1、应力状态通过受力物体上一点的任意截面上的应力情况 = 一点的应力状态单元体及其应力分量围绕一点取出无限小正六面体：三对面每对面上3个应力分量：共9 个正面纵截面横截面应力单元应力单元考虑到剪应力互等定理，9个应力分量中6个独立应力分量已知的单元体称为原始单元对材料力学所研究的杆件，原始单元必然对材料力学所研究的杆件，原始单元必然包含一对横截面，因为横截面上的应力已包含一对横截面，因为横截面上的应力已经有公式可计算经有公式可计算Oxyz x y z yx xy根据原始单元上的已根据原始单元上的已知应力分量，就可以知应力分量，就可以计算任意斜截面上的计算任意斜截面上的应力分量。应力分量。单元体及各
2、面上的应力就单元体及各面上的应力就代表了该点处的应力状态代表了该点处的应力状态(a)(b)(c)基本变形应力单元拉伸压缩变形，应力单元图（a）纯剪切变形，应力单元图（b）受扭圆轴，应力单元图（b）受弯构件，上下边缘点图（a）、中性轴上点图（b）、其他点图（c）主单元主平面：剪应力为零的平面主单元：由主平面围成的正六面体过一点一定存在三对相互正交的主平面过一点一定存在三对相互正交的主平面形成主单元体形成主单元体主应力主平面上的正应力=主应力剪应力为零的平面上的正应力=主应力 过一点存在三对相互正交的主平面，由此构成主单元。因此，受力物体上任意一点均有三个主应力。123按按代数量的大小排序：代数量
3、的大小排序： 1第一主应力第一主应力 2第二主应力第二主应力 3第三主应力第三主应力 主方向主平面（法线）的方向=主方向主应力的方向=主方向321应力状态分类依据不为零的主应力个数应力状态分类结果单向应力状态（单轴应力状态） 仅一个主应力不为零者，可能的情况有： 1、0、0 单向拉伸； 0、0、3 单向压缩。1133 1 2 3二向应力状态(双轴应力状态，平面应力状态) 有二个主应力不为零者，可能的情况有 1、 2 、0； 双向受拉 1、0、 3 ； 一拉一压 0、 2 、 3； 双向受压三向应力状态(三轴应力状态，空间应力状态) 三个主应力均不为零者 1 2 3已知条件一个主应力为零：设为前
4、后面正应力和剪应力 x 拉为正 y 拉为正 xy 绕单元体顺时针转者为正 图示应力均为正值xyxxyyyx凡与图示指向不一致凡与图示指向不一致者为负者为负xxyxyyABCyxxyABC设设AB面积面积dA，则，则BC面积为面积为dAsin ，AC面积面积dAcos :0 xF)cosd(sin)d(cos)d(AAAx0)sind(Axy:0yF)sind(cos)d(sin)d(AAAy0)cosd(Axy 为斜截面与竖向面（为斜截面与竖向面（ x作用面）的夹角，逆时作用面）的夹角，逆时针转为正针转为正斜截面上应力分量整理得整理得sincossincosxyxcossincossinxyy
5、解得解得cossin2sincos22xyyx)sin(coscossin)(22xyyx利用三角关系利用三角关系,22cos1cos222cos1sin22sincossin2容易得到最后得到最后得到2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx2sin2cos2290 xyyxyxyx90特殊情况一：单向拉伸或压缩2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx2cos222sin2 =0 的横截面的横截面,max00 =45 斜截面斜截面,2452max剪应力在该斜截面上最大。剪应力在该斜截面上最大。铸铁的受压破坏与此有关。铸铁的受压破坏与此有关。,cos2特殊情况
6、二：扭转等纯剪切2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx,2sin2cos正应力的极值出现在正应力的极值出现在 = 45 的斜面上的斜面上,45045,45045正应力就正应力就是主应力是主应力铸铁、粉笔等脆性圆试样扭转破铸铁、粉笔等脆性圆试样扭转破坏就是由于最大拉应力引起的。坏就是由于最大拉应力引起的。例7-1 图示单元体，试计算=60及=-45斜面上的应力分量。解：已知80120 MPa1002sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx,120 x,80y100 xy2sin1002cos201002cos1002sin2060-453.4200-32.7-
7、202sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx由斜截面上正应力的公式求驻点由斜截面上正应力的公式求驻点2cos22sin22ddxyyx2cos2sin22xyyx200说明：剪应力等于零的斜说明：剪应力等于零的斜截面上正应力取极值截面上正应力取极值极值正应力就是主应力极值正应力就是主应力主平面方位 剪应力（切应力）为零的平面为主平面，该面与铅垂面的夹角0，称为主方向。02cos2sin2000 xyyxyxxy22tan0解解得：得：0900900或或主应力大小为2222xyyxyxji0i900i x y 时，时，| i|45 ； x45 ； x= y 且且 xy0时，时，
8、 i=-45 ; xy0时，时， i=45 。yxji还有一个主应力为零，共三个主应力，依据代数量还有一个主应力为零，共三个主应力，依据代数量的大小进行排序可得第一、第二、第三主应力。的大小进行排序可得第一、第二、第三主应力。不难得到不难得到其实，平面应力问题的主应力，就是如下其实，平面应力问题的主应力，就是如下2 2应应力矩阵力矩阵2222xyyxyxjiyxyxyx的特征值的特征值设特征值为设特征值为 ，则有，则有0yxyxyx参见参见线线性代数性代数展开行列式展开行列式0)()(22xyyxyx方程的两个根方程的两个根可以证明，应力矩阵的特征矢量就是主方向可以证明，应力矩阵的特征矢量就是
9、主方向02sin22cos22ddxyyxxyyx22tanxyyxyxxy222tan2tan01极值剪应力作用平面方位极值剪应力作用平面方位说明极值剪应力平面与主平面相差说明极值剪应力平面与主平面相差45，即，即极值剪应力所在平面与主平面相交成极值剪应力所在平面与主平面相交成45 角。角。2cos2sin2xyyx极值剪应力222xyyx极小极大三种情况三种情况221122322323113最大剪应力最大剪应力23113max2jiij极大和极小绝对值相等，仅相差一个正负符号极大和极小绝对值相等，仅相差一个正负符号极大值和主应力的关系极大值和主应力的关系2222xyyxyxji例7-2 求
10、纯剪应力状态的主应力。解： , 0yxxy2222xyyxyxji2200yxxy22tan0 450 i102j3例7-3求图示拉剪（或压剪）应力单元的主应力值和最大剪应力值。解： ,xxy2222xyyxyxji02, 0y222222142122234212已知已知主应力主应力最大剪应力最大剪应力231max22421例7-4计算图示单元体ab面上的应力及主应力数值、主方向。解：80 MPa3040ab60,80 x30 xy,40y)60sin()60cos(22xyyxyxab)60cos()60sin(2xyyxab 3076866. 0305 . 06020MPa375 . 03
11、0)866. 0(60MPa所以2222xyyxyxji223060208767201026720MPa4767203MPayxxy22tan0)40(803025 . 072.7628.130和yx因因所所以以-13.28与与 1对应对应76.72与与 3对应对应2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx2sin2cos2sin)(2cos2222222xyxyyxyxyx斜截面上的应力圆的方程2cos2cos2sin)(2sin222222xyxyyxyx2222222xyyxyx 以为横坐标、为纵坐标的圆的方程。圆心 C 坐标为：0,2yx222xyyxRORC,半径为半
12、径为该圆称为应力圆，或莫尔圆该圆称为应力圆，或莫尔圆2sin2cos2sin)(2cos2222222xyxyyxyxyx所以所以222RyaxOCDD 问题：如果已知主应力，如何作应力圆？问题：如果已知主应力，如何作应力圆？应力圆的作法 CODD1DD2( x, xy )( y, - xy )0,2yx222xyyxR半径半径圆心圆心CDODOC22R12221DDOD )(21yxy2yx圆心得证圆心得证2121)(DDCDCD21212)(2DDDD222xyyx半径半径得证得证应力圆的证明主应力 CODDFGGE2 02 AB应力圆与横坐标的交点应力圆与横坐标的交点A、B，其纵坐标为零
13、，即剪应力为零，其纵坐标为零，即剪应力为零，对应的横坐标就是主应力对应的横坐标就是主应力CAOCOAi222xyyxR2yxOCROC 2yx222xyyxROCOBj2yx222xyyx主方向 CODDFGGE2 02 ABD点代表点代表x面，面， DCA=2 0为大主应力与为大主应力与x夹角的夹角的2倍倍DCA210从从CD向向CA旋转，逆时针为正旋转，逆时针为正最高点G的纵坐标为剪应力的极大值最低点G 为剪应力的极小值222xyyxOF CODDFGGE2 02 ABR极小极大CD线转动2与圆交于EE点的坐标就是斜截面上的应力EF可直接从图上可直接从图上按比例量取按比例量取应力单元空间应
14、力单元三对面9个应力分量剪应力互等定理：ij= ji应力矩阵3332312322211312112112且且322313313 3阶对阶对称矩阵称矩阵主应力大小主应力就是应力矩阵的特征值三个主应力三个主应力由如下行列式所表示的由如下行列式所表示的关于关于 的一元三次方程求解的一元三次方程求解3332312322211312110333231232221131211展开得展开得032213III032213III关于主应力(特征值) 的三次方程2312232121133332222112I3322111I21233231222231131231233221132I分别将每个主应力代入方程 0)(
15、0)(0)(333232131323222121313212111nnnnnnnnn1232221nnn主方向主方向就是应力矩阵的特征矢量（n1，n2，n3 ）333231232221131211莫尔圆（应力圆）三个主应力两两之间形成一个应力圆，共三个应力圆任意斜截面上的应力位于大小圆之间的阴影面积内正八面体围绕坐标原点每个卦限一个微分斜平面，组成的立体=八面体八面体的每个斜平面对坐标的倾斜程度相同=正八面体2. 正八面体上应力正八面体上正应力正八面体上剪应力)(3132182132322218)()()(31例7-5 应力单元如图所示，求主应力和最大剪应力解30000202002040应力矩
16、阵应力矩阵030000202002040主应力控制方程主应力控制方程展开得展开得0)120020)(30(2x13020 x2x32040单位为单位为MPa即即0)120020)(30(2x13020 x2x3204003001200202解得三个根解得三个根30)1(2)1200(4)20(202)3()2(2646三个主三个主应力应力MPa461MPa262MPa303最大剪应力最大剪应力231max2)30(46MPa38本题的应力状态比较特殊，可有另一种解法本题的应力状态比较特殊，可有另一种解法x13020 x2x32040前后面上无剪应力，就是一对主平面。已知一个主前后面上无剪应力，
17、就是一对主平面。已知一个主应力应力-30MPa，余下的应力分量按平面应力考虑。，余下的应力分量按平面应力考虑。2222xyyxyxji2646三个主应力三个主应力MPa461MPa262MPa30320,20,40 xyyx22)20(2204022040结果完全一样！结果完全一样！例7-6试求平面应力状态下的主应力和主方向00000yxyxyx解(1) 主应力主应力展开得展开得000000yxyxyx0)(2xyyx2xy2yxyx(2)(1)22即即, 00)()(2xyyxyx20)(2xyyx解解得得(2) 主方向主方向12tannn0)(0)(0)(33323213132322212
18、1313212111nnnnnnnnn0)(2xy1xnn0)(2y1xynn所以所以xyxyxy对于主应力对于主应力(1)，应有，应有12tannnxy)1(x)1(yxy主方向另一表达式0)(2xy1xnn0)(2y1xynn所以所以1221xyyx-nnnn12xyx/nn21xyy/nn12xyx/nn21xyy/nn212221nnnn cos1nsin2nsincos2)sin(cos2222sin2cos22tan2yxxy22tan2xy2yxyx(2)(1)22最后结果最后结果yxxy22tan此乃此乃7.3节节的公式的公式平面应力状态是空间平面应力状态是空间应力状态的特殊情
19、况应力状态的特殊情况)(13211E)(11322E)(12133E121233E11E21E31其中的应变分量称为主应变其中的应变分量称为主应变1max)(1321E应力-应变关系最大主应变平面应力状态设3=0，则有主应变)(13211E)(11322E)(12133E，2111E，)1122E213-E空间应变状态，三向应变状态空间应变状态，三向应变状态由主应变计算主应力)(12121E)(11222E)(1zyxxE)(1xzyyE)(1yxzzExyxyE)1 (2对于平面应力状态，应为对于平面应力状态，应为 z=0，所以，所以)(1yxxE)(1xyyE)(12yxxE)(12xyy
20、E但但)(yxzE0 xyxyGxyE)1 (2空间应力状态yzyzE)1 (2zxzxE)1 (2平面应力状态测量方法 电阻应变测量 光纤测量直接测正应变，间接测剪应变光纤传感器光纤传感器电阻应变测试电阻应变测试测定构件表面一点三个方向的正测定构件表面一点三个方向的正应变（应变花），就可以计算出应变（应变花），就可以计算出x、y方向的正应变，剪应变，利用胡方向的正应变，剪应变，利用胡克定律计算应力，并求出主应力。克定律计算应力，并求出主应力。x0y90任意方向的正任意方向的正应变满足关系应变满足关系cossinsincos22xyyxxyyx452x0y90 xyyx452所以所以0 x90
21、y459002xy应力分量为应力分量为)(12yxxE)(12xyyExyxyE)1 (2)(19002E)(10902E)2()1 (245900E进一步，按平面应力状态分析主应力和主方向进一步，按平面应力状态分析主应力和主方向xaaa1,abcV VV)1 (xaybbb1)1 (ybzccc1)1 (zc1111cbaV 1)1)(1)(1 (zyxzyx321体积应变等于三体积应变等于三个正应变之和个正应变之和VVV1abccba111体积应变)(21zyxE)21 (3EK)(1zyxxE)(1xzyyE)(1yxzzE+zyx)(21zyxE)(21321E三个正应力之和除三个正应
22、力之和除以以3为平均正应力：为平均正应力：)(31321m)(31zyxm)21 (3EKm体积弹体积弹性模量性模量体积应变和平均正应力例7-7 已知x=35MPa, y=25MPa, 沿z方向的应变完全被限制住，试求z和 x、y。材料常数为E=200GPa, =0.3。解利用物理关系（应力-应变关系）求解本题0)(1yxzzE)(yxz18)2535(3 . 0)(1zyxxE)1825(3 . 03510200136105 .110)(1xzyyE)3518(3 . 02510200136105 .45材料的强度失效形式 不能满足“安全性”的功能要求屈服失效有明显变形或其他预兆(延性破坏)
23、断裂失效突然发生（脆性破坏）建筑结建筑结构中规构中规定的失定的失效概率效概率6.9 10-41.1 10-41.1 10-41.3 10-5一般的房屋一般的房屋重要的房屋重要的房屋延性破坏延性破坏脆性破坏脆性破坏体现于结构设计计算：材料分项系数，体现于结构设计计算：材料分项系数，荷载分项系数，结构重要性系数的取值荷载分项系数，结构重要性系数的取值单向应力状态失效形式单向拉伸 延性材料屈服失效（延性破坏） 脆性材料断裂失效（脆性破坏）单向压缩 延性材料屈服失效（正应力屈服） 脆性材料屈服失效（剪应力屈服）圆柱试样变成腰鼓形圆柱试样变成腰鼓形失效前变形比较明显失效前变形比较明显如粉笔如粉笔三向应力
24、状态失效形式三向受拉，延性材料和脆性材料都发生断裂失效三向受压，延性材料和脆性材料都发生屈服失效强度理论对材料破坏的主要因素提出的一些假说建立的供设计计算的强度条件理论依据单向拉伸破坏时的极限应力0，应力状态（0, 0, 0）对应参数 B三向应力状态（ 1, 2, 3）对应参数 ABA 失效条件（或破坏条件）失效条件（或破坏条件）严格讲不能严格讲不能称之为理论称之为理论并未经过并未经过理论证明理论证明强度理论=复杂应力状态下破坏的一些假定。复杂应力状态参数A = 单向拉伸破坏参数B1. 第一强度理论 引起材料脆性断裂的主要因素是最大拉应力，故又称为最大拉应力理论，用于脆性材料,1A0Bb11f
25、1或或b2. 第二强度理论 引起材料发生脆性失效的主要因素是最大伸长正应变，又称最大正应变理论，用于脆性材料1maxA0Bb321)()(1321E)(321f)(321E0)(1321EEb或或Eb3. 第三强度理论 最大剪应力是材料屈服失效的主要因素，又称最大剪应力理论，或屈雷斯加屈服准则，用于塑性材料maxA0maxBs3131f31231200202312s或或2s4. 第四强度理论 最初由米赛斯提出，并无物理概念，称为米赛斯屈服准则，亦用于塑性材料。该理论的物理解释有多种，最大形状改变比能理论、极值剪应力的方和根理论、八面体上剪应力理论。这里后者解释之：8A2132322213108
26、B20220000031032s32s2121323222121213232221f2121323222121323222131AsB3221323222131s32或或eqi11eq)(3212eq313eq2132322214eq)()()(21fieq或或强度条件统一表达式等效应力（折算应力、综合应力）不超过材料的许用应力或材料强度设计值强度条件选用要求脆性材料：第一、第二理论，前者优于后者，且简单、方便。塑性材料：第三、第四理论，前者偏于安全，后者偏于经济。化工容器设计用第三理论，建筑钢结构设计用第四理论。三向受拉，不管何种材料，用第一、第二理论三向受压，不管何种材料，用第三、第四理论
27、强度计算步骤取单元体，计算主应力选用合适的强度理论，计算等效应力强度验算（验算不等式是否成立）例7-8 某延性材料，=0.3，=120MPa。构件危险点的应力状态如下（单位MPa），试校核强度 （1） 1=100，2=60，3=20 （2） 1=60，2=0，3=-50解 （1）三向受拉，应采用第一、二强度理论）三向受拉，应采用第一、二强度理论11eq)(3212eqMPa100MPa120MPa76)2060(3 . 0100MPa120满足满足满足满足三向受拉应力状态中，第二强度理论判三向受拉应力状态中，第二强度理论判断，材料更不容易失效，与实际不符。断，材料更不容易失效，与实际不符。最好
28、采用第最好采用第一强度理论一强度理论（2）延性材料屈服失效，应采用第三、第四强度理论）延性材料屈服失效，应采用第三、第四强度理论313eq2132322214eq)()()(21)50(60MPa110MPa120满足满足222)6050()500()060(21MPa4 .95MPa120满足满足通常情况下，凡能满足通常情况下，凡能满足 第三强度理论者，一定第三强度理论者，一定能满足第四强度理论。能满足第四强度理论。例7-9 求钢材抗剪强度设计值fv与抗拉强度设计值f之间的关系。解：以纯剪为例 2313eqvf,1, 023f5 . 0f比较、，得比较、，得ff5 . 0v应用第四强度理论2
29、132322214eq)()()(21222)2(213fff58. 03比较、，得比较、，得ff58. 0v现行现行钢结构设计规范钢结构设计规范采用这一关系采用这一关系应力单元腹板和翼缘板交界点正应力和剪应力都较大下翼缘下翼缘上翼缘上翼缘腹板腹板 (a)(b)zIMybIVSzz* 应力单元的 主应力 (a)(b)0222142122234212313eq2132322214eq)()()(21224223ff强度条件实际采用公式形式钢结构采用第四强度理论224eq3f实际采用公式考虑到计算点是腹板边缘的局部区域，将考虑到计算点是腹板边缘的局部区域，将材料强度设计值提高材料强度设计值提高10
30、%下翼缘下翼缘上翼缘上翼缘腹板腹板f1 . 1322并将等效应力并将等效应力称为折算应力称为折算应力例7-10图示简支钢梁，跨度l=2.0m，荷载设计值F=135kN，作用点距支座a=0.3m。材料为Q235钢，试校核该梁的强度。解laaABCDFF-100 10-100 10-180 10（1）危险截面）危险截面作内力图作内力图kN135FaMCkN.m5 .403 . 0135VFFMFaFVCC、D截面危险，内截面危险，内力相同，只验算力相同，只验算C-100 10-100 10-180 10（2）截面几何性质）截面几何性质23951010012101002zI1218010347mm1
31、0293. 2maxyIWzz10010293. 2735mm10293. 2半个截面对中性轴的静矩半个截面对中性轴的静矩9510100maxzS45109035mm10355. 1单块翼缘板对中性轴的静矩单块翼缘板对中性轴的静矩9510100*zS34mm105 . 9（3）强度验算）强度验算-100 10-100 10-180 10kN135CVkN.m5 .40CM47mm10293. 2zI35mm10293. 2zW56max10293. 2105 .40zCWM35maxmm10355. 1zS34*mm105 . 9zS正应力强度正应力强度2N/mm7 .1762N/mm215
32、fbISVzzCmaxmax剪应力强度剪应力强度2N/mm8 .792vN/mm125 f1010293. 210355. 110135753满足满足满足满足-100 10-100 10-180 10kN135CVkN.m5 .40CM47mm10293. 2zI35mm10293. 2zWzCIyM35maxmm10355. 1zS34*mm105 . 9zS折算应力强度折算应力强度2N/mm0 .1592N/mm5 .2362151 . 11 . 1f满足满足7610293. 290105 .40bISVzzC*2N/mm9 .551010293. 2105 . 9101357432222
33、9 .5530 .15932N/mm2 .186壁厚t与容器曲面平均直径D之比1/20内压p作用下截面内只有正应力，且沿壁方向均匀分布圆筒形压力容器（1）应力分析t:0 xF04)(2DpDtx横截面截开，左边为横截面截开，左边为脱离体脱离体tpDx4通过轴线的纵截面截通过轴线的纵截面截开容器，取上半部分开容器，取上半部分为脱离体为脱离体:0yF0dsin2)(20DpltlyttpDx40dsin4tpDytpD2径向应力很小，介于径向应力很小，介于1个大气压和个大气压和p之间，取之间，取 z 0三个主应力为三个主应力为tpD21tpD4203（2）强度条件313eq容器设计通常采用第三强度
34、理论容器设计通常采用第三强度理论tpD21tpD42032tpD考虑焊缝影响系数考虑焊缝影响系数 （ 1），上式成为），上式成为2tpD内径为内径为Di，则平均直径，则平均直径D=Di+t，因而，因而2)(ttDpi理论壁厚的最小值为理论壁厚的最小值为ppDti20因为过球心的任意平面均为对称面因为过球心的任意平面均为对称面所以壁内经向应力和纬向应力相等所以壁内经向应力和纬向应力相等:0yF04)(2hDpDttpD4h主应力为主应力为h2103tpD4球形压力容器（1）应力分析tpD42103（2）强度条件313eq容器设计通常采用第三强度理论容器设计通常采用第三强度理论4tpD考虑焊缝影响系数考虑焊缝影响系数 （ 1），上式成为），上式成为4tpD内径为内径为Di，则平均直径，则平均直径D=Di+t，因而，因而4)(ttDpi理论壁厚的最小值为理论壁厚的最小值为ppDti40例7-11 某一球形压力容器，内径Di=3.5m，承受内压p=1.4MPa，材料的容许应力=160MPa，焊缝影响系数=1.0，试确定理论最小壁厚。解设计壁厚还要加上：钢板厚度负偏差设计壁厚还要加上：钢板厚度负偏差 工艺减薄量工艺减薄量 腐蚀裕量腐蚀裕量ppDti404 . 11600 . 1435004 . 1mm67. 7
