1、第六讲第六讲数字滤波器设计数字滤波器设计浙江大学光电信息工程学系浙江大学光电信息工程学系胡慧珠胡慧珠l 预备知识预备知识lIIR滤波器设计滤波器设计l 双线性变换双线性变换l 低通低通IIR滤波器设计滤波器设计l 高通、带通、带阻高通、带通、带阻IIR数字滤波器设计数字滤波器设计l IIR滤波器的谱变换滤波器的谱变换lFIR滤波器设计滤波器设计l 基于加窗傅立叶级数的基于加窗傅立叶级数的FIR滤波器设计滤波器设计l 数字滤波器的计算机辅助设计数字滤波器的计算机辅助设计l 用用Matlab进行数字滤波器设计进行数字滤波器设计主要内容主要内容l 确定传输函数G(z)的过程称为数字滤波器设计数字滤波
2、器设计 .l 在大多数应用中，关键的问题是用一个可实现的传输函数去逼近给定的滤波器幅度响应指标幅度响应指标，而滤波器的相位响应可以通过级联全通滤波器来校正。l 一种广泛应用的IIR滤波器设计方法是将一个模拟的原型传输函数转换为一个数字的传输函数。lFIR滤波器的设计则是基于对指定幅度响应的直接逼近。l 在设计数字传输函数G(z)之前，有两个关键的问题需要考虑 ：l 分析使用数字滤波器的整个系统的需求，确定合理的滤波器频率响应指标。l 确定所设计的滤波器是FIR还是IIR数字滤波器。7.1 预备知识预备知识)(jeGc11+ p1- p s p s 低通数字滤波器的典型幅度指标低通数字滤波器的典
3、型幅度指标7.1.1 数字滤波器指标数字滤波器指标数字滤波器指标数字滤波器指标通带通带0 pppjpforeG,1)(1阻带阻带 s ssjforeG,)( p: 通带截止频率通带截止频率 s: 阻带截止频率阻带截止频率 p: 通带峰值波纹通带峰值波纹 s: 阻带峰值波纹阻带峰值波纹 p:峰值通带波纹峰值通带波纹 s: 最小阻带衰减最小阻带衰减dBpp)1 (log2010dBss10log2011/A 211c p s )(jeG归一化的数字低通滤波器幅度响应指标归一化的数字低通滤波器幅度响应指标最大通带衰减最大通带衰减:dB)1(log20210maxpp2)21 (log2010max设
4、设FT 为采样频率（为采样频率（Hz），），Fp 和和 Fs 分别为通带和阻带分别为通带和阻带截止频率（截止频率（Hz），则归一化截止角频率为：），则归一化截止角频率为：TFFFFTpTpTppp22TFFFFTsTsTsss22两个参数：两个参数：过渡比或选择性参数过渡比或选择性参数分辨参数分辨参数(1)psk对低通滤波器12(1)1kA2*()()()()( )()sjHjH jHjH jHjH s Hs 幅度平方函数与模拟传输函数之间的关系：幅度平方函数与模拟传输函数之间的关系：l FIR 滤波器可以设计为线性相位，并且总是稳定的。滤波器可以设计为线性相位，并且总是稳定的。l 在多数情况
5、下，在多数情况下，FIR滤波器的阶数滤波器的阶数 NFIR 显著大于具有显著大于具有等效幅度响应的等效幅度响应的IIR滤波器阶数滤波器阶数NIIR 。NFIR/NIIR 通常为通常为10的量级或更高的量级或更高.l IIR 滤波器通常计算更简便。滤波器通常计算更简便。l 在很多应用中，并不要求滤波器具有严格的线性相位，在很多应用中，并不要求滤波器具有严格的线性相位，在这些情况下，通常会因计算简便而选择在这些情况下，通常会因计算简便而选择IIR滤波器。滤波器。7.1.2 滤波器类型的选择滤波器类型的选择l IIR滤波器滤波器设计设计:l 在设计在设计IIR滤波器时，通常将数字滤波器的设计指标转化
6、成模滤波器时，通常将数字滤波器的设计指标转化成模拟低通原型滤波器的设计指标，从而确定满足这些指标的模拟低拟低通原型滤波器的设计指标，从而确定满足这些指标的模拟低通滤波器的传输函数通滤波器的传输函数Ha(s)，然后再将它变换成所需要的数字滤波，然后再将它变换成所需要的数字滤波器传输函数器传输函数G(z) l 将模拟原型传输函数将模拟原型传输函数Ha(s)变换成所需的数字变换成所需的数字IIR传输函数传输函数G(z)的基本思路就是要把的基本思路就是要把s域映射到域映射到z域，从而使数字滤波器能保持模域，从而使数字滤波器能保持模拟滤波器的基本频率响应特性，因此，这种映射函数必须满足以拟滤波器的基本频
7、率响应特性，因此，这种映射函数必须满足以下要求下要求：l s平面的虚轴（平面的虚轴（j）必须映射到）必须映射到z平面的单位圆上。平面的单位圆上。 l 稳定的模拟传输函数能变换为稳定的数字传输函数。稳定的模拟传输函数能变换为稳定的数字传输函数。 7.1.3 数字滤波器设计的基本方法数字滤波器设计的基本方法l FIR 滤波器设计滤波器设计:l FIR滤波器的设计是基于对指定幅度响应的直接逼近，通常还滤波器的设计是基于对指定幅度响应的直接逼近，通常还需加上线性相位的条件限制需加上线性相位的条件限制l 一个一个N+1阶的阶的FIR滤波器可以通过利用脉冲响应序列或频率响滤波器可以通过利用脉冲响应序列或频
8、率响应的应的 N+1 个采样点来实现个采样点来实现l 两种直接的两种直接的FIR滤波器设计方法是加窗傅立叶级数法和频率采滤波器设计方法是加窗傅立叶级数法和频率采样法样法l 一些研究者提出了一些先进的方法估计给定性能指标的数字滤一些研究者提出了一些先进的方法估计给定性能指标的数字滤波器的阶数波器的阶数2/ )(6 .1413)(log2010psspN2/ )(22. 0)(log2010pssN2/ )(2794. 5)(log2010pspN对通带宽度适中的对通带宽度适中的FIR滤波器滤波器对通带宽度较窄的对通带宽度较窄的FIR滤波器滤波器对通带宽度较宽的对通带宽度较宽的FIR滤波器滤波器这
9、样设计出来的这样设计出来的FIR滤波器的频率响应特性可能满足也可能不满足给滤波器的频率响应特性可能满足也可能不满足给定的指标，如果不满足指标，建议逐渐增加滤波器阶数直到满足指标为定的指标，如果不满足指标，建议逐渐增加滤波器阶数直到满足指标为止。止。7.1.4 滤波器阶数估计滤波器阶数估计IIR滤波器的系统函数的设计就是确定各系数滤波器的系统函数的设计就是确定各系数ak,bk或零极点或零极点ck，dk和和A，以使滤波器满足给定的性能要求。通常有以下两种方法：，以使滤波器满足给定的性能要求。通常有以下两种方法：1）利用模拟滤波器的理论来设计数字滤波器）利用模拟滤波器的理论来设计数字滤波器先设计一个
10、合适的模拟滤波器；然后变换成满足预定指标的数字滤波先设计一个合适的模拟滤波器；然后变换成满足预定指标的数字滤波器。这种方法很方便，因为模拟的网络综合理论已经发展得很成熟，器。这种方法很方便，因为模拟的网络综合理论已经发展得很成熟，模拟滤波器具有很多简单而又现成的设计公式，并且设计参数已经表模拟滤波器具有很多简单而又现成的设计公式，并且设计参数已经表格化了，另外，还有一些典型的滤波器类型可供使用，设计起来既方格化了，另外，还有一些典型的滤波器类型可供使用，设计起来既方便又准确。便又准确。2）计算机辅助设计计算机辅助设计最优化设计法最优化设计法7.2 IIR滤波器设计滤波器设计由模拟滤波器设计数字
11、滤波器步骤：由模拟滤波器设计数字滤波器步骤：1、数字滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器指标；、数字滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器指标；2、模拟低通滤波器设计；、模拟低通滤波器设计；（设计出符合要求的模拟滤波器的系统函数（设计出符合要求的模拟滤波器的系统函数Ha(s)，可以选择多种类型的滤波器）可以选择多种类型的滤波器）3、映射实现：从模拟低通滤波器再转换成数字滤波器、映射实现：从模拟低通滤波器再转换成数字滤波器G(z) ；（利用一定的映射方法，把模拟滤波器系统函数数字化，如（利用一定的映射方法，把模拟滤波器系统函数数字化，如双线性变换法双线性变换法和脉冲响应不变法）和脉冲响应不变法）
12、IIR滤波器设计的滤波器设计的脉冲响应不变法脉冲响应不变法脉冲响应不变法是设计脉冲响应不变法是设计IIR滤波器最简单的一种近似方法。滤波器最简单的一种近似方法。基本思路：基本思路：将连续时间滤波器的单位脉冲响应均匀采样，作为离散时将连续时间滤波器的单位脉冲响应均匀采样，作为离散时间滤波器的单位脉冲响应。即：间滤波器的单位脉冲响应。即： hn=Tdhc(nTd) (7.4)注意，此处的注意，此处的Td是转换离散时间滤波器的采样周期，不必等于信号的是转换离散时间滤波器的采样周期，不必等于信号的采样周期采样周期T，尽管经常会取相同的值。，尽管经常会取相同的值。证明：证明： 离散时间滤波器频响与连续时
13、间滤波器频响之间的关系为：离散时间滤波器频响与连续时间滤波器频响之间的关系为： 由于由于Hc(j)=0, |/Td ，则有：则有：kddcjkTjTjHeH)2()(| ),()(dcjTjHeH脉冲响应不变法的系统函数转变脉冲响应不变法的系统函数转变不失一般性地，假定连续时间滤波器的系统函数为：不失一般性地，假定连续时间滤波器的系统函数为：NkkkcssAsH1)(所对应的时域脉冲响应是：所对应的时域脉冲响应是：.0 ,0,0,)(1tteAthNktskck对对Tdhc(t)采样得到的离散时间滤波器的脉冲响应是：采样得到的离散时间滤波器的脉冲响应是：NknTskdNknTskddcdnue
14、ATnueATnThTnhdkdk11)()(离散时间滤波器的系统函数为：离散时间滤波器的系统函数为：11( )1kdNdks TkT AH zez脉冲响应不变法的几个要点脉冲响应不变法的几个要点 由脉冲响应不变法的全过程，可以看出除了比例系数由脉冲响应不变法的全过程，可以看出除了比例系数Td，其与，其与z变换过程相同，所以这种方法有叫做常规变换过程相同，所以这种方法有叫做常规z变换法变换法 对比对比Hc(s)和和H(z)可以知道，连续时间滤波器的极点按照可以知道，连续时间滤波器的极点按照 的关系映射成的关系映射成z平面的极点，但零点一般需要重新计算平面的极点，但零点一般需要重新计算 脉冲响应
15、不变法，需要满足采样定理来避免混叠。解决的办法脉冲响应不变法，需要满足采样定理来避免混叠。解决的办法是提高技术指标。是提高技术指标。因此脉冲响应不变法经常适用于带限的窄带滤波器，如低通或因此脉冲响应不变法经常适用于带限的窄带滤波器，如低通或带通滤波器，而不常用于通带向高频带延伸太宽的高通和带阻滤带通滤波器，而不常用于通带向高频带延伸太宽的高通和带阻滤波器。波器。k ds Tkze脉冲响应不变法举例脉冲响应不变法举例利用脉冲响应不变法，设计一个利用脉冲响应不变法，设计一个Butteworth离散时间低通滤波器。技术指标：离散时间低通滤波器。技术指标： 3dB带宽的截止频率带宽的截止频率c=0.2
16、 30dB阻带边界频率阻带边界频率s=0.5 采样周期采样周期Td=10s 第一步：将给定指标按照第一步：将给定指标按照=/Td转换为相应的连续时间低通指标；转换为相应的连续时间低通指标；得到：得到：sradksradksc/ 50)1010/(5 . 0/ 20)1010/(2 . 066第二步：根据连续时间低通指标设计归一化连续时间低通滤波器；第二步：根据连续时间低通指标设计归一化连续时间低通滤波器；得到：得到：77.35.2lg6.31lg)lg()lg(6.31)1lg(10301)1lg(10322sspNAA例例(续续)取取N=4。四阶归一化四阶归一化Butterworth低通滤波
17、器传递函数为：低通滤波器传递函数为：) 18477. 1)(176537. 0(1)(22sssssHc第三步：利用频率转换求得满足给定指标的实际连续时间低通滤波器；第三步：利用频率转换求得满足给定指标的实际连续时间低通滤波器；即：即：)()(ccsHsH第四步：利用脉冲响应不变法求得满足给定技术指标的离散时间滤波器传输第四步：利用脉冲响应不变法求得满足给定技术指标的离散时间滤波器传输函数。函数。得：得：21121131317. 008704. 11)40981. 084776. 1)(10/(61823. 031495. 11)88482. 084776. 1)(10/()(zzzzzzzH
18、l 将模拟原型传输函数将模拟原型传输函数Ha(s)变换成所需的数字变换成所需的数字IIR传输函数传输函数G(z)的基的基本思路就是要把本思路就是要把s域映射到域映射到z域，从而使数字滤波器能保持模拟滤波器域，从而使数字滤波器能保持模拟滤波器的基本频率响应特性，因此，这种映射函数必须满足以下要求的基本频率响应特性，因此，这种映射函数必须满足以下要求：l s平面的虚轴（平面的虚轴（j）必须映射到）必须映射到z平面的单位圆上。平面的单位圆上。 l 稳定的模拟传输函数能变换为稳定的数字传输函数。稳定的模拟传输函数能变换为稳定的数字传输函数。l 有很多种变换方法可以将一个模拟传输函数有很多种变换方法可以
19、将一个模拟传输函数Ha(s)变换成一个数字传输变换成一个数字传输函数函数G(z)，从而使，从而使z域的数字传输函数保留域的数字传输函数保留s域的模拟传输函数的基本性质。域的模拟传输函数的基本性质。l 在这些变换中，更多地使用在这些变换中，更多地使用双线性变换法双线性变换法来设计基于模拟原型滤波器来设计基于模拟原型滤波器变换的变换的IIR数字滤波器。数字滤波器。 7.2.1 IIR滤波器设计的双线性变换法滤波器设计的双线性变换法 双线性变换法双线性变换法(Bilinear transformation )：是从：是从频域频域出发，使出发，使数字滤波器数字滤波器的频率响应与的频率响应与模拟滤波器模
20、拟滤波器的频率响应相似的一种的频率响应相似的一种变换法。变换法。)11(211zzTs双线性变换定义：双线性变换定义：2121TsTszl以上变换是一个一一映射，它将s平面上的一点映射为z平面上的一点，或将z平面上的一点映射为s平面上的一点。数字传输函数G(z)和原型模拟传输函数 Ha(s)之间的关系为 :)11(211)()(zzTsasHzGl双线性变换是通过应用梯形数值积分方法来从Ha(s)的微分方程得到G(z)的差分方程的一种变换。参数T表示数值积分的步长 双线性变换的推导（梯形积分）双线性变换的推导（梯形积分）tdxty0)()(12 1nxnxTnynynTTnTnnTdxdxdx
21、nTy)1()1(00)()()()(2) 1()()()()()1(00TnxnTxTdxdxnTyTnnT)11(21)(11zzTzHssH1)(l 双线性变换主要用在双线性变换主要用在:l 用反双线性变换来将数字滤波器的性能指标转换为模拟原型滤波用反双线性变换来将数字滤波器的性能指标转换为模拟原型滤波器的性能指标器的性能指标l 用双线性变换来从模拟传输函数得到所希望的数字滤波器的传输用双线性变换来从模拟传输函数得到所希望的数字滤波器的传输函数函数G(z)l 参数参数T对对 G(z)的表达式没有影响的表达式没有影响, 可以选择可以选择T=2来简化设计的过程来简化设计的过程sszzzs11
22、11112200002002200001()(1)()2221()(1)()222TTTjsjzzTTTj 00()1z虚轴（单位圆）001z001z0jIm(z)Re(z)-110s域到域到z域的映射关系：域的映射关系：令：jezjs,2tan()2 122tan()12jjejjTeTT 双线性变换扭曲了数字频率双线性变换扭曲了数字频率和模拟频率的关系。和模拟频率的关系。T 1. 临界频率预畸变临界频率预畸变2. 模拟原型滤波器模拟原型滤波器H Ha a( (s s) )3. Ha(s) G(z)数字滤波器设计思路：数字滤波器设计思路：)2tan(2T)( jHa)(jeHl稳定性不变，但
23、形状发生变化稳定性不变，但形状发生变化l映射高度非线性，由此引起的映射高度非线性，由此引起的频率轴失真称为频率轴失真称为频率畸变频率畸变例例: 模拟滤波器传输函数为模拟滤波器传输函数为 11ppssH-3dB频率为频率为2000弧度弧度/秒秒(318.31Hz)，求对应的数字滤波器传，求对应的数字滤波器传输函数，采样率为输函数，采样率为1500Hz 20002000ssH 12000/12H2*()()()()( )()sjHjH jHjH jHjH s Hs （） 1112 1110.4 1200011 0.2300020001zsTzzH zH szzz0.4 11 0.2jjjeH ee
24、频率响应之间的差异见上图，数字滤波器的滚降比模拟滤波器频率响应之间的差异见上图，数字滤波器的滚降比模拟滤波器要陡，且带宽也不同，这种误差是由于双线性变换的要陡，且带宽也不同，这种误差是由于双线性变换的畸变畸变造成造成的。的。畸变畸变误差可以通过对误差可以通过对-3dB频率的频率的预预畸变畸变来克服。来克服。l二阶模拟带阻滤波器（陷波器）的传输函数为二阶模拟带阻滤波器（陷波器）的传输函数为202202)(BssssHa222022220)()(BjHa112 11( )( )zasTzG zHs7.2.2 IIR低阶滤波器的设计低阶滤波器的设计121211 2( )21(1)zzG zzz222
25、20022220011244,11244TTBTTTBT令l陷波频率0 和-3dB陷波带宽 Bw 与常数 和 相关1tan(/ 2)1tan(/ 2)wwB TB T0cosT/则l设计一个低通设计一个低通IIR数字滤波器数字滤波器G(z)，性能指标如下，性能指标如下:1)(0jeG25. 0p55. 0sdBeGpj5 . 0)(log20101020log()15sjG edB 7.3 低通低通IIR滤波器设计滤波器设计l 将数字截止频率将数字截止频率预畸变预畸变为模拟截止频率为模拟截止频率4142136. 0)225. 0tan()2tan(pp0.55tan()tan()1.17084
26、9622ss 1220185. 01015 . 011log2005. 02210622777.3110151log205 . 1210AA8266809. 21psk841979.151121Ak6586997. 2)1(log)1(log10110kkN588148. 011)(1122cNcpk：过渡比：过渡比k1：分辨率：分辨率巴特沃兹逼近的阶数估计：巴特沃兹逼近的阶数估计：频率解归一化：频率解归一化：l三阶归一化低通三阶归一化低通Butterworth传输函数传输函数:) 1)(1(1)(2ssssHan)345918. 0588148. 0)(588148. 0(203451. 0
27、)()(2ssssHsHcana)3917468. 06762858. 01)(2593284. 01 ()1 (0662272. 0)()(211311111zzzzsHzGzzsal第一种方法分为以下几个步骤：第一种方法分为以下几个步骤： )2tan(7.4 高通、带通和带阻高通、带通和带阻IIR数字滤波器设计数字滤波器设计Step 1：用式用式 预畸变预畸变所求数字滤波器所求数字滤波器GD(z)的数字频率指标，的数字频率指标，从而得到一个等价的模拟滤波器从而得到一个等价的模拟滤波器HD(s) 的频率指标。的频率指标。Step 2：选取一种合适的选取一种合适的频率变换频率变换，将，将HD(
28、s)的频率指标转换成原型低的频率指标转换成原型低通滤波器通滤波器HLP(s)的频率指标。（的频率指标。（附录附录B）Step3:设计模拟低通滤波器设计模拟低通滤波器HLP(s).（附录附录A）Step4: 用步骤用步骤2中中频率变换的逆变换频率变换的逆变换将传输函数将传输函数HLP(s)转换为转换为HD(s) 。（附录附录B）Step5:对传输函数对传输函数HD(s)进行进行双线性变换双线性变换，从而得到所求的数字，从而得到所求的数字IIR传输传输函数函数GD(z) l第二种方法分为以下几个步骤：第二种方法分为以下几个步骤： )2tan(步骤步骤1：用式：用式 预畸变预畸变所求数字滤波器所求数
29、字滤波器GD(z)的数字频率指标，的数字频率指标，从而得到一个等价的模拟滤波器从而得到一个等价的模拟滤波器HD(s)的频率指标。的频率指标。 步骤步骤2：选取一种合适的：选取一种合适的频率变换频率变换，将，将HD(s)的频率指标转换成原型低通的频率指标转换成原型低通滤波器滤波器HLP(s)的频率指标。的频率指标。步骤步骤3：设计模拟低通滤波器：设计模拟低通滤波器HLP(s)。步骤步骤4：对传输函数：对传输函数HLP(s)进行进行双线性变换双线性变换，将其转换为，将其转换为IIR数字滤波器数字滤波器的传输函数的传输函数GLP(z)。步骤步骤5：选取一种合适的：选取一种合适的谱变换谱变换将将GLP
30、(z)转换成所求的数字传输函数转换成所求的数字传输函数GD(z)。GD(z)的数字频率指标)2tan(与HD(s)相同类型的模拟滤波器频率指标原型低通滤波器HLP(s) 的频率指标Designing of HLP(s)(DLPF )(1LPDsFsHD(s)GD(z)ssz11GLP(z)ssz11GD(z)(1LPDzFzl 谱变换可以用来将给定的低通数字谱变换可以用来将给定的低通数字IIR传输函数传输函数GL(z)转换成另一个低转换成另一个低通、高通、带通或带阻滤波器的数字传输函数通、高通、带通或带阻滤波器的数字传输函数GD(z) .jez jez )(zGL) (zGD) (zFz )(
31、1zFz7.5 IIR滤波器的谱变换滤波器的谱变换l 为了把一个有理的为了把一个有理的GL(z)变换成一个有理的变换成一个有理的 ， 必须为必须为 的一个有理函数的一个有理函数 l 另外，为了保证另外，为了保证 的稳定性，应该将的稳定性，应该将z平面单位圆的内部映射到平面单位圆的内部映射到平面的单位圆的内部平面的单位圆的内部 . l 为了保证将低通幅度响应映射成四种基本类型的幅度响应之一，为了保证将低通幅度响应映射成四种基本类型的幅度响应之一，z平平面单位圆上的点必须映射成面单位圆上的点必须映射成 平面单位圆上的点平面单位圆上的点 .) (zGDz ) (zF) (zGDz z 111111)
32、 (zifzifzifzF111111) (1) (1zifzifzifzFzF) (1zF为稳定的全通函数为稳定的全通函数MlllMlllMMMMzzzzzzDzDzzF11111)1()11() ()() (LiiMzzD11)1 ()(l实数或是以复共轭对的形式出现实数或是以复共轭对的形式出现 ，并且并且 以保持传输函数的稳定以保持传输函数的稳定 1ll 要把一个截止频率为c的原型低通滤波器GL(z)变换成另一个截止频率为 的低通滤波器 ，我们会用到变换 ) (zGDczzzFz1) (11为实数1jjjeee)2tan(11)2tan(=-0.6=0=+0.67.5.1 低通滤波器到低
33、通滤波器的变换低通滤波器到低通滤波器的变换)2tan(11)2tan(cc)2sin()2sin()2tan()2tan()2tan()2tan(cccccccc利用低通滤波器到低通滤波器的变换同样可以：l把截止频率为c的高通滤波器变换成截止频率为 的另一个高通滤波器l把中心频率为0的带通滤波器变换成另一个中心频率为 的带通滤波器l把中心频率为0的带阻滤波器变换成另一个中心频率为 的带阻滤波器 c00谱谱 变变 换换 表表 滤波器类型 变换 设计参数低通滤波器高通滤波器带通滤波器带阻滤波器1111zzz 1111zzz21121211112111zzzzz 21121211112111zzzz
34、zsin2sin2ccccwwwwcos2cos2ccccwwww 212121cos()2cos()2cot()tan()22cccccccwwwwwww212121cos()2cos()2tan()tan()22cccccccwwwwwww21ccww、为预期高、低端截止频率21ccww、为预期高、低端截止频率7.5.2 其他谱变换其他谱变换l 当低通原型滤波器的带宽与变换后带通滤波器带宽相同，即 将这个限制条件加到表9.1中的频谱变换，可以得到修正的频谱变换为11111zzzz12ccc1jjjjeeee0率）（带通滤波器的中心频00cos1 l 一种直观的设计方法是基于对指定频率响应的
35、傅立叶级数进行截短来设计加窗傅立叶级数法加窗傅立叶级数法l N 点离散傅立叶变换由其频率响应的N个等间隔的不同频率样本组成，因此该数字滤波器的冲激响应序列可以利用它的频率样本上的离散傅立叶逆变换来计算频率抽样法频率抽样法l基于计算机的辅助设计方法基于计算机的辅助设计方法7.6 FIR滤波器设计滤波器设计lKaiser方程方程lBellanger方程方程lHermann方程方程lp 、s 较小时，三个方程都比较准确较小时，三个方程都比较准确lp 、s 较大时，较大时，Hermann方程更准确方程更准确FIR阶数的估计阶数的估计)(jdeH 表示要求的频率响应函数nnnjdjdenheH)(nhd
36、 恰好是相应的冲激响应样本1( )(),2jj nddh nHeedn l 给定一个频率响应指标Hd(ej), 可以利用上式计算 hd(n), 从而确定传输函数Hd(z)。l 然而在大多数实际应用中，要求的频率响应是分段的常数频率响应是分段的常数，并且各个频带之间有陡峭的过渡带陡峭的过渡带，在这种情况下，相应的冲激响应序列是无限长并且非因果的。l 我们的目标是找一个长度为2M+1的有限冲激响应序列 htn， 它的离散时间傅立叶变换 Ht(ej) 在某种程度上逼近所求的Hd(ej) 。7.7.1 FIR滤波器的最小积分平方误差设计滤波器的最小积分平方误差设计7.7 加窗傅立叶级数法设计加窗傅立叶
37、级数法设计FIR滤波器滤波器l 一种常用的逼近准则是最小积分平方误差一种常用的逼近准则是最小积分平方误差deHeHjdjt2)()(21MnMnnjtjtenheH)(Parsevals 关系112222MnnMnddMnMndtnndtnhnhnhnhnhnhl 当-M n M 时，htn=hdn，则积分平方误差最小，或者换句话来说，在均方误差准则下，理想无限长冲激响应的最佳和最简单的有限长逼近在均方误差准则下，理想无限长冲激响应的最佳和最简单的有限长逼近是通过截短来得到的是通过截短来得到的l 冲激响应为hn的因果FIR可以通过将 htn延时M个样本后得到:MnhnhtccjLPeH01)(
38、nnnnhcLP,sin0)sin(01nnnnnhccHP0,)sin()sin(12nnnnnnhccBP0)sin()sin(012112nnnnnnnhccccBS7.7.2 理想滤波器的冲激响应理想滤波器的冲激响应l 理想理想L带数字滤波器带数字滤波器HML(z)的零相位频率响应的零相位频率响应 :, 2 , 1,)(1LkAeHkkkjML1 0 Lwhereand11sin() ()LlMLlllnhnAAn1234A1A2A3A4A51 0Lwhere A理想Hilbert变换器，也称为90度相移器00)(jjeHjHToddnfornnfornhHT 2even 00 ,)(
39、jeHjDIF0cos00nnnnnhDIF理想的离散时间差分器，用于在离散时间域上对连续时间信号的抽样值进行差分运算l 对于给定的理想滤波器的冲激响应系数进行简单截短，得到的因果FIR滤波器的幅度响应呈现振动的现象，通常称为Gibbs现象现象l 随着滤波器长度的增加，通带和阻带的波纹数增加，而波纹的宽度相应减小，但是在截止频率两边出现的最大波纹的高度仍然保持不变，它与滤波器的长度无关，并且近似等于理想滤波器通带和阻带幅度差的11%l 在其他类型的理想滤波器冲激响应的截短频率响应中，同样可以观察到类似的现象l 产生Gibbs现象的原因可以解释为：截短运算可以认为是将无限长冲激响应系数与一个有限
40、长的窗序列 wn相乘的结果7.7.3 Gibbs现象现象Normalized frequency/Normalized frequency/滤波器长度21滤波器长度61Normalized frequency/nwnhnhdtdeWeHeHjjdjt)()(21)()(wn, N=21)(jeWotherwiseMnnw001)2/sin()2/ 12sin()(MeeWMMnnjj矩形窗矩形窗()()1()()2jtjjdH eHeW ed -0.40.4)(jdeH*Normalized frequency/Normalized frequency/N=21-0.40.4)(jdeH*N=
41、61Normalized frequency/Normalized frequency/)2/sin()2/ 12sin()(MeeWMMnnjjNormalized frequency/矩形窗的频率响应：矩形窗的频率响应：l 主瓣宽度主瓣宽度定义为中心频率点=0 两侧的两个最近的零值点之间的距离：4/(2M+1)，它决定了主瓣的性质。频率响应中的其他波纹成为旁瓣旁瓣l 随着M的增大，主瓣和旁瓣的宽度都随之减小。但是主瓣和旁瓣下的面积都保持不变。这表明随着M的增加，波纹的振幅没有减小l 当M增加到某一程度，主瓣非常窄，Ht(ej)将会很接近 Hd(ej)，但这会增加运算的复杂度l 矩形窗在-M
42、 n M 以外的范围有陡峭的下降沿，它是加窗理想滤波器冲激响应序列出现Gibbs现象的原因l Gibbs现象可以通过采用两边都逐渐平滑减少到零的窗函数，或从通带到阻带有平滑的过渡带的方法来减少。使用渐变的窗函数可以使旁瓣的高度减小旁瓣的高度减小，但使主瓣的宽度相应地增加主瓣的宽度相应地增加，结果在不连续点间出现了更宽的过渡带出现了更宽的过渡带) 12/(22/) 12(MM矩形窗的频率响应的最小零值点：Hann:MnMMnnw),122cos(1 5 . 07.7.4 固定窗函数固定窗函数Hamming:MnMMnnw),122cos(46. 054. 0Blackman:24 0.420.5
43、cos()0.08cos(),2121nnw nMnMMMotherwiseMnnw001Rectangular:l 一个窗函数的性能主要取决于它的两个参数，即主瓣宽度主瓣宽度和相对旁瓣级。相对旁瓣级。l 相对旁瓣级相对旁瓣级是最大旁瓣与主瓣以dB为单位的幅度差值。l 最大通带偏移和最小阻带值之间的距离近似等于窗的主瓣宽度，过渡带宽小于主瓣宽度。l 为了保证从通带快速过渡到阻带，窗函数应该有一个非常小的主瓣宽度，另一方面，为了减小通带和阻带波纹，旁瓣下的面积也要求非常小。遗憾的是，这两个要求是相互矛盾的。l矩形窗、Hann窗、Hamming窗的波纹与滤波器长度和截止频率无关，为一常数。l过渡带
44、宽近似为： c为一常数cwMRectangular WindowHamming Windowht(n)Ht(ejw)Hanning WindowBlackman Windowht(n)Ht(ejw)Type of windowsMain lobe widthRelative sidelobe levelMinimum stopband attenuationTransition bandwidthRectangular4/(2M+1)13.3dB20.9dB0.92/MHann8/(2M+1)31.5dB43.9dB3.11/MHamming8/(2M+1)42.7dB54.5dB3.32/M
45、Blackman12/(2M+1)58.1dB75.3dB5.56/M固定窗函数的特性固定窗函数的特性l固定窗函数设计的滤波器的波纹是固定的l一些可变窗函数提供了额外的参数以控制波纹多尔夫多尔夫-切比雪夫窗切比雪夫窗凯泽窗凯泽窗使用最广泛使用最广泛1112 2coscos,212121Mkkknkw nTMnMMMMTk(x)为k阶切比雪夫多项式 MnMIMnInw,/1020I(x)为修正0阶贝塞尔函数7.7.5 可调窗函数可调窗函数另一种消除Gibbs现象的方法是修正数字滤波器的频率响应的指标，从而使该滤波器在通带和阻带之间出现一个过渡带，使各频带之间平滑过渡)(jLPeH0-ps-p-s
46、0)sin()2/sin(20nnnnnnnhccLPsp7.7.6 具有平滑过渡带的具有平滑过渡带的FIR滤波器的冲激响应滤波器的冲激响应l hn的N点DFT可由其DTFT进行等间隔的N点抽样得到l数字滤波器的冲激响应序列hn可以利用它的频率样本上的IDFT来计算频率抽样法频率抽样法7.8 频率抽样法频率抽样法l 由于用来使计算机设计的滤波器与要求的频率响应之间的误差最小化的迭代最优化技术的提出，出现了很多基于该最优化技术的滤波器设计方法)()(jeHzH需设计的滤波器传输函数)(jeD期望的频率响应某种准则下的逼近7.9 数字滤波器的计算机辅助设计数字滤波器的计算机辅助设计l在商业上有很多可供选择的软件包，它们使得数字滤波器的计算机设计相当简单FDA ToolsMatlab
