1、第四篇第四篇 振动与波动振动与波动第四篇第四篇 振动与波动振动与波动Oscillations and Waves第一部分第一部分 机械振动机械振动第二部分第二部分 机械波机械波第三部分第三部分 电磁振荡与电磁波电磁振荡与电磁波第第11章章 振动与波动振动与波动Oscillations and Waves第第1节节 谐振动谐振动第第3节节 阻尼振动、受迫振动与共振阻尼振动、受迫振动与共振第第2节节 振动的合成和分解振动的合成和分解第第4节节 非线性振动与相图法非线性振动与相图法第第5节节 机械波机械波第第6节节 声波声波 地震波地震波第第7节节 波的衍射和波的干涉波的衍射和波的干涉第第8节节 多
2、普勒效应多普勒效应第第9节节 电磁振荡与电磁波电磁振荡与电磁波(重点重点1)(重点重点2)(重点重点3)(自学自学)第第11章章振动与振动与 波动波动 第一部分第一部分 机械振动机械振动 一物理量在某一定值附近周期性变化的现象称振动。一物理量在某一定值附近周期性变化的现象称振动。力学量（如位移）力学量（如位移）机械振动机械振动电磁振动电磁振动最基本、最基本、 最简单、最重要的振动是简谐振动最简单、最重要的振动是简谐振动。电磁量（如电磁量（如i 、u、 E、 B）问：广义地说什么是振动？问：广义地说什么是振动？ 振动与波动是与人类生活和科学技术密切相关的振动与波动是与人类生活和科学技术密切相关的
3、一种基本运动形式。一种基本运动形式。第一节第一节 谐振动谐振动Simple Harmonic Motion xokx运动学特征运动学特征mk 一、谐振动特征一、谐振动特征pNF动力学特征动力学特征 合合Fxxmka2 由由 kxmaF合合微分方程特征微分方程特征 0222 xtx ddx可代表任意物理量可代表任意物理量kxm以弹簧振子为例得出普遍结论：以弹簧振子为例得出普遍结论：弹簧振子弹簧振子回复力回复力二、谐振动规律二、谐振动规律速速 度度)sin( tAtxddv加速度加速度)cos(2 tAtaddv)cos( tAx位位 移移振动方程振动方程2468101214-1-0.50.51v
4、t xa解解 可得可得0222 xtx dd势势 能能)(cos2121222 tkAkxEp)(sin21212222 tmAmEkv动动 能能总总 能能2222)(21212121 AmkAkxmEEEpk v守恒！守恒！-1-0.50.510.20.40.60.81xkEpEE24681012-0.20.20.40.60.81kEpExt三、描述谐振动的基本量三、描述谐振动的基本量)cos( tAx由由A, , .由系统性质决定（故称固有频率）。由系统性质决定（故称固有频率）。0dd222 xtx 由由定出定出 。T 22 。由初始条件决定。由初始条件决定。 （重点！）（重点！）由初始条
5、件决定。由初始条件决定。0 t位相为位相为 称初位相。称初位相。， 角角频率频率（2 秒内振动的次数秒内振动的次数)。 )( t位相（决定振动状态的物理量）。位相（决定振动状态的物理量）。A振幅（最大位移的绝对值）。振幅（最大位移的绝对值）。，位移，位移 ，速度，速度 0 t0 x0v设设 cos0Ax sin0A v得得002020tan)(xxA vv 简谐振动问题类型：简谐振动问题类型： （1）证明为简谐振动，并求周期？）证明为简谐振动，并求周期？ （2）写出振动方程？）写出振动方程？已知：已知：M, m, h, k. 例例1.（1）证明物证明物m从静止落下与板粘在一起后作简从静止落下与
6、板粘在一起后作简谐振动，并求周期。谐振动，并求周期。 （2）当物当物m与板相碰时作为记时起点，写出振与板相碰时作为记时起点，写出振动方程。动方程。解：解：（1）首先选一坐标系，原首先选一坐标系，原点放在受力平衡处。点放在受力平衡处。kLMg )()(lLkgMm hmMkLxoxlFFPP任意任意 处分析受力：处分析受力：xLhmMkoxxlFFPPkxxlLkgmMF )()（合合为简谐振动为简谐振动由由kxtxmM 22)(dd0dd22 xmMktx为简谐振动为简谐振动mMk 得得即即0dd222 xtx 其中其中kmMT 22 任意任意 处分析受力：处分析受力：xg)mM(P)(xlL
7、kF 合力合力=？hmMkLoxxlFFPP（2）0 tkmglx 0mMghm 2 0v（注意正负号！）（注意正负号！）kmMghmkmgxA)(2222020 vgmMkhx)(2arctanarctan00 v振动方程为振动方程为 gmMkhtmMkkmMghmkmgx)(2arctancos)(222代入公式得代入公式得讨论：若讨论：若 轴向上为正，写方程有那些变化？轴向上为正，写方程有那些变化？xoxxkxxlLkgmMF )()（合合取第取第3象限值象限值取第取第1象限值象限值 例例2. 两轮的轴互相平行，相距两轮的轴互相平行，相距 2d, 两轮转速相两轮转速相 同而方向相反同而方
8、向相反，将质量为将质量为 m 的一匀质薄板搁在两轮的一匀质薄板搁在两轮上，板与轮的摩檫系数为上，板与轮的摩檫系数为 ，若板的质心，若板的质心 C 起初起初距一轮较近（如图）试证明距一轮较近（如图）试证明板作简谐振动板作简谐振动并求并求周期。周期。m m COd2双轮双轮mgxyO1N2N1f2fcd2证明：证明：建立坐标系如图建立坐标系如图， 研究对象：板研究对象：板mg N1 N2 f1 f2 021mgNNFy 2121NNffFxm mm m板受力：板受力：?21 NN选选O点为转轴点为转轴 0 0 012 mgxdNdN0 x012 mgxdNdNdmgxNN 21dgm m gdm
9、m 22是简谐振动！是简谐振动！T 2121NNffFxm mm m22ddtxm 0dd22 xdgtxm mdmgxm m mgxyO1N2N1f2fcd2xl例例3. 单摆长单摆长（1）证明小角度摆动为简谐振动，证明小角度摆动为简谐振动，并求周期。并求周期。 （2）若将摆拉至最大角度若将摆拉至最大角度 放手放手为计时起点，写出振动方程。为计时起点，写出振动方程。 0 解：解：（1）摆沿圆弧运动，只需分摆沿圆弧运动，只需分析任意角位移析任意角位移 处切向力：处切向力： sinmgF 切向力大小切向力大小 mg !5!3sin53 (小角度小角度 . )考虑方向考虑方向 mgF （线性振动）
10、（线性振动）0 FmgTo简谐振动！简谐振动！ （非线性振动（非线性振动 混沌）混沌）单摆单摆 mgmaF 又又22ddddtlta vtldd v gtl 22dd 即即0dd22 lgtlg glT 22 02020 m角振幅角振幅0 t初角位移初角位移 ，0 00 初角速度初角速度0tan00 0？)cos( tm（2）振动方程振动方程0 FmgTo 取值范围取值范围（02 ）或或（ ）之间。之间。 0哪一个是哪一个是 的正确值？的正确值？ cos 00 1cos 故应取初位相故应取初位相0 tlgcos0 振动方程振动方程四、旋转矢量表示法四、旋转矢量表示法)cos( tAx注意各量对
11、应关系！注意各量对应关系！t xxot0 tAA矢量图矢量图矢量图表达矢量图表达用旋转矢量很容易求出简谐振动的位相和初位相用旋转矢量很容易求出简谐振动的位相和初位相例例4. 已知位相，求状态已知位相，求状态.如：如：位相位相 1t，问状态？问状态？3 x2Ax , 且向且向 x 负向运动负向运动.0 x，且向且向 x 正向运动正向运动.位相位相232 t，问状态？问状态？如：如：oAx例例5. 已知状态求位相（特别是初位相）已知状态求位相（特别是初位相）求初相求初相 ？如：如：, 0 ,2 , 000 vAxt 或或35 43 2A2A o注意四个特殊状态的注意四个特殊状态的 值！值！ 求初相
12、求初相 ？如：如：, 0 ,2 , 000 vAxt 例例6. 已知简谐振动已知简谐振动A=10 cm，T=2 s, 当当 t=0 时位移为时位移为 x = 5 cm，且向且向 x 负向运动。负向运动。 求求（1）振动方振动方 程。程。 （2）x= 5 cm，且向且向 x 正向运动时的速度、加速度正向运动时的速度、加速度及从这一位置回到平衡位置的最小时间。及从这一位置回到平衡位置的最小时间。 解解: (1)cos( tAx T2 ) srad(t0 t2A 由旋转矢量，得由旋转矢量，得32 )32cos(1 . 0 txx（2）先求先求 ，由旋转矢量法，由旋转矢量法ts 1 t（半个周期）（半
13、个周期）o 2Am/s27. 0)32sin(1 . 0)sin( tAv222m/s49. 0)32cos(1 . 0)cos( tAa由旋转矢量法由旋转矢量法6532 s6565 t（用解析法也可求出！）（用解析法也可求出！）0 t2A txt 例例7. 已知已知 x- t 曲线曲线, 写出振动方程写出振动方程, 并求它们的位相差？并求它们的位相差？x 解：解：,A 2 . 0m )(22r ra ad d/ /s s T 231 或或2 232cos2 . 01tx352 3 或或 352cos2 . 02tx6233512 m/xo1234561 . 02 . 012s 4 T1A2A
14、m1 . 0s/ t1 位相差反映了两振动达到同一状态有时间差位相差反映了两振动达到同一状态有时间差 t s3126讨论：讨论：利用曲线利用曲线 2 正方向端点正方向端点3322 t m 2 . 0)3cos(1 . 0 Am/xo1234561 . 02 . 012s/ tx 1A2Am1 . 06233512 2 若不给若不给A=0.2 m，如何求出，如何求出A？第第2节节 振动的合成和分解振动的合成和分解一、一、 两同方向同频率的简谐振动的合成两同方向同频率的简谐振动的合成分振动分振动 :x1=A1cos( t+ 1)x2=A2cos( t+ 2)合振动合振动 : x = x1+ x2
15、x =A cos( t+ )合振动是简谐振动合振动是简谐振动, 其频率仍为其频率仍为 ，)cos(212212221 AAAAA22112211coscossinsintan AAAA 其中其中由矢量合成法，由矢量合成法，x2AA1A21X 1x2x0 t可得可得Combination of Simple Harmonic Motions讨论：两种特殊情况讨论：两种特殊情况1 若两分振动同相若两分振动同相 2 1= 2k (k=0, 1, 2, ) 2 若两分振动反相若两分振动反相 2 1= (2k+1) (k=0, 1, 2, )如如 A1=A2 , 则则 A=02AA1A2AA1A则则 ，
16、合振幅最大。，合振幅最大。21AAA 则则 ，合振幅最小。，合振幅最小。21AAA )cos(212212221 AAAAA例例8. N个同方向同频率的简谐振动的合成个同方向同频率的简谐振动的合成)cos(1tax )cos(2 tax)2cos(3 tax) 1(cos NtaxN a oCAxR用矢量合成法用矢量合成法 多边形法则多边形法则 设它们的振幅都为设它们的振幅都为a，初位相依次相差一个，初位相依次相差一个 ，其表达式为其表达式为： a oCAxR作外接圆，先求半经作外接圆，先求半经R及圆心角及圆心角由等腰三角形可知由等腰三角形可知22sinaR )2sin(2 aR圆心角圆心角
17、N N，则，则2sin2sin2sin2 NaNRA )1(N由三角形外角等于不相邻内角之和，得由三角形外角等于不相邻内角之和，得2)1( N 2)1(cos)2sin()2sin( NtNax合振动仍为同频率的简谐振动。合振动仍为同频率的简谐振动。二、两同方向不同频率二、两同方向不同频率(相差较小相差较小)的简谐振动的合成的简谐振动的合成演示：两音叉演示：两音叉Hz4401 Hz4382 合振幅时强时弱的现象称为拍合振幅时强时弱的现象称为拍Hz 221 拍频拍频20406080100120-1-0.50.5120406080100120-1-0.50.51tt2x1x204060801001
18、20-2-11221xx t 合振动合振动 x = x1+ x2 设分振动设分振动 x1=Acos 1t x2=Acos 2t用用2cos2cos2coscos t cos)(tA合振动特点：合振动特点： （1）合振动频率）合振动频率（2）合振幅）合振幅21212 )2cos(2)(21tAtA )2cos()2cos(22121ttAx 在在0-2A之间随之间随 t 周期性变化，周期性变化，时强时弱，不是谐振动。时强时弱，不是谐振动。合振幅在单位时间内加强（或减弱）的次数称合振幅在单位时间内加强（或减弱）的次数称拍频拍频。拍频拍频21 21 则拍圆频率为则拍圆频率为 A( t ) 圆频率的圆
19、频率的2倍，即倍，即（1）乐音调准。）乐音调准。 混频混频中放中放功放功放本机振荡本机振荡kHz 46512 中频（拍频）中频（拍频）kHzkHz 465（2）超外差收音机利用电磁振动的拍现象）超外差收音机利用电磁振动的拍现象 。拍的利用拍的利用电台电台 1 三、两同频率垂直振动的合成三、两同频率垂直振动的合成)cos()cos(2211 tAytAxxAAy12 直线直线椭圆方程椭圆方程，形状决定于，形状决定于 及及 、 。12 1A2A分振动分振动消去消去 t ，得合运动轨迹方程：，得合运动轨迹方程： xy1A1A 2A2A （1、3象限）象限）（2、4象限）象限） 121 . 0 )(s
20、in)cos(21221221222212 AAxyAyAx1222212 AyAx正椭圆正椭圆2 23 或或2 2.圆圆21AA xy1A1A 2A2A 3.其它值其它值斜椭圆斜椭圆 在在 0- 之间为之间为右旋右旋右旋右旋左旋左旋椭圆合成椭圆合成 在在 -2 之间为之间为左旋左旋 为任意值时，合振动的轨迹一般为椭圆为任意值时，合振动的轨迹一般为椭圆 0 4 43 45 2 47 223 四、不同频率垂直方向简谐振动的合成四、不同频率垂直方向简谐振动的合成 称为称为李萨如图形李萨如图形。如：。如： 两振动的频率成两振动的频率成整数比整数比时，合成轨迹稳定，时，合成轨迹稳定，一般轨迹曲线复杂，
21、且不稳定。一般轨迹曲线复杂，且不稳定。-1-0.50.51-1-0.50.51-1-0.50.51-1-0.50.51-1-0.50.51-1-0.50.51xyyxxyxyTTNN 由切点数之比由切点数之比可测频率。可测频率。李萨如图形李萨如图形yxxyNN 五、谐振分析五、谐振分析(Spectral Analysis)2. 振动的分解振动的分解(合成的逆过程合成的逆过程): 任一角频率为任一角频率为 的振动的振动都可以分解为一系列简谐振动，这些振动的角频率都可以分解为一系列简谐振动，这些振动的角频率分别为分别为 (基频基频)、 2 (二倍频二倍频)、3 (三倍频三倍频)即即: x(t)=b
22、0+b1cos t+c1sin t+b2cos2 t+c2sin2 t+ 叫做复杂振动的傅里叶级数叫做复杂振动的傅里叶级数. 式中式中b0、b1、c1、 b2、c2、均为常数均为常数, 表示相应简谐振动在合振动所占的表示相应简谐振动在合振动所占的相对大小相对大小.1. 付里叶理论付里叶理论(Fourier Theory): 任何一个复杂的周任何一个复杂的周期性振动期性振动, 都可以分解为一系列的都可以分解为一系列的SHM, 每个分每个分振动的频率都是合振动频率的整数倍振动的频率都是合振动频率的整数倍. 基频基频(fundamental frequency): 分分= 合合 倍频或倍频或n次谐频
23、次谐频(harmonic frequency): 分分=n 合合3. 锯齿波锯齿波(扫描信号扫描信号)的傅里叶级数展开式的傅里叶级数展开式:ttttttx 6sin615sin514sin413sin312sin21sin 4. 频谱分析频谱分析(Spectral Analysis) 将一个复杂的周期性振动的分振动的将一个复杂的周期性振动的分振动的角频率角频率为横为横坐标，振幅为纵坐标，按顺序表示为频谱图，称为坐标，振幅为纵坐标，按顺序表示为频谱图，称为频谱分析。频谱分析。在听觉、噪声、心电和脑电中的应用在听觉、噪声、心电和脑电中的应用. 右上图是锯齿波的频谱右上图是锯齿波的频谱(freque
24、ncy spectrum)脉博振动图形及其频谱脉博振动图形及其频谱图中显示了一位学生在安静条件下的脉博图形及其频谱图中显示了一位学生在安静条件下的脉博图形及其频谱阻尼振动阻尼振动受迫振动受迫振动 共振（共振（ ） 外外m大大k 小小要使要使 ！ 外外大理石板大理石板充气轮胎充气轮胎mk 如何设计一防振台？如何设计一防振台？小小第第3节节 阻尼振动、受迫振动和共振（自学）阻尼振动、受迫振动和共振（自学）秋千秋千Damped Oscillation Forced Oscillation Resonance大桥共振大桥共振还有多级隔振！还有多级隔振！汽车的减振系统汽车的减振系统轮胎轮胎轮轴轮轴底座弹簧底座弹簧车身车身座椅弹簧座椅弹簧乘客乘客
