）f（5）f（4）2，k=16 f(k)=1-1-2-1+1+2=0，k=122 f(k)=30+f(19)+f(20)+f(21)+f(22)=f（1）+f（2）+f（3）+f（4）3故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9（5分）已知函数f（x）sin（2x+）（0）的图像关于点（23，0）中心对称，则（）Af（x）在区间（0，512）单调递减Bf（x）在区间（-12，1112）有两个极值点C直线x=76是曲线
15、yf（x）的对称轴D直线y=32-x是曲线yf（x）的切线【解答】解：因为f（x）sin（2x+）（0）的图象关于点（23，0）对称，所以223+k，kZ，所以k-43，因为0，所以=23，故f（x）sin（2x+23），令22x+2332，解得-12x512，故f（x）在（0，512）单调递减，A正确；x（-12，1112），2x+23（2，52），根据函数的单调性，故函数f（x）在区间（-12，1112）只有一个极值点，故B错误；令2x+23=k+2，kZ，得x=k2-12，kZ，C显然错误；结合正弦函数的图象可知，直线y=32-x显然与ysin（2x+23）相切，故直线y=32-x显然是
16、曲线的切线，故D正确故选：AD（多选）10（5分）已知O为坐标原点，过抛物线C：y22px（p0）焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点M（p，0）若|AF|AM|，则（）A直线AB的斜率为26B|OB|OF|C|AB|4|OF|DOAM+OBM180【解答】解：如图，F（p2，0），M（p，0），且|AF|AM|，A（3p4，6p2），由抛物线焦点弦的性质可得xAxB=p24，则xB=p3，则B（p3，-6p3），kAB=kAF=6p2-03p4-p2=26，故A正确；|OB|=p29+6p29=7p3，|OF|=p2，|OB|OF|，故B错误；|AB|=3p4+p3+p=25
17、p122p4|OF|，故C正确；|OA|2=33p216，|OB|2=7p29，|AM|2=25p216，|BM|2=10p29，|AB|2=625p2144，|OA|2+|OB|2|AB|2，|AM|2+|BM|2|AB|2，AOB，AMB均为钝角，可得OAM+OBM180，故D正确故选：ACD（多选）11（5分）如图，四边形ABCD为正方形，ED平面ABCD，FBED，ABED2FB记三棱锥EACD，FABC，FACE的体积分别为V1，V2，V3，则（）AV32V2BV3V1CV3V1+V2D2V33V1【解答】解：设ABED2FB2，ED平面ABCD，|ED|为四棱锥EABCD的高，FB
18、ED，|FB|为三棱锥FABC的高，平面ADE平面FBC，点E到平面FBC的距离等于点D到平面FBC的距离，即三棱锥EFBC的高|DC|2，几何体的体积VVEABCD+VEFBC+VEABF=13SABCD|ED|+13SFBC|DC|+13SABF|AB|4，V1=13SACD|ED|=43，V2=13SABC|FB|=23，V3VV1V22故C、D正确，A、B错误故选：CD（多选）12（5分）若x，y满足x2+y2xy1，则（）Ax+y1Bx+y2Cx2+y22Dx2+y21【解答】解：由x2+y2xy1可得，（x-y2）2+(32y)2=1，令x-y2=cos32y=sin，则x=33s
19、in+cosy=233sin，x+y=3sin+cos=2sin（+6）2，2，故A错，B对，x2+y2=(33sin+cos)2+(233sin)2=33sin2-13cos2+43=23sin(2-6)+4323，2，故C对，D错，故选：BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13（5分）已知随机变量X服从正态分布N（2，2），且P（2X2.5）0.36，则P（X2.5）0.14【解答】解：随机变量X服从正态分布N（2，2），P（2X2.5）+P（X2.5）0.5，P（X2.5）0.50.360.14，故答案为：0.1414（5分）曲线yln|x|过坐标原点的两条切线的方程为
20、xey0，x+ey0【解答】解：当x0时，ylnx，设切点坐标为（x0，lnx0），y=1x，切线的斜率k=1x0，切线方程为ylnx0=1x0（xx0），又切线过原点，lnx01，x0e，切线方程为y1=1e(x-e)，即xey0，当x0时，yln（x），与ylnx的图像关于y轴对称，切线方程也关于y轴对称，切线方程为x+ey0，综上所述，曲线yln|x|经过坐标原点的两条切线方程分别为xey0，x+ey0，故答案为：xey0，x+ey015（5分）设点A（2，3），B（0，a），若直线AB关于ya对称的直线与圆（x+3）2+（y+2）21有公共点，则a的取值范围是 13，32【解答】解：点
21、A（2，3），B（0，a），kAB=a-32，所以直线AB关于ya对称的直线的向量为：3-a2，所以对称直线方程为：ya=3-a2x，即：（3a）x2y+2a0，（x+3）2+（y+2）21的圆心（3，2），半径为1，所以|3(a-3)+4+2a|4+(3-a)21，得12a222a+60，解得a13，32故答案为：13，3216（5分）已知直线l与椭圆x26+y23=1在第一象限交于A，B两点，l与x轴、y轴分别相交于M，N两点，且|MA|NB|，|MN|23，则l的方程为 x+2y22=0【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为E，由x126+y123=1，x22
22、6+y223=1，相减可得：y22-y12x22-x12=-12，则kOEkAB=y1+y2x1+x2y2-y1x2-x1=y22-y12x22-x12=-12，设直线l的方程为：ykx+m，k0，m0，M（-mk，0），N（0，m），E（-m2k，m2），kOEk，kk=-12，解得k=-22，|MN|23，m2k2+m2=23，化为：m2k2+m2123m212，m0，解得m2l的方程为y=-22x+2，即x+2y22=0，故答案为：x+2y22=0四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10分）已知an是等差数列，bn是公比为2的等比数列，且a2
23、b2a3b3b4a4（1）证明：a1b1；（2）求集合k|bkam+a1，1m500中元素的个数【解答】解：（1）证明：设等差数列an的公差为d，由a2b2a3b3，得a1+d2b1a1+2d4b1，则d2b1，由a2b2b4a4，得a1+d2b18b1（a1+3d），即a1+d2b14d（a1+3d），a1b1（2）由（1）知，d2b12a1，由bkam+a1知，b12k-1=a1+(m-1)d+a1，b12k-1=b1+(m-1)2b1+b1，即2k12m，又1m500，故22k11000，则2k10，故集合k|bkam+a1，1m500中元素个数为9个18（12分）记ABC的内角A，B，
24、C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3已知S1S2+S3=32，sinB=13（1）求ABC的面积；（2）若sinAsinC=23，求b【解答】解：（1）S1=12a2sin60=34a2，S2=12b2sin60=34b2，S3=12c2sin60=34c2，S1S2+S3=34a2-34b2+34c2=32，解得：a2b2+c22，sinB=13，a2b2+c220，即cosB0，cosB=223，cosB=a2+c2-b22ac=223，解得：ac=324，SABC=12acsinB=28ABC的面积为28（2）由正弦定理得：bsinB
25、=asinA=csinC，a=bsinAsinB，c=bsinCsinB，由（1）得ac=324，ac=bsinAsinBbsinCsinB=324已知，sinB=13，sinAsinC=23，解得：b=1219（12分）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间20，70）的概率；（3）已知该地区这种疾病的患者的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间40，50）的人口占该地区总人口的16%从该地区中任选一人，若
26、此人的年龄位于区间40，50），求此人患这种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001 ）【解答】解：（1）由频率分布直方图得该地区这种疾病患者的平均年龄为：x=50.00110+150.00210+250.01210+350.01710+450.02310+550.02010+650.01710+750.00610+850.0021047.9岁（2）该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间20，70）的频率为：（0.012+0.017+0.023+0.020+0.017）100.89，估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间20，70）的
27、概率为0.89（3）设从该地区中任选一人，此人的年龄位于区间40，50）为事件B，此人患这种疾病为事件C，则P（C|B）=P(BC)P(B)=0.1%0.0231016%0.001420（12分）如图，PO是三棱锥PABC的高，PAPB，ABAC，E为PB的中点（1）证明：OE平面PAC；（2）若ABOCBO30，PO3，PA5，求二面角CAEB的正弦值【解答】解：（1）证明：连接OA，OB，依题意，OP平面ABC，又OA平面ABC，OB平面ABC，则OPOA，OPOB，POAPOB90，又PAPB，OPOP，则POAPOB，OAOB，延长BO交AC于点F，又ABAC，则在RtABF中，O为B
28、F中点，连接PF，在PBF中，O，E分别为BF，BP的中点，则OEPF，OE平面PAC，PF平面PAC，OE平面PAC；（2）过点A作AMOP，以AB，AC，AF分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由于PO3，PA5，由（1）知OAOB4，又ABOCBO30，则AB=43，P(23，2，3)，B(43，0，0)，A(0，0，0)，E(33，1，32)，设ACt，则C（0，t，0），设平面AEB的一个法向量为n=(x，y，z)，又AB=(43，0，0)，AE=(33，1，32)，则nAB=43x=0nAE=33x+y+32z=0，则可取n=(0，3，-2)，设平面AEC的一个法向
29、量为m=(a，b，c)，又AC=(0，t，0)，AE=(33，1，32)，则mAC=tb=0mAE=33a+b+32c=0，则可取m=(-3，0，6)，设锐二面角CAEB的平面角为，则cos=|cosm，n|=|mn|m|n|=4313，sin=1-cos2=1113，即二面角CAEB正弦值为111321（12分）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a0，b0）的右焦点为F（2，0），渐近线方程为y3x（1）求C的方程；（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P（x1，y1），Q（x2，y2）在C上，且x1x20，y10过P且斜率为-3的直线与过Q且斜率为3的直线交于点M从下面
30、中选取两个作为条件，证明另外一个成立M在AB上；PQAB；|MA|MB|注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分【解答】解：（1）由题意可得ba=3，a2+b2=2，解得a1，b=3，因此C的方程为x23-y21，（2）设直线PQ的方程为ykx+b，（k0），将直线PQ的方程代入x23-y21可得（3k2）x22kbxb230，x1+x2=2kb3-k2，x1x2=-b2+33-k2，x1x2=(x1+x2)2-4x1x2=23b2+3-k23-k2，设点M的坐标为（xM.yM），则yM-y1=-3(xM-x1)yM-y2=3(xM-x2)，两式相减可得y1y223xM-3（x1+x2
31、），y1y2k（x1x2），23xM=3（x1+x2）+k（x1x2），解得XM=kb2+3-k2+kb3-k2，两式相减可得2yM（y1+y2）=3（x1+x2），y1+y2k（x1+x2）+2b，2yM=3（x1x2）+k（x1+x2）+2b，解得yM=3b2+3-k2+3b3-k2，yM=3kxM，其中k为直线PQ的斜率；若选择：设直线AB的方程为yk（x2），并设A的坐标为（x3，y3），B的坐标为（x4，y4），则y3=k(x3-2)y3=3x3，解得x3=2kk-3，y3=23kk-3，同理可得x4=4k2k2-3，y4=23kk+3，x3+x4=4k2k2-3，y3+y4=12k
32、k2-3，此时点M的坐标满足yM=k(xM-2)yM=3kxM，解得XM=2k2k2-3=12（x3+x4），yM=6kk2-3=12（y3+y4），M为AB的中点，即|MA|MB|；若选择：当直线AB的斜率不存在时，点M即为点F（2，0），此时不在直线y=3kx上，矛盾，当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ym（x2）（m0），并设A的坐标为（x3，y3），B的坐标为（x4，y4），则y3=m(x3-2)y3=3x3，解得x3=2mk-3，y3=23mk-3，同理可得x4=2mm+3，y4=-23mm+3，此时xM=12（x3+x4）=2m2m2-3，yM=12（y3+y4）=6mm2
33、-3，由于点M同时在直线y=3kx上，故6m=3k2m2，解得km，因此PQAB若选择，设直线AB的方程为yk（x2），并设A的坐标为（x3，y3），B的坐标为（x4，y4），则y3=k(x3-2)y3=3x3，解得x3=2kk-3，y3=23kk-3，同理可得x4=2kk+3，y4=-23kk-3，设AB的中点C（xC，yC），则xC=12（x3+x4）=2k2k2-3，yC=12（y3+y4）=6kk2-3，由于|MA|MB|，故M在AB的垂直平分线上，即点M在直线yyC=-1k（xxC）上，将该直线y=3kx联立，解得xM=2k2k2-3=xC，yM=6kk2-3=yC，即点M恰为AB中
34、点，故点M在直线AB上22（12分）已知函数f（x）xeaxex（1）当a1时，讨论f（x）的单调性；（2）当x0时，f（x）1，求a的取值范围；（3）设nN*，证明：112+1+122+2+1n2+nln（n+1）【解答】解：（1）当a1时，f（x）xexexex（x1），f（x）ex（x1）+exxex，ex0，当x（0，+）时，f（x）0，f（x）单调递增；当x（，0）时，f（x）0，f（x）单调递减（2）令g（x）f（x）+1xeaxex+1（x0），f（x）1，f（x）+10，g（x）g（0）0在x0上恒成立，又g（x）eax+xaeaxex，令h（x）g（x），则h（x）aeax+
35、a（eax+axeax）exa（2eax+axeax）ex，h（0）2a1，当2a10，即a12，h（0）=limn0+g(x)-g(0)x-0=limn0+g(x)x0，x00，使得当x（0，x0），有g(x)x0，g（x）0，所以g（x）单调递增，g（x0）g（0）0，矛盾；当2a10，即a12，g（x）xeax+xaeaxexeax+ln（1+ax）exe12x+ln(1+12x)-exe12x+12x-ex=0，所以g（x）在0，+）上单调递减，g（x）g（0）0，符合题意综上所述，实数a的取值范围是a12（3）求导易得t-1t2lnt（t1），令t=1+1n，1+1n-11+1n2ln1+1n，可得1n1+1nln（1+1n），1n2+nln（n+1n），k=1n 1k2+kk=1n ln（k+1k）ln（2132.n+1n）ln（n+1），即112+1+122+2+.+1n2+nln（n+1）第20页（共20页）
