1、2020年湖南省中考数学模拟试卷一一、选择题（36分）1（3分）下列二次根式是最简二次根式的是（）ABCD2（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）Ax1且x2Bx1Cx1且x2Dx13（3分）若x1+x23，x12+x225，则以x1，x2为根的一元二次方程是（）Ax23x+20Bx2+3x20Cx2+3x+20Dx23x204（3分）若关于x的一元二次方程（k2）x22kx+k6有实数根，则k的取值范围为（）Ak0Bk0且k2CkDk且k25（3分）某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为（）A20%B40%C18%D36%6（3
2、分）如图，以点O为位似中心，把ABC放大为原图形的2倍得到ABC，以下说法中错误的是（）AABCABCB点C、点O、点C三点在同一直线上CAO：AA1：2DABAB7（3分）如图，将ABC沿BC边上的中线AD平移到ABC的位置已知ABC的面积为16，阴影部分三角形的面积9若AA1，则AD等于（）A2B3C4D8（3分）如图，在ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DEBC，ACDB，若AD2BD，BC6，则线段CD的长为（）A2B3C2D59（3分）如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45方向上的B处
3、，这时轮船B与小岛A的距离是（）A30nmileB60nmileC120nmileD（30+30）nmile10（3分）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G若BC4，DEAF1，则GF的长为（）ABCD11（3分）不透明的袋子中只有4个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（）A3个球都是黑球B3个球都是白球C3个球中有黑球D3个球中有白球12（3分）如图，ABC中，ABAC10，tanA2，BEAC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是（）A2B4C5D10二、填空题（18分）13（
4、3分）对于实数a，b，定义运算“”如下：ab（a+b）2（ab）2若（m+2）（m3）24，则m 14（3分）要使二次根式有意义，则x的取值范围为 15（3分）如图，在一块斜边长30cm的直角三角形木板（RtACB）上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为 16（3分）在ABC中，C90，tanA，则cosB 17（3分）从1，2，3，4，四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，则关于x的一元二次方程ax2+4x+c0无实数解的概率为 18（3分）三角板是我们学习数学的好帮手将一对直角
5、三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，ABCF，FACB90，E45，A60，AC10，则CD的长度是 三、解答题（第18题8分，第19）19（8分）（1）（）2|2|+；（2）tan2302sin30tan45+8cos26020（8分）已知关于x的一元二次方程x26x+2a+50有两个不相等的实数根x1，x2（1）求a的取值范围；（2）若x12+x22x1x230，且a为整数，求a的值21（8分）为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2016年底到2018年底两年内由5万册增加到7.2万册（1）求这两年藏书的年均增长率；（2）经统计知：中外古典名著的册数在2016年底仅占
6、当时藏书总量的5.6%，在这两年新增加的图书中，中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率，那么到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几？22（10分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点OM为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON1（1）求BD的长；（2）若DCN的面积为2，求四边形ABNM的面积23（10分）如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB的高度，沿旗杆正前方2米处的点C出发，沿斜面坡度i1：的斜坡CD前进4米到达点D，在点D处安置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为37，量得仪器的高DE为1.5米已知A、B、C、D、E在同一平面内，ABBC，ABD
7、E求旗杆AB的高度（参考数据：sin37，cos37，tan37计算结果保留根号）24（10分）为了传承中华优秀传统文化，市教育局决定开展“经典诵读进校园”活动，某校团委组织八年级100名学生进行“经典诵读”选拔赛，赛后对全体参赛学生的成绩进行整理，得到下列不完整的统计图表组别分数段频次频率A60x70170.17B 70x80 30 aC 80x90 b 0.45D 90x100 8 0.08请根据所给信息，解答以下问题：（1）表中a ，b ；（2）请计算扇形统计图中B组对应扇形的圆心角的度数；（3）已知有四名同学均取得98分的最好成绩，其中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校将从这四名同
8、学中随机选出两名参加市级比赛，请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学都被选中的概率25（12分）如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为（4，4）点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动连接BP，过P点作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点DBD与y轴交于点E，连接PE设点P运动的时间为t（s）（1）PBD的度数为 ，点D的坐标为 （用t表示）；（2）求证：PEAP+CE；（3）当t为何值时，PBE为等腰三角形？参考答案与试题解析一、选择题（36分）1（3分）下列
9、二次根式是最简二次根式的是（）ABCD【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是【解答】解：A、，故A不符合题意；B、，故B不符合题意；C、，故C不符合题意；D、是最简二次根式，故D符合题意故选：D2（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）Ax1且x2Bx1Cx1且x2Dx1【分析】分式有意义，分母不等于零；二次根式的被开方数是非负数【解答】解：依题意，得x10且x20，解得x1且x2故选：A3（3分）若x1+x23，x12+x225，则以x1，x2为根的一元二次方程是（）Ax23x+20Bx2+3x20Cx2+3x+20Dx23x20
10、【分析】利用完全平方公式计算出x1x22，然后根据根与系数的关系写出以x1，x2为根的一元二次方程【解答】解：x12+x225，（x1+x2）22x1x25，而x1+x23，92x1x25，x1x22，以x1，x2为根的一元二次方程为x23x+20故选：A4（3分）若关于x的一元二次方程（k2）x22kx+k6有实数根，则k的取值范围为（）Ak0Bk0且k2CkDk且k2【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围【解答】解：（k2）x22kx+k60，关于x的一元二次方程（k2）x22kx+k6有实数根，解得：k且k2故选：D5（3分
11、）某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为（）A20%B40%C18%D36%【分析】设降价得百分率为x，根据降低率的公式a（1x）2b建立方程，求解即可【解答】解：设降价的百分率为x根据题意可列方程为25（1x）216解方程得，（舍）每次降价得百分率为20%故选：A6（3分）如图，以点O为位似中心，把ABC放大为原图形的2倍得到ABC，以下说法中错误的是（）AABCABCB点C、点O、点C三点在同一直线上CAO：AA1：2DABAB【分析】直接利用位似图形的性质进而分别分析得出答案【解答】解：以点O为位似中心，把ABC放大为原图形的2倍得到ABC
12、，ABCABC，点C、点O、点C三点在同一直线上，ABAB，AO：OA1：2，故选项C错误，符合题意故选：C7（3分）如图，将ABC沿BC边上的中线AD平移到ABC的位置已知ABC的面积为16，阴影部分三角形的面积9若AA1，则AD等于（）A2B3C4D【分析】由SABC16、SAEF9且AD为BC边的中线知SADESAEF，SABDSABC8，根据DAEDAB知（）2，据此求解可得【解答】解：SABC16、SAEF9，且AD为BC边的中线，SADESAEF，SABDSABC8，将ABC沿BC边上的中线AD平移得到ABC，AEAB，DAEDAB，则（）2，即（）2，解得AD3或AD（舍），故选
13、：B8（3分）如图，在ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DEBC，ACDB，若AD2BD，BC6，则线段CD的长为（）A2B3C2D5【分析】设AD2x，BDx，所以AB3x，易证ADEABC，利用相似三角形的性质可求出DE的长度，以及，再证明ADEACD，利用相似三角形的性质即可求出得出，从而可求出CD的长度【解答】解：设AD2x，BDx，AB3x，DEBC，ADEABC，DE4，ACDB，ADEB，ADEACD，AA，ADEACD，设AE2y，AC3y，ADy，CD2，故选：C9（3分）如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段
14、时间后，到达位于灯塔C的南偏东45方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是（）A30nmileB60nmileC120nmileD（30+30）nmile【分析】过点C作CDAB，则在RtACD中易得AD的长，再在直角BCD中求出BD，相加可得AB的长【解答】解：过C作CDAB于D点，ACD30，BCD45，AC60在RtACD中，cosACD，CDACcosACD6030在RtDCB中，BCDB45，CDBD30，ABAD+BD30+30答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是（30+30）nmile故选：D10（3分）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G若
15、BC4，DEAF1，则GF的长为（）ABCD【分析】证明BCECDF（SAS），得CBEDCF，所以CGE90，根据等角的余弦可得CG的长，可得结论【解答】解：正方形ABCD中，BC4，BCCDAD4，BCECDF90，AFDE1，DFCE3，BECF5，在BCE和CDF中，BCECDF（SAS），CBEDCF，CBE+CEBECG+CEB90CGE，cosCBEcosECG，CG，GFCFCG5，故选：A11（3分）不透明的袋子中只有4个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（）A3个球都是黑球B3个球都是白球C3个球中有黑球D3个球中
16、有白球【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型【解答】解：A、3个球都是黑球是随机事件；B、3个球都是白球是不可能事件；C、3个球中有黑球是必然事件；D、3个球中有白球是随机事件；故选：B12（3分）如图，ABC中，ABAC10，tanA2，BEAC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是（）A2B4C5D10【分析】如图，作DHAB于H，CMAB于M由tanA2，设AEa，BE2a，利用勾股定理构建方程求出a，再证明DHBD，推出CD+BDCD+DH，由垂线段最短即可解决问题【解答】解：如图，作DHAB于H，CMAB于MBEAC，AEB90，tanA2，设AEa，B
17、E2a，则有：100a2+4a2，a220，a2或2（舍弃），BE2a4，ABAC，BEAC，CMAB，CMBE4（等腰三角形两腰上的高相等）DBHABE，BHDBEA，sinDBH，DHBD，CD+BDCD+DH，CD+DHCM，CD+BD4，CD+BD的最小值为4方法二：作CMAB于M，交BE于点D，则点D满足题意通过三角形相似或三角函数证得BDDM，从而得到CD+BDCM4故选：B二、填空题（18分）13（3分）对于实数a，b，定义运算“”如下：ab（a+b）2（ab）2若（m+2）（m3）24，则m3或4【分析】利用新定义得到（m+2）+（m3）2（m+2）（m3）224，整理得到（2
18、m1）2490，然后利用因式分解法解方程【解答】解：根据题意得（m+2）+（m3）2（m+2）（m3）224，（2m1）2490，（2m1+7）（2m17）0，2m1+70或2m170，所以m13，m24故答案为3或414（3分）要使二次根式有意义，则x的取值范围为x8【分析】直接利用二次根式的定义得出答案【解答】解：要使二次根式有意义，则x80，解得：x8故答案为：x815（3分）如图，在一块斜边长30cm的直角三角形木板（RtACB）上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为100cm2【
19、分析】设AFx，根据正方形的性质用x表示出EF、CF，证明AEFABC，根据相似三角形的性质求出BC，根据勾股定理列式求出x，根据三角形的面积公式、正方形的面积公式计算即可【解答】解：设AFx，则AC3x，四边形CDEF为正方形，EFCF2x，EFBC，AEFABC，BC6x，在RtABC中，AB2AC2+BC2，即302（3x）2+（6x）2，解得，x2，AC6，BC12，剩余部分的面积12644100（cm2），故答案为：100cm216（3分）在ABC中，C90，tanA，则cosB【分析】法一：本题可以利用锐角三角函数的定义求解，也可以利用互为余角的三角函数关系式求解；法二：利用正切求
20、出A30，B60，再求cosB的值【解答】解：法一：利用三角函数的定义及勾股定理求解在RtABC中，C90，tanA，设ax，b3x，则c2x，cosB法二：利用特殊角的三角函数值求解tanAA30，C90B60，cosBcos60故答案为：17（3分）从1，2，3，4，四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，则关于x的一元二次方程ax2+4x+c0无实数解的概率为【分析】首先画出树状图即可求得所有等可能的结果与使ac4的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案【解答】解：画树状图得：由树形图可知：一共有12种等可能的结果，其中使ac4的有6种结果，关于x的一元二次方程ax2+4x+c0无
21、实数解的概率为，故答案为：18（3分）三角板是我们学习数学的好帮手将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，ABCF，FACB90，E45，A60，AC10，则CD的长度是155【分析】过点B作BMFD于点M，根据题意可求出BC的长度，然后在EFD中可求出EDF45，进而可得出答案【解答】解：过点B作BMFD于点M，在ACB中，ACB90，A60，AC10，ABC30，BC10tan6010 ，ABCF，BMBCsin305，CMBCcos3015，在EFD中，F90，E45，EDF45，MDBM5 ，CDCMMD155 故答案是：155三、解答题（第18题8分，第19）1
22、9（8分）（1）（）2|2|+；（2）tan2302sin30tan45+8cos260【分析】（1）首先计算乘方、开方，然后计算除法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可（2）首先计算乘方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可【解答】解：（1）（）2|2|+42+32+4（2）tan2302sin30tan45+8cos26021+81+2120（8分）已知关于x的一元二次方程x26x+2a+50有两个不相等的实数根x1，x2（1）求a的取值范围；（2）若x12+x22x1x230，且a为整数，求a的值【分析】（1）根据根的判别式，可得到关于a的不等式，则可求得
23、a的取值范围；（2）由根与系数的关系，用a表示出两根积、两根和，由已知条件可得到关于a的不等式，则可求得a的取值范围，再求其值即可【解答】解：（1）关于x的一元二次方程x26x+2a+50有两个不相等的实数根x1，x2，0，即（6）24（2a+5）0，解得a2；（2）由根与系数的关系知：x1+x26，x1x22a+5，x1，x2满足x12+x22x1x230，（x1+x2）23x1x230，363（2a+5）30，a，a为整数，a的值为1，0，121（8分）为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2016年底到2018年底两年内由5万册增加到7.2万册（1）求这两年藏书的年均增长率；（2）经
24、统计知：中外古典名著的册数在2016年底仅占当时藏书总量的5.6%，在这两年新增加的图书中，中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率，那么到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几？【分析】（1）根据题意可以列出相应的一元二次方程，从而可以得到这两年藏书的年均增长率；（2）根据题意可以求出这两年新增加的中外古典名著，从而可以求得到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几【解答】解：（1）设这两年藏书的年均增长率是x，5（1+x）27.2，解得，x10.2，x22.2（舍去），答：这两年藏书的年均增长率是20%；（2）在这两年新增加的图书中，中外古典名著有（7.
25、25）20%0.44（万册），到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分比是：100%10%，答：到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的10%22（10分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点OM为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON1（1）求BD的长；（2）若DCN的面积为2，求四边形ABNM的面积【分析】（1）由四边形ABCD为平行四边形，得到对边平行且相等，且对角线互相平分，根据两直线平行内错角相等得到两对角相等，进而确定出三角形MND与三角形CNB相似，由相似得比例，得到DN：BN1：2，设OBODx，表示出BN与DN，求出x的值，即可确定出BD的长；（2
26、）由相似三角形相似比为1：2，得到CN2MN，BN2DN已知DCN的面积，则由线段之比，得到MND与CNB的面积，从而得到SABDSBCDSBCN+SCND，最后由S四边形ABNMSABDSMND求解【解答】解：（1）平行四边形ABCD，ADBC，ADBC，OBOD，DMNBCN，MDNNBC，MNDCNB，M为AD中点，MDADBC，即，即BN2DN，设OBODx，则有BD2x，BNOB+ONx+1，DNx1，x+12（x1），解得：x3，BD2x6；（2）MNDCNB，且相似比为1：2，MN：CNDN：BN1：2，SMNDSCND1，SBNC2SCND4SABDSBCDSBCN+SCND4
27、+26S四边形ABNMSABDSMND61523（10分）如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB的高度，沿旗杆正前方2米处的点C出发，沿斜面坡度i1：的斜坡CD前进4米到达点D，在点D处安置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为37，量得仪器的高DE为1.5米已知A、B、C、D、E在同一平面内，ABBC，ABDE求旗杆AB的高度（参考数据：sin37，cos37，tan37计算结果保留根号）【分析】延长ED交BC延长线于点F，则CFD90，RtCDF中求得CFCDcosDCF2、DFCD2，作EGAB，可得GEBF4、GBEF3.5，再求出AGGEtanAEG4tan37可得答案【解答】解：如图，延长
28、ED交BC延长线于点F，则CFD90，tanDCFi，DCF30，CD4，DFCD2，CFCDcosDCF42，BFBC+CF2+24，过点E作EGAB于点G，则GEBF4，GBEFED+DF1.5+23.5，又AED37，AGGEtanAEG4tan37，则ABAG+BG4tan37+3.53+3.5，故旗杆AB的高度为（3+3.5）米24（10分）为了传承中华优秀传统文化，市教育局决定开展“经典诵读进校园”活动，某校团委组织八年级100名学生进行“经典诵读”选拔赛，赛后对全体参赛学生的成绩进行整理，得到下列不完整的统计图表组别分数段频次频率A60x70170.17B 70x80 30 aC
29、 80x90 b 0.45D 90x100 8 0.08请根据所给信息，解答以下问题：（1）表中a0.3，b45；（2）请计算扇形统计图中B组对应扇形的圆心角的度数；（3）已知有四名同学均取得98分的最好成绩，其中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校将从这四名同学中随机选出两名参加市级比赛，请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学都被选中的概率【分析】（1）首先根据A组频数及其频率可得总人数，再利用频数、频率之间的关系求得a、b；（2）B组的频率乘以360即可求得答案；（2）列树形图后即可将所有情况全部列举出来，从而求得恰好抽中者两人的概率；【解答】解：（1）本次调查的总人数为170.1710
30、0（人），则a0.3，b1000.4545（人），故答案为：0.3，45；（2）3600.3108，答：扇形统计图中B组对应扇形的圆心角为108；（3）将同一班级的甲、乙学生记为A、B，另外两学生记为C、D，列树形图得：共有12种等可能的情况，甲、乙两名同学都被选中的情况有2种，甲、乙两名同学都被选中的概率为25（12分）如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为（4，4）点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动连接BP，过P点作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点
31、DBD与y轴交于点E，连接PE设点P运动的时间为t（s）（1）PBD的度数为45，点D的坐标为（t，t）（用t表示）；（2）求证：PEAP+CE；（3）当t为何值时，PBE为等腰三角形？【分析】（1）易证BAPPQD，从而得到DQAPt，从而可以求出PBD的度数和点D的坐标（2）延长OA到点F，使得AFCE，连接BF，利用全等三角形的判定和性质解答即可；（3）由于EBP45，故图1是以正方形为背景的一个基本图形，容易得到EPAP+CE由于PBE底边不定，故分三种情况讨论，借助于三角形全等及勾股定理进行求解，然后结合条件进行取舍，最终确定符合要求的t值【解答】解：（1）如图1，由题可得：APOQ
32、1tt（秒）AOPQ四边形OABC是正方形，AOABBCOC，BAOAOCOCBABC90DPBP，BPD90BPA90DPQPDQAOPQ，AOAB，ABPQ在BAP和PQD中，BAPPQD（AAS）APQD，BPPDBPD90，BPPD，PBDPDB45APt，DQt点D坐标为（t，t）故答案为：45，（t，t）（2）延长OA到点F，使得AFCE，连接BF，如图2所示在FAB和ECB中，FABECBFBEB，FBAEBCEBP45，ABC90，ABP+EBC45FBPFBA+ABPEBC+ABP45FBPEBP在FBP与EBP中，FBPEBP（SAS）FPEPEPFPFA+APCE+AP（
33、3）若PBPE，由PABDQP得PBPD，显然PBPE，这种情况应舍去若EBEP，则PBEBPE45BEP90PEO90BECEBC在POE和ECB中，POEECB（AAS）OECBOC点E与点C重合（EC0）点P与点O重合（PO0）点B（4，4），AOCO4此时tAPAO4若BPBE，在RtBAP和RtBCE中，RtBAPRtBCE（HL）APCEAPt，CEtPOEO4tPOE90，PE（4t）延长OA到点F，使得AFCE，连接BF，如图2所示在FAB和ECB中，FABECBFBEB，FBAEBCEBP45，ABC90，ABP+EBC45FBPFBA+ABPEBC+ABP45FBPEBP在FBP和EBP中，FBPEBP（SAS）FPEPEPFPFA+APCE+APEPt+t2t（4t）2t解得：t44当t为4秒或（44）秒时，PBE为等腰三角形
