1、20022002年北京国际数学家大会会标北北京京欢欢迎迎您您！同学们！三角形的知识之前我们已学习了不少。直角三角形是一种特殊的三角形，从今天开始，我们尝试着研究直角三角形三边之间的关系。171 勾股定理（一）勾股定理（一）学习目标学习目标1，掌握直角三角形三边之间的关系（即勾股定理的内容）。2，通过探究，了解勾股定理的证明过程，并掌握1-2种证明方法。自研共探：自研共探：为了实现本节的学习目标，请同学们按照以下要求来自学。认真看课本P22P24，注意：1、结合P22思考前的故事及“ 黄色书签”, 你在知识的认知上应该养成怎样的品质？2、结合P22思考和图形17.1-2，你认为老毕先生发现了什么
2、？跨越两千多年的时空，看你和老毕是否有心灵的默契？之后用P22下面三行小字验证你的发现。3、用数形结合与面积法思想，借助P22探究与网格再验证其它直角三角形三边是否有同样的性质4、准确记忆P23命题1勾股定理，分清题设与结论。猜想5、利用P23 “ 赵爽弦图” 和面积法证明勾股定理6、务必明确勾股定理的两个关于：关于直角三角形与关于该种图形边的关系自学时间10分钟之后比谁能做对检测题。不会的可小声讨论或举手问老师。看看一一看看你你同同 面面去去能能学学 反反朋朋发发们们 映映友友 相相现现， 直直家家 传传什什我我 角角作作 两两么么们们 三三客客 千千？也也 角角， 五五来来 形形发发 百百
3、观观 三三现现 年年察察 边边朋朋 前前下下 的的友友 ，面面 某某家家 一一的的 种种用用 次次图图 数数砖砖 毕毕案案 量量铺铺 达达， 关关成成 哥哥看看 系系的的 拉拉看看 ，地地 斯斯勾股定理(毕达哥拉斯定理)直角三角形直角三角形两直角边的平方和两直角边的平方和等于等于斜边的斜边的平方平方c c弦弦股股b ba a勾勾a a2 2 + b+ b2 2 = c= c2 2a a2 2 = = c c2 2 - - b b2 2b b2 2 = c= c2 2 - - a a2 2勾股定理的证明勾股定理的证明234252勾股定理的证明勾股定理的证明两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣
4、，因为这个两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，因为这个定理太贴近人们的生活实际，以至于古往今来，下至平民百定理太贴近人们的生活实际，以至于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探讨和研究它的证明因此不断出姓，上至帝王总统都愿意探讨和研究它的证明因此不断出现关于勾股定理的新证法现关于勾股定理的新证法1 1传说中毕达哥拉斯的证法传说中毕达哥拉斯的证法2 2赵爽弦图的证法赵爽弦图的证法3 3刘徽的证法刘徽的证法4 4美国第美国第2020任总统茄菲尔德的证法任总统茄菲尔德的证法5 5其他证法其他证法AB这棵树漂亮吗？如果在树上挂上这棵树漂亮吗？如果在树上挂上几串彩色灯泡，再挂上些小铃铛、小几
5、串彩色灯泡，再挂上些小铃铛、小彩球、小礼盒、小的圣诞老人，是不彩球、小礼盒、小的圣诞老人，是不是更像一棵圣诞树是更像一棵圣诞树也许有人会问：也许有人会问：“它与勾股定理它与勾股定理有什么关系吗？有什么关系吗？”仔细看看，你会发现，奥妙在树仔细看看，你会发现，奥妙在树干和树枝上，整棵树都是由下方的这干和树枝上，整棵树都是由下方的这个基本图形组成的：个基本图形组成的：一个直角三角形一个直角三角形以及分别以它的每边为一边向外所作以及分别以它的每边为一边向外所作的正方形的正方形这个图形有什么作用呢？不要小看它哦！古希腊的数学家毕达这个图形有什么作用呢？不要小看它哦！古希腊的数学家毕达哥拉斯就是利用这个
6、图形验证了勾股定理哥拉斯就是利用这个图形验证了勾股定理传说中毕达哥拉斯的证法传说中毕达哥拉斯的证法关于勾股定理的证明，现在人类保存下来的最早的文字资料是欧几里得（公元前300年左右）所著的几何原本第一卷中的命题47：“直角三角形斜边上的正方形等于两直角边上的两个正方形之和”其证明是用面积来进行的G已知：如图，以在已知：如图，以在RtABC中，中，ACB =90，分别以，分别以a、b、c为边向外作正方形为边向外作正方形求证：求证：a2+b2=c2DEKAHCbcaBF传说中毕达哥拉斯的证法传说中毕达哥拉斯的证法证明：从证明：从RtABC的三边向外各作一个正方形（如图），作的三边向外各作一个正方形
7、（如图），作CNDE交交AB于于M，那么正方形，那么正方形ABED被分成两个矩形连结被分成两个矩形连结CD和和KB由于矩形由于矩形ADNM和和ADC同底（同底（AD），等高），等高(即平行线即平行线AD和和CN间的距离间的距离)，S矩形矩形ADNM2SADC又又正方形正方形ACHK和和ABK同底（同底（AK）、等高（即等高（即平行线平行线AK和和BH间的距离），间的距离），S正方形正方形ACHK2SABKADAB，ACAK，CADKAB，ADCABKKAbMHCacBGF由此可得由此可得S矩形矩形ADNMS正方形正方形ACHK同理可证同理可证S矩形矩形MNEBS正方形正方形CBFGS矩形矩形A
8、DNMS矩形矩形MNEBS正方形正方形ACHKS正方形正方形CBFG即即S正方形正方形ADEBS正方形正方形ACHKS正方形正方形CBFG，也就是也就是a2+b2=c2D NE返回赵爽弦图的证法赵爽弦图的证法我国对勾股定理的证明采取的是我国对勾股定理的证明采取的是割补法，最早的形式见于公元三、四割补法，最早的形式见于公元三、四世纪赵爽的勾股圆方图注在这世纪赵爽的勾股圆方图注在这篇短文中，赵爽画了一张他所谓的篇短文中，赵爽画了一张他所谓的c“弦图弦图”，其中每一个直角三角形称，其中每一个直角三角形称为为“朱实朱实”，中间的一个正方形称为，中间的一个正方形称为“中黄实中黄实”，以弦为边的大正方形叫
9、，以弦为边的大正方形叫“弦实弦实”，所以，如果以，所以，如果以a、b、c分别分别表示勾、股、弦之长，表示勾、股、弦之长，朱实朱实中黄实中黄实ba返回( (b- -a) )2 2ab2? (b? a)那么：那么：c ? 4 ?22得：得：c2=a2+ b2证明证明1：该图2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标示意图，取材于我国古代数学著作勾股圆方图。大正方形的面积可以表示为大正方形的面积可以表示为22caa1) ?4?ab也可以表示为也可以表示为(b?a2c122) ? 4?ab c =(b?a22-2ab+a2+ 2ab=bb=a2+bac2；cbabcb222a +b =c刘徽的证法
10、刘徽的证法刘徽在九章算术中对勾股定理的证明：刘徽在九章算术中对勾股定理的证明：勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也合成弦方之幂，开从其类，因就其余不移动也合成弦方之幂，开方除之，即弦也方除之，即弦也I令正方形令正方形ABCD为朱方，正方为朱方，正方形形BEFG为青方在为青方在BG间取一点间取一点H，使使AH=BG，裁下，裁下ADH，移至，移至DECFCDI，裁下，裁下HGF，移至，移至IEF，是为是为“出入相补，各从其类出入相补，各从其类”，其，其余不动，则形成弦方正方形余不动，则形成弦方正方形ABHG返回DHFI勾股定理
11、由此得证勾股定理由此得证总统巧证勾股定理总统巧证勾股定理学过几何的人都知道勾股定理它是几何中一个比较重要的定理，应用十分广学过几何的人都知道勾股定理它是几何中一个比较重要的定理，应用十分广泛迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有泛迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有500余种其中，美国第二十任总统伽余种其中，美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话菲尔德的证法在数学史上被传为佳话总统为什么会想到去证明勾股定理呢？难道他是数学家或数学爱好者？答案是总统为什么会想到去证明勾股定理呢？难道他是数学家或数学爱好者？答案是否定的事情的经过是这样的：否定的事情的经过是这样的：1876年一个周末的傍
12、晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德他走着走着，突欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个论，时而小声探讨由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直
13、角三角小孩到底在干什么只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：形于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为如果直角三角形的两条直角边分别为 3和和4，那么斜边长为多少呢？，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：伽菲尔德答到：“是是5呀呀”小男孩又问道：小男孩又问道：“如果两条直角边分别为如果两条直角边分别为5和和7，那么这个直角三角形的，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方
14、一定等于那斜边的平方一定等于5的平方的平方加上加上7的平方的平方”小男孩又说道：小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味语塞，无法解释了，心理很不是滋味于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题他经过于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法总统巧证勾股定理总统巧证勾股定理CDacbcbAEaB美国第二十任美国第二十任总统伽菲尔德总统伽菲
15、尔德返回勾股定理证明勾股定理证明CD：你能只用这两个你能只用这两个直角三角形直角三角形说明说明a2+b2=c2吗？吗？?aAcEcaBb1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统.后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统证法”b梯形 ABCDS1=?a+b?221=(a2+2ab+b2)2又 S梯形 ABCD=SAED+SEBC+S1111=ab+ba+c2=(2ab+c2)2222? 比较上面二式得 c2=a2+b2CED向常春的证明方法向常春的证明方法1121S?(a ? b ? b)(a ?b)a ?ab梯梯 形形 ABCD222S梯形梯形ABCD
16、? S四边形四边形AECD? S?EBC121?c ?(a?b)b2212112?c ?ab?b22212112112?a ?ab?c ?ab?b22222bAaccDEa- bBbC从从而而得得到到:a ? b ? c222注注:这一方法是向常春这一方法是向常春于于1994年年3月月20日构想发日构想发现的新法现的新法勾股定理证明勾股定理证明：2(a+b)大正方形的面积可以表示为大正方形的面积可以表示为；也可以表示为也可以表示为abC4?2a2ababccbcabcabC? (a+b)2 =4?2a2+2ab+b2 =2ab +c2222a +b =c2试试一一试试bacccaab我们用拼图的方法来说明我们用拼图的方法来说明勾股定理是正确的勾股定理是正确的1证明证明:上面的大正方形的面积为：上面的大正方形的面积为：c ? 4? ab22bcba1下面大的正方形的面积为：下面大的正方形的面积为：a ? b ? 4? ab222abacbbbba从右图中我们可以看出，这两个正方形的从右图中我们可以看出，这两个正方形的边长都是边长都是ab，所以面积相等，即，所以面积相等，即aabc1122c ? 4? ab? c ? b ? 4? ab22222c ? a ? b2a观察下面的图形，你还能发现什么吗？
