1、 导数的应用（一）导数的应用（一） 江苏省海门中学江苏省海门中学 顾华顾华【知识概述知识概述】理解：理解：要求对知识有较深刻的要求对知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性认识，并能解决有一定综合性的问题的问题高考要求：高考要求： 利用导数研究函数的单利用导数研究函数的单 调性与极值调性与极值 B级级课前准备课前准备.ln1)(log )8( ;1)(ln )7(;ln)( )6( ;)( )5(;sin)(cos )4( ;cos)(sin 3)(axxxxaaaeexxxxaxxxx ；为有理数为常数熟记基本导数公式：)()( (2);( 0 (1) 1.1nnxxCCnn) 0)()()
2、()()()()()() 4()()()()()()(3)()() 2()()()()() 1 (. 22xgxgxgxfxgxfxgxfxgxfxgxfxgxfcxf cxcfxgxfxgxf）（为常数）导数的运算法则求下列函数的导数求下列函数的导数1xy12xyxexy) 1(2xxxexexxey22) 1()1 (2xy21y考点详析考点详析一、利用导数处理函数单调性一、利用导数处理函数单调性在（在（a，b）上可导的函数）上可导的函数 在（在（a，b）上增上增 函数的充要条件是函数的充要条件是)(xf0)(xf在（在（a，b）上恒成立，）上恒成立， 且不恒为且不恒为0)(xf（减）（减
3、）) 0)(xf 知识解读知识解读 利用导数研究函数的单调性比用函数单利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意调性的定义要方便，但应注意f f(x x) )0(0(或或f f(x x) )0)0)仅是仅是f f( (x x) )在某个区间上为增函数（或减函数）在某个区间上为增函数（或减函数）的充分条件，在（的充分条件，在（a a，b b）内可导的函数）内可导的函数f f( (x x) )在在（ a a , , b b ) ) 上 递 增 （ 或 递 减 ） 的 充 要 条 件 应 是上 递 增 （ 或 递 减 ） 的 充 要 条 件 应 是f f(x x)0)0或或f f(
4、x x)0)0, ,x x(a a, ,b b) )恒成立，且恒成立，且f f(x x) )在（在（a a, ,b b）的任意子区间内都不恒等于）的任意子区间内都不恒等于0 0，这，这就是说，函数就是说，函数f f( (x x) )在区间上的增减性并不排斥在区在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有间内个别点处有f f(x x0 0)=0,)=0,甚至可以在无穷多个点甚至可以在无穷多个点处处f f（x x0 0）=0,=0,只要这样的点不能充满所给区间的只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间，任何一个子区间，例题分析例题分析：例例1. 判断下列函数的单调性判断下列函数的单调性。xexy
5、)1 ()3(21) 1 (xy1) 2(2xy解：解：01) 1 ( y),(故其在故其在为减函数。为减函数。xy2) 2 (令令02 xy得得0 x令令02 xy得得0 x故其在故其在0 ,为减函数，为减函数，), 0( 在在为增函数为增函数0) 1()1 (2322xxxexexxey）（故其在故其在),(为增函数为增函数解：解：函数的定义域为函数的定义域为),0( 例例2.求函数求函数 的单调区间的单调区间xxxfln421)(2xxxxxxxxf) 2)(2(44)(2令令0)( xf2x得得0)( xf令令20 x得得故单调增区间为：故单调增区间为：, 2单调减区间为：单调减区间为
6、：2,0定义域定义域优先优先例例3求其单调区间。设函数,3231)(223bxaaxxxf已知已知 求求f(x)的单调增区间。的单调增区间。 1)(axexfx思考思考已知已知 求求f(x)的单调增区间。的单调增区间。 1)(axexfx思考思考.解解:aexfx )(1)若若a0， 0)(aexfx恒成立，恒成立，即即f(x)在在 上递增上递增),(2)若若a 0,0)(aexfx即即aexaxlnf(x)的单调递增区间为的单调递增区间为(ln a,+).综上所述：综上所述：a0时，单调增区间为时，单调增区间为),(a 0时，单调增区间为时，单调增区间为(ln a,+).自我总结自我总结利用
7、导数判断函数单调性的基本步骤：利用导数判断函数单调性的基本步骤：(1)确定函数确定函数 的定义域的定义域( )f x( )fx(2)求导数求导数(4)确定确定 的单调区间的单调区间( )f x(3)在函数定义域内解不等式在函数定义域内解不等式( )0( )0fxfx和和或0)(, 0)(xfxf例4：已知函数已知函数 在区间在区间 是增函数，求是增函数，求 的取值范围。的取值范围。）Raxxaxxf, 0()(2, 2a0)( xf在, 2恒成立恒成立分析：分析：解解：22)(xaxxf在区间在区间是增函数是增函数)(xf, 20)( xf在, 2恒成立恒成立上恒成立。在即,2,02)(2xa
8、xxf恒成立。，在即223xamin3)2( xa 即16a注：（1）已知函数单调性求参数范围时）已知函数单调性求参数范围时“=”不可漏。注意到这儿只有不可漏。注意到这儿只有0)(23xfax处（2）在（）在（a，b）上可导的函数）上可导的函数 在（在（a，b）上增上增 （减）函数的充要条件是（减）函数的充要条件是)(xf0)(xf在（在（a，b）上恒成立，）上恒成立， 且不恒为且不恒为0)(xf) 0)(xf小结：小结：（2）两大重要题型两大重要题型:（1）在（在（a，b）上可导的函数）上可导的函数 在（在（a，b）上增）上增 （减）函数的充要条件是（减）函数的充要条件是)(xf0)(xf在
9、（在（a，b）上恒成立，）上恒成立，)(xf) 0)(xf且不恒为且不恒为01）求单调区间，）求单调区间， 注意定义域。注意定义域。2）已知单调性求参数范围，）已知单调性求参数范围， 注意端点值。注意端点值。（3）利用导数处理单调性问题，经常和分利用导数处理单调性问题，经常和分类讨论结合，要注意分类标准的确定类讨论结合，要注意分类标准的确定链接高考链接高考1. (2009江苏高考江苏高考)函数函数 的单调减区间为的单调减区间为 . 32( )15336f xxxx11, 12.(2010江苏高考之变题）江苏高考之变题）设设f（x）是定义在区间）是定义在区间 上的上的函数。函数。 又又 其中其中
10、 是常数，是常数，), 1() 1(12ln)(xxbxxf求函数求函数f（x）的单调区间。）的单调区间。2b析：析：222) 1(1) 1(21)(xxbxxxbxxf), 1(，在在0) 1(2xx有有只要考虑只要考虑12bxx与零的大小与零的大小2b起何作用？起何作用？这儿这儿12bxx122 xx2) 1( x0故故0)( xf即函数即函数)(xf在在), 1 ( 单调递增单调递增2.(2010江苏高考之变题）江苏高考之变题）设设f（x）是定义在区间）是定义在区间 上的上的函数。函数。 又又 其中其中 是常数，是常数，), 1() 1(12ln)(xxbxxf求函数求函数f（x）的单调
11、区间。）的单调区间。2b析：析：222) 1(1) 1(21)(xxbxxxbxxf), 1(，在在0) 1(2xx有有只要考虑只要考虑12bxx与零的大小与零的大小102) 1 (20412bhbb或）（1)(2bxxxh令0)(2xfb时，为增区间时，即：), 1 (2b(2010江苏高考真题）江苏高考真题）设设f（x）是定义）是定义在区间在区间 上的函数。上的函数。 又又), 1() 1(12ln)(xxbxxf求函数求函数f（x）的单调区间。）的单调区间。其中其中b是常数，是常数，2b(2),2时b012bxx得得24,242221bbxbbx12x4224221bbbbxb21(3)
12、设函数设函数 其中其中a为实数，为实数，当当 的定义域为的定义域为R时，求时，求 的单调递减区间的单调递减区间aaxxexfx2)()(xf)(xf解解：22222)() 2()()2()()(aaxxeaxxaaxxeaxeaaxxxfxxx因为因为)(xf的定义域为的定义域为R，02aaxx恒成立，恒成立，所以所以042aa所以所以40 a显然显然2a时时0)( xf不存在单调递减区间不存在单调递减区间20 a当时时02a0)( xf由ax20得42 a当时时02a0)( xf由02xa得递减区间为递减区间为20) 1 ( a)2,0(a42)2( a递减区间为递减区间为)0,2(a综上所
13、述综上所述 例例2.求函数求函数 的单调区间的单调区间xxxfln421)(2解：解：xxxxxxxxf) 2)(2(44)(2令令0)( xf202xx或得得0)( xf令令202xx或得得故单调增区间为：故单调增区间为：, 2,0 , 2单调减区间为：单调减区间为：2,0,2,例例3已知已知 (1)求求f(x)的单调增区间。的单调增区间。1)(axexfx(2)若若f(x）在定义域）在定义域R内单调递增，内单调递增，求求a的取值范的取值范 围；围；f（x）在）在R内单调递增，内单调递增，f(x)0在在R上恒成立上恒成立.0aex即即 在在R上恒成立上恒成立.xea min)(xea0 xe又0a解：解：
